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        “圖形的運動”錯解剖析

        2019-12-27 08:00:30王云峰
        初中生世界 2019年45期

        文 王云峰

        圖形的運動有三種方式:平移、翻折、旋轉(zhuǎn),習(xí)慣上分別將它們稱為平移變換、對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換。初學(xué)這部分內(nèi)容,同學(xué)們常因觀察不仔細,想象不豐富,思考不全面等原因出錯。下面我們舉例說明。

        例1 如圖1,4個小三角形的形狀與大小都相同,其中可以通過平移三角形ABC而得到的三角形一共有( )。

        A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

        圖1

        圖2

        【錯解】D。

        【錯因】有些同學(xué)由條件“4個小三角形的形狀與大小都相同”,誤認為這4個三角形可以通過相互平移得到,錯在沒有考慮平移的方向。實際上,三角形ACE是由三角形ABC沿AC翻折得到的。

        【正解】C。

        【點評】兩個圖形間的運動方式為平移變換,它們不僅形狀、大小相同,而且方向也要一致;翻折變換實際上是反向平移。

        例2“飛流直下三千尺”“坐地日行八萬里(只考慮地球自轉(zhuǎn))”,如果只從數(shù)學(xué)角度看,它們分別蘊含的圖形變換是( )。

        A.平移、平移 B.平移、翻折

        C.平移、旋轉(zhuǎn) D.旋轉(zhuǎn)、翻折

        【錯解】A。

        【錯因】一些同學(xué)是這樣思考的:人在地面行走可看成是平移變換,因此從數(shù)學(xué)角度看,“坐地日行八萬里”是平移變換。其錯在沒有關(guān)注括號中的條件“只考慮地球自轉(zhuǎn)”。它表達的意思是:人在地球上不動(“坐地”),地球自轉(zhuǎn)導(dǎo)致人“日行八萬里”。因此這是旋轉(zhuǎn)變換。

        【正解】C。

        【點評】審題要仔細、全面,要關(guān)注題中的每一個條件。數(shù)學(xué)中許多式子會采用括號的形式表示,若不考慮全面,則容易出錯。如:n=a(a≥0)寫成 n=a,就是錯的。

        例3 如圖2,正方形ABCD繞某個點(記為點O)旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合,則點O的位置有________個。

        【錯解】2。

        【錯因】一些同學(xué)觀察圖形,發(fā)現(xiàn)點O在點C(或點D)處時,正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合,錯在僅關(guān)注了圖中有字母的點,忽視了其他的點。實際上,繞CD的中點旋轉(zhuǎn),正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后也能與正方形CDEF重合。

        【正解】3。

        【點評】由圖形的位置可知,正方形ABCD繞點C(或點D)旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合??紤]完這種情形后,再考慮旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后結(jié)論是否也成立,這是解答這類問題的一個重要策略,可防止出現(xiàn)遺漏。繞CD的中點將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°能與正方形CDEF重合。

        例4 如圖3,是一個長為4cm、寬為3cm的長方形紙片。若將此長方形紙片繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,求所形成的幾何體的體積。

        圖3

        圖4

        圖5

        【錯解】如圖4,是長方形紙片繞一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體,這是一個圓柱,它的底面半徑為3,高為4,所以它的體積為π×32×4=36π。

        【錯因】審題不清?!皩⒋碎L方形紙片繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周”并沒有指明是繞長邊旋轉(zhuǎn)還是繞短邊旋轉(zhuǎn),因此要分兩種情形求解。

        【正解】當長方形紙片繞長邊旋轉(zhuǎn)一周,如圖4,它的體積為36π。

        當長方形紙片繞短邊旋轉(zhuǎn)一周,如圖5,這個幾何體是圓柱,它的底面半徑為4,高為3,所以它的體積為π×42×3=48π。

        綜上,所求幾何體的體積為36π或48π。

        【點評】對于沒有指明對象的問題,要考慮進行分類討論。

        例5 圖6是3×3正方形方格,將其中兩個方格涂黑,并且使得涂黑后的整個圖案沿某條直線翻折,直線兩旁的部分重合。約定正方形ABCD繞某點旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案,如圖7中的四幅圖就視為同一種圖案。則得到的不同圖案共有( )。

        A.4種 B.5種 C.6種 D.7種

        圖6

        圖7

        【錯解】B。

        【錯因】一些同學(xué)設(shè)計的圖案如圖8所示,忽視了題目中范例的情形。根據(jù)題意,范例也應(yīng)當包含在答案中。

        圖8

        【正解】C。

        【點評】利用翻折設(shè)計圖案,可先確定所有可能的“折線”,然后在“折線”的兩側(cè)進行設(shè)計。本題的圖案是正方形,而正方形的“折線”有4條,如圖9所示。由于第1、2個圖繞某點旋轉(zhuǎn)重合,第3、4個圖繞某點旋轉(zhuǎn)也重合,所以只需在第1、3個圖中設(shè)計即可。由第1個圖可設(shè)計出范例及圖8中前兩個,由第3個圖可設(shè)計出圖8中后三個。這樣就能防止出現(xiàn)遺漏了。

        圖9

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