李錦昱

立體幾何中的交線(xiàn)與截面問(wèn)題是立體問(wèn)題平面化的思想方法的體現(xiàn)，也是空間想象能力與推理論證能力考查的抓手，但其難度大，思維靈活，讓很多同學(xué)倍感困惑.本專(zhuān)題從一道最新高考題入手，結(jié)合部分模擬題，剖析如何處理交線(xiàn)與截面問(wèn)題.

引例.（2020年新高考I卷（山東省使用）第16題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=■，以D1為球心，■為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)____.

解析：設(shè)B1C1的中點(diǎn)為O1，則D1O1⊥側(cè)面BCC1B1，且D1O1=■，側(cè)面BCC1B1內(nèi)以O(shè)1為圓心，■為半徑的圓弧與BB1，CC1的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，易知∠EO1F=■，則四分之一圓弧EF為球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)，其長(zhǎng)度為■？仔.

思考：D1在側(cè)面BCC1B1的射影為O1，則■的長(zhǎng)通過(guò)驛站O1，轉(zhuǎn)化為側(cè)面內(nèi)的圓弧EF，那么有對(duì)稱(chēng)性可知，球面與側(cè)面ABB1A1的交線(xiàn)長(zhǎng)是以A1B1的中點(diǎn)O2為圓心，■為半徑的四分之一圓弧;D1在底面ABCD的射影為D，則■的長(zhǎng)通過(guò)驛站D，轉(zhuǎn)化為底面內(nèi)的圓?。ò霃綖?，圓心角為■），球面與側(cè)面ADD1A1，CDD1C1的交線(xiàn)分別是一段圓弧. 即球面與直四棱柱表面的交線(xiàn)可以作出來(lái)，當(dāng)然其長(zhǎng)度也能求出來(lái).

溯源1（2020年日照二模）：已知正方體的棱長(zhǎng)均為2，以正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為球心，以2■為半徑作球面，則該球面被正方體表面所截得的所有的弧長(zhǎng)之和為_(kāi)______.

簡(jiǎn)解：以D1為球心，則該球面被正方體表面所截得的所有的弧分別是底面ABCD和側(cè)面ABB1A1， BCC1B1的以D， A1，C1為圓心（驛站），半徑為2的三段四分之一圓弧AC， AB1，B1C弧長(zhǎng)之和為3？仔.

溯源2（2020年青島三模、多選）：在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D中，棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的為（）

A. 若點(diǎn)P總滿(mǎn)足PA⊥BD，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線(xiàn)

B. 若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為■，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為2？仔的圓

C. 若點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓

D. 若點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離與到直線(xiàn)CC1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)

簡(jiǎn)解：對(duì)于選項(xiàng)A，由線(xiàn)面垂直（BD⊥對(duì)角面ACC1A1）易知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)CC1;對(duì)于選項(xiàng)B，以B為圓心（驛站），半徑為1的圓（以A為球心半徑為■的球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)）;對(duì)于選項(xiàng)C，線(xiàn)段BC上的點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不是橢圓;對(duì)于選項(xiàng)D，以BC，BB1分別為x， y軸建立直角坐標(biāo)系xBy，設(shè) P（x， y），則點(diǎn)P到AD， CC1的距離即x-1 =■，整理得（x-1）2-y2=1，其軌跡是雙曲線(xiàn). 故選ABD.

一、交線(xiàn)問(wèn)題

1. 線(xiàn)面平行得直線(xiàn)（線(xiàn)段）.

例1.（2020年廣州二模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是棱AB中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F是側(cè)面ACC1A1（包括邊界）上一點(diǎn)，若EF∥平面BCC1B1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是（）

A. 線(xiàn)段 B. 圓弧 C. 橢圓的一部分 D. 拋物線(xiàn)的一部分

分析：由線(xiàn)面平行聯(lián)想面面平行，設(shè)棱AC， A1C1的中點(diǎn)分別是M， N，則EM∥BC，MN∥CC1，平面EMN∥平面BCC1B1，故動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是線(xiàn)段MN，選A.

