張 坤， 邸 憶,2， 顧曉輝

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094； 2.武昌理工學(xué)院 信息工程學(xué)院，武漢 430223)

坦克與直升機(jī)是現(xiàn)代地面戰(zhàn)爭中主要的突擊力量，近年來，采用聲目標(biāo)探測識別技術(shù)對其進(jìn)行識別被廣泛應(yīng)用[1]。對戰(zhàn)場聲目標(biāo)的特征提取是聲目標(biāo)識別技術(shù)中的關(guān)鍵步驟，具有良好區(qū)分度的特征有助于簡化分類器的設(shè)計(jì)，提高目標(biāo)識別率。同時兩者的聲信號表現(xiàn)出非平穩(wěn)、非線性、短時、強(qiáng)噪聲的特點(diǎn)增加了特征提取的難度，所以對戰(zhàn)場聲目標(biāo)的特征提取的研究具有重要意義。

傳統(tǒng)的識別方法是針對信號的時域與頻域進(jìn)行特征提取來進(jìn)行識別[2]。為表征信號的非線性行為，可采用分形維數(shù)進(jìn)行描述[3-6]。文獻(xiàn)[7]就采用分形維數(shù)對戰(zhàn)場聲目標(biāo)進(jìn)行了特征提取的研究，說明了該方法的可行性。但在實(shí)際應(yīng)用中單一的分形維數(shù)只能從整體來反映信號的不規(guī)則性，而多重分形維數(shù)可以精確的體現(xiàn)信號的局部奇異性[8]。計(jì)算多重分形維數(shù)的方法一般運(yùn)用盒計(jì)數(shù)法，該方法采用了規(guī)則的網(wǎng)格劃分，這會造成一定的計(jì)算誤差，且計(jì)算量較大[9]。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)計(jì)算多重分形維數(shù)的方法，該方法無需網(wǎng)格劃分，運(yùn)用形態(tài)學(xué)的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行覆蓋，具有精度較高，便于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此在齒輪運(yùn)動狀態(tài)的識別中取得了良好的效果。然而將上述方法應(yīng)用于戰(zhàn)場聲目標(biāo)識別時發(fā)現(xiàn)，不同類目標(biāo)聲信號的分形維數(shù)特征區(qū)分度不明顯，目標(biāo)識別精度較低。

為了能夠快速提取的聲目標(biāo)的有效特征參量，本文在已有的形態(tài)學(xué)多重分形維數(shù)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于雙維度變化的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)多重分形計(jì)算方法。為達(dá)到改變原有計(jì)算方法得到的分形維數(shù)偏小的問題，使尺度在時間與幅值上均發(fā)生改變，重新定義了配分函數(shù)，同時引入回歸分析對分形尺度與本文所提的分配函數(shù)進(jìn)行擬合，保證了兩點(diǎn)法求斜率作為分形特征的準(zhǔn)確性，再以運(yùn)算速度與識別率為標(biāo)準(zhǔn)，篩選出最優(yōu)的兩個尺度直接計(jì)算多重分形維數(shù)。半實(shí)物仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法得到的多重分形維數(shù)結(jié)果更符合分形理論的要求，且計(jì)算效率較已有算法有了明顯提升，同時將本文算法和文獻(xiàn)[10]算法運(yùn)用于戰(zhàn)場聲目標(biāo)的特征提取與識別，在相同條件下，本文算法提取的特征具有更高的識別率。

1 多重分形維數(shù)

信號的多重分形是用譜函數(shù)來描述信號的不同層次的分形特征，計(jì)算多重分形譜的過程較復(fù)雜，一般采用配分函數(shù)法進(jìn)行定義[11]。在尺度ε下，沿時間軸將信號劃分為單位長為ε的信號段，第i段信號的幅值之和為si(ε)，所有幅值之和為∑si(ε)，得第i段信號的配分函數(shù)為

(1)

假設(shè)信號被分為N段，在尺度ε下，由廣義維數(shù)方法得到譜函數(shù)的表達(dá)式為

(2)

多重分形維數(shù)定義為

(3)

當(dāng)q=0時為容量維數(shù)

(4)

當(dāng)q=1時為信息維數(shù)

(5)

當(dāng)q=2時為關(guān)聯(lián)維數(shù)

(6)

