姬安召，王玉風(fēng)

（隴東學(xué)院能源工程學(xué)院，甘肅慶陽(yáng)745100）

對(duì)復(fù)合油藏而言，斷層的存在影響單井產(chǎn)量，同時(shí)斷層的位置也影響井底壓力的變化[1]。在復(fù)合油藏試井解釋模型研究方面，國(guó)外學(xué)者LOUCKS等[2]和EGGENCHWILER等[3]建立了直井徑向復(fù)合油藏試井解釋模型并分析了井底壓力曲線(xiàn)的變化特征。在GRINGARTEN、RAMEY等[4]研究實(shí)空間點(diǎn)源函數(shù)解的基礎(chǔ)上，OZKAN等[5]將實(shí)空間點(diǎn)源解擴(kuò)展到Laplace空間并給出了詳細(xì)的計(jì)算方法。在復(fù)合油藏壓裂井井底壓力動(dòng)態(tài)特征研究方面，國(guó)外學(xué)者CHU、CHEN等[6-7]基于點(diǎn)源函數(shù)基本理論，建立了復(fù)合油藏均勻流量裂縫井試井?dāng)?shù)學(xué)模型，結(jié)合CINCO-LEY等[8]對(duì)有限垂直導(dǎo)流裂縫的研究成果，得到有限導(dǎo)流復(fù)合油藏壓裂井試井解釋模型，并對(duì)Bessel函數(shù)Kn(x)和In(x)的計(jì)算進(jìn)行了討論。在國(guó)內(nèi)，陳軍、何應(yīng)付、蔡明金、趙玉龍等[9-12]基于點(diǎn)源函數(shù)基本理論，對(duì)復(fù)合油藏有限導(dǎo)流壓裂井試井解釋模型做了進(jìn)一步研究，繪制了井底壓力典型特征曲線(xiàn)并進(jìn)行影響因素分析。馮紀(jì)成、曾楊和張望明等[13-15]對(duì)儲(chǔ)層中含有直線(xiàn)斷層的壓裂井試井解釋模型進(jìn)行了深入研究，分析了斷層對(duì)試井曲線(xiàn)的影響。劉啟國(guó)等[16]對(duì)復(fù)合油藏存在直線(xiàn)斷層直井井底壓力動(dòng)態(tài)進(jìn)行了研究，并分析了鏡像井位于內(nèi)區(qū)和外區(qū)時(shí)井底壓力響應(yīng)特征。

目前關(guān)于考慮斷層徑向復(fù)合油藏壓裂井試井解釋模型研究較少，已有的研究成果大部分是基于均質(zhì)油藏存在直線(xiàn)斷層壓裂井的井底壓力動(dòng)態(tài)特征，或是徑向復(fù)合油藏含有直線(xiàn)斷層直井的壓力動(dòng)態(tài)特征方面的研究。因此，根據(jù)點(diǎn)源函數(shù)基本理論，建立徑向復(fù)合油藏壓裂井均勻流量試井解釋模型，考慮儲(chǔ)層與流體之間的耦合關(guān)系，求解得到徑向復(fù)合油藏有限導(dǎo)流壓裂井井底壓力解，利用鏡像反映原理和Stehfest[17]數(shù)值反演方法，得到考慮斷層情況下實(shí)空間井底壓力數(shù)值解，分析斷層位置以及其他影響因素對(duì)井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的影響，為含有斷層的徑向復(fù)合油藏壓裂井的試井解釋提供理論指導(dǎo)。

1 雙區(qū)復(fù)合壓裂井模型建立與求解

1.1 物理模型描述

由于泥漿的侵入或流體的注入使得井底附近與遠(yuǎn)離井筒附近流體物性和巖石物性有一定的差別，此外，由于油水邊緣的收縮也會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)不同流動(dòng)區(qū)域的形成。因此，復(fù)合油藏模型具有普遍的實(shí)際意義。徑向復(fù)合油藏壓裂井模型見(jiàn)圖1，其基本假設(shè)條件如下：

