廣東省華南師范大學(510631) 李文麗 韓彥昌

一、概念判定

定義新運算是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算[1].定義新運算是經過特別設計的一種運算,它使用的是一些特殊的運算符號,如：?,Δ等,通常需要轉化為常規(guī)的四則運算算式進行計算.

對于給定函數(shù)y=f(x),滿足方程f(x)=x的解,稱為函數(shù)y=f(x)的不動點[2].

不動點法在初等教育中主要應用于遞歸數(shù)列和迭代函數(shù)之中,本文嘗試應用不動點法解決定義新運算問題.

二、定義兩種新運算

定理1規(guī)定運算“?”,使得對任意復數(shù)a,b,有a?b=(p,q,a+b?=q為實常數(shù)),記x0,x1為g(x)=的不動點,則有以下兩個結論：

(1)當q2+4p?=0,即x0?=x1時,構造函數(shù)f(x)=,有f(a?b)=f(a)f(b).

(2)當q2+4p=0,即x0=x1時,構造函數(shù)f(x)=,有f(a?b)=f(a)+f(b).

證明：令g(x)=x,則g(x)==x,有x2+qx-p=0.

(1) 當q2+4p?=0時,構造函數(shù)f(x)=x0,x1是不動點,所以有所以有

且

因此有f(a?b)=f(a)f(b).

(2)當q2+4p=0時,x2+qx-p=0有唯一的解構造函數(shù)故

而

因此有f(a?b)=f(a)+f(b).

注記1定理1中的?是滿足交換律和結合律的,即對任意復數(shù),有a?b=b?a,以及

注記2易證對于不同的復數(shù)a1,a2,···,an,在定理1的條件(1)下,有

在定理1的條件(2)下有

例 1規(guī)定運算“?”,使得對任意復數(shù)a,b,有a?b=,a?=-b,如1?3=,求P=(1+i)?(1+2i)?···?(1+9i)?(1+10i)的值.

解析設g(x)=,令g(x)=x,得x2+1=0,解得不動點為x0=i,x1=-i,構造函數(shù)f(x)=由定理1有

例2規(guī)定運算“?”,使得對任意復數(shù)a,b,有a?b=求A=-99?(-98)?···?98?99 的值.

解析設令g(x)=x,得x2+4x+4=0,解得唯一的不動點為x=-2,構造函數(shù)類比例1的分析,可得

注記3(1)上述兩例表明直接計算“?”運算比較麻煩,可以構造適當?shù)暮瘮?shù)f(x),先求f(A)的值,再反演回去,求出A的值.定理中函數(shù)f(x)的作用在于將先進行“?”運算,再進行函數(shù)運算變?yōu)橄冗M行函數(shù)運算再進行乘法(或加法)的四則運算.

(2)當函數(shù)的不動點是兩個相異的實數(shù)時,同定理1(1)的結論一樣,也可以根據(jù)此來設計題目.

(3)可以改變定理中的分子與分母的位置,此時的求解就用到了倒不動點,如定義x?y=求(···((2018?2017)?2016)?2)?1的值.求解過程中,令,求出倒不動點x=±2,有x?2=可求得答案.

定理 2規(guī)定運算“?”,使得對任意實數(shù)a,b,有a?b=a+b+qab(q∈R且q?=0),記x1為g(x)=qx2+2x的不為零的不動點,即則構造函數(shù)f(x)=x-x1,有f(a?b)=q·f(a)f(b).

證明令g(x)=x,得qx2+x=0,得不動點為x0=0,x1=,則有

且

因此f(a?b)=qf(a)f(b).

注記4同定理1中注記1和2,定理2中的“?”運算滿足交換律和結合律,且

其中a1,a2,···,an為任意實數(shù).事實上,

例3規(guī)定運算“?”,設a?b=令,求Q=sinθ?sin2θ?···?sin8θ的值.

解析依題意得(a?b)2=a2+b2-2a2b2,令c=(a?b)2,a1=a2,b1=b2,則有c=a1+b1-2a1b1,令g(x)=2x-2x2,由定理2可得其非零不動點為x=,可構造函數(shù)有f(a?b)=-2f(a)f(b),且θ=則可得

令

令

三、結語

定義新運算作為數(shù)學競賽的重要考點,解決或命制定義新運算題一般沒有固定的方法,本文提供一種解決或命制定義新運算試題的新思路.