朱海南，劉靜利，張同軍，周 玉，張 帆

（國(guó)網(wǎng)山東省電力公司濰坊供電公司，山東 濰坊 261000）

0 引言

新技術(shù)和設(shè)備的采用無(wú)法從根本上避免大停電的發(fā)生［1-3］，2003 年8 月14 日發(fā)生的美加大停電波及5 000 萬(wàn)人口的供電范圍［4］，2012 年7 月31 日印度發(fā)生大范圍停電事故，涉及50 GW 負(fù)荷，影響人口6.7 億［5］。系統(tǒng)在發(fā)生大停電事故后恢復(fù)過(guò)程可劃分3 個(gè)階段：黑啟動(dòng)，網(wǎng)架恢復(fù)和負(fù)荷恢復(fù)［6］。第一階段是在盡量短的時(shí)間內(nèi)用黑啟動(dòng)機(jī)組作為起始電源，帶動(dòng)其他無(wú)自啟動(dòng)能力的機(jī)組［6-8］。

黑啟動(dòng)階段的關(guān)鍵是合理安排待恢復(fù)機(jī)組的恢復(fù)順序，保證機(jī)組恢復(fù)安全可靠有序地進(jìn)行。文獻(xiàn)［9］探究了機(jī)組恢復(fù)次序在系統(tǒng)恢復(fù)過(guò)程中起決定性作用的影響因素；文獻(xiàn)［10］利用定量分析和定性分析相結(jié)合的層析分析法將需要恢復(fù)的機(jī)組進(jìn)行了有效排序；文獻(xiàn)［11］以機(jī)組恢復(fù)過(guò)程中確定的時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)發(fā)電量最大為優(yōu)化目標(biāo)，這是一個(gè)典型的“背包問(wèn)題”，最終運(yùn)用經(jīng)典回溯算法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解；文獻(xiàn)［12］采用混合整數(shù)規(guī)劃方法求解機(jī)組恢復(fù)排序問(wèn)題。

由于整個(gè)控制恢復(fù)存在極端復(fù)雜性，不確定性，僅僅考慮機(jī)組相關(guān)特性的機(jī)組恢復(fù)順序，很大可能性不能滿足系統(tǒng)實(shí)際的恢復(fù)過(guò)程需求。本文在滿足基礎(chǔ)需求的前提下，通盤考慮了機(jī)組恢復(fù)路徑及待恢復(fù)機(jī)組本身的特性等各類約束條件，并提出了機(jī)組恢復(fù)路徑操作成功率的概念。以機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率盡量高與恢復(fù)過(guò)程中機(jī)組發(fā)電量盡可能大為優(yōu)化目標(biāo)，采用Dijkstra 算法和引入交叉因子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化（PSO）技術(shù)求解，最后用IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和山東電網(wǎng)實(shí)際情況作為算例對(duì)模型和方法的有效性進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證。

1 機(jī)組恢復(fù)順序優(yōu)化模型

1.1 機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率

文獻(xiàn)［13］統(tǒng)計(jì)分析了影響系統(tǒng)成功恢復(fù)的諸多因素，其中黑啟動(dòng)階段的影響因素有：空載線路合閘充電時(shí)的過(guò)電壓?jiǎn)栴}以及自勵(lì)磁問(wèn)題，輔機(jī)啟動(dòng)時(shí)的電壓跌落問(wèn)題，變電站儲(chǔ)能不足問(wèn)題以及繼電保護(hù)系統(tǒng)的配合問(wèn)題等。此外還要受環(huán)境、天氣、現(xiàn)場(chǎng)工作人員熟練程度等諸多不確定因素的影響。實(shí)際操作中可以通過(guò)定期檢查和更換各種儲(chǔ)能設(shè)備如蓄電池等，恢復(fù)初期退出保護(hù)裝置以及輔機(jī)啟動(dòng)時(shí)投入無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備如電容器或SVC 等來(lái)減小或避免上述大多數(shù)因素的影響。因此影響黑啟動(dòng)階段機(jī)組能否成功恢復(fù)的關(guān)鍵因素為空載線路合閘充電時(shí)的過(guò)電壓水平和引起的發(fā)電機(jī)的自勵(lì)磁問(wèn)題。

