王磊 陳建文

摘 ? 要：“帕普斯—古爾丁”定理早在古希臘時(shí)期就被幾何學(xué)家發(fā)現(xiàn)了，該原理的思辨性容易被中學(xué)數(shù)學(xué)水平的學(xué)生理解，其證明方法可以用微積分所得，當(dāng)把該原理應(yīng)用于處理求剛體重心有關(guān)的物理問(wèn)題時(shí)可以代替微積分方法，有效地簡(jiǎn)化物理問(wèn)題的處理，尤其是在高中物理競(jìng)賽和大學(xué)物理課程中使用更為多見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：“帕普斯-古爾丁”定理;剛體重心;競(jìng)賽

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2019）11-0058-3

1 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的介紹

古希臘后期的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，約公元300—350年前后），在其所著的《數(shù)學(xué)匯編》中記載了關(guān)于旋轉(zhuǎn)體體積的一個(gè)定理，大意為：“封閉的平面圖形圍繞同一平面內(nèi)且不與之相交的軸回轉(zhuǎn)，所產(chǎn)生的體積等于這圖形面積乘以圖形重心所描畫(huà)出的圓周的長(zhǎng)”。他還進(jìn)一步斷言：“可以將封閉平面圖形改成一段平面曲線，它回轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的曲面面積等于曲線的長(zhǎng)乘以其重心所畫(huà)過(guò)的圓周的長(zhǎng)?！迸疗账怪粩⑹龆鴽](méi)有證明。文藝復(fù)興后期，瑞士數(shù)學(xué)家古爾?。▓D1）重新獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這一定理，記錄在他的著作《關(guān)于重心》中。實(shí)際上，他也沒(méi)有證明，只是作了“形而上學(xué)”的推理。因此，后人常稱(chēng)之為“帕普斯—古爾丁”定理[1]。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（圖2）指出這一缺陷后，用自己創(chuàng)立的微積分奠基理論“不可分量原理”證明了該定理的成立。

2 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的微積分證明[1]

任意的平面封閉幾何形狀（圖3），其面積為S，該幾何圖形的重心為C，在該幾何圖形平面內(nèi)任取一與該幾何圖形無(wú)相割的直線x為轉(zhuǎn)軸，重心C與x軸的垂直距離為yC，使該幾何圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)α角（α≤2π）形成一個(gè)立體幾何體。根據(jù)“帕普斯—古爾丁”定理，該幾何體的體積為：

以直線x為x軸建立三維直角坐標(biāo)系。將該圖形置于三維坐標(biāo)系中的xy平面內(nèi)研究（圖4），把該圖形分成上下兩部分，上下兩邊界的曲線分別看成y關(guān)于x的函數(shù)y1=f1（x），y2=f2（x）。

、y2=f2（x）所圍成的圖形為一無(wú)窮窄矩形，其面積為ΔS=[f1（xi）-f2（xi）]Δx，該矩形的重心為其幾何中心，坐標(biāo)為（xi+ ， ）。

根據(jù)重心位置疊加原理 ?= 有：

該幾何圖形的重心C的縱坐標(biāo)

寫(xiě)成積分方程有：

將（2）式帶入（1）式得“帕普斯—古爾丁”定理下該立體幾何體的體積為：

用微積分方法直接求該幾何圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)α角后的立體幾何體體積有：

3 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的物理實(shí)際應(yīng)用

例題1 如圖5半徑為R的 光滑圓柱固定在地面上，柱面上放置一根長(zhǎng)為 、線密度為λ的光滑均勻鐵鏈AB，在A端施加一水平向左的拉力F，求能使AB恰好完全在柱面上靜止的拉力F大??？

解析 由對(duì)稱(chēng)性可知鐵鏈重心C一定在∠AOB的角分線上，根據(jù)“帕普斯—古爾丁”定理使 圓周AB繞OB軸旋轉(zhuǎn)360°得到一個(gè)半球面有：

可得OC= ，即重心C在∠AOB的角平分線上距O點(diǎn) 處，鐵鏈靜止后其形狀不再改變，此時(shí)可以把鐵鏈當(dāng)成剛體來(lái)對(duì)其進(jìn)行受力分析。重力G與拉力F的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，把鐵鏈分成無(wú)窮多小段，第i段受到柱面的支持力為Δ i。因?yàn)橹С至εc接觸面垂直，每一個(gè)Δ i的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，所有小段所受支持力的合力 = Δ i，所以鐵鏈所受柱面的合支持力N必然經(jīng)過(guò)O點(diǎn)。再根據(jù)剛體受三力平衡的共點(diǎn)原理，合支持力N必然經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，即鐵鏈所受合支持力N的方向?yàn)镺D方向。

例題2 ?如圖6所示，質(zhì)量分布均勻的半圓柱體，其平面向上放在粗糙水平面上，半圓柱體與水平面間的摩擦系數(shù)為μ，如圖6在圓柱體邊緣A點(diǎn)施加一水平向右的力F，使圓柱體勻速向右運(yùn)動(dòng)，求半圓柱偏過(guò)的角度θ。

解析 由對(duì)稱(chēng)性可知，半圓柱體的重心一定在AB的中垂線OD上。假設(shè)重心為C點(diǎn)，OC=a，根據(jù)“帕普斯—古爾丁”定理將整個(gè)半圓面繞AB軸旋轉(zhuǎn)360°可得一圓球體[3]。

例題3 如圖7所示，各處截面均為等腰梯形的質(zhì)量分布均勻物塊，上底DE長(zhǎng)l，下底AB長(zhǎng)2l，高為 l，倒放置在一斜面OM上，其截面與紙面平行，斜面OM可繞垂直于紙面且過(guò)O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，緩緩抬高斜面M點(diǎn)，當(dāng)斜面與平面成θ角時(shí)，物塊恰好翻轉(zhuǎn)，求θ的大小。

解析 由等腰梯形截面為軸對(duì)稱(chēng)圖形可知物塊的重心C一定在對(duì)稱(chēng)軸QK上，QK為AB的垂直平分線。設(shè)CQ長(zhǎng)為α，繞AB軸旋轉(zhuǎn)等腰梯形ABDE360°可得一立體幾何圖形，根據(jù)“帕普斯—古爾丁”定理有[3]：

4 ? ?總 ? 結(jié)

“帕普斯—古爾丁”原理在古希臘時(shí)期就被哲學(xué)家用思辨的方法發(fā)現(xiàn)了，該原理比較容易被中學(xué)生所理解。把該原理應(yīng)用于處理均勻剛體重心問(wèn)題時(shí)，有效地簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，并且避開(kāi)了微積分的計(jì)算手段。為學(xué)生處理物理問(wèn)題提供了一個(gè)新的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹，徐春華.對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積的再認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（1）：54-56.

[2]郜舒竹，劉瑩.用“帕普斯—古爾丁定理”解釋“喇叭悖論”[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（8）：175-179.

[3]陳玉奇.巧用巴普斯定理求物體的質(zhì)心[J].物理教學(xué)探討，2012，30（11）：62-63.

（欄目編輯 ? ?羅琬華）