由此可見，多重分形維數(shù)涉及了分形理論大部分分形維數(shù)。它的引入在一定程度上彌補(bǔ)了單重分形維數(shù)只能從單一測度描述信號的缺點(diǎn)，使信號的分形特征得到了拓展，能從多個測度對信號進(jìn)行描述，為分形學(xué)應(yīng)用于時間序列的信號處理提供了理論基礎(chǔ)[12-13]。同時多重分形維數(shù)計(jì)算主要涉及加減運(yùn)算，乘除運(yùn)算很少，為實(shí)現(xiàn)信號的快速處理提供了一種極佳選擇。

2 雙維度變化的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的多重分形

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法的基本思想是用一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量信號。在保證信號基本形態(tài)不變的前提下，用結(jié)構(gòu)元素覆蓋信號，從而去除信號中的細(xì)節(jié)得到簡化的數(shù)據(jù)，使用的結(jié)構(gòu)元尺度越小，得到信號細(xì)節(jié)的就越豐富。分形維數(shù)的估計(jì)方法也是在不同尺度下對信號進(jìn)行的一種度量，因此數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就提供了一種極佳的求解分形維數(shù)的方法[14]。但一般基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)計(jì)算多重維數(shù)，尺度僅在信號幅值域變化，當(dāng)信號長度較大時，會導(dǎo)致計(jì)算的配分函數(shù)差異不明顯，未能達(dá)到尺度變化后，度量也發(fā)生變化的要求，求出的多重分形維數(shù)也就無法反映信號的非線性特征。本文提出在時間域與幅值雙維度尺度進(jìn)行變化，就可以解決該問題，更好的反映出信號的非線性特征。

2.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)覆蓋

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算包括腐蝕與膨脹。設(shè)f(n)和g(m)分別定義在F={0,1,2,…,N-1}和G{0,1,2,…,M-1}上的離散函數(shù)，且N?M。f(n)為輸入信號，g(m)為結(jié)構(gòu)元素。

則f(n)關(guān)于g(m)的腐蝕定義為

(7)

則f(n)關(guān)于g(m)的膨脹定義為

(8)

腐蝕與膨脹運(yùn)算具有信號濾波的作用，一般腐蝕運(yùn)算減小了信號的峰值，填補(bǔ)了信號的谷底；膨脹運(yùn)算擴(kuò)大了峰頂，增大了信號谷值。采用這兩種運(yùn)算可構(gòu)筑信號的輪廓線，從而完整覆蓋信號，為分形維數(shù)的計(jì)算提供基礎(chǔ)[15]。

假設(shè)離散信號f(n)，n=1,2,…,N，單元結(jié)構(gòu)元素定義為g，在尺度ε下所用結(jié)構(gòu)元素定義為

(9)

則信號在尺度ε下的形態(tài)覆蓋面積Ag(ε)為

(10)

2.2 雙維度變化的形態(tài)學(xué)分形維數(shù)計(jì)算方法

對信號完成形態(tài)學(xué)覆蓋后，根據(jù)多重分形的定義，關(guān)鍵在于分配函數(shù)的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[10]提出的配分函數(shù)Pi(ε)定義為

(11)

式中：f⊕εg(n)-fΘεg(n)相當(dāng)于對f(n)的離散值進(jìn)行覆蓋，作用如同單個網(wǎng)格上的盒子數(shù)。根據(jù)式(2)與式(3),利用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)(lnε,Kq(ε))，其斜率即為多重分形維數(shù)Dq(ε)。該種方法在計(jì)算每個尺度下的分配函數(shù)時，項(xiàng)數(shù)與信號數(shù)據(jù)量相同，信號數(shù)據(jù)量較大時，Pi(ε)會很小，且隨尺度的變化不夠明顯，這會造成計(jì)算出的分形維數(shù)失真。

本文提出的改進(jìn)方法主要是配分函數(shù)的算法與文獻(xiàn)[10]的不同。借鑒盒計(jì)數(shù)法的思想，在對信號進(jìn)行形態(tài)學(xué)覆蓋后，每次計(jì)算配分函數(shù)的項(xiàng)數(shù)也應(yīng)隨尺度的變化而變化，即在時間維度與幅值維度均進(jìn)行變化。膨脹與腐蝕運(yùn)算完成對幅值域的變化，根據(jù)尺度確定配分函數(shù)個數(shù)即對時間域的變化。這兩種變化同步進(jìn)行，相較原方法中僅有信號幅值發(fā)生尺度變化，每次的變化程度更大。隨著尺度越大，對信號的描述就越粗略，配分函數(shù)的項(xiàng)數(shù)就越少。相對于原方法配分函數(shù)個數(shù)不變，得出分形維數(shù)精度更高。定義的基于雙維度變化的配分函數(shù)(Double Dimensions Changed Distributed Function, DDCDF)為