空載線路進(jìn)行合閘充電時(shí)的過(guò)電壓包括持續(xù)工頻過(guò)電壓和操作過(guò)電壓。其中持續(xù)工頻過(guò)電壓是由于空載線路合閘充電時(shí)發(fā)出的無(wú)功功率引起的。超高壓空載線路的電壓損耗可表示為［14］

式中：ΔU 為超高壓空載線路的電壓損耗；U1和U2分別為線路始端和末端電壓。從式（1）可看出，線路電納B 和電抗X 的乘積決定了空載線路的電壓損耗，在始端電壓確定的情況下，也就決定了線路工頻過(guò)電壓水平。

操作過(guò)電壓是由于投切輸電線路或電容器組等引起的，產(chǎn)生的根本原因是電容、電感的振蕩疊加在穩(wěn)態(tài)電壓上所致，是一個(gè)電磁暫態(tài)過(guò)程，可用電磁暫態(tài)模型來(lái)進(jìn)行分析計(jì)算。采用集中參數(shù)的單相模型來(lái)進(jìn)行分析［15］，如圖1 所示。設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為Emcosωt，為簡(jiǎn)化分析，將線路等效為T 型電路，LT、CT為線路電感和電容，電源電感為L(zhǎng)S，忽略線路及電源電阻。

由電路建立微分方程

由拉普拉斯變換可得

根據(jù)初始條件，經(jīng)拉普拉斯逆變換可求得電容電壓為

式中：ω 為電源頻率；UCm為電容電壓幅值，即為線路末端電壓幅值，為

式中：ω0為等效回路自振蕩頻率，為

將ω0代入U(xiǎn)Cm可得

可以看出線路合閘時(shí)操作過(guò)電壓與合閘時(shí)刻、等效電源的電壓和電感、線路電感和電容以及系統(tǒng)頻率等諸多因素有關(guān)，其中與線路有關(guān)的影響因素為線路的電感與電容。

在式（7）兩側(cè)分別對(duì)LT和CT求偏導(dǎo)可得

由偏導(dǎo)數(shù)都大于0，可知UCm是LT和CT的單調(diào)增函數(shù)，在其他影響因素確定的情況下，uc（t）也是LT和CT的單調(diào)增函數(shù)，即電抗X=ωLT和電納B=ωCT的單調(diào)增函數(shù)。在常規(guī)計(jì)算中單位長(zhǎng)度架空線路的電抗和電納通常采用定值［14］，不同長(zhǎng)度的輸電線路的電抗和電納具有相同的變化趨勢(shì)。因此可以認(rèn)為uc（t）是線路電抗和電納乘積BX 的單調(diào)增函數(shù)。在其余影響因素（黑啟動(dòng)機(jī)組的參數(shù)Em和LS）確定的情況下，不同線路的BX 可以反映其操作過(guò)電壓水平。

圖1 空載線路充電等效電路

文獻(xiàn)［16］同樣分析了線路操作過(guò)電壓的影響因素，線路電壓等級(jí)越低，線路電抗和電容越小，發(fā)電容量越大，線路操作過(guò)電壓倍數(shù)越小。

根據(jù)以上分析可知在黑啟動(dòng)機(jī)組確定的情況下，線路BX 大小可以反映線路的工頻過(guò)電壓水平和操作過(guò)電壓水平。同時(shí)計(jì)及機(jī)組容量和線路電壓等級(jí)的影響，可定義線路權(quán)重為

式中：k1為機(jī)組容量的影響系數(shù)；Bi為第i 條線路的電納；k2為線路電壓等級(jí)的影響系數(shù)；Xi為第i 條線路的電抗；Lonline為當(dāng)前時(shí)刻所有可用并且滿足各項(xiàng)電氣約束的線路集合。從式（10）可看出線路權(quán)重的大小可反映線路的過(guò)電壓水平。

