莫旭冕，蔣仁言，陳志高

（1.長沙理工大學(xué)汽車與機械工程學(xué)院，湖南長沙 410114；2.長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南長沙 410114）

0 引言

公共汽車的許多零部件隨時間退化，最終會使系統(tǒng)失效。預(yù)防維修常常被實施來減緩這個過程以延長系統(tǒng)壽命。預(yù)防維修的優(yōu)劣將直接影響系統(tǒng)的工作狀態(tài)。許多企業(yè)將其設(shè)備維護業(yè)務(wù)進行外包。因此，預(yù)防維修效果建模受到維修管理人員的廣泛關(guān)注。已經(jīng)有許多學(xué)者對其進行了研究，這些研究大致可以分為三類：一類是失效強度減少模型；另一類是虛擬年齡減少模型；最后一類是其他評估模型。有很多文獻從失效強度減少這一角度來建立維修模型[1-3]。同樣，也有很多文獻從虛擬年齡減少這一角度來建立維修模型[1-2,4-5]。還有很多文獻從其他角度來建立維修模型[6-10]。然而，文獻[1-7]中所提到的模型的計算相對較復(fù)雜，文獻[10]中模型則需要在特定的維修政策下才能應(yīng)用。文獻[8]是對文獻[9]的一個擴展，通過對比保養(yǎng)前后的失效強度來評價保養(yǎng)效果。用泊松過程模型來描述可修系統(tǒng)的失效過程，而泊松過程模型又用平均累積函數(shù)（Mean Cumulative Function，MCF）來描述。并引進了加權(quán)的思想，用權(quán)函數(shù)來反映不同時間失效數(shù)據(jù)的重要性。

文獻[8]的權(quán)函數(shù)關(guān)于預(yù)防維修時間對稱，但是預(yù)防維修之前的經(jīng)驗MCF 與預(yù)防維修之后的經(jīng)驗MCF 相差較大，直接用相近的權(quán)值對相差較大的MCF 進行加權(quán)不合理。

在本研究中，將預(yù)防維修之前的經(jīng)驗MCF 進行變換，使之與預(yù)防維修之后的經(jīng)驗MCF 相差不大，消除二者之間的隱含加權(quán)，期望得到更為穩(wěn)健的評價結(jié)果。另外，還用該方法對失效停機時間進行建模來評價保養(yǎng)效果，發(fā)現(xiàn)失效停機時間同樣可以用來建模評價保養(yǎng)效果，并且所提出的轉(zhuǎn)換在用失效停機時間進行建模時的優(yōu)勢更加突出。

1 用加權(quán)最小二乘法評價預(yù)防維修效果

1.1 基本假設(shè)

基本假設(shè)有兩個：一是忽略修理時間，失效過程被簡化為失效點過程；二是失效點過程用冪律模型來近似描述。冪律模型為M（t）=（t/η）β。其中，η 為尺度參數(shù)，β 為形狀參數(shù)。令α=1/ηβ。

1.2 基本思想

基本思想是可修系統(tǒng)的可靠性常用失效發(fā)生率來描述。失效發(fā)生率是系統(tǒng)在單位時間內(nèi)的平均失效次數(shù)，即平均累積函數(shù)的微分，并記為M（t）。冪律模型的失效發(fā)生率為M（t）=（β/η）β（t/η）β-1。

假設(shè)在時間τi執(zhí)行了一次預(yù)防維修（如汽車的二級保養(yǎng)），在τi之前和之后的失效發(fā)生率分別為：

其中，Δt 可取為車輛維修的質(zhì)保期。

令Δm 表示預(yù)防維修前后變化的失效發(fā)生率，即Δm=mi（τi）-mi+1（τi）。越大，表示預(yù)防維修的效果越好。也可以用相對值Δm/mi（τi）評價預(yù)防維修的效果。具體情況可以參考文獻[8]。

1.3 加權(quán)最小二乘法

最小二乘法通過最小化誤差的平方和來進行曲線擬合，它認(rèn)為所有的點的誤差同等重要。而在某些情況下，只需要在某些點的附近取得較好的擬合效果。為此，Jiang[11]提出了加權(quán)最小二乘法。加權(quán)最小二乘法通過最小化以下加權(quán)的平方誤差和來獲得參數(shù)。

要在某些確定的點左右兩側(cè)一定范圍內(nèi)擬合較好，即這個范圍內(nèi)的權(quán)重相對較大。權(quán)函數(shù)如下：

其中，φ（.）是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，它的均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ。

