郭源源

摘 要：反比例函數(shù)k值和面積問題在近幾年的各地中考試題中出現(xiàn)頻率較高.本文以中考中的反比例函數(shù)問題為例，通過對題型的分類解析，滲透數(shù)學(xué)思想，并感悟“建模解析法”和“構(gòu)造面積法”的解題策略.

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù);k值面積問題;解題策略

近年來，以反比例函數(shù)圖象為背景的試題，形式多變，結(jié)構(gòu)多樣，新穎獨(dú)特，且蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，已然成為了中考的熱點(diǎn)問題之一.這類試題主要呈現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：一是“易融性”，雙曲線中可以融入各種圖形，三角形、平行四邊形、矩形、菱形、梯形等無一不在其中，考查雙曲線與各種圖形的聯(lián)系，并借助它們的聯(lián)系求面積或k值;二是“易聯(lián)性”，以雙曲線為主線，關(guān)聯(lián)各種方法，既可用運(yùn)算較多的建模解析求解，也可用思維靈活的構(gòu)造面積求解，兼顧到數(shù)和形兩種思維特點(diǎn)，綜合考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.這類試題不僅可以反映出學(xué)生扎實(shí)的基本功，還可以體現(xiàn)出創(chuàng)造性的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的直接體現(xiàn).

本文根據(jù)自己在教學(xué)中的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)圖象中的面積或k值問題的解決方法通?？煞譃閮纱箢悾阂皇沁\(yùn)用“建模解析”的方法，先設(shè)某點(diǎn)的坐標(biāo)，利用關(guān)系表示出其余各點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合條件建立方程模型解決;二是運(yùn)用“構(gòu)造面積”的方法，想方設(shè)法將已有圖形面積劃歸成與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積上，即轉(zhuǎn)化成|k|的幾何意義求解.

1 矩形為背景的k值面積問題

例1 （2019年孝感）如圖1，雙曲線y=9x（x>0）經(jīng)過矩形OABC的頂點(diǎn)B，雙曲線y=kx（x>0）交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且與矩形的對角線OB交于點(diǎn)D，連接EF.若OD∶OB=2∶3，則△BEF的面積為.

分析 本題中矩形和三等分點(diǎn)的條件是關(guān)鍵，矩形意味著點(diǎn)B，F(xiàn)，C縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)B，E，A橫坐標(biāo)相同.三等分點(diǎn)又可推出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)關(guān)系.故理清坐標(biāo)之間的關(guān)系或面積之間的關(guān)系是解題的切入口.

解法1 （建模解析）設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，9a），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（ak9，9a），點(diǎn)E坐標(biāo)為（a，ka）.

因?yàn)镺D∶OB=2∶3，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為（2a3，6a）.

將點(diǎn)D坐標(biāo)代入y=kx中得k=2a3·6a=4.

所以S△BEF=12BE·BF=12（9a-ka）·（a-ak9）=12·5a·5a9=2518.

解法2 （構(gòu)造面積）如圖1，過點(diǎn)D，F(xiàn)分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，M.

因?yàn)镺D∶OB=2∶3，所以S△DONS△BOA=49.

由|k|的幾何意義可知S△BOA=|k|2=92.

所以S△DON=49×92=2.可得k=4.

因?yàn)镾矩形FCOM=4，S矩形BCOA=9，所以CFCB=49.同理AEAB=49.

所以S△BEF=12BE·BF=12·59AB·59BC=25162S矩形BCOA=25162×9=2518.

例2 （2019年隨州）如圖2，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，D為AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E，連接OD，OE，DE.若△ODE的面積為3，則k的值為.

分析 本題的中點(diǎn)和矩形亦是解題的關(guān)鍵.

解法1 （建模解析）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，ka），則點(diǎn)B坐標(biāo)為（2a，ka），點(diǎn)E坐標(biāo)為（2a，k2a）.

所以S△ODE=S矩形BAOC-S△DAO-S△ECO-S△BDE=2a·ka-k2-k2-12（ka-k2a）（2a-a）=3k4.

可得方程3k4=3，解得k=4.

解法2 （構(gòu)造面積）如圖2，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F.

由|k|的幾何意義知S△DAO=S△ECO=|k|2.

