吳桐,張志信,蔣威

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230601)

1.引言

分?jǐn)?shù)階微積分理論是關(guān)于任意階微分和積分的理論,是整數(shù)階微積分的一種推廣,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的記憶性,使得其能夠更充分地應(yīng)用于物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì),也能夠更好地模擬自然界的物理現(xiàn)象.特別是在最近的四十年里,分?jǐn)?shù)階微積分在現(xiàn)代控制理論、粘彈性理論、流體力學(xué)、凝聚態(tài)物理等各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,但由于分?jǐn)?shù)階微分算子所特有的奇異性和非局部性質(zhì),導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階微分方程的理論研究面臨一定難度.因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值[1?3].

自1953年蘇聯(lián)學(xué)者Kamenkov[4]提出有限時(shí)間穩(wěn)定的概念以來(lái),微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性一直是微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)重要課題,并取得了豐富的理論成果.目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題已經(jīng)展開(kāi)研究工作,Lazarevi′c[5?7]運(yùn)用廣義Gronwall不等式給出了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階線性時(shí)滯微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件,此外ZHANG[8]也對(duì)該類(lèi)系統(tǒng)給出了相關(guān)的有限時(shí)間穩(wěn)定性分析.文[9-11]討論了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性,利用壓縮映射原理、迭代以及Gronwall不等式等方法對(duì)分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題做出了詳細(xì)的分析.文[12-14]中,相關(guān)學(xué)者研究并分別給出了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階線性時(shí)變系統(tǒng)在帶脈沖情況下的有限時(shí)間穩(wěn)定性條件.MA等在文[15]中討論了分?jǐn)?shù)階時(shí)不變微分系統(tǒng)在帶擾動(dòng)下的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題,同時(shí)給出了相關(guān)的狀態(tài)反饋,研究了系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定問(wèn)題.最近,Phat等[16]在結(jié)合廣義Gronwall不等式與Mittag-Leffler函數(shù)后給出了一類(lèi)具時(shí)變時(shí)滯及非線性擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的新的判據(jù),該判據(jù)形式簡(jiǎn)潔且便于檢驗(yàn)及應(yīng)用.LI和WANG[17?18]通過(guò)引入滯后Mittag-Leffler型矩陣函數(shù)并利用常數(shù)變易法給出了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階齊次與非齊次時(shí)滯微分方程解的顯式表達(dá)式,驗(yàn)證了方程解的存在唯一性,并給出了方程有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件.

對(duì)于分?jǐn)?shù)階線性退化微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性,ZHANG等[19?20]已經(jīng)展開(kāi)了初步的研究工作,通過(guò)代數(shù)方法得出了退化分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)顯示解的表達(dá)式,討論了系統(tǒng)初值問(wèn)題解的存在唯一性,并給出了該系統(tǒng)在帶時(shí)滯情況下的指數(shù)估計(jì)與系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分性條件.在前面學(xué)者的研究成果的啟發(fā)下,我們研究同時(shí)帶有擾動(dòng)和脈沖現(xiàn)象的退化分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題.

記號(hào):Rn表示n維歐氏空間.Rn×n為所有n×n實(shí)矩陣的集合.自然數(shù)集記為N.時(shí)間區(qū)間J=[0,T],其中T >0是有限數(shù).對(duì)任意正定矩陣A ∈Rn×n,λmax(A),λmin(A)分別表示矩陣A的最大與最小特征根,而cond(A)=λmax(A)/λmin(A)稱(chēng)為矩陣A的條件數(shù).n階單位矩陣記為In.

2.準(zhǔn)備知識(shí)

在這一節(jié)中,本文將給出分?jǐn)?shù)階微積分的一些定義與基本性質(zhì)以及論文相關(guān)的幾個(gè)定義與引理.不失一般性,本論文中所有分?jǐn)?shù)階微分、積分的下限均設(shè)為0.

定義2.1[3]設(shè)可積函數(shù)f(t)∈C[0,+∞),α>0,則記

為函數(shù)f(t)的α階分?jǐn)?shù)階積分.

定義2.2[3]設(shè)n?1≤α

為f(t)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

為方便起見(jiàn),以下將分?jǐn)?shù)階積分符號(hào)0Iαt與Caputo導(dǎo)數(shù)符號(hào)分別記作Iα與Dα.

定義2.3[3]設(shè)α>0,β >0且z ∈C,記具單參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)為

而具雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)常記為

易見(jiàn),β=1時(shí),Eα(z)=Eα,1(z).而E1,1(z)=ez.

下面介紹本文中用到的引理和相關(guān)結(jié)論.

引理2.1[21]設(shè)α ∈(0,1),x(t)∈Rn為一連續(xù)可微向量函數(shù),則有以下不等式

其中P ∈Rn×n為一常值對(duì)稱(chēng)半正定矩陣.