在正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，t=μ 附近的值較大，所以取μ=τi。σ 的值通過式（3）來確定。

2 改進的建模過程

由于加權(quán)最小二乘法對靠近預(yù)防維修的失效點更重視，然而預(yù)防維修點左鄰域的經(jīng)驗MCF 和預(yù)防維修點右鄰域的經(jīng)驗MCF 相差較大，因而直接對其進行加權(quán)不合理（圖1）。為此，對預(yù)防維修點左鄰域的經(jīng)驗MCF 進行變換。變換的要求：①變換后的經(jīng)驗MCF 和右鄰域的經(jīng)驗MCF 相差很小；②變換后左鄰域的經(jīng)驗MCF 的斜率的絕對值不變。以下變換符合以上要求。

圖1 預(yù)防維修前后的經(jīng)驗MCF

令預(yù)防維修之前經(jīng)驗MCF 的最大值為a，最小值為b，變換之前的經(jīng)驗MCF 記為y，變換之后的經(jīng)驗MCF 記為y1，則y1=a+b-y。變換結(jié)果如圖2 所示。

圖2 預(yù)防維修之前經(jīng)驗MCF 的變換

下面來看具體的改進建模步驟。

步驟1：數(shù)據(jù)預(yù)處理。原始數(shù)據(jù)為失效日期，需將失效日期轉(zhuǎn)換為失效時間。

步驟2：計算（τi-1，τi）內(nèi)的經(jīng)驗MCF，將系統(tǒng)在（τi-1，τi）內(nèi)的失效時間從小到大排序，并記為{tk，1≤k≤N}。令M（t）表示一個系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)失效次數(shù)的期望值，即M（t）=E[N（t）]。顯然，。

這里s（tk）為在tk時仍在運行的系統(tǒng)數(shù)目。由上式可知，平均累積函數(shù)在tk時刻存在跳躍，為保持其平滑性，定義其經(jīng)驗平均累積函數(shù)為。

步驟3：將步驟2 得到的經(jīng)驗MCF 進行本小節(jié)開始所述的變換。

步驟4：計算（τi，τi+1）內(nèi)的經(jīng)驗MCF，計算方法與步驟2 一樣。

步驟5：計算（τi-1，τi）和（τi，τi+1）內(nèi)失效數(shù)據(jù)的權(quán)重值，靠近τi的數(shù)據(jù)點包含更多該點的失效強度信息，應(yīng)該賦予較大的權(quán)重值，遠(yuǎn)離τi的數(shù)據(jù)點應(yīng)賦予較小的權(quán)重值。失效數(shù)據(jù)的權(quán)重值用方程式（2）來確定。

步驟6：用加權(quán)最小二乘法擬合（τi-1，τi）內(nèi)的失效數(shù)據(jù)到下列冪律模型，即Mi（t）=αi（τi-t）βi。

步驟7：用加權(quán)最小二乘法擬合（τi，τi+1）內(nèi)的失效數(shù)據(jù)到下列冪律模型，即Mi+1（t）=αi+1（t-τi）βi+1。

根據(jù)Δm=mi（τi）-mi+1（τi）計算Δm，其中Δt 的取值可依據(jù)參考文獻[12]，二級維護質(zhì)量保證期為車輛行駛5000 km 或30 d，因此取Δt=30 d。

改進的步驟有步驟3、步驟6 和步驟8。文獻[8]沒有進行步驟3 所述變換，直接用加權(quán)最小二乘法擬合（τi-1，τi）內(nèi)的失效數(shù)據(jù)到如下冪律模型：Mi（t）=αitβi。

3 基于失效—停機時間用加權(quán)最小二乘法評價預(yù)防維修效果

停機時間是反映系統(tǒng)可靠性的重要指標(biāo)之一，文獻[13]對停機時間進行了建模分析。失效—停機時間不僅反映了停機的次數(shù)還傳達了失效的嚴(yán)重程度，所以用失效—停機時間來建?？梢愿鼫?zhǔn)確地反映維修效果。由于每一次失效的停機時間是隨機的，因此對停機時間進行累加處理。具體建模步驟如下。

