宋曉宇， 尹忠俊， 陳 兵

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083)

生活中，人們常用“一盤散沙”來形容一些渙散的、無組織的系統(tǒng)或者群體。但對于受振顆粒體系，顆粒之間的運(yùn)動并不是互不相關(guān)的，而是通過顆粒間的摩擦與碰撞表現(xiàn)出整體性或協(xié)同性。顆粒阻尼器就是利用顆粒與顆粒以及顆粒與腔壁之間的非彈性碰撞和摩擦消耗系統(tǒng)的能量，從而達(dá)到減振的目的[1-2]。

由于顆粒阻尼復(fù)雜的非線性耗能機(jī)理，關(guān)于顆粒的研究主要以實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真為主要手段。Yang[3]設(shè)計了多項試驗(yàn)，細(xì)致研究了激振頻率、振幅、顆粒填充率、尺寸等因素對顆粒阻尼有效質(zhì)量和損耗功率的影響規(guī)律。Wong等[4]采用離散元的方法，在充分考慮顆粒的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的前提下，使用彈簧、阻尼以及滑動摩擦界面來建立模型，并測量恢復(fù)力系數(shù)以及界面摩擦因數(shù)來預(yù)測其能量損耗，具有較高的精度和計算效率。毛寬民等[5-6]從顆粒微觀力學(xué)角度研究了非阻塞性微顆粒阻尼(Non-Otstructive Particle Damping,NOPD)的作用機(jī)理，并對顆粒與主結(jié)構(gòu)之間的能量傳遞及該過程中的能量損耗進(jìn)行了定量的分析，發(fā)現(xiàn)NOPD的摩擦耗能量與沖擊耗能量具有相同的量級。姚冰等[7-8]對顆粒的減振機(jī)理以及在直升機(jī)葉片上的應(yīng)用[9]等多方面進(jìn)行了深入研究并取得了一些有意義的成果。胡溧等[10-11]對顆粒阻尼的動態(tài)特性以及影響顆粒阻尼的內(nèi)外因素進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究。

近年來，顆粒阻尼在建筑領(lǐng)域也越來越被重視。魯正等[12-13]將調(diào)諧質(zhì)量阻尼器與顆粒阻尼器相結(jié)合，擴(kuò)大了減振頻帶，增加了減振的魯棒性，并將其引入高層建筑風(fēng)振控制領(lǐng)域，通過風(fēng)洞試驗(yàn)以及近似的數(shù)值模擬方法對這種新型阻尼形式的阻尼特性進(jìn)行了深入的研究。趙玲等[14]以空心柱為研究對象，通過自由振動試驗(yàn)系統(tǒng)研究了顆粒參數(shù)(顆粒材料、填充率、質(zhì)量比等)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)減振效果的影響。

然而，目前對顆粒阻尼的研究主要集中在外界激勵和顆粒本身參數(shù)對阻尼效果的影響，關(guān)于顆粒對系統(tǒng)沖擊方式造成的能量耗散差異的研究仍沒有深入展開。振動顆粒間存在著非彈性碰撞和摩擦，導(dǎo)致顆粒體系能迅速耗散掉顆粒自身及外界輸入的動能，這也使得顆粒的運(yùn)動具有整體性，體現(xiàn)為顆粒對容器底部的沖擊力呈現(xiàn)窄脈沖式[15]。在不同的振動強(qiáng)度下，顆粒對系統(tǒng)的沖擊力會表現(xiàn)出沖擊分岔現(xiàn)象[16-17]。

隨著計算機(jī)性能的提升以及離散單元法[18]的完善，該方法已經(jīng)成為研究顆粒運(yùn)動的重要方法?；陔x散單元法的EDEM仿真可以跟蹤區(qū)域內(nèi)每個顆粒的受力狀態(tài)與速度矢量，極大地突破了實(shí)驗(yàn)中由于測量手段單一所帶來的局限性。

為探究沖擊形式與損耗功率之間的依賴關(guān)系。本文采用離散單元法對圓柱形和圓臺形兩類容器(共6種)的顆粒阻尼器進(jìn)行了不同工況的研究。首先將圓柱Ⅰ與圓臺Ⅳ進(jìn)行對比復(fù)現(xiàn)顆粒間的相互作用過程，通過分析沖擊形式解釋產(chǎn)生能耗差異的微觀本質(zhì)。然后研究腔壁傾角的漸變過程，得出腔壁傾角、沖擊形式以及能量耗損之間的相互關(guān)系。

