劉永智

摘 要：千金難買回頭看，在問題解決之后，不能直接休息，最好多反思，多回頭看看，長此以往，才會有更大的進步.

關(guān)鍵詞：拓展延伸;張角問題;二等分

問題是數(shù)學的心臟.數(shù)學的真正組成部分是問題和解.著名數(shù)學家波利亞說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”因此，學數(shù)學除了介紹一些基本知識之外，最主要的學習就是解題.那么解題之后，我們應該做一些什么呢？

在解題之后，我們不能覺得一切都結(jié)束了，繼續(xù)后面的學習就可以了.而是應該思考一下，自己的求解有沒有失誤，能不能拓展延伸，使問題變得更為透徹，更為簡單，以后碰到類似的題目，甚至是沒有關(guān)聯(lián)的題目，也能聯(lián)系到一起去解決.

1 解題后的拓展延伸及應用

對于有些問題，解決之后表面看上去沒有什么，但如果仔細地分析、研究，會對我們在求解其他問題方面起到意想不到的作用.

例1 如圖1，在“世界杯”足球比賽中，甲隊員帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻，當他帶球沖到點A時，同時本隊球員乙已經(jīng)沖到點B.現(xiàn)有兩種射門方式：第一種是甲直接射門，第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.僅從射門角度考慮，應選擇第種射門方式.

解析 如圖1，不考慮技術(shù)等因素，由甲或乙誰射門取決于∠PAQ和∠PBQ的大小，哪個角較大，由處在這個位置的隊員射門.也就是說，本題要比較∠PAQ和∠PBQ的大小.而從圖上看，點A位于點P，Q，B所確定的圓的外面，并且和點B均位于直線PQ的同側(cè).

設(shè)AQ和點P，Q，B所確定的圓相交于點C，連結(jié)PC，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠PBQ=∠PCQ;再由三角形的任意一個外角大于和它不相鄰的任意一個內(nèi)角可得∠PCQ>∠PAQ，從而∠PBQ>∠PAQ，故而應該由乙射門，即選擇第二種射門方式.

通過本題的求解，如果我們繼續(xù)往下思考，可以知道，如圖2所示，若線段AB為定長的線段，點C為線段AB所在的直線外一點，連結(jié)AC，BC.通過觀察和對本題的求解，我們會發(fā)現(xiàn)，似乎點C離線段AB越“遠”，∠ACB越小.若使∠ACB的大小不變，聯(lián)想圓周角定理我們可以得出，滿足條件的點C在以AB為弦的圓弧上.

進一步還可以得出，和點C在線段AB所在直線同側(cè)的點M若在弧ACB和線段AB所組成的圖形外，則∠AMB<∠ACB.其理由如下：

在∠AMB所夾的弧ACB上取一點D，連結(jié)AD并延長交∠AMB的邊BM于點E，連結(jié)BD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得：∠AMB<∠AEB，∠AEB<∠ADB，而∠ADB=∠ACB，因此，∠AMB<∠ACB.

和點C在線段AB所在直線同側(cè)的點N如果在弧ACB和線段AB所組成的圖形內(nèi)，則∠ANB>∠ACB.其理由如下：

延長AN交弧AC于點F，連結(jié)BF，則∠AFB<∠ANB，并且∠AFB=∠ACB，因此，∠ANB>∠ACB.

特別的，如果∠ACB=90°，則點C在以AB為直徑的圓上;如果∠ACB<90°，則點C和弧ACB所在圓的圓心位于線段AB所在直線的同側(cè)，并且該圓的半徑越小，∠ACB越大;如果∠ACB>90°，則點C和弧ACB所在圓的圓心位于線段AB所在直線的兩側(cè)，并且該圓的半徑越大，∠ACB越大.

這些結(jié)論不僅僅可以幫助我們求解角度的大小比較問題，而且還可以完成好多計算方面的問題.下面我們通過問題來看看這些結(jié)論的應用.

應用1 如圖3，在矩形ABCD中，AD=3，AB=7，點E在邊AB上，∠DEC=120°.求AE的長.

解析 （構(gòu)造外接圓法）本題中如果直接求解，感覺很麻煩，但如果利用上面的結(jié)論，以CD為弦，圓周角∠DEC=120°的圓和AB的交點為點E，從而解決問題.為此，有如下求解方法：

作△DEC的外接圓⊙O，過點O作OG⊥AB于點G，交DC于點F.連結(jié)OC，OD，OE（如圖4所示）.

