袁海軍， 趙志剛

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 蘭州 730070)

高速鐵路作為一種節(jié)能、環(huán)保、高效的復(fù)雜運(yùn)輸系統(tǒng)，近年來得到廣泛的重視和蓬勃的發(fā)展，隨著列車運(yùn)行速度不斷提高，輪軌間動(dòng)力、弓網(wǎng)受流波動(dòng)加劇和空氣阻力增強(qiáng)使得高速列車控制系統(tǒng)面臨很多不確定性因素和較大的挑戰(zhàn)，人們對(duì)高速列車的運(yùn)行性能和安全性提出了更高的要求。因此對(duì)于高速列車的有效建模、優(yōu)化、控制的研究是保障其安全、穩(wěn)定運(yùn)行的基礎(chǔ)。

針對(duì)高速列車建模、控制問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。其中，建立適合于列車動(dòng)態(tài)特性的模型是對(duì)列車進(jìn)行控制、設(shè)計(jì)的前提和關(guān)鍵。文獻(xiàn)[1]建立了包含每節(jié)車廂的相互作用、暫態(tài)影響等因素的多質(zhì)點(diǎn)單坐標(biāo)的高速動(dòng)車組模型。文獻(xiàn)[2]考慮了牽引制動(dòng)等級(jí)、各節(jié)車廂之間的相互作用力等因素，建立了高速列車多質(zhì)點(diǎn)模型。文獻(xiàn)[3]將多節(jié)車廂組成的列車視為一個(gè)整體，建立了列車的離散時(shí)間運(yùn)動(dòng)模型。文獻(xiàn)[4]針對(duì)高速列車的多質(zhì)點(diǎn)模型計(jì)算量過大的問題，建立了一種計(jì)算量適中的單位移多質(zhì)點(diǎn)模型。

而高速列車是一個(gè)具有不確定性、非線性和大滯后性等特點(diǎn)的復(fù)雜系統(tǒng)，使得有些變量不能在線直接測(cè)量或者測(cè)量得到的數(shù)據(jù)量少而噪聲大，故需要研究如何根據(jù)少量有效噪聲數(shù)據(jù)辨識(shí)得到高速列車特征模型參數(shù)，進(jìn)而建立它的特征模型。例如，目前常規(guī)的高速列車動(dòng)力學(xué)建模過程中，許多假設(shè)的參數(shù)是先驗(yàn)已知的，但是這些參數(shù)難以精確獲得。而高速列車是一個(gè)復(fù)雜高階對(duì)象，例如列車的質(zhì)量由于乘客在不同的車站上下車或者所運(yùn)貨物在不同的貨運(yùn)站裝卸可能會(huì)發(fā)生變化，這就導(dǎo)致許多參數(shù)發(fā)生了變化，因此為了滿足控制性能要求，迫切需要我們找到高速列車控制設(shè)計(jì)的另一種建模方法。

基于特征模型的建?？刂品椒╗5-9]由吳宏鑫先生首次提出，引起了公眾的廣泛關(guān)注，此后被應(yīng)用于許多工程實(shí)踐系統(tǒng)。特征建模方法可以處理精確模型難以獲得情況，這種性質(zhì)確?；谔卣髂Ｐ偷姆椒ň哂薪鉀Q高速列車控制設(shè)計(jì)中許多參數(shù)的不確定性，操作環(huán)境的不確定性和不可預(yù)測(cè)性等問題。所謂特征建模，就是結(jié)合對(duì)象動(dòng)力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求進(jìn)行的建模，而不是僅以對(duì)象精確動(dòng)力學(xué)分析建模。特征模型的形式比原動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)單，控制中容易實(shí)現(xiàn)。在同樣的輸入條件下，高速列車特征模型跟原動(dòng)力學(xué)模型在輸出上是等價(jià)的。而高速列車是一個(gè)高階復(fù)雜對(duì)象，特征模型可以將高階模型的有關(guān)信息壓縮到幾個(gè)特征參量中，并不丟失原來的信息，一般情況下，特征模型用慢時(shí)變差分方程來表示。

對(duì)于高速列車這種不確定性大型復(fù)雜對(duì)象的控制，控制過程不允許在線反復(fù)調(diào)試，必須要一次成功，或最多可調(diào)一兩次即能達(dá)到希望結(jié)果，這樣很難用傳統(tǒng)的PID控制和自適應(yīng)控制來解決。而且人為的干擾中斷、起停是常事，系統(tǒng)常處于過渡階段，而這種過渡過程的控制是現(xiàn)有的自適應(yīng)控制、魯棒控制和目前的智能控制都感到難辦到的事情，然而這也是高速列車控制中不可回避的事實(shí)，必須研究這種混雜狀態(tài)的控制問題。

基于以上分析，文中首先介紹了高速列車的基本動(dòng)力學(xué)模型以及系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制目標(biāo)。其次，通過特征建模方法建立了列車特征模型，通過梯度矯正參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)模型時(shí)變參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)優(yōu)化，通過辨識(shí)得到的估計(jì)值和模型值的對(duì)比來驗(yàn)證模型參數(shù)對(duì)模型精確度的影響。最后，設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制器和最優(yōu)PID控制器，通過速度和位置誤差跟蹤仿真結(jié)果來驗(yàn)證控制器的有效性，結(jié)果表明所提出的控制方法對(duì)特征建模是有效的。