1 仿真模型及參數(shù)

1.1 離散單元法

接觸模型是離散單元理論的核心。本文的仿真實(shí)驗(yàn)均采用軟顆粒接觸模型，該模型中將顆粒單元的接觸過程進(jìn)行法向和切向分解，其法向接觸力方程為

(1)

顆粒單元的切向運(yùn)動可分解為切向滑動與顆粒單元的滾動

(2)

(3)

式中：mij為顆粒單元i，j的等效質(zhì)量；Iij而為顆粒單元的等效轉(zhuǎn)動慣量；s為旋轉(zhuǎn)半徑；un，us分別為顆粒單元的法向和切向相對位移；θ為顆粒單元自身的旋轉(zhuǎn)角；Fnij，F(xiàn)sij分別為顆粒單元所受外力的方向和切向分量；Mij為顆粒所受外力矩；cn，cs分別為接觸模型中的法向和切向阻尼系數(shù)；Kn，Ks分別為接觸模型中法向及切向剛度系數(shù)。

由Hertz[19]接觸理論顆粒之間與作用力之間的關(guān)系為

(4)

(5)

(6)

式中：a為接觸圓半徑；α為法向疊合量；q0為最大接觸壓力；F為顆粒之間的總壓力；Ri和Rj分別為兩接觸顆粒的半徑；ki，kj分別為顆粒的壓力分布比例尺。

(7)

(8)

式中：vi，vj分別為兩接觸顆粒的泊松比；Ei，Ej為兩接觸顆粒的彈性模量。則法向剛度系數(shù)表達(dá)式為

(9)

根據(jù)Mindlin切向接觸力求解方法[20]，得到切線剛度計算公式

(10)

式中：Gi，Gj分別為兩顆粒單元的剪切模量。

由牛頓第二定律，可以得到顆粒的運(yùn)動方程為

(11)

利用中心差分法[21]對式(11)進(jìn)行數(shù)值積分，得到以兩次迭代步長的中間點(diǎn)的更新速度為

(12)

式中： Δt為時間步長。

對式(12)進(jìn)行積分處理，則可以得到位移等式

(13)

進(jìn)行再次積分則可以得到位移更新表達(dá)式

(14)

由此，可以得到新的位移，然后帶入力-位移關(guān)系式運(yùn)用牛頓第二定律計算新的作用力，實(shí)現(xiàn)跟蹤每個顆粒在任意時刻的運(yùn)動。

1.2 仿真模型

本文建立的3D NOPD顆粒系統(tǒng)仿真模型，如圖1所示。包括圓柱形容器和圓臺形容器兩類(共6種)。

圖1 DEM顆粒阻尼仿真模型Fig.1 DEM model of the NOPD

所有容器的高H均為40 mm，下端面直徑D2為14.2 mm(除圓柱Ⅱ外)，容器形狀參數(shù)見表1。文中涉及的所有顆粒阻尼器除形狀外，其它參數(shù)設(shè)置(包括材質(zhì)參數(shù)、顆粒參數(shù)等)均嚴(yán)格一致。其中圓柱Ⅰ的模型及材料等參數(shù)都是基于姜澤輝等研究中所用實(shí)驗(yàn)材料而設(shè)定，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表2所示。在仿真過程中阻尼器受到豎直向上的正弦激勵，保持振動頻率f=60 Hz不變，振動強(qiáng)度Γ分別為2.63，3.83，8.06，8.75，9.64，11.72，12.61，14.56，15.72，具體選取原則見姜澤輝等的研究。

表1 DEM仿真容器形狀參數(shù)

表2 DEM仿真材料特性及參數(shù)

2 結(jié)果與討論

2.1 模型驗(yàn)證以及沖擊形式的比較

通過分析圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的沖擊結(jié)果(見圖2)發(fā)現(xiàn)，在Γ=9.64和Γ=14.56時，沖擊信號內(nèi)分別存在20 Hz和15 Hz的諧波，說明在Γ=9.64和Γ=14.56時容器內(nèi)顆粒產(chǎn)生周期分岔現(xiàn)象(分別為三倍周期分岔和四倍周期分岔)。而在Γ=2.63時并沒有諧波的出現(xiàn)，所以此時顆粒并沒有產(chǎn)生分岔。以上結(jié)果與姜澤輝等所得的結(jié)論一致。通過圖3也發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果與姜澤輝等研究中(文獻(xiàn)中圖1)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，所以本文中仿真模型以及相關(guān)參數(shù)設(shè)定比較可靠。