因為 ∠DEC=120°，所以 ∠COD=120°.

在矩形ABCD中，因為 AB//CD，OG⊥AB，

所以 ∠DOG=60°，∠OGE=∠OFD=90°，DF=CF，四邊形ADFG是矩形，F(xiàn)G= AD=3.

因為 AB=CD=7，所以 DF=AG=72.

在Rt△FOD中，因為 ∠FOD=60°，DF=72，

所以 OF=DF3=7 36，OD=2OF=7 33.

因為 FG=AD=3，所以 OG=OF+FG= 13 36.

在Rt△OEG中，OE=OD= 7 33，OG= 13 36，由勾股定理可得，EG= OE2-OG2= 32.

所以 AE=AG-EG=2或者AE=AG+EG=5.

應用2 點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內(nèi)的一個動點.

（1）使∠APB=30°的點P有個;

（2）若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標;

（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由;若沒有，也請說明理由.

解析 （1）由上面的結(jié)論可知，以AB為弦，使圓周角等于30°的圓弧上的點均滿足條件，這樣的點有無數(shù)個，因此，本題答案為：無數(shù).

（2）本題中要求出圓弧與y軸的交點，要使圓周角等于30°，該圓弧所對的圓心角應該是60°，為此，以AB為邊作等邊△ABC，以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P1，P2.在優(yōu)弧AP1B上任取一點P，如圖5.

①當點P在y軸的正半軸上時，即點C在第一象限，過點C作CG⊥AB，垂足為G，如圖5.

因為點A（1，0），點B（5，0），所以 OA=1，OB=5.

所以 AB=4.

因為點C為圓心，CG⊥AB，所以AG=BG=12AB=2.所以O(shè)G=OA+AG=3.

因為△ABC是等邊三角形，所以AC=BC=AB=4.所以CG=AC2-AG2=2 3.

所以點C的坐標為（3，2 3）.

如圖5，過點C作CD⊥y軸，垂足為點D，連接CP2，因為點C的坐標為（3，2 3），所以CD=3，OD=2 3.

因為P1，P2是⊙C與y軸的交點，

所以∠AP1B=∠AP2B=30°.

因為CP2=CA=4，CD=3，

所以DP2=42-32=7.

因為點C為圓心，CD⊥P1P2，

所以P1D=P2D=7.

所以P2（0，2 3-7）.P1（0，2 3+7）.

②當點P在y軸的負半軸上時，點C在第四象限，同理可得P3（0，-2 3-7），P4（0，-2 3+7）.

綜上：滿足條件的點P的坐標有（0，2 3-7），（0，2 3+7），（0，-2 3-7），（0，-2 3+7）.

（3）要使∠APB最大，就要使過A，B兩點的圓盡可能小，因此，圓與y軸相切時，滿足條件.具體解法如下：

當過點A，B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大.

①當點P在y軸的正半軸上時，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為點H，如圖6.

因為⊙E與y軸相切于點P，所以PE⊥OP.

因為EH⊥AB，OP⊥OH，

所以∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

所以四邊形OPEH是矩形.

所以O(shè)P=EH，PE=OH=3.

所以EA=3.

因為∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

所以EH=EA2-AH2=5.

所以O(shè)P=5.

所以P（0，5）.

②當點P在y軸的負半軸上時，同理可得P（0，-5）.

理由：（i）若點P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），連接MA，MB，交⊙E于點N，連接NA，如圖6所示.

因為∠ANB是△AMN的外角，

所以∠ANB>∠AMB.

因為∠APB=∠ANB，所以∠APB>∠AMB.

（ii）若點P在y軸的負半軸上，同理可證得：∠APB>∠AMB.

綜上所述：當點P在y軸上移動時，∠APB有最大值，此時點P的坐標為（0，5）和（0，-5）.

從以上的應用可以看出，對于數(shù)學問題，求解之后，我們要多思考、多總結(jié)、多拓展，我們會發(fā)現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果，并且會得到許多解題的方法，這也是提高數(shù)學解題能力的比較好的方法之一.

