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        以“植樹問題”為例探討數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

        2019-12-26 16:00:32李林婧
        文山學(xué)院學(xué)報 2019年3期
        關(guān)鍵詞:植樹問題植樹間隔

        李林婧

        (文山學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院,云南 文山 663099)

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》的總目標(biāo)中明確提出了“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn))[1],表明在小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法與知識技能同等重要,必需習(xí)得。這就好比授人以魚不如授人以漁,魚在此為必要的基礎(chǔ)知識與基本技能;而漁為基本思想方法與活動經(jīng)驗(yàn),有了捕魚的方法,學(xué)生想要魚也容易多了。

        可是,在當(dāng)前的小學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)并沒有得到足夠的重視,教材中潛藏的數(shù)學(xué)思想方法未能夠得到充分應(yīng)用,有的教師甚至認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法講多了容易增加學(xué)生負(fù)擔(dān)。數(shù)學(xué)思想方法的滲透能不能提高學(xué)習(xí)效率,小學(xué)教師應(yīng)該如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呢?查閱文獻(xiàn)時,筆者發(fā)現(xiàn)雖然較多研究者提出了數(shù)學(xué)思想教學(xué)的方法和建議,但是都基于理論研究,實(shí)踐研究較少。因此筆者以人教版五年級上冊數(shù)學(xué)廣角——“植樹問題”單元為例展開研究,查閱“植樹問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教研論文,通過觀察法與個案研究等方法對這一單元教學(xué)中可能存在的問題進(jìn)行梳理,對“植樹問題”的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)以及本單元涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法的滲透提出個人思考。

        1 關(guān)于數(shù)學(xué)廣角——“植樹問題”分析

        本教學(xué)單元主要討論隔段沿指定路線植樹的問題,內(nèi)容緊貼生活,活動性和操作性比較強(qiáng),具有積累活動經(jīng)驗(yàn)、滲透數(shù)學(xué)思想方法等特征,同時也可延伸到解決其他生活問題方面。但是因?yàn)樗纱嬖诘淖兞慷?、情況多,導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)時出現(xiàn)無頭緒的情況,因此教與學(xué)都有著較大的探究空間。

        1.1 “植樹問題”教學(xué)內(nèi)容分析

        “植樹問題”設(shè)計(jì)的兩個重要變量:坑數(shù),即植樹問題一棵樹對應(yīng)挖一個坑,這樣描述有利于今后學(xué)生演變到對應(yīng)其他類似問題;間隔,表示兩個坑之間有一段距離,間隔數(shù)即有幾個間隔的問題。

        “植樹問題”的教學(xué)內(nèi)容中涉及兩個等量關(guān)系:第一個關(guān)系是全長÷平均間距=間隔數(shù);第二個關(guān)系是坑數(shù)、間隔數(shù)之間的關(guān)系,需要分三種情況討論,兩端都不栽(坑數(shù)比間隔數(shù)少1)、僅一端栽(坑數(shù)與間隔數(shù)一樣多)、兩端都栽(坑數(shù)比間隔數(shù)多1)。而實(shí)際兩個關(guān)系式中,坑數(shù)只與間隔數(shù)有關(guān)系,與間距大小,是否為平均間距無關(guān);但是知道平均間距和總長可以求出間隔數(shù)。

        1.2 “植樹問題”涉及的數(shù)學(xué)思想方法

        本教學(xué)單元的主要數(shù)學(xué)思想方法有:抽象的方法,數(shù)形結(jié)合思想、歸納猜想、模型的方法,分類討論、類比的思想、化歸的方法。如何讓學(xué)生經(jīng)歷一系列數(shù)學(xué)活動,積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),體會、認(rèn)識這些重要的思想方法,今后如何將此思考方式與方法遷移到其他數(shù)學(xué)問題上,是教師需要思考的問題。

        1.3 “植樹問題”衍生或者轉(zhuǎn)化的系列問題

        “植樹問題”的衍生問題:環(huán)形植樹問題,方陣植樹問題、方陣外圈植樹問題等;