2. 球與平面的交線(xiàn).

下面的問(wèn)題從平面到空間都和形形色色的阿波羅尼圓有關(guān)的：

例2.（2020年合肥三模文科）點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△APD與△BCP的面積之比等于2，則點(diǎn)P的軌跡是（）

A. 圓的一部分

B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線(xiàn)的一部分

D. 拋物線(xiàn)的一部分

分析：由線(xiàn)面垂直聯(lián)想線(xiàn)線(xiàn)垂直，由AD⊥側(cè)面DCC1D1，BC⊥DCC1D1，則■=■=2，PD=2PC，在側(cè)面DCC1D1內(nèi)，DC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為P1，延長(zhǎng)DC到P2，使DC=CP2，則P的軌跡是圓（阿波羅尼圓），且直徑為P1P2，選A.

例3.（2020年合肥三模理科）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M為棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足△APD=△CPM，則點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCC1D1的交線(xiàn)長(zhǎng)等于（）

A. ■B. ？仔C. ■D. ■？仔

分析：由線(xiàn)面垂直聯(lián)想線(xiàn)線(xiàn)垂直，由AD⊥平面DCC1D1，BC⊥平面DCC1D1，則∠APD=∠CPM，■=1，■=2，PD=2PC，在側(cè)面DCC1D1內(nèi)，DC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為P1，延長(zhǎng)DC到P2，使DC=CP2，則P的軌跡是圓（阿波羅尼圓），且直徑P1P2=8，半徑為4，弧P1Q所對(duì)的圓心角為∠QOP1，交線(xiàn)長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為■，選A.

例4.（2020年濟(jì)南一模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)？姿（？姿>0且？姿≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線(xiàn)AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿波羅尼圓.

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，點(diǎn)E在棱AB上，BE=2AE，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足BP=■PE. 若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿波羅尼圓的半徑為_(kāi)____;

若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱C1D1的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐M-B1CF的體積的最小值為_(kāi)__________.（本小題第一空2分，第二空3分）

解析：在底面ABCD內(nèi)，在線(xiàn)段BE（長(zhǎng)為4）上，由BP1=■P1E解得EP1=2■-2;在BE線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，由BP2=■P2E解得EP2=2■+2，則P的軌跡是圓（阿波羅尼圓），且直徑P1P2=4■，半徑為2■，圓心恰好為頂點(diǎn)A.

若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P所形成的軌跡是以頂點(diǎn)A為球心，半徑為2■的球面（被長(zhǎng)方體所截的部分，可以理解為底面內(nèi)的阿波羅尼圓繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉幾何體）. F為棱C1D1的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐M-B1CF的體積的VM-B■CF =■VP-B■CF，體積最小值只需點(diǎn)P到底面B1CF（面積為定值■）的距離hP最小，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到底面B1CF的距離hA減去球的半徑2■，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則點(diǎn)N到底面B1CF的距離hN滿(mǎn)足hA=2hN，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知點(diǎn)C1到底面B1CF的距離hC■滿(mǎn)足hN =2hC■，且hC■=■，故hA=4hC■=4■，hP≥hA-R=2■，VM-B■CF =■VP-B■CF≥■×■×2■=■. 故填2■，■.

點(diǎn)評(píng)：本題能夠從平面到空間類(lèi)比，得到點(diǎn)P的軌跡是球面（不妨稱(chēng)為阿波羅尼球）十分關(guān)鍵，且高（距離）從點(diǎn)M→點(diǎn)P再→點(diǎn)A直至→點(diǎn)N到平面B1CF的距離的一系列轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.（當(dāng)然，此題思維含量過(guò)高，推理復(fù)雜實(shí)為白璧微瑕）

二、截面問(wèn)題

截面問(wèn)題需要熟記三個(gè)公理和八個(gè)定理（線(xiàn)面平行和垂直的判定與性質(zhì)定理、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)定理），并且有應(yīng)用這些公理和定理的意識(shí).