圖2 圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)沖擊力信號的FFT頻譜圖Fig.2 FFT spectrogram of particle-to-system impact in cylinder Ⅰ

為了突出對比結(jié)果，本文首先將傾角最大的圓臺Ⅳ與圓柱Ⅰ進(jìn)行對比。仿真結(jié)果顯示，在振動強(qiáng)度以及其它參數(shù)一定的條件下，兩種容器內(nèi)的顆粒對系統(tǒng)呈現(xiàn)出截然不同的沖擊方式(見圖4)。在振動強(qiáng)度較低時(Γ=2.63,Γ=3.83)，顆粒對兩種容器的沖擊次數(shù)以及沖擊力度基本相同。但是隨著振動強(qiáng)度的提高，圓柱Ⅰ內(nèi)的顆粒出現(xiàn)了非常規(guī)律的周期分岔現(xiàn)象(表現(xiàn)為沖擊脈沖稀疏)，而圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的沖擊次數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于圓柱形。也就是，隨著振動強(qiáng)度的提高，圓臺Ⅳ對沖擊力的分岔現(xiàn)象表現(xiàn)出明顯的抑制作用。

由圖4可知，當(dāng)Γ=14.56時，在0.2 s內(nèi)圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的平均沖擊力為2.04 N，沖擊次數(shù)為8次；圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的平均沖擊力為4.2 N，沖擊次數(shù)為4次。在該強(qiáng)度下，圓臺形容器內(nèi)顆粒每次對系統(tǒng)的平均沖擊力僅為圓柱形的51%，但沖擊次數(shù)幾乎是其二倍。所以本文中將圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的這種沖擊形式稱為“小而密”型，圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的沖擊形式稱為“大而疏”型。研究發(fā)現(xiàn)造成二者沖擊形式不同的原因主要與容器內(nèi)顆粒的運(yùn)動形式有關(guān)。

圖3 圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒對系統(tǒng)的沖擊力隨時間的變化Fig.3 The impact force of particles-to-system in cylinder Ⅰover time

注：由下到上振動強(qiáng)度依次為2.63，3.83，8.06，9.64，11.72，12.61，14.56，15.72圖4 顆粒對系統(tǒng)的沖擊力隨時間的變化Fig.4 The impact force of particles-system over time

以Γ=9.64為例，在一個周期內(nèi)(見圖5)，顆粒的運(yùn)動基本可以分為四個階段，分別是上升階段、過渡階段、下降階段和沖擊階段。每個周期開始顆粒都會以振動臺的速度被彈起，顆粒進(jìn)入上升階段。

在圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒運(yùn)動有很強(qiáng)的整體性，顆粒被彈起后以一個比較大的整體速度向上飛行。由于在該振動強(qiáng)度下顆粒的飛行時間大于振動臺的振動周期且顆粒的向上位移較大，所以在顆粒的上升階段、第一個過渡階段和下降過程中振動臺已經(jīng)做了2次“空載”運(yùn)動，在沖擊階段顆粒被再次彈起時，振動臺恰好完成了三個周期的運(yùn)動。

圖5 容器內(nèi)顆粒運(yùn)動形式隨時間變化Fig.5 The form of particle movement in the container changes over time

反觀圓臺Ⅳ內(nèi)的顆粒則有明顯的區(qū)域運(yùn)動形式。由于在運(yùn)動過程中容器底部靠近內(nèi)壁處的顆粒一直受到側(cè)壁與中心區(qū)域顆粒的強(qiáng)烈擠壓，使其向上運(yùn)動的速度分量比較小，在整個飛行過程中運(yùn)動位移也比較小，所以在過渡階段顆粒群底部的顆粒有機(jī)會與處于上升階段的容器底部進(jìn)行沖擊，在該過程中容器隨振動臺運(yùn)動了兩個周期所以底部顆粒可以在過渡階段與容器底部沖擊兩次(圖帶黑點(diǎn)圖表示顆粒與系統(tǒng)底部沖擊瞬時)。隨后顆粒群整體進(jìn)入下降階段，在沖擊階段時，顆粒群再次有容器底部發(fā)生第三次沖擊。