1）井位于兩區(qū)徑向復(fù)合油藏的中心，地層水平等厚，兩個(gè)區(qū)域流體物性和巖石參數(shù)不同，內(nèi)區(qū)半徑為rm。

2）地層中流體為單相、弱可壓縮的液體，忽略重力和毛管力的影響。

3）各區(qū)流體流動(dòng)均符合達(dá)西滲流規(guī)律，并且流體在油藏的滲流為等溫滲流。

4）裂縫半長(zhǎng)為L(zhǎng)f，裂縫寬度為Wf。

圖1 復(fù)合油壓裂井物理模型Fig.1 Physical model of fractured well for composite reservoir

5）不考慮井筒儲(chǔ)集和表皮效應(yīng)的影響。

1.2 復(fù)合油藏壓裂井模型建立與求解

根據(jù)Ozkan[5]的研究，Laplace空間點(diǎn)源解可用式（1）表示：

式中：Δˉ為L(zhǎng)aplace空間壓差，Paˉ為L(zhǎng)aplace空間瞬時(shí)流量，m3/s；μ為流體黏度，Pa·s；k為儲(chǔ)層滲透率，10-3μm2；L為參考長(zhǎng)度，取裂縫的半長(zhǎng)，m；rD為無(wú)因次距離；u為L(zhǎng)aplace變量。

根據(jù)式（1）所給的Laplace空間點(diǎn)源解，利用鏡像原理、壓降疊加原理，求出上下邊界封閉，水平方向無(wú)限大時(shí)點(diǎn)源函數(shù)基本解為：

為了方便求解雙區(qū)徑向復(fù)合油藏壓裂井的試井解釋模型，需要定義如下無(wú)因次變量：

其中：p1D，p2D分別為內(nèi)區(qū)與外區(qū)無(wú)因次壓力；k1，k2分別為內(nèi)區(qū)與外區(qū)儲(chǔ)層滲透率，m2；q井在地下產(chǎn)量，m3/s；Δp1，Δp2分別為內(nèi)區(qū)與外區(qū)的壓差，Pa；tD為無(wú)因次生產(chǎn)時(shí)間；t為生產(chǎn)時(shí)間，s；φ1為內(nèi)區(qū)儲(chǔ)層孔隙度；μ1為內(nèi)區(qū)儲(chǔ)層流體黏度，Pa·s；Ct1為內(nèi)區(qū)儲(chǔ)層綜合壓縮系數(shù)，1/Pa；xD，yD分別為儲(chǔ)層中任意點(diǎn)在x與y軸方向的無(wú)因次坐標(biāo)值；x，y，z分別為儲(chǔ)層中任意點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，m；h為儲(chǔ)層有效厚度，m；xwD，ywD分別為井在x與y方向無(wú)因次坐標(biāo)值；xw，yw，zw分別為井在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，m；r為儲(chǔ)層中任意點(diǎn)在柱坐標(biāo)系中徑向方向的距離，m；rm為內(nèi)區(qū)半徑，m；rmD為內(nèi)區(qū)無(wú)因次半徑，m；CfD為裂縫無(wú)因次導(dǎo)流系數(shù)；kf為裂縫滲透率，m2；Lf為裂縫長(zhǎng)度的一半，m；Wf為裂縫寬度，m；fD為L(zhǎng)aplace空間裂縫無(wú)因次流量；f為L(zhǎng)aplace空間單位長(zhǎng)度裂縫的流量，m2/s；D為L(zhǎng)aplace空間油井的無(wú)因次產(chǎn)量；為L(zhǎng)aplace空間單位長(zhǎng)度裂縫的產(chǎn)量，m2/s；dD為壓裂井到斷層無(wú)因次距離；d為壓裂井到斷層的距離，m。

對(duì)于徑向復(fù)合油藏而言，根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程、狀態(tài)方程和連續(xù)性微分方程，分別建立內(nèi)區(qū)與外區(qū)滲流數(shù)學(xué)模型，同時(shí)考慮內(nèi)邊界井底定產(chǎn)、徑向方向外區(qū)外邊界無(wú)限大、上下地層界面封閉、內(nèi)區(qū)與外區(qū)分界面處流量相等條件。對(duì)滲流數(shù)學(xué)模型、邊界條件及初始條件進(jìn)行無(wú)因次化，然后經(jīng)過(guò)Laplace變換之后得到的滲流微分方程為：