因?yàn)锳DOC=12，所以ECOA=12，即E為BC中點(diǎn).

所以S△BEDS矩形BCFD=14，即S梯形ECFDS矩形BCFD=34.

因?yàn)镾△ODE=S四邊形ODEC-S△ECO=S四邊形ODEC-S△DOF=S梯形ECFD=3，所以S矩形BCFD=4.

所以S矩形DAOF=S矩形BCFD=4，即k=4.

例3 （2019年眉山）如圖3，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點(diǎn)M，分別交AB，BC與點(diǎn)D，E.若四邊形ODBE的面積是12，則k的值為.

分析 本題中需分析出隱藏條件，即點(diǎn)M為AC，OB的中點(diǎn).這樣可以劃歸成例1、例2同類型的問題.

解法1 （建模解析）由矩形性質(zhì)知點(diǎn)M為AC，OB的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，ka），則點(diǎn)B坐標(biāo)為（2a，2ka），點(diǎn)E坐標(biāo)為（a2，2ka），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2a，k2a）.

所以S四邊形ODBE=S矩形OABC-S△ECO-S△DAO=2a·2ka-k2-k2=3k.可得方程3k=12，解得k=4.

解法2 （構(gòu)造面積）如圖3，過點(diǎn)M，E分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，F(xiàn).

由矩形性質(zhì)知點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，

所以MNOC=12，ON=AN.

由|k|的幾何意義知S△ECO=S△MNO=|k|2.

因?yàn)镸NOC=12，所以CEON=12，可得CEOA=14.

所以S矩形ECOFS矩形BCOA=14，即S矩形ECOFS矩形BEFA=13.

因?yàn)镾四邊形ODBE=S梯形OABE-S△OAD=S梯形OABE-S△OEF=S矩形BEFA=12，

所以S矩形ECOF=13×12=4，即k=4.

評注 此類題型都屬于矩形和雙曲線交點(diǎn)中含有一個(gè)特殊等分點(diǎn)的問題模型.解題時(shí)需緊扣所有點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，分析出圖形間底和高的比例關(guān)系，借助轉(zhuǎn)化，對接到|k|的幾何意義上去.

2 菱形為背景的k值面積問題

例4 （2017年齊齊哈爾）如圖4，菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，tan∠AOC=43，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D.若△COD的面積為20，則k的值為.

分析 本題的背景是定角度的菱形，菱形四個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系容易得到.而坐標(biāo)系中的△COD的位置不好，故三角形面積需轉(zhuǎn)化分析.

解法1 （建模解析） 由同底等高可得S菱形OABC=2S△COD=2×20=40.

因?yàn)閠an∠AOC=43，所以可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3a，4a），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（-5a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-8a，4a）.

所以S菱形OABC=AO·CE=5a·4a=20a2.

可得方程20a2=40，解得a=2 （-2舍去）.

所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3 2，4 2）.

代入y=kx中可得k=-24.

解法2 （構(gòu)造面積）如圖4，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接AC.

由AB//OC可得S△COD=S△COA=20.

因?yàn)榱庑蜲ABC，tan∠AOC=43，所以O(shè)EOC=35.

所以O(shè)EOA=35.所以S△COES△COA=35.

所以S△COE=35×20=12.

由|k|的幾何意義知S△COE=|k|2.

所以|k|=2×12=24，即k=-24.

例5 （2019年本溪）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA，OE都在x軸上，點(diǎn)C在OB邊上，S△ABD=3，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為.

分析 本題的難點(diǎn)仍然在于△ABD面積的處理，間接法表示面積或轉(zhuǎn)化面積是關(guān)鍵.

解法1 （建模解析）如圖5，過點(diǎn)O，D分別作DE，OE的垂線，垂足為點(diǎn)N，M.

由等邊△OAB和菱形OCDE的性質(zhì)，可設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，3a），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（2a，0）;設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（-b，0），則點(diǎn)D坐標(biāo)為（-b2，3b2），ON=3b2.

所以S△ABD=S△ABO+S梯形DEOB-S△ADE=12·2a·3a+b+2a2·3b2-12·（b+2a）·3b2=3a2.

可得方程3a2=3，解得a=1 （-1舍去）.

所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，3）.代入y=kx中可得k=3.

