袁海軍， 趙志剛

(蘭州交通大學 機電工程學院, 蘭州 730070)

高速鐵路作為一種節(jié)能、環(huán)保、高效的復雜運輸系統(tǒng)，近年來得到廣泛的重視和蓬勃的發(fā)展，隨著列車運行速度不斷提高，輪軌間動力、弓網(wǎng)受流波動加劇和空氣阻力增強使得高速列車控制系統(tǒng)面臨很多不確定性因素和較大的挑戰(zhàn)，人們對高速列車的運行性能和安全性提出了更高的要求。因此對于高速列車的有效建模、優(yōu)化、控制的研究是保障其安全、穩(wěn)定運行的基礎。

針對高速列車建模、控制問題，國內(nèi)外學者做了大量的研究。其中，建立適合于列車動態(tài)特性的模型是對列車進行控制、設計的前提和關鍵。文獻[1]建立了包含每節(jié)車廂的相互作用、暫態(tài)影響等因素的多質點單坐標的高速動車組模型。文獻[2]考慮了牽引制動等級、各節(jié)車廂之間的相互作用力等因素，建立了高速列車多質點模型。文獻[3]將多節(jié)車廂組成的列車視為一個整體，建立了列車的離散時間運動模型。文獻[4]針對高速列車的多質點模型計算量過大的問題，建立了一種計算量適中的單位移多質點模型。

而高速列車是一個具有不確定性、非線性和大滯后性等特點的復雜系統(tǒng)，使得有些變量不能在線直接測量或者測量得到的數(shù)據(jù)量少而噪聲大，故需要研究如何根據(jù)少量有效噪聲數(shù)據(jù)辨識得到高速列車特征模型參數(shù)，進而建立它的特征模型。例如，目前常規(guī)的高速列車動力學建模過程中，許多假設的參數(shù)是先驗已知的，但是這些參數(shù)難以精確獲得。而高速列車是一個復雜高階對象，例如列車的質量由于乘客在不同的車站上下車或者所運貨物在不同的貨運站裝卸可能會發(fā)生變化，這就導致許多參數(shù)發(fā)生了變化，因此為了滿足控制性能要求，迫切需要我們找到高速列車控制設計的另一種建模方法。

基于特征模型的建?？刂品椒╗5-9]由吳宏鑫先生首次提出，引起了公眾的廣泛關注，此后被應用于許多工程實踐系統(tǒng)。特征建模方法可以處理精確模型難以獲得情況，這種性質確?；谔卣髂Ｐ偷姆椒ň哂薪鉀Q高速列車控制設計中許多參數(shù)的不確定性，操作環(huán)境的不確定性和不可預測性等問題。所謂特征建模，就是結合對象動力學特征、環(huán)境特征和控制性能要求進行的建模，而不是僅以對象精確動力學分析建模。特征模型的形式比原動力學方程簡單，控制中容易實現(xiàn)。在同樣的輸入條件下，高速列車特征模型跟原動力學模型在輸出上是等價的。而高速列車是一個高階復雜對象，特征模型可以將高階模型的有關信息壓縮到幾個特征參量中，并不丟失原來的信息，一般情況下，特征模型用慢時變差分方程來表示。

對于高速列車這種不確定性大型復雜對象的控制，控制過程不允許在線反復調(diào)試，必須要一次成功，或最多可調(diào)一兩次即能達到希望結果，這樣很難用傳統(tǒng)的PID控制和自適應控制來解決。而且人為的干擾中斷、起停是常事，系統(tǒng)常處于過渡階段，而這種過渡過程的控制是現(xiàn)有的自適應控制、魯棒控制和目前的智能控制都感到難辦到的事情，然而這也是高速列車控制中不可回避的事實，必須研究這種混雜狀態(tài)的控制問題。

基于以上分析，文中首先介紹了高速列車的基本動力學模型以及系統(tǒng)設計的控制目標。其次，通過特征建模方法建立了列車特征模型，通過梯度矯正參數(shù)辨識方法對模型時變參數(shù)進行辨識優(yōu)化，通過辨識得到的估計值和模型值的對比來驗證模型參數(shù)對模型精確度的影響。最后，設計了最優(yōu)控制器和最優(yōu)PID控制器，通過速度和位置誤差跟蹤仿真結果來驗證控制器的有效性，結果表明所提出的控制方法對特征建模是有效的。

1 高速列車動力學模型

1.1 一般動力學模型

一般來說，高速列車整體動力學模型可以用式(1)～式(4)來描述：

(1)