2 解題后碰到其它問題的突發(fā)奇想

有些時候，求解一個數(shù)學問題之后，面對其它的數(shù)學問題，我們不能畏首畏尾，要敢于去嘗試，即使錯誤了，也沒有什么.可能在敢想敢做的過程中，我們就會發(fā)現(xiàn)一些問題的求解思路，最后通過嚴密的推理論證，使我們的想法得到證明是正確的.其實這種突發(fā)奇想是我們發(fā)現(xiàn)未知結(jié)論的比較好的方法之一，也是科學研究之中常用的方法之一.這要求我們在解題的時候要敢想，并且敢于去行動.但記得最后一定要經(jīng)過嚴密的推理論證.

例2 如何用一條直線把如圖7所示梯形ABCD的面積二等分？

解析 要用一條直線任意將梯形的面積二等分，如果從腰上考慮問題，將會變得很麻煩.我們考慮沿著底邊連線來二等分.既然要二等分，連結(jié)兩底中點的直線，為此，設(shè)AD的中點為點E，BC的中點為點F，連接EF.考慮EF能否將梯形ABCD的面積二等分.我們發(fā)現(xiàn)，所得的兩個新梯形ABFE和梯形CDEF不僅兩底對應相等，而且高線也相等，從而面積相等.也就是說梯形兩底中點的連線將梯形的面積兩等分.

有了對上面問題的求解，我們發(fā)現(xiàn)，有時候在解題時要敢于想，并且敢于去做，你會發(fā)現(xiàn)自己的解題能力就會比原先有所提升.尤其在做幾何的等分問題時，考慮中點是我們常用的方法之一.

突發(fā)奇想一 如何過任意四邊形ABCD的頂點A作一條直線把四邊形ABCD的面積二等分？

解析 連結(jié)四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.如果AC平分BD（如圖8所示），則對角線AC所在的直線即為滿足要求的直線.

如果AC不平分BD，不妨設(shè)BD的中點為點M，點M在線段BO上（在線段CO上可類似地作圖），連結(jié)AM，CM（如圖9所示），則可以知道折線AMC可以平分四邊形ABCD.過點M作AC的平行線，交AD于點E，交BC于點F.連結(jié)AF，則直線AF所在的直線即為滿足要求的直線.

突發(fā)奇想二 如何把任意一個四邊形ABCD的紙片剪兩刀（如圖10），使所剪成的四塊能拼成一個平行四邊形？并說明理由.

解析 對于此問題，好像無法下手.但是仔細分析，會發(fā)現(xiàn)要拼成平行四邊形，拼在一起的邊必須長度相等.為此，我們可考慮連結(jié)四邊形ABCD的各對邊中點，然后沿對邊中點剪開（如圖10所示）.設(shè)四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點分別為點G，F(xiàn)，H，E.連結(jié)EF，GH相交于點O，然后沿EF，GH將四邊形ABCD剪開，得到四個四邊形.保持四邊形AGOE不動;將四邊形OGBF繞點G順時針旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形O1GAF1;將四邊形EODH繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形EO2AH1;平移四邊形OFCH至四邊形O3F1AH1，則得到的四邊形OO1O3O2即為平行四邊形.

要說明這樣做是平行四邊形的理由，我們發(fā)現(xiàn)從邊上去說明問題似乎很難，但如果看角的變化，則問題會很簡單.從旋轉(zhuǎn)變換和平移變換可以知道，點O1，G，O在同一直線上，點O1，F(xiàn)1，O3在同一直線上，點O3，H1，O2在同一直線上，點O2，E，O在同一直線上.再根據(jù)對頂角相等和平移與旋轉(zhuǎn)后的對應圖形全等可知，∠O3O1O=∠GOF=∠EOH=∠O3O2O，∠O2O3O1=∠FOH=∠O1OO2，因此，四邊形OO1O3O2對角相等，從而鄰角互補，因此，對邊互相平行，四邊形OO1O3O2即為平行四邊形.

解決問題之后的思考，不僅僅是看問題解決的對錯，而是對問題拓展及延伸.當我們遇到類似的問題時，思維的電路會瞬間導通，使我們順利地解決其它問題.從這個角度看，它不僅僅是解題之后的思考，而是我們在為求解其他問題積蓄能量，這種思考越多，我們積蓄的能量就會越多，解題就會越來越自如.還有解題后的思考不僅僅是發(fā)生在解題之后，有時會發(fā)生在我們再次遇到其他問題之時，思維的瞬間閃現(xiàn)的火花之上，而且解題后的思考有時甚至發(fā)生在解題之前，有了知識的積累，相信我們解起題來會更加自如.

（收稿日期：2019-08-22）