王珂，吳英毅

(中國科學院大學數(shù)學科學學院, 北京 100049)

Bonnet曲面是指三維歐氏空間E3中一張可定向曲面，并且上面存在一個保主曲率且保定向的非平凡(即不是E3中的剛體運動在曲面上的限制)單參數(shù)等距變換族。Bonnet曲面的概念最初由Bonnet[1]提出，他證明E3中的常平均曲率曲面一定是Bonnet曲面。Bonnet之后，一直有數(shù)學家對Bonnet曲面進行研究，比如：Graustein，Hazzidakis，Cartan等。近二三十年，Bonnet曲面的研究取得了很大進展。Chern[2]利用活動標架法，給出非常平均曲率Bonnet曲面滿足的充要條件，并利用該條件得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性質(zhì)，包括非常平均曲率Bonnet曲面一定是W-曲面，即滿足dH∧dK=0的曲面。Colares和Kenmotsu[3]系統(tǒng)地研究Gauss曲率為零的非常平均曲率Bonnet曲面，并且給出分類和等距族。Chen和Peng[4]在文獻[2]的基礎上進一步得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性質(zhì)，并最終得到非常平均曲率Bonnet曲面的分類，以及非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率滿足的常微分方程，這個方程與Hazzidakis在文獻[5]中的結(jié)果等價。Peng與Lu[6]研究文獻[4]中前兩類Bonnet曲面的極限曲面。Bobenko和Eitner[7]用可積系統(tǒng)的方法，得到非常平均曲率Bonnet曲面平均曲率與Painlevé方程解之間的關(guān)系，并利用Painlevé方程的解表示出非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率。在文獻[8]中，Chen和Li得到在空間形式3(c)中的Bonnet曲面和在中類空Bonnet曲面的分類定理。

為方便敘述，下文中討論的Bonnet曲面都是指非常平均曲率Bonnet曲面并且曲面上沒有臍點，又假設在該曲面上dH≠0，并且文中提到的等距皆為保定向的等距。

在文獻[4]中，作者提出一個問題，是否存在Gauss曲率不恒為0的Bonnet曲面。在本文中，通過研究Bonnet曲面平均曲率滿足的微分方程，得到上述問題的肯定回答，即

定理A存在Gauss曲率不恒為0的Bonnet曲面。

此外，利用文獻[2，4，6]中的結(jié)果，又得到

定理B如果兩張Bonnet曲面之間存在一個保主曲率且保定向的共形映射，若兩Bonnet曲面的Gauss曲率零點孤立，則該共形映射為等距；若兩Bonnet曲面的Gauss曲率恒為0，則該共形映射為相似變換。

1 預備知識

對于S，首先有標架運動方程：

由Codazzi方程，

于是令

2dH=(a-c)(Aω1+Bω2),

(1)

因此，

(2)

θ1=Aω1+Bω2,θ2=-Bω1+Aω2,

α1=Aω1-Bω2,α2=Bω1+Aω2.

再定義曲面上的*算子，

*ω1=ω2,*ω2=-ω1.

于是有

*θ1=θ2,*θ2=-θ1,

*α1=α2,*α2=-α1.

(1)和(2)可以寫成

2dH=(a-c)θ1,

dlog(a-c)=α1+2*ω12.

如果dH≠0，可定義新的度量：

(3)

其中ds2是S上的誘導度量。

Chern在文獻[2]中證明曲面S為Bonnet曲面的充要條件為

(4)

定理1.1設S為Bonnet曲面，定義度量

(5)

ds2=e2ρ(du2+dv2),

(6)

設

(7)

則

(8)

(9)

(9)的可積性條件為F滿足

(lnF)″=F2.