1. 利用線(xiàn)面垂直作截面

例5. 正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2■. 過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面？琢，則平面？琢被此正四棱錐所截的截面面積為_(kāi)_________，平面？琢將此正四棱錐分成的上下兩部分的體積之比為_(kāi)_________.（本小題第一空2分，第二空3分）

解析：如圖，△PAC是邊長(zhǎng)為2■的等邊三角形. 底面的中心為O，由PO⊥平面ABCD，點(diǎn)M是△PAC的重心，BD⊥平面PAC，連接AM與側(cè)棱PC交于點(diǎn)F，則F是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作GE//BD，則交點(diǎn)G、E分別是PD，PB的三等分點(diǎn)，平面AEFG是平面？琢被此正四棱錐所截的截面，其面積SAEFG=■AF·GE=■;又PC⊥平面AEFG，VP-AEFG=■SAEFG·PF=■，VP-ABCD=■SABCD·PO=■，則■=■，平面？琢將此正四棱錐分成的上下兩部分的體積之比為■，故填■，■.

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際上是考查了線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，表面積和體積的考查僅是入手點(diǎn)，感興趣的讀者可以計(jì)算下截面的周長(zhǎng).

例6.（2020年南昌二模）已知正四棱錐P-ABCD中，△PAC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形. 點(diǎn)M是△PAC的重心，過(guò)點(diǎn)M作與平面PAC垂直的平面？琢，平面？琢與截面PAC交線(xiàn)的長(zhǎng)度為2，則平面？琢與正四棱錐P-ABCD表面的交線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積可能為_(kāi)_________. ①2;②2■;③3;④2■.（請(qǐng)將可能正確的序號(hào)都填上）

解析：設(shè)底面的中心為O，由PO⊥平面ABCD，點(diǎn)M是△PAC的重心，BD⊥平面PAC，過(guò)點(diǎn)M作GE//BD，則交點(diǎn)G、E分別是PD， PB的三等分點(diǎn)，所作截面？琢必經(jīng)過(guò)直線(xiàn)GE.

當(dāng)平面？琢與截面PAC交線(xiàn)平行于AC時(shí)，截面是正方形EFGH，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為■，EFGH的邊長(zhǎng)為■，其面積SEFGH =2;

當(dāng)平面？琢與截面PAC交線(xiàn)平行于PA（或PC）時(shí)，截面是EFGHI，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為■，△EFG為等腰三角形，其面積S△EFG =■×2×1=1，長(zhǎng)方形EGHI，其面積SEGHI =2，故SEFGHI =S△EFG +SEGHI =3，故填①③.

點(diǎn)評(píng)：本題中所求截面？琢有三個(gè)要求：過(guò)點(diǎn)M、與平面PAC垂直、與截面PAC交線(xiàn)的長(zhǎng)度為2，能轉(zhuǎn)化到△PAC中過(guò)中心M的三條平行線(xiàn)（長(zhǎng)度為2）.

2. 利用公理作截面

例7.（2020年聊城二模）已知點(diǎn)M， N分別為三棱柱ABC-A1B1C1的棱BC， BB1的中點(diǎn). 設(shè)△A1MN的面積為S1，平面A1MN與三棱柱ABC-A1B1C1的截面面積為S，五棱錐A1-CC1B1NM的體積為V1，三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，則■=_________，■=_________.（本小題第一空2分，第二空3分）

解析：如圖，延長(zhǎng)NM， C1C交于點(diǎn)P，連接PA1交AC于點(diǎn)Q，連接QM，則A1QMN是截面，點(diǎn)M， N分別為棱BC， BB1的中點(diǎn)，則由相似形可得點(diǎn)Q是AC的三等分點(diǎn).

不妨設(shè)側(cè)棱垂直于底面，且A1C1⊥B1C1，則V=■A1C1·B1C1·CC1，V1=■A1C1·SCC■B■NM =■A1C1·B1C1·CC1，■=■;如圖，在△PA1N中，點(diǎn)Q是PA1的三等分點(diǎn)PC交于點(diǎn)F，M是PN的中點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作A1M的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)段（距離）之比為3∶2，而點(diǎn)P， N到A1M的距離相等，因此，■=■，■=■，故填■，■.