在其它振動條件下，同樣也是由于圓臺Ⅳ內(nèi)位于顆粒群底部的顆粒因?yàn)槭軅?cè)壁與中心區(qū)域顆粒的擠壓而使其向上的位移分量較小，從而有機(jī)會與處于上升階段的容器底部發(fā)生沖擊。相比圓柱Ⅰ，圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒的這種運(yùn)動形式使其對沖擊力的分岔現(xiàn)象有了一定的抑制作用。在相同的振動條件下，圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒的沖擊次數(shù)要多于圓柱Ⅰ內(nèi)的顆粒。

2.2 沖擊形式對能量損耗的影響

顆粒阻尼器的耗能主要是通過阻尼器內(nèi)顆粒之間的摩擦、碰撞所引起的。由圖6可知，顆粒沖擊與能量

圖6 圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒瞬時能量損耗以及沖擊力隨時間的變化(振動條件：f=60 Hz, Γ=3.83)Fig.6 Instantaneous energy dissipation and impact force of particles in conical container Ⅳ over time(vibration conditions: f=60 Hz, Γ=3.83)

損耗具有一定的同步性。顆粒每次沖擊容器底部時都會造成顆粒間比較強(qiáng)烈的碰撞與摩擦從而產(chǎn)生大的能量耗散。并且沖擊力的大小與能量損耗量也有一定的正比關(guān)系，大沖擊力對應(yīng)的瞬時耗能也大，反之亦然。

通過圖7可知，顆粒的能量損耗累積圖呈現(xiàn)階梯型，當(dāng)顆粒處于飛行過程時，顆粒的能量損耗幾乎為零。當(dāng)顆粒與容器底部發(fā)生沖擊時，在圖中的能量損耗累積線就會出現(xiàn)一個比較明顯的階梯[22]，并且階梯的大小與沖擊力的大小存在一定的正比關(guān)系，沖擊力度大能量損耗就大。在振動強(qiáng)度較小(Γ=2.63)時，兩種容器內(nèi)的能量損耗幾乎相同(見圖7)。但是，隨著振動強(qiáng)度的提高，圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象，沖擊力呈現(xiàn)“大而疏”的沖擊形式，能量損耗累積階梯也相應(yīng)的呈現(xiàn)階梯“大而少”型。相比于圓柱Ⅰ，圓臺Ⅳ由于其顆粒運(yùn)動的獨(dú)特性，顆粒對系統(tǒng)的沖擊呈“多而密”型。同樣，其能量損耗累積也呈現(xiàn)相應(yīng)的階梯“小而多”型。值得注意的是，兩種不同的沖擊方式所對應(yīng)的能量耗散量是不同的。圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒的“小而密”的沖擊方式所產(chǎn)生的能量損耗要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒的能量損耗，這顯示了“小而密”型沖擊形式的優(yōu)越性。

圖7 0.2 s內(nèi)圓臺Ⅳ和圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒的能量損耗累積Fig.7 Accumulation of energy dissipation of particles in cylinder container Ⅰ and conical container Ⅳ within 0.2 s

為了充分說明沖擊形式與損耗功率之間的依賴關(guān)系，本文在以上對圓柱Ⅰ與圓臺Ⅳ內(nèi)顆粒運(yùn)動形式深入對比的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對比分析了不同阻尼器內(nèi)顆粒床的振動與耗能特性。圖8中列舉了6種不同容器的顆粒阻尼器在各個振動強(qiáng)度下的損耗功率，并且以圓柱Ⅰ的沖擊次數(shù)為基數(shù)1，得出在相同振動條件下其它形狀容器內(nèi)顆粒沖擊次數(shù)與圓柱Ⅰ內(nèi)沖擊次數(shù)的比值曲線。

首先，圓柱Ⅰ和圓柱Ⅱ的曲線變化顯示，盡管容器高徑比發(fā)生了變化(導(dǎo)致顆粒填充率發(fā)生變化)，但是二者在相同振動條件下的沖擊次數(shù)比值基本接近1，損耗功率在較小范圍內(nèi)波動。即該變化并沒有對二者的沖擊形式以及相應(yīng)的損耗功率造成顯著影響。本文中其它種類容器內(nèi)顆粒的填充率均介于圓柱Ⅰ與圓柱Ⅱ的填充率之間，所以由傾角變化引起的填充率的較小波動并不是造成兩類容器沖擊形式以及損耗功率差異的主導(dǎo)因素。