1 高速列車動(dòng)力學(xué)模型

1.1 一般動(dòng)力學(xué)模型

一般來說，高速列車整體動(dòng)力學(xué)模型可以用式(1)～式(4)來描述：

(1)

和M=(1+γ)m

(2)

其中M是列車有效牽引質(zhì)量，包括列車質(zhì)量m。γ表示列車回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)，一般取0.06。

Fμ(t)=λ·Ft(t)+(1-λ)·Fb(t)

(3)

λ表示邏輯開關(guān)常數(shù)，λ=0或1，確保牽引力Ft(t)和制動(dòng)力Fb(t)不在同一時(shí)間內(nèi)工作。

Fr(t)=mg·(a+bv(t)+cv2(t))

(4)

方程式(4)表示基本阻力，由于列車型號(hào)的不同,a、b、c相應(yīng)的值也不同，一般都是經(jīng)驗(yàn)所得，考慮到建模和控制器設(shè)計(jì)的難題，將式(4)采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，線性化處理得到：

(5)

圖1 基本阻力的最小二乘估計(jì)

如圖1所示，隨著速度的增大，基本阻力相應(yīng)的也增大，通過選擇25個(gè)采樣點(diǎn)，估計(jì)得到式(5)的估計(jì)值k和b的值。

(6)

大多數(shù)現(xiàn)有控制方法中使用力作為列車控制系統(tǒng)輸入,然而這種力不能在列車運(yùn)行過程中進(jìn)行直接調(diào)整和控制。根據(jù)牽引電動(dòng)機(jī)電壓和電樞電流與力的關(guān)系，由非線性動(dòng)力學(xué)Fu(t)=ψ(Ua(t)，Ia(t))關(guān)系可得 ，在列車控制中可以將 作為控制的輸入。

列車模型可以用如下動(dòng)力學(xué)方程來表示：

(7)

(8)

Fμ(t)=φCTφIa(t)

(9)

(10)

其中φ=2μcη/D，n(t)=1 000μcv(t)/(60πD)，式(9)表示牽引力與電流的關(guān)系，T=CTφIa(t)表示牽引電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，式(10)表示牽引電動(dòng)機(jī)電壓平衡方程。

通過聯(lián)立式(5)～式(10)可以得到牽引電機(jī)電流方程，如式(11)所示：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行求導(dǎo)得到式(12)：

(12)

整理得：

(13)

因此，列車整體動(dòng)力學(xué)模型可以用式(13)來表示。進(jìn)一步可以將式(13)表示為：

(14)

其中

通過將式(14)進(jìn)行拉氏變換得到：

(15)

式(15)為列車單質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型的傳遞函數(shù)。

各個(gè)公式參數(shù)的說明見表1。

表1 公式參數(shù)說明

1.2 列車控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)

1.3 高速列車特征模型

由1.1高速列車單質(zhì)點(diǎn)一般動(dòng)力學(xué)模型,在滿足一定采樣周期Δt(Δt可以保證輸出誤差在允許范圍之內(nèi))的條件下,當(dāng)要實(shí)現(xiàn)速度保持或者速度跟蹤控制時(shí),其特征模型可用一個(gè)二階時(shí)變差分方程形式來描述:

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+

β0μa(k-1)+β1μa(k-2)

(16)

對(duì)于最小相位系統(tǒng),根據(jù)全系數(shù)自適應(yīng)控制理論[7],工程上一般取β1=0,因此高速列車特征模型可以用式(17)的差分方程來表示:

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+β0μa(k-1)

(17)

其中v(k)表示誤差輸出；μa(k)表示控制量的輸入；α1、α2、β0為慢時(shí)變系數(shù)。動(dòng)態(tài)過程中,在同樣輸入 情況下,特征模型的輸出和實(shí)際對(duì)象輸出是等價(jià)的,慢時(shí)變系數(shù)在式(18)范圍內(nèi)變動(dòng)：

(18)

2 特征模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 梯度校正參數(shù)辨識(shí)

高速列車特征模型可以寫成式(19)參數(shù)估計(jì)方程式：

(19)

其中

φ(k-1)=[v(k-1)v(k-2)μa(k-1)]T

參數(shù)估計(jì)式采用式(20)梯度算法:

(20)

2.2 特征模型參數(shù)辨識(shí)仿真說明

所用到的參數(shù)如表2所示：

表2 主要參數(shù)值

(21)

圖2 參數(shù)α、β的估計(jì)結(jié)果

由圖2可以看出，采用梯度矯正法對(duì)特征模型時(shí)變系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，得到的各個(gè)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果與模型值基本接近，說明梯度矯正法對(duì)模型參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果是準(zhǔn)確的。

表3 參數(shù)α、β的模型值與估計(jì)值比較

表3為梯度矯正辨識(shí)方法得到的模型值與估計(jì)值的比較，模型值通過全系數(shù)自適應(yīng)[7]控制理論方法得到，可以看出模型參數(shù)值與實(shí)際值之間的誤差很小。