點(diǎn)評(píng)：畫(huà)截面要注意找出兩個(gè)平面的交線(xiàn)（通常需要延長(zhǎng)相關(guān)直線(xiàn)，以便確定兩個(gè)公共點(diǎn)，進(jìn)而得到公共直線(xiàn)），發(fā)揮三個(gè)公理的作用，面積和體積的計(jì)算則需要確定相應(yīng)的比例.

3. 利用異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)作截面

例8. 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，則過(guò)BD1的截面面積的最小值為_(kāi)______.

解析：如圖，過(guò)BD1的截面與棱AA1， CC1分別交于點(diǎn)E， F，則截面BED1F是平行四邊形，SBED■F =2S△BED■，點(diǎn)E在棱AA1上，點(diǎn)E到BD1的距離的最小值為異面直線(xiàn)AA1， BD1的距離，也就是點(diǎn)A1到B1D1的距離d1=■，BD1=■，截面面積SBED■F =■.

同理，過(guò)BD1的截面與棱AD， B1C1分別交于點(diǎn)G， H，則截面BGD1H是平行四邊形，SBGD■H =2S△BGD■，點(diǎn)G在棱AD上，點(diǎn)G到BD1的距離的最小值為異面直線(xiàn)AD， BD1的距離，也就是點(diǎn)A到A1B的距離d2=■，BD1=■，截面面積SBGD■H =■.

同理，過(guò)BD1的截面與棱A1B1， DC分別交于點(diǎn)M， N，則截面BMD1N是平行四邊形，SBMD■N =2S△BMD■，點(diǎn)M在棱A1B1上，點(diǎn)M到BD1的距離的最小值為異面直線(xiàn)A1B1， BD1的距離，也就是點(diǎn)A1到D1A的距離d3=■，BD1=■，截面面積SBGD■H =■.

因?yàn)閐1

點(diǎn)評(píng)：本題中要想求截面面積的最小值，只需要求出三對(duì)異面直線(xiàn)之間的距離的最小值.

4. 利用等積轉(zhuǎn)化作截面

例9. 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，點(diǎn)H是線(xiàn)段B1O上的點(diǎn)，且OH=3HB1，點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則M-C1O1H三棱錐的體積的最小值為_(kāi)______.

解析：如圖，點(diǎn)H是線(xiàn)段B1O上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn)，由C1O1⊥平面BDD1B1，VM-C■O■H =VC■-MO■H =■S△MO■H·C1O1.

在對(duì)角面BDD1B1中，延長(zhǎng)O1H，OB交于點(diǎn)G，且與BB1交于點(diǎn)N，由相似形可得N是側(cè)棱BB1的靠近點(diǎn)B1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，△MO1H面積最小，O1H=■O1G=■. 此時(shí)，點(diǎn)M到O1G的距離MT=■=■，S△MO■H =■O1H·MT=■，VC■-MO■H ≥■×■×■=■，故填■.

點(diǎn)評(píng)：本題利用從空間中的等體積轉(zhuǎn)化和平面中的等面積轉(zhuǎn)化，輕松解決了空間中的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，特別是在截面（對(duì)角面）中的計(jì)算非常巧妙，體現(xiàn)了類(lèi)比與轉(zhuǎn)化思想.

5. 利用空間到平面的類(lèi)比和對(duì)稱(chēng)思想作截面

例10. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M， N分別在側(cè)面ABB1A1和ACC1A1內(nèi)，BC1與B1C交于點(diǎn)P，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

解析：點(diǎn)P關(guān)于側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P1， P2，連接P1， P2，與側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的交點(diǎn)分別為M， N，易知M， N是側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的中心，此時(shí)△PMN周長(zhǎng)的最小，且最小值為3，故填3.

