吳建

(福州市勘測院，福建 福州 350108)

1 引 言

平面坐標系統(tǒng)是城市各項測量工作的基準，是城市最為重要的測繪基礎(chǔ)設(shè)施。從20世紀50年代起我國開始采用經(jīng)典大地測量技術(shù)建立全國性的平面坐標系統(tǒng)“1954北京坐標系”，到當前采用現(xiàn)代空間測量技術(shù)建立的各類高精度國家和城市坐標系統(tǒng)。福州市目前采用如下6套坐標系統(tǒng)：CGCS2000坐標系、WGS84坐標系、福州地方坐標系、福州大都市坐標系、1980西安坐標系以及1954北京坐標系，6套坐標系之間的轉(zhuǎn)換是福州市測繪數(shù)據(jù)生產(chǎn)和應(yīng)用的基本內(nèi)容之一。坐標轉(zhuǎn)換平差模型的系數(shù)矩陣包含坐標轉(zhuǎn)換公共點在源坐標系下的坐標值，因而含有隨機誤差，不滿足高斯-馬爾科夫模型的假定條件，屬于EIV(Errors-in-variables)平差模型。目前，福州市平面坐標系轉(zhuǎn)換算法忽略了系數(shù)矩陣誤差，基于經(jīng)典的最小二乘估計求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)有偏[1]。Xu等(2014)[2]、曾文憲(2013)[3]從理論上研究了系數(shù)矩陣誤差對最小二乘參數(shù)估計偏差以及參數(shù)精度的影響。Schaffirn(2008)[4]、Xu(2012)[5]、Shen(2013)[6]、Fang(2013)[7]等研究了整體最小二乘估計算法，姚宜斌(2010)[8]、方興(2014)[9]等研究了坐標轉(zhuǎn)換模型的整體最小二乘(Total Least-squares，TLS)估計算法。坐標轉(zhuǎn)換模型的TLS估計具有漸進無偏性，理論上要優(yōu)于LS估計。TLS估計屬于非線性估計，計算復雜度遠高于LS估計，實際應(yīng)用中往往需要根據(jù)EIV模型系數(shù)矩陣誤差對LS參數(shù)解以及參數(shù)精度的影響程度確定估計算法。當系數(shù)矩陣誤差影響小能夠滿足精度要求時，可忽略系數(shù)矩陣誤差采用LS算法求解；當系數(shù)矩陣誤差對LS接的影響過大，則必須采用TLS估計算法求解。本文將利用EIV模型及其估計理論的最新研究成果，分析和評估了福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型采用最小二乘估計(leastsquares，LS)引起的參數(shù)估計值的偏差以及對參數(shù)精度的影響；在此基礎(chǔ)上，提出了福州市實際應(yīng)用中平面坐標轉(zhuǎn)換模型估計算法的選擇方案和建議。

2 平面坐標轉(zhuǎn)換模型的LS估計算法

平面坐標轉(zhuǎn)換模型也稱為四參數(shù)模型，對于第i個坐標轉(zhuǎn)換點，模型形式如下：

(1)

若令c=mcosα，d=msinα，平面坐標轉(zhuǎn)換平差模型可表示為：

l=(A-EA)β+el

(2)

相應(yīng)的隨機模型為：

(3)

(4)

式中，P表示l的權(quán)陣。

3 福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型LS估計偏差分析

3.1 坐標轉(zhuǎn)換模型LS估計偏差公式

坐標轉(zhuǎn)換模型屬于典型的EIV模型，Markovsky(2007)[1]等證明了EIV模型的LS估計為有偏估計。測量領(lǐng)域，Xu(2013)[5]，曾文憲(2013)[3]首次研究了EIV模型的LS估計偏差理論，以下筆者利用文獻[3]中的理論從數(shù)值方面分析當前福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型采用LS估計引起的估計偏差的數(shù)量級大小，以及系數(shù)矩陣誤差對LS估計精度的影響。

如果忽略系數(shù)矩陣中的誤差EA，根據(jù)文獻[3]，式(4)的LS參數(shù)估計偏差以及參數(shù)協(xié)方差陣估計偏差分別為：

(5)

(6)

(7)

式中，W表示系數(shù)矩陣中觀測值對應(yīng)的權(quán)陣。

3.2 福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型LS估計偏差分析

實際測量工作中，福州市各級控制網(wǎng)的距離從數(shù)公里至數(shù)百公里，不同距離長度的控制網(wǎng)在進行坐標轉(zhuǎn)換時LS估計的偏差的量級不同。為了涵括坐標轉(zhuǎn)換各類情況，筆者設(shè)計了均勻分布的坐標轉(zhuǎn)換點，如圖1所示，且控制網(wǎng)點間距離分別為 5 km、10 km、50 km和 100 km等4類情況進行偏差分析。坐標轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)精度涉及以下兩種情況：

①現(xiàn)代坐標系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換(如WGS84與CGCS2000)，觀測向量l和系數(shù)矩陣精度均為厘米級，根據(jù)福州市實際情況均取 0.02 m；