引理2.2[3]由分?jǐn)?shù)階積分及Caputo導(dǎo)數(shù)的定義,有

特別地,當(dāng)α ∈(0,1)時(shí),Iα(Dαx(t))=x(t)?x(0).

引理2.3[22]假定α>0,x(t)與a(t)在[0,T),(T ≤+∞)非負(fù)且局部可積,g(t)在[0,T)上連續(xù)非負(fù)且單調(diào)增加,g(t)≤M(M為常數(shù)),滿足以下不等式

則

特別地,若a(t)在[0,T)單調(diào)增加,則有

考慮如下分?jǐn)?shù)階退化脈沖線性系統(tǒng)；

其中t ∈J.x ∈Rn為狀態(tài)變量.ω ∈Rn為干擾項(xiàng).A,Bk ∈Rn×n,且Bk≠I(mǎi)n.E ∈Rn×n為退化矩陣.Dαx(t)為x(t)的α階Caputo導(dǎo)數(shù),其中α ∈(0,1).

為了研究系統(tǒng)(2.1),現(xiàn)作如下假設(shè)[23?24]:

(H2)狀態(tài)變量x在每個(gè)τk處左連續(xù),即

(H3)矩陣對(duì)(E,A)是正則的,即存在復(fù)數(shù)s,使得det(sE?A)0;

(H4)常值干擾項(xiàng)ω滿足約束條件:ωTω ≤d,d ≥0.

定義2.4[25]給定兩正實(shí)數(shù)c1,c2滿足c1≤c2,正定矩陣R,則系統(tǒng)(2.1)關(guān)于(c1,c2,J,R,d)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,如果

3.主要結(jié)果

定理3.1假定(H1)-(H4)成立,c1,c2為給定正實(shí)數(shù),c1≤c2且存在常數(shù)γ >0,以及對(duì)稱(chēng)正定矩陣P ∈Rn×n,正定矩陣Q ∈Rn×n滿足以下不等式,則系統(tǒng)(2.1)關(guān)于(c1,c2,T,R,d)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證考慮Lyapunov泛函

對(duì)V(x(t))關(guān)于t沿系統(tǒng)(2.1)的解求α階Caputo導(dǎo)數(shù),由引理2.1及條件(3.1a)有

而由定理?xiàng)l件,Q正定,從而ωTQω ≤λmax(Q)ωTω ≤λmax(Q)d,則(3.3)化為

由引理2.2,對(duì)(3.4)兩邊同時(shí)進(jìn)行α階分?jǐn)?shù)階積分,得

由條件(3.1c),?k ∈{1,2,··· ,m},都有

從而,(3.5)式變?yōu)?/p>

結(jié)合(3.6)及引理2.3,有

這樣,結(jié)合(3.7),(3.8),(3.9)及條件(3.1b),有

消去λmin(P1),即得xT(t)ETREx(t)

定理3.2假定(H1)-(H3)成立,ω=0,c1,c2為給定正實(shí)數(shù),c1≤c2且存在常數(shù)γ >0,以及對(duì)稱(chēng)正定矩陣P ∈Rn×n滿足以下不等式,則系統(tǒng)(2.1)關(guān)于(c1,c2,T,R)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證在定理3.1的證明過(guò)程中,由條件ω=0及ωTω ≤d,d ≥0,可令d=0,即證.

4.數(shù)值算例

下面給出兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明定理3.1及定理3.2條件的有效性.

例4.1考慮如下分?jǐn)?shù)階退化線性系統(tǒng):

容易得到d=ωTω=0.0014.令R=I3,可以算出xT0ETREx0=2.取γ=1,對(duì)于給定的有限時(shí)間區(qū)間J=[0,0.1](T=0.1),取c1=2,c2=5.根據(jù)假設(shè)(H1),在該例給出兩個(gè)脈沖點(diǎn)τk=0.05k(k=1,2).應(yīng)用定理3.1的條件(3.1a)、(3.1c),可以通過(guò)Matlab找到P1,P和Q如下

并得到λmax(Q)=3.7144,λmax(P1)=2.5090,λmin(P1)=1.8368.以下只需驗(yàn)證定理?xiàng)l件(3.1b),

故系統(tǒng)(4.1)關(guān)于

是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

例4.2考慮如下分?jǐn)?shù)階退化線性系統(tǒng):

顯然有d=0.為此應(yīng)用定理3.2,令R=I2,容易算出xT0ETREx0=1.取對(duì)于給定的有限時(shí)間區(qū)間J=[0,0.1](T=0.1),取c1=1,c2=21.同例4.1,給出兩個(gè)脈沖點(diǎn)τk=0.05k(k=1,2).應(yīng)用定理3.2的條件(3.10a)、(3.10c),可以通過(guò)Matlab找到P1,P如下

并得到λmax(P1)=3.7830,λmin(P1)=0.9392.以下只需驗(yàn)證條件(3.10b),

故系統(tǒng)(4.2)關(guān)于(c1=1,c2=21,J=[0,0.1],R=I2)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.