3 高速列車二階系統(tǒng)最優(yōu)化PID控制器設(shè)計(jì)

設(shè)控制對(duì)象為二階線性定常系統(tǒng)：

(22)

將連續(xù)系統(tǒng)離散化：

v(k)=α1v(k-1)+α1v(k-2)+β0ua(k-1)

(23)

將系統(tǒng)化為狀態(tài)空間模型：

(24)

其中

X(k)=[x1(k)x2(k)]

x1(k)=v(k),x2(k)=x1(k+1)-β0ua(k)

定義新變量：

將狀態(tài)方程增廣為：

AX(k)+Bua(k)

(25)

其中：

離散系統(tǒng)無窮時(shí)間二次型最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)控制器，取得最優(yōu)性能指標(biāo)為:

(26)

其中Q為非負(fù)定對(duì)稱陣，R為正數(shù)，若[AB]是完全能控的，則可找到最優(yōu)控制律：

ua(k)=-LX(k)=-[l1l2l3]X(k)=

-[l1z(k)+l2x1(k)+l3x2(k)]=

(27)

當(dāng)vr=0，e(k)=vr-v(k)=-v(k)，Δe(k)=-(v(k+1)-v(k))時(shí)，最優(yōu)控制律可以寫為：

(28)

由于離散形式的PID控制器為：

(29)

則有：

4 仿真與結(jié)果分析

首先將式(14)代入數(shù)據(jù)離散化得到差分方程為:

v(k)=1.753v(k-1)-0.755 3v(k-2)+

0.000 152 8μa(k)+0.000 139 2μa(k-1)

(30)

因?yàn)閭鬟f函數(shù)為最小相位系統(tǒng)，則特征模型形式為：

v(k)=α1v(k-1)+α2v(k-2)+β0μa(k-1)

(31)

由辨識(shí)方法得出α1、α2、β0分別選為1.6、-0.8、0.9,得到它的特征模型為：

v(k)=1.6v(k-1)-0.8v(k-2)+0.9μa(k-1)

(32)

擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)矩陣為：

仿真周期為10 s,控制限幅為30,控制的輸出速度和位置誤差目標(biāo)值為0，通過優(yōu)化PID控制器得到：

kp=4.802 5×10-4,

kI=1.000 3×10-6,

kD=8.034 8×10-4

通過Matlab仿真，得到最優(yōu)控制器下和通過最優(yōu)控制器優(yōu)化PID參數(shù)得到的PID控制器下的速度跟蹤誤差曲線和位置跟蹤誤差曲線：

圖3為最優(yōu)控制器得到的速度和位置誤差跟蹤曲線，由圖可以看出起始階段速度隨著時(shí)間的變化，震蕩比較劇烈，但經(jīng)過一段時(shí)間以后，速度和位置誤差都趨于穩(wěn)態(tài)值，收斂到零，跟蹤效果取得了令人比較滿意的結(jié)果。圖4為PID控制器得到的速度和位置誤差跟蹤曲線，由圖可以看出，起始階段速度隨著列車運(yùn)行時(shí)間的變化也發(fā)生了較小的震蕩，最終也趨于穩(wěn)態(tài)值。不過從圖3和圖4可以明顯的看出，最優(yōu)PID控制器得到的速度和位移誤差相比于最優(yōu)控制器小很多,都保持在±1 m/s和±1 m范圍之內(nèi)，滿足系統(tǒng)控制性能的要求。

圖3 最優(yōu)控制器誤差跟蹤曲線

圖4 最優(yōu)PID控制器誤差跟蹤曲線

仿真結(jié)果表明：最優(yōu)PID控制器的控制效果更加良好，滿足實(shí)際需求，也說明了特征建模和最優(yōu)PID控制在列車速度和位移跟蹤控制中的有效性。

通過仿真得到兩種控制器下速度和位置誤差的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間3項(xiàng)值如表4所示。

表4 最優(yōu)控制器性能指標(biāo)

表5 最優(yōu)PID控制器性能指標(biāo)

從表4和表5可以明顯的看出，最優(yōu)PID控制器作用下各項(xiàng)性能指標(biāo)都比較良好，由此說明了最優(yōu)PID控制器對(duì)列車速度和位置跟蹤的有效性。

5 結(jié) 論

將基于特征模型的最優(yōu)PID控制方法引入列車控制系統(tǒng)。(1)分析一般情況下列車的動(dòng)力學(xué)模型，通過選擇合適的采樣時(shí)間建立高速列車速度特征模型；(2)并采用梯度矯正參數(shù)辨識(shí)算法對(duì)特征模型參數(shù)辨識(shí)，通過辨識(shí)得到的估計(jì)值和模型值對(duì)比來驗(yàn)證模型參數(shù)對(duì)模型精確度的影響；(3)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器和最優(yōu)PID控制器對(duì)列車速度和位置進(jìn)行誤差跟蹤控制，通過兩種控制方法仿真結(jié)果的對(duì)比，說明最優(yōu)PID控制器控制效果更加良好，滿足系統(tǒng)控制性能的各項(xiàng)要求。