李嘯天，覃超，王旭華

(大連大學(xué) 建筑工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

1 引 言

一些學(xué)者[3～5]通過(guò)幾何推導(dǎo)的方法，經(jīng)過(guò)各導(dǎo)線點(diǎn)做南北方向輔助線來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，但計(jì)算效率仍然較低。本文通過(guò)對(duì)附合導(dǎo)線作輔助線將其轉(zhuǎn)化為閉合多邊形，則附合導(dǎo)線角度閉合差的計(jì)算即為多邊形內(nèi)角和與其理論值之差。本文提出的附合導(dǎo)線角度閉合差計(jì)算的多邊形輔助線法避免了傳統(tǒng)方法在推算坐標(biāo)方位角時(shí)要逐點(diǎn)區(qū)分各角為左角還是右角、逐邊分析是否加減180°的判斷過(guò)程，減少了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。實(shí)際授課表明，附合導(dǎo)線角度閉合差計(jì)算的多邊形輔助線法比傳統(tǒng)方法更容易被學(xué)生接受，教學(xué)效果良好。

2 附合導(dǎo)線轉(zhuǎn)化為閉合多邊形及其角度閉合差計(jì)算

2.1 附合導(dǎo)線轉(zhuǎn)化為閉合多邊形方法

根據(jù)不同的附合導(dǎo)線布設(shè)形式，在其兩已知端點(diǎn)A、D分別作豎直或水平方向的輔助線，再依次連接各邊構(gòu)成閉合多邊形，使所有觀測(cè)角均為多邊形的內(nèi)角。需要注意的是，在此過(guò)程當(dāng)中不必區(qū)分各導(dǎo)線點(diǎn)的觀測(cè)角是左角還是右角，新構(gòu)成的閉合多邊形除了已有的各觀測(cè)角外，還新增加了幾個(gè)不含“誤差”的內(nèi)角。

2.2 轉(zhuǎn)化后的角度閉合差計(jì)算

圖1～圖8列出了各種形式的附合導(dǎo)線，現(xiàn)以圖1為例說(shuō)明附合導(dǎo)線角度閉合差計(jì)算的輔助線法的應(yīng)用過(guò)程，并與現(xiàn)有測(cè)量學(xué)教材上附合導(dǎo)線角度閉合差的計(jì)算方法及結(jié)果加以比較。

(1)測(cè)量學(xué)教材中附合導(dǎo)線角度閉合差的計(jì)算

這里按推算方向各觀測(cè)角應(yīng)為左角，則各邊坐標(biāo)方位角推算如下：

αB1=αAB+βB-180°

α12=αB1+β1-180°

α2C=α12+β2-180°

這里，各邊的坐標(biāo)方位角的計(jì)算公式均取“-180°”，是因?yàn)槠淝皟身?xiàng)之和均大于180°。

將以上各式相加，得：

則角度閉合差：

fβ=αAB-αCD+∑β-4×180°

(1)

圖1 附合導(dǎo)線類型一

(2)附合導(dǎo)線角度閉合差計(jì)算的多邊形輔助線法

附合導(dǎo)線類型一的特點(diǎn)：自A、D兩個(gè)已知端點(diǎn)向上做X軸平行輔助線AF、DE不與其他導(dǎo)線邊相交。如圖1所示，使所有觀測(cè)角為內(nèi)角，連接E、F兩點(diǎn)，得閉合多邊形AB12CDEFA。其中：需要觀測(cè)的角度個(gè)數(shù)n=4，新增角度4個(gè)，設(shè)閉合多邊形邊數(shù)為N，則N=n+4=8。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見(jiàn)，附合導(dǎo)線角度閉合差即為該多邊形內(nèi)角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-4×180°

此結(jié)果與式(1)的附合導(dǎo)線角度閉合差fβ的推算公式完全相同。

2.3 對(duì)比分析

對(duì)比兩種方法的過(guò)程和結(jié)果可知，二者均能準(zhǔn)確地求出附合導(dǎo)線的角度閉合差，但是教材上所提供的方法需要依次推算各導(dǎo)線邊的坐標(biāo)方位角，且需逐邊判斷αi+βi與180°的大小關(guān)系，邊數(shù)越多，計(jì)算量越大，容易造成計(jì)算錯(cuò)誤。而通過(guò)做輔助線，將附合導(dǎo)線角度閉合差轉(zhuǎn)為多邊形內(nèi)角閉合差計(jì)算的方法則相對(duì)簡(jiǎn)便，內(nèi)業(yè)計(jì)算較小，提高了工作效率。