(10)

解(10)，得到

(11)

這里的t,λ(λ>0)是常數(shù)。將(11)代入(9)中，解出θ有

(12)

這里的s是常數(shù)；或者

(13)

或者

(14)

注意，(13)和(14)是在(12)中令s→±∞ 的結(jié)果。 再由(6)，K=-ρ″e-2ρ得到

(15)

再由θ為(9)的解，可得

2 定理A的證明

在這一節(jié)中，首先研究Gauss曲率恒為0的Bonnet曲面，得到命題2.1，再對(15) 降階，得到命題2.2， 最后對降階后的方程用常微分方程解的存在性定理證明定理A。

首先，得到

證明若Gauss曲率K恒為0，由定理1.2，H滿足

(16)

且

(17)

當H=βeαuF時，H′=β(αeαuF+eαuF′)，此時，F(xiàn)滿足αF+F′=F2，即α+(lnF)′=F，因此，(lnF)″=F′，由(10)，

F2=F′,

(18)

當H=-βeαuF時，H′=-β(αeαuF+eαuF′)，此時，F(xiàn)滿足αF+F′=-F2，得

F2=-F′,

(19)

□

然后，對(15)降階得到

命題2.2若H是(15)的解則存在常數(shù)C使得H滿足

(20)

即

h″=fe-h.

(21)

在(21)兩邊同乘2h′，得2h′h″=2fe-hh′,

即

(h′2)′=-2f(e-h)′.

(22)

對(22)兩邊積分一次得

(23)

=fe-h+4H′-4H(lnF)′,

即

4H′-4H(lnF)′.

(24)

將(24)代入(23)得(20)成立。

□

注:Hazzidakis在文獻[5]中得到一個與(15)等價的方程，因此，在文獻[7]中，作者稱文獻[5] 中的方程為Hazzidakis 方程。 在文獻[5]中，Hazzidakis也將得到的方程進行了降階，但與(20)在形式上有較大差別。

下面，通過研究(20)的解證明定理A。

定理A的證明設0在F的定義域內(nèi)，在2上取一點(x0,y0)(y0>0)以及取C∈充分大使得

于是存在ε>0以及(x0,y0)的開鄰域U，使得?(x,y)∈U，y>0且 ?(u,x,y)∈(-ε,ε)×U，

(25)

在(-ε,ε)×U上考慮方程組

(26)

由(25)，

為(-ε,ε)×U上光滑函數(shù)。 于是由常微分方程組解的存在唯一性，存在0<δ≤ε滿足在(-δ,δ)上(26) 存在唯一一組光滑解(x(u),y(u))。 下面證明x(u)滿足(15)。

首先，由(x(u),y(u))為(26)的解，?u∈(-δ,δ)，(x(u),y(u))∈U，x′=y>0，且

x″=2(lnF)′x′+

于是x(u)滿足

(27)

因此，x(u)滿足(20)。另外，由(x(u),y(u))為(26)的解，?u∈(-δ,δ)，(x(u),y(u))∈U， 從而

Cx′2-4[F2x2x′+x′3-2xx′2(lnF)′]>0,

矛盾。因此，S的Gauss曲率不恒為0。這就證明了定理A。

3 定理B的證明

(28)

下面將要證明，若K的零點孤立則M=1，即σ為等距；若K恒為0，則M為常數(shù)。

首先，可定義S上*算子，

*ω1=ω2,*ω2=-ω1,

由(28)，

因此，有

*°σ*=σ*°★.

(29)

設

2dH=(a-c)(Aω1+Bω2),

θ1=Aω1+Bω2,θ2=-Bω1+Aω2,

α1=Aω1-Bω2,α2=Bω1+Aω2,

2dH=(a-c)θ1,

(30)

dlog(a-c)=α1+2*ω12,

(31)

(32)

用σ將(30)兩邊拉回有

因此，

(33)

在(33)兩邊作用*，并用(29)得

注意到

于是，

(34)

在(31)兩邊作用*，得

*dlog(a-c)=α2-2ω12.

(35)

再用σ將(35)兩邊拉回得

(36)

由(34)，

(37)

dω12=-Kω1∧ω2,

(38)

(39)

用σ將(39)兩邊拉回得

由(28)，(37)和(38)，

K(M2-1)=0.

因此，如果K的零點孤立，M=1。

(40)

于是

因此，M為常數(shù)，不必為1。即完成定理B的證明。

作者非常感謝彭家貴教授，彭教授為作者提供了很多資料并與作者進行了非常有益的討論。