假設(shè)機(jī)組i 恢復(fù)路徑中含有m 條線路，該路徑的權(quán)重除考慮每條線路的權(quán)重外，還需考慮整條路徑上的電壓轉(zhuǎn)換次數(shù)，因此機(jī)組恢復(fù)路徑的權(quán)重為

式中：n 為待恢復(fù)機(jī)組數(shù)目；k3為該路徑中電壓轉(zhuǎn)換次數(shù)對(duì)路徑權(quán)重的影響系數(shù)，路徑中電壓轉(zhuǎn)換次數(shù)越多，則該路徑成功恢復(fù)的概率就越小，k3取值就越小。

機(jī)組帶空載長(zhǎng)線路時(shí)極易發(fā)生自勵(lì)磁，是影響機(jī)組成功恢復(fù)的重要因素。自勵(lì)磁裕度定義為

式中：Se為發(fā)電機(jī)容量；K 為發(fā)電機(jī)短路比；Qc，Σ為機(jī)組恢復(fù)路徑中所有線路充電時(shí)發(fā)出的無(wú)功之和［17］。

綜上分析機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率定義為

式中：Si為機(jī)組i 恢復(fù)路徑的恢復(fù)操作成功率；λ1為比例系數(shù)。

由于恢復(fù)過(guò)程中諸多不確定性因素的影響，仿真時(shí)滿足安全約束的線路實(shí)際合閘充電時(shí)仍存在失敗風(fēng)險(xiǎn)。而式（13）綜合考慮了影響線路合閘操作成功的主要因素，包括機(jī)組恢復(fù)路徑中所有線路的電壓等級(jí)、線路BX 大小、電壓轉(zhuǎn)換次數(shù)、機(jī)組恢復(fù)時(shí)系統(tǒng)發(fā)電容量以及自勵(lì)磁裕度，可表征待恢復(fù)機(jī)組選擇不同恢復(fù)路徑成功恢復(fù)的可能性大小。優(yōu)化機(jī)組恢復(fù)次序時(shí)，考慮機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率可減小線路投運(yùn)失敗的風(fēng)險(xiǎn)，提高恢復(fù)方案的可行性。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

以機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率盡量高和恢復(fù)過(guò)程中機(jī)組發(fā)電量盡量大為優(yōu)化目標(biāo)，該優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為

式中：λ 為比例系數(shù)，為提高恢復(fù)路徑操作成功率在目標(biāo)函數(shù)中的比重，一般取值大；n 為待恢復(fù)機(jī)組數(shù)目；T 為恢復(fù)控制總時(shí)間；Pj（t）為機(jī)組出力函數(shù)，如圖2 所示。圖2 中，PMj為機(jī)組j 最大出力；KPj為機(jī)組j 最大爬坡速率；tj1是機(jī)組j 的啟動(dòng)時(shí)刻；tj2是機(jī)組j并網(wǎng)開(kāi)始向外輸出功率時(shí)刻；tj3是機(jī)組j 達(dá)到最大出力時(shí)刻。

圖2 機(jī)組出力函數(shù)

約束條件包括：

1）時(shí)間約束

式中：Tj為機(jī)組j 從零時(shí)刻至獲得啟動(dòng)電源的時(shí)間間隔；Tjmax則為該機(jī)組考慮了裕量的機(jī)組熱啟動(dòng)時(shí)限，如不滿足機(jī)組熱啟動(dòng)時(shí)間約束，則該機(jī)組需要延遲一段時(shí)間后進(jìn)行冷啟動(dòng)。

2）啟動(dòng)功率約束

式（16）表示當(dāng)前時(shí)刻t0可用于機(jī)組啟動(dòng)的系統(tǒng)總功率ΣPG（t0）要大于當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)所消耗的總功率ΣPcr（t0），如果不滿足式（16）的約束，需要等待一段時(shí)間，再次進(jìn)行判斷。