(12)

則譜函數(shù)變?yōu)?/p>

(13)

即計(jì)算的“盒子”不僅在幅值上隨尺度變化，在時間軸上也隨著尺度變化，改變了文獻(xiàn)[10]方法中尺度僅沿幅值變化的狀況。但尺度選擇上應(yīng)滿足N/ε為正整數(shù)的關(guān)系。采用該種算法可將文獻(xiàn)[10]算法中較多的乘除運(yùn)算改為加法運(yùn)算，大大減少了運(yùn)算量，也更符合分形中尺度變化的思想。同時解決了當(dāng)信號長度較大時，計(jì)算的分形維數(shù)不能夠反映出信號非線性的問題。計(jì)算出分配函數(shù)Pi(ε)與譜函數(shù)Kq(ε)后，就可由式(3)得到多重分形維數(shù)Dq。

在利用式(3)計(jì)算多重分形維數(shù)時，多采用最小二乘法擬合，然后計(jì)算擬合直線的斜率，作為多重分形維數(shù)Dq的結(jié)果。本文通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸證明與相關(guān)性檢驗(yàn)說明譜函數(shù)Kq(ε)與尺度lnε滿足極好的線性關(guān)系，為選取其中兩點(diǎn)直接計(jì)算(lnε,Kq(ε))的斜率奠定了數(shù)據(jù)與理論基礎(chǔ)。再以運(yùn)算速度與目標(biāo)識別率為標(biāo)準(zhǔn)，篩選了最優(yōu)的兩個尺度作為擬合直線的兩點(diǎn)，直接計(jì)算斜率作為多重分形維數(shù)。

3 試驗(yàn)分析與比較

為說明本文方法的可行性與有效性，進(jìn)行了半實(shí)物的仿真試驗(yàn)。圖1所示為原理圖，四個相同的聲傳感器S1，S2，S3，S4均勻布置在半徑為25 cm的圓盤平臺上，聲源距圓盤圓心處距離為333 cm。

圖1 聲信號采集原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of acoustic collection

聲源及裝置均保持靜止。采用PXI數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)對聲信號進(jìn)行采集，采樣頻率為20 kHz，量程-4～+4 V。實(shí)物圖如圖2所示。

圖2 聲信號采集裝置實(shí)物圖Fig.2 Acoustic collected platform

利用該裝置采集坦克與直升機(jī)聲目標(biāo)，測量信號的長度均為1 024個采樣點(diǎn)，信號在處理前經(jīng)過了調(diào)理電路進(jìn)行了濾波預(yù)處理，所得的坦克與直升機(jī)的聲信號與頻譜如圖3所示。

圖3 聲信號時域與頻域圖Fig.3 Acoustic signals and frequency spectrum

通過兩種聲音的頻譜圖可知，坦克與直升機(jī)聲的主要能量集中約在0～3 000 Hz，同時直升機(jī)聲較坦克聲有著更多高頻分量，這在時域圖上的表現(xiàn)是振動的幅度和頻率較大，這也為利用多重分形對兩種信號進(jìn)行特征提取提供了基礎(chǔ)。

以一組坦克聲信號為例，說明改進(jìn)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)多重分形維數(shù)計(jì)算方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法估計(jì)分形維數(shù)時，關(guān)鍵在于單位結(jié)構(gòu)單元的選取與尺度的選擇。為減小運(yùn)算量且提高覆蓋信號的質(zhì)量，結(jié)構(gòu)元素選擇扁平結(jié)構(gòu)g={0,0,0}，在尺度選擇上，需要進(jìn)行線性擬合，為減小計(jì)算量，尺度采用離散化取值，最大的取值不超過信號長度的一半，但所取值須能被信號長度整除，以保證計(jì)算的精度。由于信號樣本長度均為1 024，為滿足N/ε為正整數(shù)，則尺度ε∈[2,4,8,16,32,64,128,256,512]。對信號進(jìn)行形態(tài)學(xué)覆蓋，圖4為選取尺度為8與16的結(jié)構(gòu)元素對一組典型的坦克聲與直升機(jī)聲信號進(jìn)行了形態(tài)學(xué)覆蓋。

