高 倩，高 麗，梁曉艷

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

文獻(xiàn)[7]研究了偽Smarandache函數(shù)與Smarandache LCM函數(shù)的混合均值，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥2,k≥2，有漸近公式

其中αi(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

本文基于上述文獻(xiàn)，利用初等及解析的方法，證明了如下定理:

定理設(shè)k≥2是給定的正整數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2，有漸近公式

其中di(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)，ζ(n)為Riemann Zeta-函數(shù)。

1 相關(guān)引理

引理1[8，9]對(duì)任意的素?cái)?shù)p≥3即k∈N,z(pk)=pk-1。

當(dāng)p=2時(shí)，則有z(2k)=2k+1-1。

若n為任意合數(shù)時(shí)，

z(n)=max{z(m):m|n}。

引理2[10]對(duì)于任意素?cái)?shù)p，有sl(pk)=pk。

引理3[11]設(shè)實(shí)數(shù)x≥2，則有

其中ci(i=1，2，…，k)為常數(shù)且c1=1。

2 定理的證明

(1)討論集合A的情況，由引理1和2知：

(2)討論集合B的情況，由引理1知：

(1)

于是由引理3及Abel求和公式以及分部積分法有：

其中bi(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

其中ci(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

(2)

其中di(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)，ζ(n)為Riemann Zeta-函數(shù)。

(3)

其中ei(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

結(jié)合(1)(2)(3)式有

其中di(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

(3)討論集合C的情況，據(jù)z(n)的性質(zhì)及集合C的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)n∈C，當(dāng)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式n=p1α1p2α2…psαs，此時(shí)分兩種情況：

z(n)=max(z(piαi)}=piαi-1

其中αi≥2，可以判斷

綜上所述可得

其中di(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)。

于是該定理得證。