廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

一、同心圓錐曲線

定義如果兩個(gè)圓錐曲線有著公共的焦點(diǎn)F,且與F相應(yīng)的準(zhǔn)線f也是公共的,則稱這兩個(gè)圓錐曲線為同心圓錐曲線.

本文討論的是橢圓和拋物線為同心圓錐曲線的情形.

二、同心圓錐曲線的兩個(gè)定值命題

命題1如圖1,設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線,F和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線,過拋物線上一點(diǎn)A作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,則∠MFN為定值.

圖1

圖2

命題2如圖2,設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線,F和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線,過橢圓上一點(diǎn)M作橢圓的切線,且切線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則∠AFB為定值.

三、兩個(gè)命題的一般證法(直角坐標(biāo)證法)

(1)命題1的證明

設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),則直線MN的方程為聯(lián)立消去y,得

由韋達(dá)定理,有

消去x,得

由韋達(dá)定理,有

要證明∠MFN為定值?cos∠MFN為定值?cos∠MFN=為定值.

設(shè)橢圓的離心率為e,由橢圓的定義,得

因?yàn)?/p>

所以

所以 cos∠MFN為定值,即 ∠MFN為定值,定值為∠MFN=arccos(2e2-1).

(2)命題2的證明

要證明∠AFB為定值?cos∠AFB為定值?cos∠AFB=為定值.其證法與命題1的證明類似,限于篇幅,不再給出證明過程.

評(píng)注上述證法的思路比較容易想到,但從證明過程可以看出,運(yùn)算量很大,解答過程相對(duì)復(fù)雜,令人望而生畏;另外合理建立直角坐標(biāo)系也是其中一個(gè)難點(diǎn).

四、兩個(gè)命題的新穎證法(極坐標(biāo)證法)

先給出一個(gè)引理(如圖1,以焦點(diǎn)F為極點(diǎn),與準(zhǔn)線f垂直的對(duì)稱軸為極軸建立極坐標(biāo)系)：

引理在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓錐曲線Γ的方程為ρ=則 Γ 上的點(diǎn)P(ρ0,θ0)處的切線方程為ρ=

引理的證明圓錐曲線Γ的方程在直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為

由于點(diǎn)P(ρ0,θ0)在圓錐曲線Γ上,故有且點(diǎn)P(ρ0,θ0)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 (x0,y0)=(ρ0cosθ0,ρ0sinθ0).因?yàn)?/p>

故點(diǎn)P(ρ0,θ0)處的切線斜率為所以,在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)P處的切線方程為y-y0=于是在極坐標(biāo)系下點(diǎn)P處的切線的方程為ρsinθ-化簡(jiǎn)整理,得ρ[cos(θ0-θ)-ecosθ]=ρ0(1-ecosθ0), 又因ρ0=,故有ρ[cos(θ0-θ)-ecosθ]=ep,即ρ=所以引理得證.

(1)命題1的證明

如圖1,以焦點(diǎn)F為極點(diǎn),與準(zhǔn)線f垂直的對(duì)稱軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則橢圓方程為因?yàn)闄E圓和拋物線就是同心圓錐曲線,所以拋物線的極坐標(biāo)方程為.

過拋物線上一點(diǎn)A作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,設(shè)N(ρN,θ0),M(ρM,θ0+α),其中∠MFN=α,α∈(0,π).

由引理,可得M,N兩點(diǎn)處的切線方程分別為

以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,于是,化簡(jiǎn)整理,得,故α=2arccose(或由二倍角公式化為α=arccos2e2-1).所以a為定值,即∠MFN為定值.

(3)命題2的證明

如圖2,以焦點(diǎn)F為極點(diǎn),與準(zhǔn)線f垂直的對(duì)稱軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則橢圓方程為因?yàn)闄E圓和拋物線就是同心圓錐曲線,所以拋物線的極坐標(biāo)方程為

設(shè)橢圓上點(diǎn)M(ρ0,θ0),由引理,可知點(diǎn)M處的切線方程為ρ=與拋物線的方程聯(lián)立,得化簡(jiǎn)得 cos(θ0-θ)=e,于是θ0-θ=arccose或θ-θ0=arccose,即θ=θ0-arccose或θ=θ0+arccose,于是,切線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B的極角分別為θ0-arccose,θ0+arccose,故∠AFB=(θ0+arccose)-(θ0-arccose)=2arccose(或由二倍角公式化為α=arccos(2e2-1)).所以∠AFB為定值.

評(píng)注橢圓、雙曲線和拋物線可以統(tǒng)一定義為：到定點(diǎn)F的距離與到定直線l(F不在f上)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,以焦點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,可得到圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程,合理地選用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程來解答相關(guān)問題時(shí),往往能使問題的解答過程化繁為簡(jiǎn),可起到事半功倍的效果.

對(duì)比兩個(gè)命題的兩種證法,極坐標(biāo)證法減少了運(yùn)算量,避免冗長(zhǎng)的推理和運(yùn)算過程,降低思維強(qiáng)度,具有直觀、簡(jiǎn)捷、明快的特點(diǎn),解題方法新穎獨(dú)到.

五、命題的拓展

通過對(duì)上述兩個(gè)命題的探究,容易得到下列兩個(gè)命題：

命題3如圖1,設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線,F和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線,過拋物線上一點(diǎn)A作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,則FA平分∠MFN.

命題4如圖2,設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線,F和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線,過橢圓上一點(diǎn)M作橢圓的切線,且切線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則FM平分∠AFB.

命題3與命題4的證明,利用本文的引理用極坐標(biāo)法很容易證明,具體的證明過程留給感興趣的讀者.

六、命題證明后的啟示

問題探究的直接目的是為了尋求問題的解答,但是尋求解答卻不是問題探究的唯一目的.數(shù)學(xué)解題是思維的訓(xùn)練,教師要多動(dòng)腦筋,引導(dǎo)學(xué)生探研題目的一題多解,多題一解,并從中體會(huì)數(shù)學(xué)問題的探研方式與方法.使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)技能的同時(shí),感受數(shù)學(xué)本質(zhì),從而積累良好的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)運(yùn)算是課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注的核心能力,反映數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng),主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算的方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.而運(yùn)算正是解析幾何題型一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容,解析幾何題解答過程中往往伴有較大的運(yùn)算,要突破解析幾何題中的繁雜運(yùn)算,合理選擇求解方法最為重要,選對(duì)方法,才可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,縮短解題的思維長(zhǎng)度,提高解題效率.