孟繁卿，田康生，韓春耀，許道明，路琪

(1.空軍預警學院a.研究生大隊；b.四系；c.雷達士官學校，湖北 武漢 430019；2.中國人民解放軍95806部隊，北京 100076)

0 引言

高超聲速飛行器作為一種新型武器運載平臺，不僅具備投送距離遠、飛行高度低的特點，而且飛行速度快、彈道軌跡靈活多變。目前尚沒有證據表明現有的導彈防御系統(tǒng)，能夠實現對高超聲速飛行器的有效攔截。因此，高超聲速飛行器被視為改變戰(zhàn)爭規(guī)則的殺手锏武器[1]。高超聲速滑翔飛行器作為高超聲速飛行器的一種，通過火箭助推或天基平臺釋放，飛行器到達一定高度后進入滑翔狀態(tài)。其在滑翔段借助空氣動力實現滑翔飛行，飛行Ma數大于5 ，飛行高度大于20 km。飛行器滑翔段的彈道形式，可分為平衡滑翔和跳躍滑翔[2-3]。其中飛行器采用平衡滑翔彈道飛行時，其彈道軌跡平滑，通常沒有機動變軌。飛行器采用跳躍滑翔彈道飛行時，其彈道軌跡不固定，可多次機動變軌，大大增強了其突防能力。因此，當前高超聲速滑翔飛行器主要采用跳躍滑翔彈道進行飛行。

因為高超聲速飛行器采用跳躍滑翔彈道滑翔時，很難準確推算飛行器的發(fā)點和落點，即對飛行器彈道軌跡預測的難度較大。雖然無法準確預測高超聲速跳躍滑翔飛行器的彈道軌跡，但是如果能夠判斷飛行器的運動趨勢，同樣可以達到對高超聲速飛行器及時預警、延長預警時間的目的。文獻[4]指出高超聲速滑翔飛行器目標跟蹤的偏差主要來源于目標運動模型的不匹配，通過放大預測協方差的方式有效解決了模型失配造成的濾波發(fā)散問題。文獻[5]指出軌跡預測的關鍵問題之一是獲得飛行器狀態(tài)變量的變化規(guī)律，并利用最小二乘擬合設計了一種軌跡預測方法，仿真結果表明所設計的預測方法效果良好。文獻[6]利用改進集成經驗模態(tài)分解方法，將跳躍滑翔的運動軌跡序列分解為趨勢項、周期項和隨機項，分別對3個子項進行軌跡預測后，再集成作為彈道軌跡的預測結果，所提算法提高了軌跡預測精度。文獻[7]利用參數辨識方法，對典型控制規(guī)律條件下的高超聲速滑翔飛行器的攻角和傾側角進行辨識。在傾側角不發(fā)生翻轉時，所提方法對飛行器運動軌跡的預測效果較好。文獻[8]指出可以通過預測升阻比的變化規(guī)律，對高超聲速再入滑翔飛行的軌跡進行預測。利用最小二乘法對飛行器的升阻比進行擬合，進而實現了對飛行器軌跡的預測。文獻[9]結合高超聲速滑翔彈的作戰(zhàn)意圖和防御方的先驗信息，利用蒙特卡羅采樣和貝葉斯理論，對高超聲速滑翔彈的運動軌跡進行預測，所提算法預測精度較高。文獻[10]結合高超聲速飛行器的運動特性，利用動態(tài)貝葉斯方法，通過分析高超聲速飛行器與被保衛(wèi)目標之間的關系，推斷飛行器的攻擊意圖，文獻研究內容具有較高的軍事應用價值。

通過對以上文獻的分析可知，雖然應用背景和目的不同，但對飛行器狀態(tài)的變化規(guī)律，即飛行器運動規(guī)律或運動趨勢的分析都至關重要[11]。已有文獻不管是通過擬合升阻比，還是對控制參數進行辨識，均需要飛行器的控制規(guī)律等先驗信息。所以，在不掌握飛行器控制規(guī)律等先驗信息的情況下，如何判斷高超聲速滑翔飛行器的運動趨勢將是研究的重點和難點。其中文獻[6]指出高超聲速滑翔飛行器運動軌跡存在趨勢項，如果可以求解高超聲速滑翔飛行器的運動趨勢，將為明晰高超聲速目標的作戰(zhàn)意圖提供有力支撐。為此，本文對高超聲速滑翔飛行器在縱向跳躍滑翔情況下，飛行器狀態(tài)變量的運動趨勢進行了求解分析，以期為目標跟蹤模型構建、彈道軌跡預測、飛行器作戰(zhàn)意圖分析等提供參考。