步驟1：數(shù)據(jù)預(yù)處理。原始數(shù)據(jù)為失效日期，需將失效日期轉(zhuǎn)換為失效時間。同時，將失效所需修理時間和保養(yǎng)所需時間提取出來。某車的二級保養(yǎng)時間、失效時間和維修工時數(shù)據(jù)如表1所示。其中，*為保養(yǎng)時間。

表1 某車的失效時間和維修工時

步驟2：計算（τi-1，τi）內(nèi)的累積停機時間D（t）。如圖3 所示

步驟3：將步驟2 得到的累積停機時間D（t）進行第2 節(jié)“改進的建模過程”中所述變換。

步驟4：計算（τi，τi+1）內(nèi)的累積停機時間D（t），計算方法和步驟2 相同。

步驟5：計算（τi-1，τi）和（τi，τi+1）內(nèi)失效數(shù)據(jù)的權(quán)重值。計算方法與2 節(jié)的步驟5 一樣。

接下來的步驟同第2 節(jié)的步驟6、步驟7、步驟8 和步驟9一樣。

圖3 保養(yǎng)之前的累積停機時間

4 數(shù)值實例

以長沙某公交公司的維修保養(yǎng)記錄來詳細(xì)說明整個建模過程。收集了由8 輛同型號車組成的車隊的維修保養(yǎng)記錄。收集這些車輛從2007 年1 月1 日到2007 年12 月31 日的維修記錄，提取車輛在二級保養(yǎng)前后的失效時間（累積運行天數(shù)）和保養(yǎng)時間的信息及失效和保養(yǎng)所需維修工時。

基于失效時間來評價維修質(zhì)量，表2 給出了原建模過程的結(jié)果，表3 給出了改進建模過程的結(jié)果。

表2 基于失效時間用加權(quán)最小二乘法評價的維修效果Ⅰ

表3 基于失效時間用加權(quán)最小二乘法評價的維修效果Ⅱ

表2 和表3 分別給出了用兩種建模過程的結(jié)果，兩種建模過程所得結(jié)果基本一致，說明了改進建模過程的有效性。對兩種建模過程的結(jié)果進行分析，發(fā)現(xiàn)改進建模過程所得維修質(zhì)量的變異系數(shù)（Coefficient of Variation，CV）值較小，即改進建模過程更為穩(wěn)健。

基于失效—停機時間來評價維修質(zhì)量，表4 給出了原建模過程的結(jié)果，表5 給出了改進建模過程的結(jié)果。

表4 基于失效—停機時間用加權(quán)最小二乘法評價的維修效果Ⅰ

表5 基于失效—停機時間用加權(quán)最小二乘法評價的維修效果Ⅱ

由表4、表5 可以看出，兩種建模過程的結(jié)果基本一致，且用改進建模過程的結(jié)果的CV 值遠(yuǎn)小于原建模過程的?？梢?，改進建模過程更適合基于失效—停機時間建模評價維修質(zhì)量。對比基于失效—停機時間和失效時間來評價維修質(zhì)量的結(jié)果，可以看出基于失效—停機時間和失效時間進行評價的結(jié)果非常接近。因此，基于失效—停機時間來評價維修質(zhì)量也是可行的。

5 結(jié)論

研究了公共汽車二級保養(yǎng)效果評價這一問題，對評價公共汽車二級保養(yǎng)維修質(zhì)量的加權(quán)最小二乘法的建模過程進行了改進；并基于停機時間用改進的建模過程來建模評價二級保養(yǎng)效果。通過一個實例的計算和分析，得出以下結(jié)論。

（1）改進建模過程的加權(quán)最小二乘法所得結(jié)果的CV 值分別比原來小16.8%和30%，即改進建模過程的加權(quán)最小二乘法更為穩(wěn)健。

（2）用原建模過程和改進建模過程對失效—停機時間進行了建模分析，所得結(jié)果與基于失效時間建模所得結(jié)果基本一致，說明失效—停機時間同樣可以用來建模評價保養(yǎng)效果。

（3）公共汽車二級保養(yǎng)質(zhì)量波動較大，最好的維修效果和最差的相差74%。為此，加強維修質(zhì)量控制和選擇合適的維修外包商尤為重要。

（4）基于先前的工作，一方面可以考慮將基于失效時間和基于失效—停機時間兩種數(shù)據(jù)所得的結(jié)果進行折衷處理，另一方面，將維修質(zhì)量應(yīng)用于維修質(zhì)量控制、維修質(zhì)量管理、維修外包商選擇等領(lǐng)域也值得進一步研究。