和M=(1+γ)m

(2)

其中M是列車有效牽引質量，包括列車質量m。γ表示列車回轉質量系數(shù)，一般取0.06。

Fμ(t)=λ·Ft(t)+(1-λ)·Fb(t)

(3)

λ表示邏輯開關常數(shù)，λ=0或1，確保牽引力Ft(t)和制動力Fb(t)不在同一時間內(nèi)工作。

Fr(t)=mg·(a+bv(t)+cv2(t))

(4)

方程式(4)表示基本阻力，由于列車型號的不同,a、b、c相應的值也不同，一般都是經(jīng)驗所得，考慮到建模和控制器設計的難題，將式(4)采用最小二乘法進行曲線擬合，線性化處理得到：

(5)

圖1 基本阻力的最小二乘估計

如圖1所示，隨著速度的增大，基本阻力相應的也增大，通過選擇25個采樣點，估計得到式(5)的估計值k和b的值。

(6)

大多數(shù)現(xiàn)有控制方法中使用力作為列車控制系統(tǒng)輸入,然而這種力不能在列車運行過程中進行直接調(diào)整和控制。根據(jù)牽引電動機電壓和電樞電流與力的關系，由非線性動力學Fu(t)=ψ(Ua(t)，Ia(t))關系可得 ，在列車控制中可以將 作為控制的輸入。

列車模型可以用如下動力學方程來表示：

(7)

(8)

Fμ(t)=φCTφIa(t)

(9)

(10)

其中φ=2μcη/D，n(t)=1 000μcv(t)/(60πD)，式(9)表示牽引力與電流的關系，T=CTφIa(t)表示牽引電動機轉矩，式(10)表示牽引電動機電壓平衡方程。

通過聯(lián)立式(5)～式(10)可以得到牽引電機電流方程，如式(11)所示：

(11)

對式(11)進行求導得到式(12)：

(12)

整理得：

(13)

因此，列車整體動力學模型可以用式(13)來表示。進一步可以將式(13)表示為：

(14)

其中

通過將式(14)進行拉氏變換得到：

(15)

式(15)為列車單質點動力學模型的傳遞函數(shù)。

各個公式參數(shù)的說明見表1。

表1 公式參數(shù)說明

1.2 列車控制器設計的目標

1.3 高速列車特征模型

由1.1高速列車單質點一般動力學模型,在滿足一定采樣周期Δt(Δt可以保證輸出誤差在允許范圍之內(nèi))的條件下,當要實現(xiàn)速度保持或者速度跟蹤控制時,其特征模型可用一個二階時變差分方程形式來描述:

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+

β0μa(k-1)+β1μa(k-2)

(16)

對于最小相位系統(tǒng),根據(jù)全系數(shù)自適應控制理論[7],工程上一般取β1=0,因此高速列車特征模型可以用式(17)的差分方程來表示:

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+β0μa(k-1)

(17)

其中v(k)表示誤差輸出；μa(k)表示控制量的輸入；α1、α2、β0為慢時變系數(shù)。動態(tài)過程中,在同樣輸入 情況下,特征模型的輸出和實際對象輸出是等價的,慢時變系數(shù)在式(18)范圍內(nèi)變動：

(18)

2 特征模型參數(shù)辨識

2.1 梯度校正參數(shù)辨識

高速列車特征模型可以寫成式(19)參數(shù)估計方程式：

(19)

其中

φ(k-1)=[v(k-1)v(k-2)μa(k-1)]T

參數(shù)估計式采用式(20)梯度算法:

(20)

2.2 特征模型參數(shù)辨識仿真說明

所用到的參數(shù)如表2所示：

表2 主要參數(shù)值

(21)

圖2 參數(shù)α、β的估計結果

由圖2可以看出，采用梯度矯正法對特征模型時變系數(shù)進行辨識，得到的各個參數(shù)辨識結果與模型值基本接近，說明梯度矯正法對模型參數(shù)的辨識結果是準確的。

表3 參數(shù)α、β的模型值與估計值比較

表3為梯度矯正辨識方法得到的模型值與估計值的比較，模型值通過全系數(shù)自適應[7]控制理論方法得到，可以看出模型參數(shù)值與實際值之間的誤差很小。

3 高速列車二階系統(tǒng)最優(yōu)化PID控制器設計

設控制對象為二階線性定常系統(tǒng)：

(22)