1 高超聲速滑翔飛行器運動模型

為構建高超聲速滑翔飛行器運動模型，如圖1所示，分別建立地面坐標系Sg(Oxgygzg)和速度坐標系Sv(Oxvyvzv)。其中,坐標原點O是飛行器初始位置在地面的投影點，Oxg軸指向水平面內任一方向，Ozg軸鉛錘向下，Oyg軸的指向與Oxg,Ozg軸的指向符合右手定則；Oxv軸指向與飛行器速度v的方向保持一致，Ozv軸在飛行器對稱平面內與Oxv垂直向下，Oyv軸的指向與Oxv,Ozv軸的指向符合右手定則。v′為飛行速度v在Oxgyg平面內的投影，速度傾角γ為飛行速度與Oxgyg平面的夾角。

圖1 地面坐標系和速度坐標系

根據高超聲速滑翔飛行器在滑翔段的受力情況，建立其運動方程[6,11]，如式(1)所示。

(1)

式中：v為飛行速度；γ為速度傾角；(x,z)為飛行器的位置坐標；m為飛行器質量；g0為重力加速度常數；L為飛行器所受升力；D為飛行器所受阻力。其中,升力、阻力的計算可由式(2)求得[12]

(2)

式中：S為飛行器的參考面積；CL為飛行器的升力系數；CD為飛行器的阻力系數。

2 飛行器狀態(tài)變量數值解

(3)

式中：ti=t0+iΔt,i=0,1,2，,…；Δt為迭代時間步長。

3 飛行器狀態(tài)變量解析解

為了求解表征飛行器狀態(tài)變量變化趨勢的解析解，通過龍格-庫塔求得狀態(tài)變量的數值解后，利用正交多項式擬合狀態(tài)變量的數值解[14]。分別采用1，2，3階正交多項式擬合狀態(tài)變量的數值解，擬合函數分別如式(4)～(6)所示。

γ(t)=d0P0(t)+d1P1(t)，

(4)

γ(t)=d0P0(t)+d1P1(t)+d2P2(t)，

(5)

γ(t)=d0P0(t)+d1P1(t)+d2P2(t)+d3P3(t)，

(6)

式中：P0(t),P1(t),P2(t),P3(t)為擬合函數的基函數，其中Pj(t)(j=0,1,2,3)是關于t的j次正交多項式。

(7)

(8)

4 仿真校驗及分析

4.1 仿真設置

跳躍滑翔彈道不滿足平衡滑翔條件，無法通過理論推導得出飛行速度、速度傾角、縱程、高度的解析式。文獻[6]指出跳躍滑翔存在明顯的趨勢項，趨勢項是跳躍滑翔的主要分量。曲線擬合是分析數據點變化趨勢的重要方法[15]。由文獻[6]的結論可知，利用曲線擬合可求解表征跳躍滑翔各狀態(tài)變量變化趨勢的解析解。

以洛克希德·馬丁公司研發(fā)的高超聲速通用氣動飛行器CAV-H(common aero vehicle)為例[16]。采用數值仿真的方法生成跳躍滑翔彈道，利用不同階次的正交多項式擬合飛行速度、速度傾角、縱程和高度。取目標點位置(4 000×103，-100)，隨機生成10個跳躍滑翔彈道，其初始狀態(tài)如表1所示。圖2所示，為10個跳躍滑翔彈道軌跡圖。

表1 跳躍滑翔彈道的滑翔段初始狀態(tài)

4.2 飛行速度分析

圖3所示，為10個跳躍滑翔彈道飛行速度解析解的平均均方根誤差(root mean square error,RMSE)。從圖3中可以看出，一階解析解的RMSE大于二階解析解和三階解析解的RMSE，但3個階次解析解的RMSE相差在20 m/s之內。表2為各跳躍滑翔彈道飛行速度不同階次解析解的最大RMSE和最小RMSE。由表2可知，10個跳躍滑翔彈道飛行速度一階解析解的最大RMSE均值較大，同時一階解析解的最小RMSE均值與二階解析解、三階解析解的最小RMSE均值相差不超過2 m/s，且一階解析解的最小RMSE均值要小于二階和三階解析解的最小RMSE均值。

圖2 跳躍滑翔彈道軌跡

限于篇幅，在此以彈道T11為例，圖4所示為彈道T11的飛行速度數值解與解析解，圖5為不同階次解析解的RMSE。由圖4可知，飛行速度的3個不同階次的解析解均能很好地擬合飛行速度的數值解。由圖5可知，飛行速度一階解析解的RMSE大

圖3 跳躍滑翔飛行速度的RMSE均值

圖4 彈道T11飛行速度數值解與解析解

圖5 彈道T11飛行速度解析解的RMSE

于二階解析解和三階解析解的RMSE，但3個不同階次解析解的RMSE相差在10 m/s左右，相對飛行器的高超聲速而言可忽略不計，且一階解析解的運算量更低。由以上分析可知，跳躍滑翔飛行速度的變化趨勢可用一階正交多項式表示，飛行速度-時間近似滿足線性關系。

