宋 瑞 劉林芽 秦佳良

(1.南昌工程學(xué)院土木與建筑工程系，330029，南昌；2.華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，330013，南昌//第一作者,教授)

0 序言

隨著我國(guó)高速鐵路的飛速發(fā)展，軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析已經(jīng)成為鐵道工程領(lǐng)域中十分重要的研究方向[1]。而且隨著列車速度的不斷提高，對(duì)軌道線路的平順性要求也越來(lái)越高。無(wú)縫線路因?yàn)闇p少了鋼軌接頭，具有列車行駛平穩(wěn)性好、線路養(yǎng)護(hù)維修費(fèi)用低和使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于鐵路和城市軌道交通的軌道結(jié)構(gòu)中。

文獻(xiàn)[2]對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)做了大量研究，提出和建立了多種車輛-軌道耦合模型[2-9]。這些模型的共同特點(diǎn)是程序設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，且并不能考慮鋼軌軸向溫度力的作用。但由于無(wú)縫線路限制了鋼軌的軸向自由伸縮，在環(huán)境溫度發(fā)生變化時(shí)，鋼軌內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生較大的軸向力,因此在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過程中，鋼軌內(nèi)部存在著較大的溫度力作用[10]。鋼軌軸向溫度力的作用對(duì)無(wú)砟軌道的振動(dòng)響應(yīng)的影響亟待研究。

文獻(xiàn)[11-13]提出了應(yīng)用傅里葉變換法分析軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的方法。該方法適用于任何復(fù)雜的軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，且易于編制程序,但并未考慮鋼軌軸向溫度力的影響。因此本文在此基礎(chǔ)之上，將鋼軌模擬成Timoshenko梁，并考慮鋼軌軸向溫度力的作用，采用傅里葉變換法來(lái)計(jì)算軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。首先建立了考慮鋼軌軸向溫度力作用的軌道振動(dòng)微分方程，并對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，求解傅里葉變換域中的振動(dòng)位移;再通過傅里葉逆變換便可得到軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，最后分析了鋼軌軸向溫度力作用對(duì)無(wú)砟軌道振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 無(wú)縫線路鋼軌軸向溫度力計(jì)算

當(dāng)軌溫發(fā)生變化而產(chǎn)生自由伸縮時(shí)，鋼軌的伸縮量為：

Δl=αlΔt

(1)

式中:

Δl——鋼軌的伸縮量；

α——鋼軌的線膨脹系數(shù)；

l——鋼軌長(zhǎng)度；

Δt——軌溫變化幅度，又稱軌溫差。

如果軌溫發(fā)生變化，鋼軌受到阻力完全不能伸縮，將長(zhǎng)為l的鋼軌產(chǎn)生的Δl轉(zhuǎn)化為溫度應(yīng)力，由胡克定律可得到鋼軌的溫度應(yīng)力σt為：

(2)

式中:

E——鋼的彈性模量；

εt——鋼軌的溫度應(yīng)變。

當(dāng)α取0.011 8×10-3/℃，E取2.1×105MPa時(shí),可算得σt和鋼軌的溫度力Nt：

σt=2.48Δt

(3)

Nt=σtA=2.48ΔtA

(4)

式中，Δt單位取℃；σt單位取MPa；Nt單位取N；A為鋼軌的截面面積，單位取mm2。

由式(4)可知，長(zhǎng)鋼軌中的Nt只與Δt有關(guān)，而與l無(wú)關(guān)，這也是發(fā)展跨區(qū)間無(wú)縫線路的理論依據(jù)。因此，控制長(zhǎng)鋼軌中Nt的大小的關(guān)鍵是控制Δt。我國(guó)各地區(qū)的最大軌溫差可達(dá)到100 ℃，所以本文在計(jì)算Nt時(shí)考慮最大升溫幅值為50 ℃，最大降溫幅值為50 ℃。

2 無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)連續(xù)彈性三層梁模型

將無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為連續(xù)彈性三層梁模型，其中,鋼軌采用Timoshenko梁模擬，并考慮鋼軌軸向溫度力的作用，軌道板和底座板采用Euler梁模擬。圖1所示為無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)連續(xù)彈性三層梁模型。

圖1 無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)連續(xù)彈性三層梁模型

該模型的振動(dòng)微分方程為：

(5)

(6)

ks(z-y)-kr(w-z)=0

(7)

khy-ks(z-y)=0

(8)

式中:

N——鋼軌的軸向溫度力；

ρ——鋼軌的密度；

θ——鋼軌的轉(zhuǎn)角；

G——鋼軌的剪切模量；

K——剪切系數(shù)；

A——鋼軌的橫截面面積；

w，z，y——分別為鋼軌、軌道板、混凝土支撐層的豎向擾度；

δ——Dirac函數(shù)；

x——沿軌道方向的距離；

t——時(shí)間；

v——列車運(yùn)行速度；

Fj——第j個(gè)輪對(duì)軸重的一半；

mj——第j個(gè)車輪的質(zhì)量；

aj——t=0時(shí)第j個(gè)輪對(duì)距原點(diǎn)的距離；

n——輪對(duì)總數(shù)；

η——軌道隨機(jī)不平順值。

3 求解軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程的傅里葉變換法

對(duì)式(5)～(8)作傅里葉變換，則有：

-mrω2W0+(GAK+N)β2W0-iGAKβφ0+

iωcr(W0-Z0)+kr(W0-Z0)=F0

(9)

