首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 田朋朋

文[1]在圓中建立了四類平均數(shù)的幾何模型.文[2]以三角形為基礎(chǔ),證明了共角的四個三角形共角所對應(yīng)的邊是四類平均數(shù)的幾何模型,但并未給出對應(yīng)邊詳細(xì)的幾何作圖方法.文[3]以直角三角形為基礎(chǔ),對四類平均數(shù)圖解進一步探究,得到兩正數(shù)a,b的五個平均值的不等式鏈.文[4]以第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會會徽圖案模型為基礎(chǔ),給出含六個平均值的不等式鏈的一種幾何解釋.本文以梯形為基礎(chǔ),首先證明了梯形內(nèi)平行于上下底邊的六條平行線段是六類平均數(shù)的幾何模型,得到一條含六類平均數(shù)的不等式鏈：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

然后根據(jù)其中五條平行線段分梯形面積成比例的性質(zhì),得到兩條新的不等式鏈：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

下面就給出不等式鏈①的幾何模型以及兩條新不等式鏈②和③的探究過程.

1.幾何模型

圖1

引理如圖1,在梯形ABCD中,AD//BC,AD＜BC,E1F1//E2F2//BC.若AE1＜AE2,則E1F1＜E2F2.

證明從略.

如圖2至圖6,梯形ABCD中,AD//BC,AD＜BC,延長BA,CD交于點M,設(shè)AD=a,BC=b,則AD,BC邊上的高可分別設(shè)為MG=ka,MN=kb,(k＞0).

如圖2,連接AC,BD交于點O,過O作直線E1F1//BC,交AB,DC于E1,F1.可求得E1O=F1O=則設(shè)E1F1與MN交于點N1,則解得MN1=.

如圖2,取AB的中點E3,CD的中點F3,連接E3F3,則E3F3=.設(shè)E3F3與MN交于點N3,則MN3-MG=MN-MN3,解得MN3=.

圖2

圖3

如圖3,以N3為圓心,GN3為半徑作圓N3交E1F1于點L1,以M為圓心,ML1為半徑畫弧交MN于點N2,過N2作直線E2F2//BC,交AB,DC于E2,F2.

此時,連接N3L1,則N3L1=GN3=,N1N3=MN3-MN1=根據(jù)解得所以又即所以

另外,由MG=ka,MN=kb,ML1=可知滿足即若連接GL1,NL1,則△MGL1∽△ML1N,可推出∠ML1N3=90°.因此,ML1為圓N3的切線,且容易推出有：GN1＜GN2＜GN3,即有：E1F1＜E2F2＜E3F3.

此 時,S梯形AE2F2D=因此,平行線段E2F2分梯形ABCD上下面積比為.

如圖4,設(shè)圓N3交E3F3于點L2,以M為圓心,ML2為半徑畫圓弧交MN于點N4,過N4作直線E4F4//BC,交AB,DC于E4,F4.則有GN3＜GN4,即E3F3＜E4F4.且有N3L2=,根據(jù)解得ML2=,所以MN4=又根據(jù),即,解得E4F4=.

圖4

圖5

如圖5,在圖4的基礎(chǔ)上,過點L2作ML2的垂線交MN于點N5,過N5作直線E5F5//BC,交AB,DC于E5,F5.則有GN4＜GN5,即E4F4＜E5F5.因為△ML2N5為直角三角形,所以有即,又根據(jù)即解得

如圖6,設(shè)ML2交圓N3于點L3,以M為圓心,ML3為半徑畫圓弧交MN于點N0,過N0作直線E0F0//BC,交AB,DC于E0,F0.因為ML1為圓N3的切線,ML2為圓N3的割線,根據(jù)圓的切割線定理可得即所以MN0=又根據(jù)所以E0F0=.此時,

則

因此,平行線段E0F0分梯形ABCD上下面積比為.

圖6

圖7

現(xiàn)將六條平行線段E0F0,E1F1,E2F2,E3F3,E4F4,E5F5在同一梯形ABCD中畫出,如圖7所示,結(jié)合引理可得：AD＜E0F0＜E1F1＜E2F2＜E3F3＜E4F4＜E5F5＜BC,即a≤≤b(0＜a≤b).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

即在排列次序上,幾何平均值處于調(diào)和平均值與算術(shù)平均值的中間位置;幾何平均值也處于平方平均值與之間的位置;平方平均值處于算術(shù)平均值與之間的位置.

2.兩條新的不等式鏈

如圖7所示,對于其中的五條平行線段EiFi(i=0,1,2,3,4),隨著i的增大,梯形AEiFiD的面積在逐漸增大,而梯形EiBCFi的面積在逐漸減小.所以,隨著i的增大,的比值在逐漸增大.因此,可得不等式鏈：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

若設(shè)梯形ABCD的面積為S,梯形AE0F0D,AE1F1D,AE2F2D,AE3F3D,AE4F4D的面積分別為S0,S1,S2,S3,S4.則有

又因S0＜S1＜S2＜S3＜S4,則有不等式鏈：

(0＜a≤b).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.

3.體會

這樣,就給出了不等式鏈①在梯形中的一個直觀的幾何解釋,將比較六類平均數(shù)的大小轉(zhuǎn)化為比較六條平行線段的長短,并且六條平行線段完全可以用尺規(guī)作圖作出,體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”結(jié)合的統(tǒng)一美,展示了數(shù)形結(jié)合的魅力.不等式鏈②和③的產(chǎn)生以比較梯形面積比值為基礎(chǔ),體現(xiàn)了從線段度量到面積度量的升華,為繼續(xù)發(fā)現(xiàn)新的不等式鏈提供了方向.希望同學(xué)們進一步思考,給出不等式鏈更加直觀的幾何解釋,繼續(xù)找尋更加簡明的不等式鏈.