圖4 兩種聲信號形態(tài)學(xué)覆蓋圖Fig.4 Morphological cover of the two kinds of signals

對信號進(jìn)行形態(tài)學(xué)覆蓋后，根據(jù)式(12)與式(13)計(jì)算配分函數(shù)Pi(ε)與譜函數(shù)Kq(ε)，q=2,3,…,10，表示為譜函數(shù)中的指數(shù)。為證明Kq(ε)與lnε的線性關(guān)系首先需要對回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)[16]，再進(jìn)行相關(guān)分析說明兩個變量的相關(guān)程度。引入回歸系數(shù)β，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Fq(ε)，將(lnε,Kq(ε))經(jīng)最小二乘法擬合得

(14)

(15)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，假設(shè)：β=0則

Fq～Fα(1,n-2)

(16)

式中：α為顯著性水平，一般令α=0.01，因?yàn)闃颖军c(diǎn)(lnε,Kq(ε))個數(shù)為9則得臨界值為

F0.99(1,7)=12.2

(17)

若Fq≥F0.99(1,7)，則可認(rèn)為線性回歸效果顯著。通過回歸檢驗(yàn)，需對兩個變量進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)，引入總體相關(guān)系數(shù)γq與樣本相關(guān)系數(shù)rq分別表示當(dāng)譜函數(shù)指數(shù)中q為時的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量，滿足式(18)

(18)

rq的計(jì)算公式與γq相同，由于樣本相關(guān)系數(shù)rq是總體相關(guān)系數(shù)γq的一致估計(jì)量，能否真實(shí)表現(xiàn)變量總體的相關(guān)情況受到隨機(jī)因素于樣本總量的影響，故需對其檢驗(yàn)。總體相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)上用t檢驗(yàn)。

假設(shè)：τq=0則

(19)

當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)為0時，統(tǒng)計(jì)量t1服從t分布。一般設(shè)顯著性水平α=0.01，因?yàn)闃颖军c(diǎn)(lnε,Kq(ε))個數(shù)為9則

tα/2(9-2)=3.499

(20)

若tq>tα/2(7)則認(rèn)為rq通過了顯著性檢驗(yàn)，可認(rèn)為lnε與Kq(ε)滿足線性關(guān)系。

選取坦克與直升機(jī)聲信號各60組，分別計(jì)算了這120組聲信號的Fq值與tq值，發(fā)現(xiàn)均滿足Fq≥F0.99(1,7)與tq>tα/2(7)，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于條件值，說明(lnε,Kq(ε))滿足良好的線性關(guān)系。隨機(jī)選取其中5組聲信號的Fq與tq，如表1和表2所示。

以表1以及表2中的聲信號1為例，當(dāng)q=2,3,…,10時，統(tǒng)計(jì)量最小為F10=3 617.86，t10=60.15均遠(yuǎn)大于條件值F0.99(1,7)與tα/2(7)，說明通過聲信號1計(jì)算得到的(lnε,Kq(ε))滿足線性關(guān)系，使用兩點(diǎn)直接計(jì)算斜率仍能保證很高的擬合精度。同樣地，其他聲信號的Fq和tq計(jì)算結(jié)果均表現(xiàn)出了較高的擬合精度，故可選擇其中的兩點(diǎn)來計(jì)算這120組聲信號的改進(jìn)的多重分形維數(shù)。

表1 5組聲信號的Fq值

表2 5組聲信號的tq值

由此分析可知：ε∈[2,4,8,16,32,64,128,256,512]，則一共應(yīng)有36種組合。為篩選出最優(yōu)的尺度組合，以計(jì)算所得多重分形維數(shù)為特征輸入，利用支持向量機(jī)進(jìn)行兩種聲目標(biāo)的識別，選取60組聲信號作為訓(xùn)練集，另外60組作為測試集，分別比較這36個組合的識別率與計(jì)算速度，根據(jù)需要選擇識別率高，運(yùn)算速度相對較快的一組。其識別率以及運(yùn)算速度(指計(jì)算10組信號多重分形維數(shù)的時間)，如圖5所示。

圖5 不同尺度組合下的運(yùn)算時間與識別率Fig.5 The computing times and recognized rates of the different scale groups

由圖5選取運(yùn)算時間在0.6 s以下，而識別率在85%以上的為最優(yōu)組合，其中當(dāng)ε=[16,256]時為最優(yōu)解。此時用時為0.57 s，識別率為90%。選取坦克與直升機(jī)聲信號各10組采用本文提出的改進(jìn)快速算法，選擇尺度為ε=[16,256]，計(jì)算這20組聲信號的多重分形維數(shù)，并與文獻(xiàn)[10]的方法進(jìn)行比較，提取的多重分形維數(shù)譜圖如圖6、圖7所示。