-ρIrω2φ0+ErIrβ2φ0+GAKφ0+iGAKβW0=0

(10)

EsIsβ4Z0-msω2Z0+iωcs(Z0-Y0)-

jωcr(W0-Z0)+ks(Z0-Y0)-kr(W0-Z0)=0

(11)

EhIhβ4Y0-mhω2Y0+iωchY0-iωcs(Z0-Y0)+

khY0-ks(Z0-Y0)=0

(12)

式中：

W0,F0,φ0,Z0,Y0——分別為變量對(duì)應(yīng)的幅值；

ω——振動(dòng)角頻率；

β——振動(dòng)波數(shù)。

聯(lián)立求解式(9)～(12)，可得到：

W(β)=[cd-(iωcs+ks)2]F0/

{(iωcr+kr)[cde-c(iωcr+kr)-f(iωcs+ks)2]}

(13)

φ(β)=aW(β)

(14)

Z(β)=fW0-F0/(iωcr+kr)

(15)

Y(β)=(iωcs+ks)/c·Z0(β)

(16)

其中，a，b，c，d，f分別為計(jì)算數(shù)值，具體數(shù)值可參考文獻(xiàn)[13]。

將式(13)～式(16)代入式(9)～(12)中，并進(jìn)行傅里葉逆變換，得到：

wf(x,t)=Wf(x,t)ei(φw+Ω t)

(17)

φf(x,t)=Φf(x,t)ei(φφ+Ω t)

(18)

zf(x,t)=Zf(x,t)ei(φz+Ω t)

(19)

yf(x,t)=Yf(x,t)ei(φy+Ω t)

(20)

其中，φw,φφ,φz和φy分別為復(fù)數(shù)wf(x,t),φf(x,t),zf(x,t)和yf(x,t)的相位角;Ω為荷載激振頻率。

根據(jù)式(17)～(20)可以求得鋼軌、軌道板和混凝土支撐層的速度、加速度，以及作用于軌道板、混凝土支撐層和路基上的動(dòng)壓力。

4 考慮鋼軌軸向溫度力的無(wú)砟軌道振動(dòng)響應(yīng)分析

應(yīng)用上述模型，利用MATLAB軟件編制相應(yīng)的程序，對(duì)考慮鋼軌軸向溫度力的CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析。CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1中所示。考慮列車為8節(jié)編組的CRH3型動(dòng)車，速度取300 km/h，線路不平順模擬成美國(guó)六級(jí)不平順。Δt分別取-50 ℃、0 ℃、50 ℃時(shí)，將其產(chǎn)生的溫度力加載在鋼軌軸向，然后分析其對(duì)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

表1 CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)

不同Δt下鋼軌、軌道板及底座板的位移和振幅如表2～4所示。不同Δt下單位長(zhǎng)度的軌道板、底座板和路基的動(dòng)壓力如圖2所示。

表2 不同Δ t條件下的鋼軌位移和振幅

表3 不同Δ t條件下的軌道板位移和振幅

表4 不同Δ t條件下的底座板位移和振幅

圖2 Δt對(duì)軌道動(dòng)壓力的影響曲線

由表2～4可知，Δt越大，即鋼軌所受的軸向溫度力越大時(shí)，鋼軌、軌道板和底座板的位移都有不同程度地降低，且鋼軌位移的降低幅度比軌道板和底座板要大。當(dāng)Δt為50 ℃時(shí)，鋼軌位移降低約10%，軌道板位移降低約8%，底座板位移降低約5%。

由圖2可知，軌道板、底座板和路基的動(dòng)壓力與Δt基本成線性關(guān)系，而且Δt越大時(shí)，軌道的動(dòng)壓力卻越小。軌道板和底座板的動(dòng)壓力的降低幅度比路基要大。當(dāng)Δt為50 ℃時(shí)，軌道板和底座板的動(dòng)壓力降低約10%，路基動(dòng)壓力降低約8%，底座板動(dòng)壓力降低約5%。這是由于鋼軌受到軸向壓力作用時(shí)，鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)減小，同時(shí)傳入下部軌道結(jié)構(gòu)的能量亦會(huì)隨之減小，因此軌道板、底座板和路基的振動(dòng)響應(yīng)也會(huì)減小。

5 結(jié)論

本文首先根據(jù)無(wú)縫線路鋼軌溫度力的公式，建立了考慮鋼軌軸向溫度力的無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)連續(xù)彈性三層梁模型，并建立其振動(dòng)微分方程，然后利用傅里葉變換法對(duì)其進(jìn)行求解，再利用MATLAB軟件編制響應(yīng)程序，分析了鋼軌軸向溫度力對(duì)無(wú)砟軌道振動(dòng)響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

1)鋼軌所受的軸向溫度力越大，鋼軌、軌道板和底座板的位移均會(huì)隨之減?。?/p>

2)軌道板、底座板和路基動(dòng)壓力和鋼軌軸向溫度力成線性關(guān)系，鋼軌軸向溫度力越大，軌道板、底座板和路基動(dòng)壓力均會(huì)越小。

綜上所述，鋼軌受軸向壓力時(shí)，對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是有利的。而且鋼軌所受的軸向壓力越大時(shí)，軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)也會(huì)越小。但是鋼軌的溫度力過大時(shí)會(huì)影響無(wú)縫線路的穩(wěn)定性，影響列車的運(yùn)行安全。因此，鋼軌承受適當(dāng)?shù)妮S向溫度壓力對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的減振是有利的。