        “植樹問題”的轉(zhuǎn)化問題:“數(shù)手指”“鋸木頭”“裝路燈”“擺花盆”“打木樁”“敲鐘”“爬樓梯”問題等。

        教師在教學(xué)中可以盡量收集衍生問題并進(jìn)行歸類,在縱橫聯(lián)系中促使學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去思考和探索問題,加深對知識的理解,進(jìn)一步拓寬思路,激活了思維數(shù)學(xué)思想方法就能夠水到渠成地滲透給了學(xué)生[2]。通過對“模型的方法”“化歸的方法”的介紹,讓學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)學(xué)思想方法進(jìn)行知識的遷移與轉(zhuǎn)化,有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究,訓(xùn)練思維能力。

        1.4 教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的困難、成因分析及教學(xué)處理建議

        首先,關(guān)于探索。對于教師來說,受課堂時間所限難以給足學(xué)生時間細(xì)致深入地自主探索,學(xué)生自主解決問題的能力難以提升;對于學(xué)生來說,教材例題數(shù)據(jù)大、畫圖困難,且同時出現(xiàn)兩個需要探索得出結(jié)論的模型(等量關(guān)系)。學(xué)生短時間內(nèi)既要猜想驗(yàn)證得出(兩端都種的)模型關(guān)系,又要理清題意解決問題,除了接受能力強(qiáng)的同學(xué),多數(shù)學(xué)生會思路混亂、產(chǎn)生畏難情緒。降低了解決問題的興趣,遇見問題沒有頭緒,學(xué)生開始生吞活剝地硬套公式,解題就忽對忽錯[3]。筆者建議適當(dāng)改良例題情景,用簡單的數(shù)據(jù)、讓學(xué)生有充裕的時間經(jīng)歷對“坑數(shù)”與“間隔數(shù)”的探究和比較,并找到三種情況內(nèi)在的聯(lián)系。因?yàn)閷W(xué)生來說,夠得著的問題才有興趣經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證和理解。

        其次,內(nèi)容安排。在一個課時內(nèi),教師一般只能完成教材例題中“植樹問題”兩端都栽的這一種情況討論,到第二個課時才能進(jìn)行另外兩種情況(兩端不栽,一端栽)的討論。這樣割裂的方式不利于學(xué)生對這三種情況進(jìn)行充分對比和深入理解,同時也讓學(xué)生錯失了理解分類討論的最佳時期。

        再次,數(shù)學(xué)思想方法滲透。有的教師本身缺少對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識與思考,導(dǎo)致本單元的教學(xué)講解不夠深入,不能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)廣角”編寫的初衷。教師講解不到位,學(xué)生建立模型的過程只能靠死記硬背,在解決如環(huán)形植樹、打木樁等實(shí)際問題時,更難以轉(zhuǎn)化應(yīng)用。對于轉(zhuǎn)化應(yīng)用,筆者建議將 “植樹問題”的系列問題羅列出來,課堂中完成植樹模型討論后,進(jìn)一步探討這系列問題如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,并總結(jié)“化歸方法”,歸納學(xué)生解決類似問題的思路。

        2 “植樹問題”的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)探究

        人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級的 “數(shù)學(xué)廣角”,學(xué)習(xí)的主要目的是讓學(xué)生掌握一些重要的數(shù)學(xué)思想方法,經(jīng)歷自主探索,在生活中逐步增加解決問題的經(jīng)驗(yàn)與能力,屬于思維拓展性學(xué)習(xí)[4]。通過以上分析,筆者將“植樹問題”設(shè)計(jì)為以探究應(yīng)用為主線,“數(shù)學(xué)思想方法”為暗線,由淺入深進(jìn)行的教學(xué)環(huán)節(jié)。順序如下:

        “數(shù)形結(jié)合”思想滲透:教學(xué)引入改良為,一只可愛的兔子想在它的茅屋旁種一排胡蘿卜充饑,請大家?guī)兔ΨN種地。(課件展示兔子與茅屋圖片)如何種呢?學(xué)生在這個時候?qū)栴}產(chǎn)生了興趣,通過小組討論,確定將“一條線段”表示為種一排,一個蘿卜一個坑,一個“圓圈”表示為挖一個坑,初步確定問題為在一條線段上畫坑。目的:溝通了圖形與現(xiàn)實(shí)問題的聯(lián)系,加強(qiáng)了對題意的理解和方法應(yīng)用。

        “分類討論”的思想滲透:學(xué)生開始在線段上畫圖挖坑,教師可通過現(xiàn)實(shí)問題提示兩個坑之間要有間隔。坑的個數(shù)可進(jìn)行限制,如果教師能夠掌控課堂,也可不加限制。學(xué)生畫好圖后進(jìn)行小組討論,找出線段上不同的排列(栽種方法)。經(jīng)過展示、對比、分析,引導(dǎo)學(xué)生描述出分類方法為:僅一端栽、兩端都栽、兩端不栽。學(xué)生在自己的圖上標(biāo)注出種法,小組內(nèi)互相檢查批改。目的:通過此環(huán)節(jié),讓學(xué)生會畫圖分析“植樹問題”的三種情況。

        “歸納法”的思想滲透:從“僅一端栽”開始討論(此處可依據(jù)學(xué)生喜好選擇情況進(jìn)行討論)。從畫一個坑開始依次到多個坑,通過邊畫圖邊數(shù)清坑數(shù)與間隔數(shù)的方法,歸納出坑數(shù)與間隔數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系(教師可點(diǎn)撥觀察的順序)。

        “模型的方法”滲透:當(dāng)學(xué)生找到“僅一端栽”情況的坑數(shù)與間隔數(shù)對應(yīng)關(guān)系時,嘗試讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述并用等式表示為,坑數(shù)=間隔數(shù);則“兩端不栽”畫圖可得端點(diǎn)處少1個坑而間隔數(shù)沒變化,等式為,坑數(shù)=間隔數(shù)-1;以此類推,兩端栽為,坑數(shù)=間隔數(shù)+1。目的:學(xué)生通過歸納推理與建立模型,更進(jìn)一步整理三種情況的思路;還可以背個順口溜,即“與間隔數(shù)相比,兩端不栽坑少1,僅一端栽坑相同,兩端都栽坑多1”。

        “化歸方法”的滲透:首先教師嘗試給出間隔數(shù)請學(xué)生求坑數(shù),考察學(xué)生能否會分類討論;再給出坑數(shù)請學(xué)生分情況討論間隔數(shù),加深學(xué)生對模型的理解;然后,教師給出簡單的環(huán)形植樹問題(轉(zhuǎn)化為僅一端栽情況),“數(shù)手指”問題(轉(zhuǎn)化為兩端都栽情況),“鋸木頭”問題(轉(zhuǎn)化為兩端不栽情況),“鐘打點(diǎn)”問題(轉(zhuǎn)化為兩端都栽情況),“爬樓梯”問題(轉(zhuǎn)化為僅一端栽情況)等,嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過“植樹問題”的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到新的問題模型。目的是讓學(xué)生初步的感知化歸的方法,學(xué)會將未知問題轉(zhuǎn)化為已知模型,今后解決問題時能夠考慮應(yīng)用此方法。

        總結(jié)“數(shù)學(xué)思想方法”:教師在講授完植樹問題以及植樹的相關(guān)問題后,及時按講課順序總結(jié)思路并對應(yīng)歸納使用的數(shù)學(xué)思想方法。五年級的學(xué)生已經(jīng)具備通過具體事例理解概念的能力,充分詮釋數(shù)學(xué)思想方法有助于學(xué)生的轉(zhuǎn)化應(yīng)用,教師有必要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)。

