北京四中(100034) 唐紹友

涉及距離的問題是圓錐曲線中的熱點問題,常常因距離的復(fù)雜形式給學(xué)生帶來沉重的心理負擔(dān),而導(dǎo)致運算信心不足,中途受阻,半途而廢.分析其原因,主要是缺乏對距離問題的轉(zhuǎn)化策略,而按部就班進行運算,陷入痛苦的運算圈子,不能自拔.基于此,非常有必要對此類問題的轉(zhuǎn)化策略進行歸納和總結(jié),給學(xué)生帶來啟發(fā),旨在提高解決圓錐曲線問題的能力.

一、消元化簡

從兩點之間的距離公式和點線距離公式來看,涉及到的量較多,所以考慮消元化簡是首要方法.如果有困難,再思考別的思路.

例1已知拋物線C:y2=4x,點M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點,O為坐標原點.若存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列,求實數(shù)m的取值范圍.

分析在距離關(guān)系：|OM|2=|MB|·|AM|中,涉及到多元與無理式的復(fù)雜代數(shù)式運算,必須進行有效的轉(zhuǎn)化,才能進行正常的運算.可以考慮代入消元,再化簡.

解設(shè)使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列的直線AB方程為x=m(m＞0)或y=k(x-m)(k?=0),當(dāng)直線AB方程為x=m時,因為|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列,所以|OM|2=|MB|·|AM|,即m2=4m,解得m=4,或m=0(舍);

當(dāng)直線AB方程為y=k(x-m)時,由得k2x2-(2k2m+4)x+k2m2=0,設(shè)A,B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=由m＞0,得

Δ=(2k2m+4)2-4k2·k2m2=16k2m+16＞0.

由|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列得|OM|2=|MB|·|AM|,

因為m＞0,所以有綜上,當(dāng)m≥4時,存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列.

二、回歸向量

因為在平面向量數(shù)量積定義中,涉及到距離,所以用平面向量數(shù)量積定義可以實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為向量的目標.比如：當(dāng)向量a,b同向時,有|a||b|=a·b;由此可知例1可以用此結(jié)論求解.當(dāng)向量a,b反向時,有|a||b|=-a·b;當(dāng)向量a,b的夾角為θ時,有當(dāng)|AB|=m|CD|(m＞0),AB//CD或AB,CD共線時,則有當(dāng)距離轉(zhuǎn)化為向量時,可以達到簡化之功效.

例2已知點Q(2,0),過點(-1,0)的直線l交橢圓于M、N兩點,△QMN的面積記為S,若對滿足條件的任意直線l,不等式S≤λtan∠MQN恒成立,求λ的最小值.

分析若直接表示△QMN的面積S和tan∠MQN,計算量很大,但是用三角形面積公式和切化弦,很容易發(fā)現(xiàn)回歸向量的線索.

解設(shè)點M,N的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2).當(dāng)直線l垂直于x軸時,x1=x2=-1,y1=-y2,所以(x1-2,-y1).所以=(x1-2)2-.當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.所以.所以

因為y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),所以

因為S≤λtan∠MQN恒成立,即恒成立.

圖1

例3橢圓C:=1 (a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1,F2,斜率為k的直線l過右焦點F2且與橢圓交于A、B兩點,與y軸交于M點,點B在點M和F2之間,且|MB|=2|BF2|,若求離心率e的取值范圍.

分析若直接用距離公式,運算量比較復(fù)雜,若利用點M、B、F2的位置關(guān)系,將距離關(guān)系|MB|=2|BF2|轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系在用坐標計算就容易了.

解設(shè)直線l:y=k(x-c),點B(x0,y0),則M(0,-kc),由|MB|=2|BF2|且點B在點M和F2之間得：因此(x0,y0+kc)=2(c-x0,-y0),從而x0=又因為點B在橢圓上,所以從而,因此分離參數(shù)得：因為所以0≤k2≤24?0≤

三、投影降維

涉及到共線的比例線段時,可以嘗試將線段正投影到x軸或y軸上,這樣可以將距離的比轉(zhuǎn)化為橫坐標或縱坐標的代數(shù)式,以達到降維的目的.即由二維坐標關(guān)系降為一維坐標關(guān)系,即可謂：“投影降維”.可以減少運算痛苦.