將連續(xù)系統(tǒng)離散化：

v(k)=α1v(k-1)+α1v(k-2)+β0ua(k-1)

(23)

將系統(tǒng)化為狀態(tài)空間模型：

(24)

其中

X(k)=[x1(k)x2(k)]

x1(k)=v(k),x2(k)=x1(k+1)-β0ua(k)

定義新變量：

將狀態(tài)方程增廣為：

AX(k)+Bua(k)

(25)

其中：

離散系統(tǒng)無窮時間二次型最優(yōu)控制方法設計控制器，取得最優(yōu)性能指標為:

(26)

其中Q為非負定對稱陣，R為正數(shù)，若[AB]是完全能控的，則可找到最優(yōu)控制律：

ua(k)=-LX(k)=-[l1l2l3]X(k)=

-[l1z(k)+l2x1(k)+l3x2(k)]=

(27)

當vr=0，e(k)=vr-v(k)=-v(k)，Δe(k)=-(v(k+1)-v(k))時，最優(yōu)控制律可以寫為：

(28)

由于離散形式的PID控制器為：

(29)

則有：

4 仿真與結果分析

首先將式(14)代入數(shù)據(jù)離散化得到差分方程為:

v(k)=1.753v(k-1)-0.755 3v(k-2)+

0.000 152 8μa(k)+0.000 139 2μa(k-1)

(30)

因為傳遞函數(shù)為最小相位系統(tǒng)，則特征模型形式為：

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+β0μa(k-1)

(31)

由辨識方法得出α1、α2、β0分別選為1.6、-0.8、0.9,得到它的特征模型為：

v(k)=1.6v(k-1)-0.8v(k-2)+0.9μa(k-1)

(32)

擴展狀態(tài)矩陣為：

仿真周期為10 s,控制限幅為30,控制的輸出速度和位置誤差目標值為0，通過優(yōu)化PID控制器得到：

kp=4.802 5×10-4,

kI=1.000 3×10-6,

kD=8.034 8×10-4

通過Matlab仿真，得到最優(yōu)控制器下和通過最優(yōu)控制器優(yōu)化PID參數(shù)得到的PID控制器下的速度跟蹤誤差曲線和位置跟蹤誤差曲線：

圖3為最優(yōu)控制器得到的速度和位置誤差跟蹤曲線，由圖可以看出起始階段速度隨著時間的變化，震蕩比較劇烈，但經(jīng)過一段時間以后，速度和位置誤差都趨于穩(wěn)態(tài)值，收斂到零，跟蹤效果取得了令人比較滿意的結果。圖4為PID控制器得到的速度和位置誤差跟蹤曲線，由圖可以看出，起始階段速度隨著列車運行時間的變化也發(fā)生了較小的震蕩，最終也趨于穩(wěn)態(tài)值。不過從圖3和圖4可以明顯的看出，最優(yōu)PID控制器得到的速度和位移誤差相比于最優(yōu)控制器小很多,都保持在±1 m/s和±1 m范圍之內(nèi)，滿足系統(tǒng)控制性能的要求。

圖3 最優(yōu)控制器誤差跟蹤曲線

圖4 最優(yōu)PID控制器誤差跟蹤曲線

仿真結果表明：最優(yōu)PID控制器的控制效果更加良好，滿足實際需求，也說明了特征建模和最優(yōu)PID控制在列車速度和位移跟蹤控制中的有效性。

通過仿真得到兩種控制器下速度和位置誤差的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間3項值如表4所示。

表4 最優(yōu)控制器性能指標

表5 最優(yōu)PID控制器性能指標

從表4和表5可以明顯的看出，最優(yōu)PID控制器作用下各項性能指標都比較良好，由此說明了最優(yōu)PID控制器對列車速度和位置跟蹤的有效性。

5 結 論

將基于特征模型的最優(yōu)PID控制方法引入列車控制系統(tǒng)。(1)分析一般情況下列車的動力學模型，通過選擇合適的采樣時間建立高速列車速度特征模型；(2)并采用梯度矯正參數(shù)辨識算法對特征模型參數(shù)辨識，通過辨識得到的估計值和模型值對比來驗證模型參數(shù)對模型精確度的影響；(3)設計最優(yōu)控制器和最優(yōu)PID控制器對列車速度和位置進行誤差跟蹤控制，通過兩種控制方法仿真結果的對比，說明最優(yōu)PID控制器控制效果更加良好，滿足系統(tǒng)控制性能的各項要求。