        以上教學(xué)設(shè)計(jì),筆者選擇暑期四年級升五年級、數(shù)學(xué)成績、思維能力均屬中等水平的小學(xué)生進(jìn)行教學(xué)試驗(yàn),學(xué)時一小時。通過觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn),教學(xué)情景越簡單有趣,學(xué)生越有興趣參與其中;教學(xué)提問越有步驟和針對性,學(xué)生的行動力越好;在充裕時間下,學(xué)生對于變量越少的探究,建立模型和解決問題的能力越高。對數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié),有助于學(xué)生對知識的遷移。通過教學(xué)試驗(yàn)后,學(xué)生對植樹模型以及植樹問題的分類討論清楚明確,對解決此類問題產(chǎn)生了濃厚的興趣;數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用與概括使學(xué)生思考問題的方法和角度更準(zhǔn)確,對中等難度問題的解題方法更明確、正確率更高。人教版教材的內(nèi)容和習(xí)題則作為學(xué)生自主練習(xí)、復(fù)習(xí)鞏固的部分展開。對于教材中稍難的題目,只要學(xué)生的思路正確,獨(dú)立思考時間足夠或者有教師稍加點(diǎn)撥就都能夠自行轉(zhuǎn)化為已知模型。

        3 “植樹問題”教學(xué)為例的其它教學(xué)建議

        3.1 學(xué)生課后畫思維導(dǎo)圖

        思維導(dǎo)圖作為一種筆記方法,它和傳統(tǒng)的直線記錄方法完全不同,以直觀形象的圖示建立起各個概念之間的聯(lián)系,是模擬思維網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行的記憶、歸納和創(chuàng)造的工具[5]。課后學(xué)生將課堂中思考的過程、探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、解決問題的方法形成書面導(dǎo)圖,有助于加深記憶,使得知識結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定、有條理。同時,教師依據(jù)學(xué)生畫的框架圖,可以找到學(xué)生學(xué)習(xí)中的缺漏并及時進(jìn)行補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)。

        3.2 對學(xué)生要求“下有保底,上不封頂”

        由于學(xué)生思維能力不均衡,接受能力不同,建議教師制定有差異的教學(xué)目標(biāo),由淺入深地設(shè)置問題;進(jìn)行習(xí)題的難度系數(shù)歸類,按照思維訓(xùn)練層次逐漸拔高(分為基礎(chǔ)題、提升提、拔高題等),讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)能力逐漸選擇解決更難的問題。對于接受能力很強(qiáng)的學(xué)生,還可以再增設(shè)一些開放性作業(yè)和問題,拓展學(xué)生的思維并從中發(fā)現(xiàn)問題。

        3.3 教師要有提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意識

        “數(shù)學(xué)廣角”蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想方法,對部分教師而言可能未曾學(xué)習(xí)過也是新內(nèi)容,對于大部分教師而言有一定了解卻從未深入探討過。教師如果缺乏數(shù)學(xué)思想方法在理論方面的深層次認(rèn)識,將很難對內(nèi)容有更深的把握,教學(xué)中難免會出現(xiàn)這樣那樣的問題,唯有不斷地學(xué)習(xí)才能夠增加深入理解[6]。

        數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,正如米山國藏所說“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識,畢業(yè)后若沒有什么機(jī)會去用,一兩年后,很快就忘掉了。然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等,卻隨時隨地發(fā)生作用,使他們終生受益[7]?!比欢?,教科書中的很多數(shù)學(xué)思想并不是顯而易見的,甚至體現(xiàn)得還不夠,教師要在深挖教材的基礎(chǔ)上,采取多樣化的形式把蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)基本思想凸顯出來,有意識地對數(shù)學(xué)基本思想進(jìn)行升華和提煉[8]。數(shù)學(xué)基本思想作為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的四基之一,對教師的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求。希望通過本論文能夠增加小學(xué)教師對數(shù)學(xué)基本思想及數(shù)學(xué)廣角認(rèn)識的思考,同時對今后“植樹問題”的教學(xué)思路提供一定的參考。

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