對(duì)式（3），首先根據(jù)OZKAN的研究結(jié)果[5]，內(nèi)區(qū)滲流微分方程的解可由兩部分構(gòu)成，一部分關(guān)于上下邊界的解，另一部分關(guān)于圓形外邊界的解，對(duì)于點(diǎn)源來(lái)講，同樣符合上述條件。對(duì)于滲流微分方程而言，內(nèi)邊界定產(chǎn)，外邊界徑向方向無(wú)限大，頂?shù)走吔绶忾]，因此，可采用式（2）的形式表示出外區(qū)滲流微分方程的通解。在式（3）求解的過(guò)程中再利用式（4）關(guān)系：

式中：Iv(x)，Kv(x)分別為v階第一類(lèi)、第二類(lèi) Bessel函數(shù)；Iv'(x)，Kv'(x)分別為v階第一類(lèi)、第二類(lèi)Bessel函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；z1為v階第一類(lèi)、第二類(lèi)Bessel函數(shù)自變量。

求解式（3）得到儲(chǔ)層內(nèi)區(qū)與外區(qū)壓力解為：

對(duì)于式（5）而言，中括號(hào)中與K0(x)相關(guān)的部分表示頂?shù)追忾]邊界、徑向無(wú)限大油藏壓力解，與I0(x)相關(guān)的部分表示頂?shù)追忾]邊界、徑向復(fù)合、圓形封閉和圓形定壓邊界油藏壓力解，在研究模型中特指徑向復(fù)合油藏?zé)o限大徑向外邊界壓力解。

式（5）—式（6）中：

對(duì)式（5）和式（6），分別沿z方向從0到h，再沿x方向從-Lf到Lf積分得到徑向復(fù)合油藏完全射開(kāi)垂直裂縫井井底壓力、儲(chǔ)層內(nèi)區(qū)與外區(qū)壓力，其無(wú)因次壓力形式為：

式（7）—式（9）中：為L(zhǎng)aplace空間無(wú)限垂直導(dǎo)流裂縫的無(wú)因次井底壓力；，分別為儲(chǔ)層內(nèi)區(qū)與外區(qū)Laplace空間無(wú)因次壓力；α為積分變量。

關(guān)于有限導(dǎo)流裂縫函數(shù)的計(jì)算，CINCO-LEY等[8]將裂縫模型與儲(chǔ)層模型耦合求解得到有限導(dǎo)流垂直裂縫井的井底壓力解，裂縫與儲(chǔ)層模型耦合解可以寫(xiě)為以下形式：

式中：為L(zhǎng)aplace空間有限導(dǎo)流垂直裂縫無(wú)因次井底壓力；D為L(zhǎng)aplace空間無(wú)限導(dǎo)流垂直裂縫的無(wú)因次壓力，下標(biāo)?分別為w1，1，2；x'為積分變量。

在式（10）中，要計(jì)算有限導(dǎo)流裂縫的井底壓力，首先要知道裂縫流量，對(duì)于定產(chǎn)量生產(chǎn)的油井而言，流量關(guān)系如下：

在裂縫壁面處，雖然整個(gè)裂縫長(zhǎng)度內(nèi)流量不相等，但沿著裂縫很小一段距離內(nèi)，可以假設(shè)流量恒定，因此，對(duì)式（10）、式（11）進(jìn)行離散可以得到復(fù)合油藏壓裂井井底壓力解為：

1.3 考慮封閉直線(xiàn)斷層復(fù)合油藏壓裂井模型解

對(duì)于考慮封閉斷層的徑向復(fù)合油藏而言，斷層的位置影響井底壓力和井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的變化形態(tài)，因此分兩種情況對(duì)其進(jìn)行討論：鏡像井在內(nèi)區(qū)（圖2a）和鏡像井在外區(qū)（圖2b）。

圖2 復(fù)合油藏考慮封閉斷層物理模型Fig.2 Physical model of composite reservoir with closed fault

針對(duì)上述兩種不同的情況，根據(jù)鏡像反映法和疊加原理，分別得到不考慮井儲(chǔ)和表皮時(shí)的井底壓力。

1）鏡像井位于內(nèi)區(qū)

假定壓裂井到封閉直線(xiàn)斷層的距離為d，單位m，當(dāng)d＜rm/2且鏡像壓裂井不穿過(guò)內(nèi)區(qū)邊界時(shí)，鏡像井位于復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)，壓裂井井底壓力響應(yīng)函數(shù)可以表示為：