解法2 （構(gòu)造面積）如圖5，連接OD.

由等邊△OAB和菱形OCDE的性質(zhì)，易得OD//AB.

所以S△ABD=S△ABO=3.

因?yàn)榈冗叀鱋AB的面積可恰好劃歸成點(diǎn)B與坐標(biāo)軸圍成矩形的面積，所以由|k|的幾何意義得k=3.

評注 此類題型以菱形為載體，嵌入一個(gè)三條邊都傾斜的三角形，面積無法直接底乘高處理，解題時(shí)需抓住圖形之間的聯(lián)系，間接處理面積，分析出平行和同底等高，或割補(bǔ)、或轉(zhuǎn)化， 靈活運(yùn)用“數(shù)形”兩條線解析.

3 三角形為背景的k值面積問題

例6 （2019年寧波）如圖6，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D.AE為∠BAC的平分線，過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接DE.若AC=3DC，△ADE的面積為8，則k的值為.

分析 本題分析的重點(diǎn)在于三角形背景下條件之間的組合聯(lián)想.直角三角形結(jié)合斜邊中點(diǎn)易聯(lián)想到斜邊中線，得等腰三角形后結(jié)合角平分線可以得到平行線，這樣△ADE的面積就很好處理了.

解法1 （建模解析）過點(diǎn)A，D分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，G.連接OE.

因?yàn)橛葾E⊥BE，OA=OB，所以O(shè)A=OB=OE.

所以∠OAE=∠OEA.

又因?yàn)椤螼AE=∠DAE，所以∠OEA=∠DAE.

所以O(shè)E//AC.

又AC=3DC，

所以S△ACO=32S△ADE=32×8=12.

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，ka），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（a3，3ka），F(xiàn)G=2a3，CG=12FG=a3，故點(diǎn)C坐標(biāo)為（4a3，0）.

所以S△ACO=12·OC·AF=12·4a3·3ka=2k.

可得方程2k=12，解得k=6.

解法2 （構(gòu)造面積）同解法1得S△ACO=12.

AC=3DC，由相似比可得DGAF=13，CGFG=12.

由|k|的幾何意義知S△DGO=S△AFO=|k|2.

因?yàn)镈GAF=13，所以O(shè)FOG=13.可得OFOC=14.

所以S△AFO=14S△ACO=14×12=3.可得k=6.

評注 三角形為背景的題，可以融入更多的幾何知識，隱藏的信息也可以更深.解題時(shí)注重條件的重合和聯(lián)想，挖掘題目背后的隱藏信息，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化面積的作用.

綜上，反比例函數(shù)的k值和面積問題，涉及的知識面廣、跨度大、聯(lián)系緊、綜合性強(qiáng)，試題結(jié)構(gòu)新穎且多變，解題方法靈活且多樣，要求學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，能靈活運(yùn)用所學(xué)知識，會多角度思考分析問題[1].此外，這類問題的解法過程蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如本文所述的兩種解法，是“數(shù)、形”兩種思維的代表，解法過程中涉及到數(shù)形結(jié)合、劃歸轉(zhuǎn)化、方程建模等重要的數(shù)學(xué)思想，對提升學(xué)生思維有很大的幫助，具有一定的數(shù)學(xué)價(jià)值.

一個(gè)好的解題方法，應(yīng)以學(xué)生的理解為基礎(chǔ)，以解題的高效為動(dòng)力，以幫助學(xué)生全面地、系統(tǒng)地研究問題為根本，達(dá)到“練一題，學(xué)一法，會一類，通一片”的目標(biāo)[2].同時(shí)筆者認(rèn)為，解題方法的研究，需先類化問題，看透一類問題的本質(zhì)，拋開瑣碎的小技巧，著眼于整體的問題框架，探究出解決問題的的通性通法.只有注重通性通法，知識才能越學(xué)越成體系，方法才能越學(xué)越能連貫，數(shù)學(xué)也才能越學(xué)越有味道.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈岳夫.中考反比例函數(shù)與面積類試題歸類解析 [J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（Z3）：76-82.

[2]左效平，張新華.面積法——解反比例函數(shù)面積問題的重要工具[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（07）：54-59.

（收稿日期：2019-08-03）