總體上看，損耗功率與沖擊次數(shù)比的曲線具有相同的變化趨勢。在振動水平較低時(Γ=2.63，Γ=3.83)，6種阻尼器的沖擊形式基本相同(沖擊次數(shù)比基本為1)，損耗功率也都穩(wěn)定在約0.005 W。但是，隨著激振強(qiáng)度的提高(Γ>3.83)，圓臺形容器抑制沖擊力周期分岔的能力逐漸顯現(xiàn)，圓臺形與圓柱形容器所對應(yīng)的沖擊形式以及損耗功率也開始出現(xiàn)分化。尤其是在?！?.64時，除圓臺Ⅰ外所有圓臺的沖擊次數(shù)都是相同振動條件下圓柱Ⅰ內(nèi)顆粒沖擊次數(shù)的二倍以上，此時圓臺形阻尼器相對應(yīng)的損耗功率也遠(yuǎn)大于圓柱形阻尼器所對應(yīng)的損耗功率。并且隨著振動強(qiáng)度的繼續(xù)增強(qiáng)，這兩類容器的沖擊形式以及損耗功率之間的差異將進(jìn)一步擴(kuò)大。

圓臺形容器傾角的漸變(上端面直徑的變化)引起了損耗功率的改變，但這種改變是基于沖擊形式的變化(見圖8)。例如，圓臺形Ⅰ傾角較小，沖擊次數(shù)介于圓柱Ⅰ、圓柱Ⅱ與圓臺Ⅱ、圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ之間，顆粒床對沖擊力周期分岔的抑制能力較弱，所以其損耗功率雖然高于圓柱形容器但明顯小于圓臺Ⅱ、圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ。不過值得注意的是，雖然圓臺Ⅲ、圓臺Ⅳ的傾角比圓臺形Ⅱ要大，但是由于傾角的變化并未導(dǎo)致沖擊形式的顯著變化(沖擊次數(shù)與圓臺Ⅱ相差較小)，所以其損耗功率仍沒有本質(zhì)的變化。綜上，圓臺形傾角的變化對損耗功率的影響取決于傾角的改變是否導(dǎo)致沖擊形式的變化，進(jìn)一步說明，沖擊形式才是導(dǎo)致?lián)p耗功率發(fā)生顯著變化的根本原因。

3 結(jié) 論

本文基于離散單元法理論，結(jié)合NOPD中顆粒的運(yùn)動形態(tài)對不同形狀容器中顆粒所產(chǎn)生的沖擊形式進(jìn)行對比分析，探究不同沖擊形式對能量損耗的影響，得到的主要結(jié)論如下：

(1) 圓柱形容器與圓臺形容器由于其內(nèi)顆粒的運(yùn)動形式不同，導(dǎo)致顆粒對系統(tǒng)的沖擊形式也不同。當(dāng)振動強(qiáng)度較大時，圓柱形容器內(nèi)顆粒出現(xiàn)了明顯的分岔現(xiàn)象，其沖擊力呈現(xiàn)“大而疏”型。而圓臺形容器內(nèi)顆粒對沖擊力的分岔現(xiàn)象具有一定的抑制作用，其沖擊力呈“小而密”型。

(2) 顆粒阻尼器中顆粒的能量損耗累積呈“階梯”型，且階梯形態(tài)與沖擊形式具有較高的同步性。沖擊力度大則階梯大，沖擊次數(shù)多則階梯多。不同的沖擊形式會表現(xiàn)出不同的能量損耗，“小而密”型沖擊形式表現(xiàn)出更加優(yōu)異的耗能能力。

(3) 圓臺形容器的抑制周期分岔的能力與其傾角在一定范圍內(nèi)呈正相關(guān)。但傾角大于某個值后，沖擊形式也會趨于穩(wěn)定，相應(yīng)的損耗功率基本保持穩(wěn)定。

綜上，作為能量從振動設(shè)備向顆粒床轉(zhuǎn)移的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，沖擊形式將直接影響顆粒阻尼器的能耗效果。因此，在以后顆粒阻尼器研究中應(yīng)充分重視由沖擊形式不同而引起的能量耗散的差異，同時也可將改變顆粒床對系統(tǒng)的沖擊形式作為優(yōu)化顆粒阻尼器阻尼特性的重要方向之一。