例4已知定點A(-1,1),B(1,-1),且點P是橢圓x2+3y2=4上異于A、B的動點,設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

分析按常規(guī)思路,設(shè)點P(x0,y0),然后求出直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N的坐標,再求點P到AB、MN的距離,用三角形面積公式表示出△PAB與△PMN的面積,得到一個方程,再利用點P在橢圓上得到一個方程.聯(lián)立求解可得點P的坐標.但是運算復(fù)雜.而將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為比例線段,再向坐標軸投影,而運算特簡單.

解若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等,設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則因為 sin∠APB=sin∠MPN,所以所以即(3-x0)2=解得x0=因為=4,所以y0=故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時點P的坐標為

例5過點M(0,2)斜率為k(0＜k≤1)的直線l交橢圓于H、G,點G在H、M之間,交x軸于點B,P為x軸上不同于點B的一點,Q為線段GH的中點,設(shè)△HPG的面積為S1,△BPQ面積為S2,求的取值范圍.

分析求面積比,需求弦長HG與線段BQ的長,工作量較大.若能將面積比轉(zhuǎn)化為HG與BQ的比,再進行投影降維,可以減少一些運算量.

解設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),直線l:y=kx+2.由得：(3+4k2)x2+16kx+4=0,所以

因為Δ=16(12k2-3)＞0,所以k2＞即k＞因為0＜k≤1,所以

四、距離變形

距離變形主要有：(1)點線距離與兩點之間距離之間的互化;(2)兩距離相等化歸為等腰三角形的兩腰,為三線合一創(chuàng)造條件,為兩腰所在直線的斜率互為相反數(shù)創(chuàng)造條件.

例6已知橢圓的一個焦點為F(2,0),且離心率為.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(ⅠⅠ)斜率為k的直線l過點F,且與橢圓交于A,B兩點,P為直線x=3上的一點,若△ABP為等邊三角形,求直線l的方程.

分析直接表示等邊三角形的三邊長度相等,計算量大,所以先把等邊三角形轉(zhuǎn)化為高和邊長的關(guān)系,但是計算高的運算量較大,而將高(點線距離)轉(zhuǎn)化為點與垂足之間的距離(即兩點間的距離),運算量大幅減少.

解(1)

(2)直線l的方程為y=k(x-2).聯(lián)立方程組,消去y并整理得

因為直線y=k(x-2)恒過定點(2,0)在橢圓內(nèi)部,所以Δ＞0恒成立.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).故

則

設(shè)AB的中點為M(x0,y0).可得x0==.直線MP的斜率為,又xP=3,所以

當(dāng)△ABP為正三角形時,|MP|=,可得

解得k=±1滿足Δ＞0.即直線l的方程為x-y-2=0,或x+y-2=0.

注意計算|MP|,若用點線距離公式計算,還需算MP的方程,在求點P的坐標,可增加一倍的運算量.這里將點線距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離是明智之舉.但有時,需要將兩點間的距離轉(zhuǎn)化為點線距離,又可減少運算量.比如：點P在直線ax+by+2c=0上運動,且a,b,c是直角三角形的三邊,其中c是斜邊.求m2+n2的最小值(答案：4).將原點(0,0)和(m,n)之間距離轉(zhuǎn)化為點(0,0)到直線ax+by+2c=0的距離計算挺方便.

例7(2016年朝陽一模理科)已知點和橢圓

(Ⅰ)設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1,F2,試求△PF1F2的周長及橢圓的離心率;

(ⅠⅠ)若直線l:與橢圓C交于兩個不同的點A,B,直線PA,PB與x軸分別交于M,N兩點,求證：|PM|=|PN|.

分析要證：|PM|=|PN|,直接算這兩個距離比較麻煩,將這兩個距離轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩腰,在轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系,再證明斜率關(guān)系,比較簡單.

解(Ⅰ)△PF1F2的周長為

因為k1+k2=0,所以 ∠PMN= ∠PNM.所以|PM|=|PN|.