式中：wHD為考慮封閉斷層的Laplace空間無(wú)因次井底壓力；dD為壓裂井到封閉直線(xiàn)斷層的無(wú)因次距離。

2）鏡像井位于外區(qū)

假定壓裂井到封閉直線(xiàn)斷層的距離為d，單位m，當(dāng)d＞rm/2且鏡像壓裂井不穿過(guò)內(nèi)區(qū)邊界時(shí)，鏡像井位于復(fù)合油藏外區(qū)，壓裂井井底壓力響應(yīng)函數(shù)可以表示為：入式（8）和式（9）進(jìn)行積分，可以得出鏡像井位于內(nèi)區(qū)與外區(qū)時(shí)形成的壓力降，然后通過(guò)式（14）和式（15）的疊加原理就可以得到考慮封閉斷層復(fù)合油藏有限導(dǎo)流垂直裂縫井井底壓力解。

考慮井儲(chǔ)和表皮影響時(shí)，根據(jù)杜哈美原理可得井底壓力解：

式中：wD為考慮井儲(chǔ)與表皮系數(shù)的Laplace空間無(wú)因次井底壓力；CD為無(wú)量綱井筒儲(chǔ)集系數(shù)；S為表皮系數(shù)。

2 曲線(xiàn)特征與影響因素分析

通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求解式（14）—（16），分別得到鏡像井位于內(nèi)區(qū)與外區(qū)時(shí)的井底無(wú)因次壓力。圖3為鏡像井位于內(nèi)區(qū)井底無(wú)因次壓力響應(yīng)特征曲線(xiàn)?？紤]封閉斷層存在時(shí)，取內(nèi)區(qū)無(wú)因次半徑rmD=2 000，內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M12=4，井底無(wú)因次井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)總體上劃分為7個(gè)流動(dòng)階段。第一階段為早期井儲(chǔ)和表皮反映階段，純井儲(chǔ)階段井底無(wú)因次壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)重合并呈斜率為1的直線(xiàn)，井儲(chǔ)和表皮共同作用時(shí)井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈明顯駝峰；第二階段為雙線(xiàn)性流階段，該階段為裂縫和儲(chǔ)層流體的線(xiàn)性流同時(shí)發(fā)生，在理想情況下，井底無(wú)因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)平行且呈斜率為0.25的直線(xiàn)；第三階段為儲(chǔ)層流體的線(xiàn)性流階段，該階段為儲(chǔ)層流體向裂縫流動(dòng)，井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈斜率為0.5的直線(xiàn)；第四階段為橢圓流階段，該階段為儲(chǔ)層流體圍繞裂縫的橢圓流，井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈斜率為0.36的直線(xiàn)；第五階段為內(nèi)區(qū)徑向流階段，該階段井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5的水平線(xiàn)；第六階段為直線(xiàn)封閉斷層反映階段，該階段井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為1的水平線(xiàn)，在內(nèi)區(qū)半徑一定的情況下，斷層到壓裂井的距離越近，斷層反映階段越明顯，內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時(shí)間越短；第七階段為外區(qū)徑向階段，考慮直線(xiàn)封閉斷層時(shí)，該階段井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為M12的水平線(xiàn)，不考慮封閉斷層時(shí)，該階段井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5M12的水平線(xiàn)。文中取流度比為4，做出了井底無(wú)因次壓力與壓力導(dǎo)數(shù)的特征曲線(xiàn)。在實(shí)際試井分析過(guò)程中，可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際情況進(jìn)行取值。流度比對(duì)井底無(wú)因次壓力曲線(xiàn)與壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)都有影響，但對(duì)井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)影響更明顯，主要反映斷層響應(yīng)段與外區(qū)徑向流階段井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)水平段的位置，如圖3所示。

圖3 鏡像井位于內(nèi)區(qū)時(shí)井底壓力響應(yīng)特征曲線(xiàn)Fig.3 Characteristic curve of pressure response when the mirror well is located in the inner part