點(diǎn)評(píng)：本題可聯(lián)想平面中，在角的兩邊上各取一點(diǎn)與角內(nèi)的一點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)最小問(wèn)題，可以在中截面（或上下底面）中巧妙利用對(duì)稱(chēng)求解.

6. 利用空間空間向量確定動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)

例11. 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1=2，AD=3，點(diǎn)E， F，分別為棱BC，CC1上的動(dòng)點(diǎn). 若四面體A1B1EF的四個(gè)面都是直角三角形，則下列命題正確的是_______.（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

①存在點(diǎn)E，使得EF⊥A1F;

②不存在點(diǎn)E，使得B1E⊥A1F;

③當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F有3個(gè);

④當(dāng)點(diǎn)F為CC1中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E有3個(gè);

⑤四面體A1B1EF四個(gè)面所在平面，有4對(duì)相互垂直.

解析：四面體A1B1EF的四個(gè)面都是直角三角形，則在側(cè)面BCC1B1中，∠EB1F不可能是直角.

若存在點(diǎn)E，使得EF⊥A1F，因?yàn)镋F⊥A1B1，則EF⊥平面A1B1F，此時(shí)只需EF⊥FB1，①是正確命題.

若存在點(diǎn)E，使得B1E⊥A1F，因?yàn)锽1E⊥A1B1，則B1E平面A1B1F，此時(shí)需∠EB1F是直角，這是不可能的，因此②是正確命題.

當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，若∠B1EF是直角，則B1E⊥EF，■·■=（■+■）·（■+■）=■-2■=0，■=■，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F有1個(gè);若∠B1FE是直角，則B1F⊥EF，■·■=（■+■）·（■+■）=■+2■-■2 =0，■=1+■，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F有0個(gè). 因此，③是假命題.

當(dāng)點(diǎn)F為CC1中點(diǎn)時(shí)，若∠B1EF是直角，則B1E⊥EF，■·■=（■+■）·（■+■）=3■-■2-2=0，■=1或■=2，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E有2個(gè);若∠B1FE是直角，則則B1F⊥EF，■·■=（■+■）·（■+■）=3■-1=0，■=■，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E有1個(gè). 因此，④是真命題.

四面體A1B1EF四個(gè)面所在平面，因?yàn)锳1B1⊥平面B1EF，所以平面A1B1E⊥平面B1EF，平面A1B1F⊥平面B1EF;另外，若EF⊥平面A1B1F，還有平面A1B1F⊥平面A1EF（同理，若EF⊥平面A1B1E，還有平面A1B1E⊥平面A1EF）;因此僅有3對(duì)相互垂直.

故填①②④.

7. 利用體積為定值作球的截面圓（或點(diǎn)圓）

例12. 在三棱錐P-ABC中，AB=2，AC⊥BC，若三棱錐P-ABC的體積為■，則其外接球表面積的最小值為（）

A. 5？仔B. ■？仔C. ■？仔D. ■？仔

解析：如圖所示，設(shè)∠ABC=？琢，則AC=2sin？琢，BC=2cos？琢，點(diǎn)P到底面ABC的距離為h，則VP-ABC=■hsin2？琢=■，h=■，點(diǎn)P在到底面ABC的距離為■的截面圓上（可以是點(diǎn)圓），設(shè)AB的中點(diǎn)為O1，外接球的球心為O，則外接球的半徑R=■=■，顯然h=■≥2（當(dāng)且僅當(dāng)？琢=45°時(shí)取得最小值，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形），當(dāng)h最小時(shí)OO1最小，也就是R最小. 此時(shí)OO1=2-R，解R=■可得R=■，其外接球表面積的最小值為■？仔，選D.

綜上，與交線(xiàn)與截面有關(guān)的空間中的動(dòng)點(diǎn)（軌跡）問(wèn)題，要注意熟記空間中的公理和基本定理（主要是線(xiàn)面平行垂直和面面平行垂直），結(jié)合平面到空間的區(qū)別聯(lián)系，充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化和類(lèi)比思想突破這一難點(diǎn).

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)