3）潮流和節(jié)點(diǎn)電壓約束

式中：nsn為機(jī)組恢復(fù)路徑中包含的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；Pi為線路i 上流過(guò)的有功潮流值；Pimax為線路i 的最大允許功率；Ui為節(jié)點(diǎn)電壓。

2 優(yōu)化模型求解

從搭建的模型可以看出，考慮路徑操作成功率的機(jī)組恢復(fù)順序優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)多變量、非線性、多約束的優(yōu)化組合問(wèn)題，用常規(guī)方法難以求解。本文提出采用改進(jìn)PSO 算法［16］求解，并引入交叉因子加快收斂速度，其中計(jì)算機(jī)組恢復(fù)路徑操作成功率時(shí)，機(jī)組恢復(fù)路徑搜索采用Dijkstra 算法。

2.1 Dijkstra 算法

當(dāng)系統(tǒng)中存在多個(gè)黑啟動(dòng)電源時(shí)，在各個(gè)黑啟動(dòng)電源之間假想一條綜合權(quán)值很小的線路，形成一個(gè)虛擬的電源點(diǎn)［18-19］。

將一個(gè)極小的值賦予已經(jīng)恢復(fù)發(fā)線路綜合權(quán)值，能夠加速算法搜索［18-19］。

2.2 引入交叉因子的改進(jìn)PSO 算法

在求解連續(xù)非線性優(yōu)化模型上標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法取得了很大的成功，而本文搭建的機(jī)組恢復(fù)順序優(yōu)化模型本質(zhì)上是離散優(yōu)化類問(wèn)題，無(wú)法直接使用標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法。本文采用文獻(xiàn)［11］提出的改進(jìn)PSO 算法來(lái)求解該優(yōu)化問(wèn)題，并引入遺傳算法中的交叉因子類進(jìn)一步提高算法的收斂速度。

如何實(shí)現(xiàn)粒子和機(jī)組恢復(fù)順序之間的映射，是改進(jìn)PSO 算法的關(guān)鍵。為將離散的機(jī)組恢復(fù)順序與連續(xù)的粒子位置迭代進(jìn)化對(duì)應(yīng)起來(lái)，可將粒子進(jìn)行如下編碼與解碼。假設(shè)有5 臺(tái)待恢復(fù)機(jī)組，則粒子設(shè)計(jì)為5 維，每一維用（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行編碼，對(duì)粒子進(jìn)行升序排列，得到每維在本粒子中升序排列的序號(hào)。用粒子升序排列的序號(hào)1、2、3、4 和5 來(lái)一一對(duì)應(yīng)5 臺(tái)待恢復(fù)機(jī)組，解碼時(shí)根據(jù)粒子對(duì)應(yīng)關(guān)系可輕松獲取具體的機(jī)組恢復(fù)順序［20］，如圖3所示。

圖3 粒子的編碼與解碼

為增加粒子多樣性以避免算法陷入局部收斂和加快算法收斂速度，在改進(jìn)PSO 算法中引入遺傳算法中的交叉操作。本文采用的交叉方法為：選出兩個(gè)待交叉的粒子o1和o2，將o2中除第一維以外的任一維交叉到倒數(shù)第二維為作為交叉區(qū)域c，刪除和中出現(xiàn)在c 中的數(shù)字，并將o1的前面和o2的后面加入c，如果此時(shí)維數(shù)超過(guò)了5，則只保留前面的5 維。如o1=｛0.12 0.21 0.34 0.56 0.79｝，o2=｛0.34 0.39 0.42 0.91 0.56｝，隨機(jī)選取交叉區(qū)域?yàn)閏=｛0.39 0.42 0.91｝，交叉后o1=｛0.39 0.42 0.91 0.12 0.21｝，o2=｛0.34 0.56 0.39 0.42 0.91｝。