4.3 速度傾角分析

圖6所示，為10個跳躍滑翔彈道速度傾角解析解的平均RMSE。從圖6中可以看出，一階解析解的RMSE大于二階解析解和三階解析解的RMSE。在滑翔中后段，一階解析解的RMSE與二階和三階解析解的RMSE相差在0.1°左右。表3為各跳躍滑翔彈道速度傾角不同階次解析解的最大和最小RMSE。由表3可知，10個跳躍滑翔彈道速度傾角3個不同階次解析解的最大RMSE均值相差在0.3°，最小RMSE均值相差小于0.1°。

圖6 跳躍滑翔速度傾角的RMSE均值

圖7所示為彈道T11的速度傾角數值解與解析解，圖8為不同階次解析解的RMSE。由圖7可知，速度傾角呈現震蕩下降的趨勢，3個不同階次的解析解均能表征這一趨勢。由圖8可知，速度傾角3個不同階次解析解的RMSE曲線基本重合，但一階解析解的運算量更低。由以上分析可知，跳躍滑翔彈道速度傾角的變化趨勢可用一階正交多項式表示，一階解析解能夠表征速度傾角震蕩下降的變化趨勢。

4.4 飛行縱程分析

圖9所示，為10個跳躍滑翔彈道飛行縱程解析解的平均RMSE。從圖9中可以看出，一階解析解的RMSE比二階和三階解析解的RMSE大2個數量級。

表4為各跳躍滑翔彈道飛行縱程不同階次解析解的最大RMSE和最小RMSE。由表4可知，10個跳躍滑翔彈道飛行縱程一階解析解的最小RMSE均值大于100 km。二階和三階解析解的最大RMSE不超過15 km，最小RMSE小于5 km。

圖7 彈道T11速度傾角數值解與解析解

圖8 彈道T11速度傾角解析解的RMSE

圖9 跳躍滑翔飛行縱程的RMSE均值

圖10所示為彈道T11的飛行縱程數值解與解析解，圖11為不同階次解析解的RMSE。由圖10可知，飛行縱程呈現明顯的非線性特征，用一階解析解擬合飛行縱程存在明顯誤差，二階解析解和三階解析解基本與數值解重合。由圖11可知，一階解析解的RMSE比二階和三階解析解的RMSE大2個數量級，二階和三階解析解的最小RMSE均小于3 km。由以上分析可知，飛行縱程的變化趨勢可用二階或三階解析解表示。

4.5 飛行高度分析

圖12所示，為10個跳躍滑翔彈道飛行高度解析解的平均RMSE。從圖12中可以看出，3個階次解析解的RMSE均值在滑翔中后段相差小于1 km。

表3 跳躍滑翔速度傾角曲線擬合RMSE

圖11 彈道T11飛行縱程解析解的RMSE

圖12 跳躍滑翔飛行高度的RMSE均值

表5為各跳躍滑翔彈道飛行高度不同階次解析解的最大RMSE和最小RMSE。由表5可知，10個跳躍滑翔彈道飛行高度3個階次解析解的最大RMSE均值小于14 km，最小RMSE均值小于6 km。圖13所示為彈道T11的飛行高度數值解與解析解，圖14為不同階次解析解的RMSE。由圖13可知，飛行高度呈現震蕩下降的趨勢，3個階次的解析解基本重合。由圖14可知，3個階次解析解的RMSE曲線基本重合，說明二階解析解和三階解析解對飛行高度的擬合精度并沒有顯著提高。由以上分析可知，跳躍滑翔彈道的飛行高度-時間近似呈現線性關系，可以用一階解析解表示飛行高度的變化趨勢。

表4 跳躍滑翔飛行縱程曲線擬合RMSE

表5 跳躍滑翔飛行高度曲線擬合RMSE

圖13 彈道T11飛行高度數值解與解析解

圖14 彈道T11飛行高度解析解的RMSE

5 結束語

針對高超聲速跳躍滑翔飛行器在滑翔段運動趨勢的求解問題，在跳躍滑翔條件下通過曲線擬合得到的狀態(tài)變量趨勢項解析解，可用于預測狀態(tài)變量的變化趨勢。由仿真結果，可得到如下結論：

跳躍滑翔條件下，飛行速度3個階次解析解的RMSE均值相差在20 m/s左右，速度傾角3個階次解析解的RMSE均值相差在0.1°左右，飛行高度3個階次解析解的RMSE均值相差小于1.5 km，所以跳躍滑翔的飛行速度、速度傾角、飛行高度隨時間的變化趨勢可用一階正交多項式表示。飛行縱程一階解析解的RMSE比二階解析解和三階解析解的RMSE大2個數量級，所以跳躍滑翔條件下的飛行縱程-時間呈現明顯的非線性變化趨勢，可用二階或三階正交多項式表示。