2.4 其他類型的附合導(dǎo)線及其多邊形輔助線法

按照?qǐng)D1類似的方法與過(guò)程，可做出其他不同類型的附合導(dǎo)線(圖2～圖8)的多邊形輔助線，并推算出相應(yīng)的角度閉合差。具體過(guò)程不一一詳述。

(1)附合導(dǎo)線類型二。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線不與其他導(dǎo)線邊相交，自D點(diǎn)向上做X軸平行線會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGA。

其中：n=4，N=n+5

∠G+∠F=180°，∠E=90°

∠A=αAB，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(2)

圖2 附合導(dǎo)線類型二

(2)附合導(dǎo)線類型三。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線不與其他導(dǎo)線邊相交，自D點(diǎn)向上做X軸平行線或向右做水平線都會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向下做X軸平行線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖3 附合導(dǎo)線類型三

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(3)

(3)附合導(dǎo)線類型四。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向左做水平線，自D點(diǎn)向上做X軸平行線不與其他導(dǎo)線邊相交，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGA。

圖4 附合導(dǎo)線類型四

其中：n=4，N=n+5

∠E+∠F=180°，∠G=90°，

∠A=αAB-270°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(4)

(4)附合導(dǎo)線類型五。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線或向左做水平線都會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點(diǎn)向上做X軸平行線不與其他導(dǎo)線邊相交，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖5 附合導(dǎo)線類型五

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB-180°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(5)

(5)附合導(dǎo)線類型六。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向左做水平線，自D點(diǎn)向上做X軸平行線會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖6 附合導(dǎo)線類型六

其中：n=4，N=n+6

∠E=∠H=90°，∠F+∠G=180°

∠A=αAB-270°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(6)

(6)附合導(dǎo)線類型七。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線或向左做水平線都會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點(diǎn)向上做X軸平行線會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHIA。

圖7 附合導(dǎo)線類型七

其中：n=4，N=n+7

∠E=90°，∠F+∠G=180°，∠H+∠I=180°

∠A=αAB-180°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(7)

(7)附合導(dǎo)線類型八。該類導(dǎo)線特點(diǎn)是：自A點(diǎn)向上做X軸平行線或向左做水平線都會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點(diǎn)向上做X軸平行線或向右做水平線都會(huì)與其他導(dǎo)線邊相交，需向下做X軸平行線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHIJA。

圖8 附合導(dǎo)線類型八

其中：n=4，N=n+8

∠E+∠F=∠G+∠H=∠I+∠J=180°

∠A=αAB-180°，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(8)

2.5 計(jì)算示例

附合導(dǎo)線的坐標(biāo)方位角及各導(dǎo)線觀測(cè)角如圖8所示，前進(jìn)方向A→D，現(xiàn)使用上述多邊形輔助線法計(jì)算該附合導(dǎo)線角度閉合差。該例取自文獻(xiàn)[1]。

圖9 計(jì)算示例

過(guò)程如下，自A、D兩個(gè)已知端點(diǎn)向上做豎直輔助線AF、DE，如圖9所示，使所有觀測(cè)角為內(nèi)角，連接E、F兩點(diǎn)，得閉合多邊形AB1234CDEFA。其中：需要觀測(cè)的角度個(gè)數(shù)n=6，新增角度4個(gè)，設(shè)閉合多邊形邊數(shù)為N，則N=n+4=10。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見(jiàn)，附合導(dǎo)線角度閉合差即為該多邊形內(nèi)角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-n×180°

=237°59′30″-46°45′24″+99°01′00″+167°45′36″+123°11′24″+189°20′36″+179°59′18″+129°27′24″-6×180°

=-36″

3 結(jié) 論

(1)輔助線法將附合導(dǎo)線角度閉合差計(jì)算轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和閉合差的計(jì)算，不用逐邊分析是否需要加減180°簡(jiǎn)化了推算過(guò)程，提高了工作效率。

(2)通過(guò)對(duì)8種類型的附合導(dǎo)線角度閉合差的計(jì)算可知，其結(jié)果只有兩種形式：αAB-αCD+∑β-n×180°或αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°，區(qū)別僅僅在于180°前的系數(shù)是“n”或者“(n+2)”，且該結(jié)果只與已知邊AB的方位有關(guān)，若過(guò)A點(diǎn)向上做X軸平行線不與其他導(dǎo)線邊相交(如圖1、圖4、圖5所示)，則“n”；否則(如圖2、圖3、圖6、圖7、圖8所示)，該系數(shù)為“(n+2)”。