為評(píng)價(jià)不同粒子的優(yōu)劣，根據(jù)式（14）所示目標(biāo)函數(shù)，定義粒子的適應(yīng)值函數(shù)為

根據(jù)粒子解碼得到相應(yīng)的機(jī)組恢復(fù)順序，機(jī)組的恢復(fù)路徑使用Dijkstra 算法搜索，并進(jìn)行各項(xiàng)約束校驗(yàn)，如果滿足約束，則按照式（18）計(jì)算粒子適應(yīng)值；如不滿足則舍棄該粒子，并產(chǎn)生一個(gè)新的粒子，再次進(jìn)行校驗(yàn)。由優(yōu)化模型可知較大的適應(yīng)值對(duì)應(yīng)較優(yōu)的粒子。

3 算例分析

利用Matlab 編制了機(jī)組恢復(fù)次序的解模程序，并以IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和山東電網(wǎng)區(qū)域系統(tǒng)為例進(jìn)行了優(yōu)化求解。

3.1 IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例

由6 臺(tái)發(fā)電機(jī)以及41 條線路組成IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［17］算例，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4 所示。線路的恢復(fù)操作時(shí)間標(biāo)注為圖中線路的權(quán)重值，為了驗(yàn)證模型的有效性，設(shè)定27 節(jié)點(diǎn)機(jī)組的熱啟動(dòng)時(shí)間為10 min，如果不能進(jìn)行熱啟動(dòng)則需要等待1 h 后進(jìn)行冷啟動(dòng)，其余機(jī)組熱啟動(dòng)時(shí)間均設(shè)定為30 min。取粒子數(shù)np=10，最大迭代次數(shù)nmax=50。設(shè)圖4 中的黑啟動(dòng)電源為節(jié)點(diǎn)1 的機(jī)組，那對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)2、13、22、23、27 為待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)。

圖4 IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

改進(jìn)PSO 算法中引入交叉因子和不引入時(shí)分別進(jìn)行了50 次仿真計(jì)算，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，引入交叉因子時(shí)平均收斂代數(shù)為15 次，而不引入交叉因子時(shí)平均收斂代數(shù)為23 次?？煽闯龈倪M(jìn)PSO 算法在引入交叉因子后，平均收斂代數(shù)降低，可更快地收斂到最優(yōu)解。

表1 機(jī)組恢復(fù)優(yōu)化次序

表1 給出了不考慮恢復(fù)路徑操作成功率和考慮時(shí)的機(jī)組最優(yōu)恢復(fù)次序，分別由方案Ⅰ和Ⅱ代表。由于節(jié)點(diǎn)2 機(jī)組爬坡速率高，機(jī)組容量大，首先恢復(fù)可保證恢復(fù)過(guò)程中機(jī)組出力盡可能大，且距離黑啟動(dòng)電源節(jié)點(diǎn)1 機(jī)組距離近，線路1-2 合閘充電時(shí)成功率高，因此在2 種方案中都首先進(jìn)行恢復(fù)；節(jié)點(diǎn)27機(jī)組的熱啟動(dòng)時(shí)間較小，滿足其時(shí)間限制的路徑無(wú)法找到，只能等待1 h 后進(jìn)行冷啟動(dòng)，2 種方案中都最后進(jìn)行恢復(fù)。在搜索機(jī)組恢復(fù)路徑時(shí)，如2.1 節(jié)所述，已恢復(fù)線路綜合權(quán)值設(shè)為極小值，搜索后續(xù)機(jī)組恢復(fù)路徑時(shí)充分利用已恢復(fù)線路避免投入過(guò)多線路，提高后續(xù)路徑的操作成功率。從表1 中相應(yīng)的恢復(fù)路徑一列可看出，按照機(jī)組恢復(fù)順序，路徑中線路依次投入，后續(xù)機(jī)組的恢復(fù)路徑充分利用了已恢復(fù)線路。