圖4為鏡像井位于外區(qū)井底壓力響應(yīng)特征曲線(xiàn)?？紤]封閉斷層存在時(shí)，取內(nèi)區(qū)無(wú)因次半徑rmD=2 000，內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M12=4，該特征曲線(xiàn)總體上分為七個(gè)流動(dòng)階段，壓力波沒(méi)有傳播到內(nèi)區(qū)邊界時(shí)，其曲線(xiàn)特征與圖3相同，當(dāng)壓力波傳播到外區(qū)時(shí)，第六階段井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5M12水平線(xiàn)，斷層距離井中心越遠(yuǎn)，外區(qū)徑向流持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)。第七階段為直線(xiàn)封閉斷層反映階段，該階段井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為M12的水平線(xiàn)。

圖5為裂縫導(dǎo)流能力對(duì)特征曲線(xiàn)的影響。裂縫無(wú)因次導(dǎo)流系數(shù)CfD表征裂縫導(dǎo)流能力的大小，裂縫無(wú)因次導(dǎo)流系數(shù)越大，裂縫導(dǎo)流能力越強(qiáng)，流體流入井底所消耗的壓力損失就越小。內(nèi)區(qū)無(wú)因次半徑與流度比的取值與圖3一致，從典型特征曲線(xiàn)圖5可以看出，裂縫無(wú)因次導(dǎo)流系數(shù)越大，雙線(xiàn)性流階段結(jié)束的時(shí)間越早，早期井底無(wú)因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)值越小。

圖4 鏡像井位于外區(qū)井底壓力響應(yīng)特征曲線(xiàn)Fig.4 Characteristic curve of pressure response when the mirror well is located in the outer part

圖5 裂縫導(dǎo)流能力對(duì)特征曲線(xiàn)的影響Fig.5 Influence of fracture conductivity on typical curves

圖6為內(nèi)區(qū)半徑對(duì)特征曲線(xiàn)的影響。當(dāng)鏡像井位于內(nèi)區(qū)時(shí)，壓力波向外傳播首先遇到斷層，在井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為1的水平線(xiàn)，壓力波繼續(xù)向外傳播，當(dāng)壓力波傳播到內(nèi)區(qū)邊界時(shí)，由于內(nèi)外區(qū)流體性質(zhì)不同，所以井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為M12的水平線(xiàn)，內(nèi)區(qū)半徑越小，壓力波傳播到外區(qū)所需要的時(shí)間越短，井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)M12水平線(xiàn)開(kāi)始的時(shí)間越早（圖6a）。當(dāng)鏡像井位于外區(qū)時(shí)，壓力波向外傳播首先遇到內(nèi)邊界，由于內(nèi)外區(qū)流體性質(zhì)不同，內(nèi)區(qū)徑向流之后井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5M12的水平線(xiàn)，內(nèi)區(qū)半徑越小，壓力波傳播到外區(qū)所需要的時(shí)間越短，井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5M12水平線(xiàn)開(kāi)始的時(shí)間越早，當(dāng)壓力波傳播到封閉斷層時(shí)，井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)呈值為0.5M12水平線(xiàn)上升到M12水平線(xiàn)（圖6b）。

圖6 內(nèi)區(qū)半徑對(duì)特征曲線(xiàn)的影響Fig.6 Influence of inner radius on typical curves

3 結(jié)論

1）復(fù)合油藏壓裂井考慮封閉斷層時(shí)，鏡像井的位置對(duì)井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)形態(tài)具有一定影響，在徑向流階段之前井底無(wú)因次壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)重合。

2）鏡像井位于內(nèi)區(qū)時(shí)，主要的滲流階段依次為內(nèi)區(qū)徑向流階段、斷層反映階段和外區(qū)徑向流階段，其井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)分別呈值為0.5、1和M12的水平直線(xiàn)。

3）鏡像井位于外區(qū)時(shí)，主要的滲流階段依次為內(nèi)區(qū)徑向流階段、外區(qū)徑向流階段和斷層反映階段，其井底無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)分別呈值為0.5、0.5M12和M12的水平直線(xiàn)。

4）裂縫導(dǎo)流能力只影響雙線(xiàn)性流和線(xiàn)性流階段井底無(wú)因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)形態(tài)，裂縫無(wú)因次導(dǎo)流系數(shù)越大，雙線(xiàn)性流和線(xiàn)性流階段井底無(wú)因次壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)幅度越低。