②現(xiàn)代坐標系與經(jīng)典大地坐標系之間的轉(zhuǎn)換(如WGS84與1980西安坐標系)，觀測向量l的精度為厘米級，取 0.02 m；系數(shù)矩陣中的坐標值精度為分米級，取 0.2 m。自然資源部于2019年1月1日起不再提供1980西安坐標系以及1954北京坐標系下的測量成果，且各部門成果也要求轉(zhuǎn)換到CGCS2000坐標系下，因此，經(jīng)典坐標系之間的轉(zhuǎn)換很少，這里不進行討論。

圖1 福州市域高等級控制點分布圖

福州市Ⅰ類平面坐標轉(zhuǎn)換模型LS估計偏差 表1

福州市Ⅱ類平面坐標轉(zhuǎn)換模型LS估計偏差 表2

從表1和表2的實例數(shù)據(jù)分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)坐標轉(zhuǎn)換模型中，平移參數(shù)T的系數(shù)矩陣是固定陣，T的偏差和中誤差與坐標網(wǎng)公共點間的距離(或系數(shù)矩陣的信噪比)無關(guān)，而旋轉(zhuǎn)參數(shù)R和尺度因子S的偏差隨公共點間的距離的減小約呈現(xiàn)二次方增長，中誤差隨距離的減小大致成比例減小，與前文理論分析一致。

(2)大地坐標轉(zhuǎn)換模型中網(wǎng)距離通常在數(shù)公里以上，不論是第Ⅰ類現(xiàn)代大地坐標系之間的轉(zhuǎn)換，還是第Ⅱ類現(xiàn)代大地坐標系和經(jīng)典大地坐標系之間的轉(zhuǎn)換，系數(shù)矩陣誤差引起的LS參數(shù)估計值的偏差完全可以忽略不計。

(3)系數(shù)矩陣誤差對參數(shù)精度的影響，要視坐標網(wǎng)大小、網(wǎng)形結(jié)構(gòu)等而定。表中結(jié)果清楚地說明論文大地坐標轉(zhuǎn)換模型用LS方法計算的參數(shù)中誤差遠小于中誤差的實際值，即高估了坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)LS解的精度。在第Ⅰ類現(xiàn)代大地坐標系之間的轉(zhuǎn)換中，由于觀測向量中的目標坐標系坐標值和系數(shù)矩陣中的源坐標系坐標值精度相當，LS計算的參數(shù)中誤差約只有實際值的50%。在第Ⅱ類現(xiàn)代大地坐標系和經(jīng)典大地坐標系的轉(zhuǎn)換中，由于經(jīng)典坐標值僅為現(xiàn)代坐標系的坐標值精度的10%，LS參數(shù)精度更是高估。

(4)大區(qū)域范圍進行坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的解算時，若選擇的坐標點分布均勻，當坐標網(wǎng)較大時(實例中坐標網(wǎng)的距離大于 100 km)，LS估計能夠滿足精度估計要求。

4 福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型估計算法選擇建議

平面坐標轉(zhuǎn)換模型屬于系數(shù)矩陣含隨機誤差的EIV模型，最小二乘估計有偏。根據(jù)本文的理論和實證分析，對實踐中福州市各類平面坐標轉(zhuǎn)換模型參數(shù)估計算法提出如下建議：

(1)福州市平面坐標轉(zhuǎn)換模型估計能否采用最小二乘算法，取決于式(6)計算的LS參數(shù)的方差或者中誤差的大小，如果中誤差在精度要求范圍之內(nèi)，則采用LS求解，但參數(shù)的中誤差須按式(6)計算，經(jīng)典的LS參數(shù)中誤差公式由于沒有考慮系數(shù)矩陣誤差，不能反映其精度。如果參數(shù)的LS估計精度不能滿足要求，則必須采用整體最小二乘估計算法求解坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。

(2)從本文3.2對福州市各類坐標轉(zhuǎn)換估計算法的實驗分析來看，對于福州市現(xiàn)代大地坐標系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換(第Ⅰ類)，當公共點網(wǎng)距離在 50 km以上的較大區(qū)域計算平面坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)時，可忽略系數(shù)矩陣誤差，采用最小二乘估計求解，完全可以滿足當前高精度定位中坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)精度的要求。當公共網(wǎng)點距離 10 km以上時，如果公共點數(shù)量較多、網(wǎng)形合理以及分布均勻時，采用LS估計求解轉(zhuǎn)換參數(shù)能夠達到厘米級的定位精度要求。當公共網(wǎng)點距離在 10 km以下時，應(yīng)視具體項目坐標點位精度要求、坐標網(wǎng)點距離、網(wǎng)形結(jié)構(gòu)等確定LS估計能否滿足精度要求。

(3)對于福州市現(xiàn)代大地坐標系與經(jīng)典大地坐標系間的轉(zhuǎn)換(第Ⅱ類)，由于系數(shù)矩陣的精度約為分米級，因此，忽略系數(shù)矩陣誤差得到的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度比第Ⅰ類數(shù)據(jù)約降低了一個數(shù)量級，表2反映了坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的LS解的中誤差主要來源于系數(shù)矩陣坐標值的誤差。如果采用LS估計坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，能滿足分米級的坐標計算要求，同樣，參數(shù)中誤差應(yīng)采用式(6)計算。若采用TLS估計坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，則可較大程度提高參數(shù)估計的精度。