對(duì)比表1 中2 種方案的恢復(fù)路徑可以發(fā)現(xiàn)，不考慮線路投入順序時(shí)，2 種方案的恢復(fù)路徑中各有3條線路不同，方案Ⅰ中為線路2—6、線路22—24、線路24—23；方案Ⅱ中為線路2—4、線路12—15、線路15—23。表2 給出了使用PSCAD／EMTDC 等軟件仿真2 種方案中上述6 條線路在230 kV 電壓等級(jí)下合閘充電的電磁暫態(tài)過(guò)程，并分別計(jì)算出2 種方案中3 條線路合閘充電時(shí)工頻過(guò)電壓倍數(shù)和、操作過(guò)電壓倍數(shù)和以及發(fā)出的無(wú)功功率和?？煽闯龇桨涪蛑? 條線路比方案Ⅰ中的具有較低的工頻過(guò)電壓倍數(shù)、較低的操作過(guò)電壓倍數(shù)且充電時(shí)發(fā)出的無(wú)功功率較少，在實(shí)際合閘充電時(shí)方案Ⅱ中的線路會(huì)具有較高的成功率。表1 中的操作成功率一列為使用本文所提恢復(fù)路徑操作成功率概念計(jì)算的2 種方案中恢復(fù)路徑的操作成功率，可看出方案Ⅱ的路徑具有較高的成功率，與表2 仿真結(jié)果相一致，表明本文提出的恢復(fù)路徑操作成功率的概念可表征不同路徑中線路合閘充電時(shí)操作成功率的大小。方案Ⅱ在優(yōu)化過(guò)程中考慮了恢復(fù)路徑的操作成功率，線路合閘操作時(shí)會(huì)具有較高成功率，因此方案Ⅱ較方案Ⅰ具有較高的可行性。

表2 線路仿真計(jì)算結(jié)果

3.2 山東電網(wǎng)算例

山東電網(wǎng)有172 個(gè)廠站（220 kV 以上節(jié)點(diǎn)），396條線路，15 座發(fā)電廠（每個(gè)區(qū)域子系統(tǒng)選一座）。假設(shè)某故障下山東電網(wǎng)僅有一個(gè)可用黑啟動(dòng)電源即泰安抽水蓄能電站，待恢復(fù)機(jī)組節(jié)點(diǎn)選為黃臺(tái)電廠、聊城電廠、德州電廠、勝利電廠、煙臺(tái)電廠、辛店電廠、濰坊電廠、鄒縣電廠、臨沂電廠、日照電廠、青島電廠。部分計(jì)算結(jié)果如表3 所示。

表3 山東電網(wǎng)最優(yōu)機(jī)組恢復(fù)次序

優(yōu)化后的大停電后機(jī)組恢復(fù)的最優(yōu)次序如圖5所示。從結(jié)果可以看出由于考慮了恢復(fù)路徑操作成功率，機(jī)組恢復(fù)次序大致為從左向右，優(yōu)先恢復(fù)距離黑啟動(dòng)電源點(diǎn)近的機(jī)組以保證具有較高的成功率；而操作成功率相差不大的機(jī)組的啟動(dòng)順序則主要由機(jī)組最大出力原則決定，優(yōu)先恢復(fù)能夠較快啟動(dòng)機(jī)組，盡快為系統(tǒng)恢復(fù)提供功率保證。

圖5 山東電網(wǎng)機(jī)組恢復(fù)次序

4 結(jié)語(yǔ)

定義了一種新的線路權(quán)重，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合自勵(lì)磁裕度提出了機(jī)組恢復(fù)路徑操作成功率的概念，用來(lái)表示機(jī)組恢復(fù)路徑中的線路合閘充電時(shí)的成功概率。建立了以機(jī)組恢復(fù)路徑的操作成功率盡量高與恢復(fù)過(guò)程中機(jī)組發(fā)電量盡可能大為目標(biāo)的優(yōu)化模型。將遺傳算法中的交叉操作引入改進(jìn)的PSO 算法中，并結(jié)合Dijkstra 算法對(duì)大停電后系統(tǒng)的機(jī)組恢復(fù)次序進(jìn)行了組合優(yōu)化。以IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和山東電網(wǎng)部分區(qū)域系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，優(yōu)化結(jié)果表明了考慮機(jī)組恢復(fù)路徑操作成功率時(shí)形成的恢復(fù)方案具有更高的可實(shí)施性，為實(shí)際機(jī)組恢復(fù)過(guò)程中方案的有效制定提供了一種新的方法與思路。