圖6 本文方法(DDCDF)提取的多重分形維數(shù)Fig.6 Multifractal dimension calculated by DDCDF

由圖6可知，坦克聲信號的多重分形維數(shù)基本大于直升機(jī)的多重分形維數(shù)，但中間仍有少許混雜。采用文獻(xiàn)[10]的方法得出兩者的多重分形維數(shù)混雜較為嚴(yán)重，且求出的值較小均為負(fù)值，而本文提出的算法計(jì)算的多重維數(shù)基本在[0.8,1]，更利于后續(xù)的目標(biāo)識別。本文方法較文獻(xiàn)[10]最大優(yōu)勢在于運(yùn)算速度的提高。為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算，文獻(xiàn)[10]算法中選擇的尺度為ε=[2,4,8,16,32,64,128,256]，需要進(jìn)行8次形態(tài)覆蓋，又因?yàn)樾盘栭L度為1 024，計(jì)算配分函數(shù)需要1 024次除法，則計(jì)算一組信號的維數(shù)就需要次除法運(yùn)算。本文方法選擇了ε=[16,256]，只需兩次形態(tài)學(xué)覆蓋，同時計(jì)算分配函數(shù)時需要2 048次加法運(yùn)算和69次除法運(yùn)算，則文獻(xiàn)[10]方法計(jì)算復(fù)雜度為O(4m×n)，本文方法為O(m×n)，計(jì)算120組聲信號的多重分形維數(shù)，本文方法用時5.16 s,而文獻(xiàn)[10]的算法需用時21.41 s,在運(yùn)算效率上有了明顯提升。

圖7 文獻(xiàn)[10]提取的多重分形維數(shù)Fig.7 Multifractal dimension proposed by article [10]

為比較本文算法與文獻(xiàn)[10]算法提取的特征用于戰(zhàn)場聲目標(biāo)識別的差異，選取直升機(jī)與坦克聲信號各120組，分別用本文方法與文獻(xiàn)[10]的方法提取的多重分形維數(shù)作為聲音識別的特征，采用支持向量機(jī)進(jìn)行識別，其識別結(jié)果如表3所示。

表3 兩種方法識別結(jié)果比較

由表可見采用本文方法在兩類目標(biāo)識別上均要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)[10]的方法，且直升機(jī)聲的識別率達(dá)到了93.4%。通過以上比較可知，本文提出的改進(jìn)方法在戰(zhàn)場聲目標(biāo)識別方面從運(yùn)算速率與識別精度上均要優(yōu)于文獻(xiàn)[10]提出的方法，總識別率高了23.5%。

4 結(jié) 論

(1)本文提出了一種基于雙維度變化的形態(tài)學(xué)多重分形計(jì)算方法，并運(yùn)用于戰(zhàn)場聲目標(biāo)識別。為減少運(yùn)算量使結(jié)果更精確，重新定義了配分函數(shù)，使時間與幅值兩個維度都可進(jìn)行改變，相較之前僅在幅值域上改變，更符合分形維數(shù)計(jì)算的理論要求。

(2)分形維數(shù)實(shí)質(zhì)為(lnε,Kq(ε))擬合直線的斜率，本文使用線性回歸的理論證明了擬合直線的精度很高，可由兩點(diǎn)直接計(jì)算斜率而保證精度。再以運(yùn)算速度與識別率為標(biāo)準(zhǔn)，篩選出最優(yōu)的兩個尺度直接計(jì)算多重分形維數(shù)。減少了形態(tài)學(xué)覆蓋的次數(shù)，進(jìn)一步減少了運(yùn)算量。

(3)在半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用本文提出的改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[10]提出的形態(tài)學(xué)分形計(jì)算方法在計(jì)算速度與聲目標(biāo)識別率上進(jìn)行了對比，結(jié)果表明，本文方法計(jì)算復(fù)雜度為O(m×n)，文獻(xiàn)[10]方法計(jì)算復(fù)雜度O(4m×n)，而識別率上比文獻(xiàn)[10]的方法高了23.5%。該種算法主要涉及加減運(yùn)算，也適用于硬件實(shí)現(xiàn)，為戰(zhàn)場聲目標(biāo)識別的應(yīng)用提供了一種更為有效的方法。