劉 菁，魏雪緣，劉 釗，徐瑞陽(yáng)

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077； 2.中國(guó)人民解放軍94582部隊(duì)，河南 駐馬店463000； 3.中國(guó)人民解放軍95438部隊(duì)，四川 眉山 620010)

0 引言

ITU對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行了明確的定義，相對(duì)于4G網(wǎng)絡(luò)，在峰值速率、連接密度及頻譜效率方面都有幾倍到幾十倍的增強(qiáng)，同時(shí)還提出增強(qiáng)移動(dòng)寬帶、海量機(jī)器類(lèi)通信和低時(shí)延、高可靠三大業(yè)務(wù)場(chǎng)景[1]。與前幾代移動(dòng)通信技術(shù)相比，5G不再是單純地解決網(wǎng)絡(luò)中的特異性問(wèn)題，而強(qiáng)調(diào)整體的用戶(hù)體驗(yàn)提升，接入網(wǎng)絡(luò)的時(shí)延降低，以及海量設(shè)備連接的質(zhì)量指標(biāo)[2]。為實(shí)現(xiàn)這些新要求和新性能，很多新技術(shù)在上一代的基礎(chǔ)上被應(yīng)用于通信中，例如大規(guī)模天線(xiàn)技術(shù)[3]、波束成形技術(shù)[4]以及認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電技術(shù)[5]。在這些新技術(shù)中，認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電由于其優(yōu)異的性能而受到廣泛關(guān)注。為實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)，信號(hào)處理，尤其是信號(hào)在時(shí)頻域直接的轉(zhuǎn)化尤其重要，因此時(shí)頻域處理技術(shù)成為認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電技術(shù)中的一個(gè)重要方面。在諸多時(shí)頻域處理技術(shù)中，小波包變換由于其良好的抗干擾特性，被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)通信系統(tǒng)中。王桁、呂智勇等人利用小波包變換優(yōu)異的時(shí)頻域局部分析能力，通過(guò)將子帶功率比與最小功率閾值相結(jié)合，對(duì)衛(wèi)星直接序列擴(kuò)頻通信中的干擾進(jìn)行檢測(cè)與抑制，以增強(qiáng)其抗干擾能力[6]。陳宜文、許斌等人根據(jù)OFDM 信號(hào)與其他單載波信號(hào)具有不同的小波包分解特性，解決了電力線(xiàn)通信中低信噪比下OFDM信號(hào)檢測(cè)的問(wèn)題[7]。文獻(xiàn)[8]在小波包變換的基礎(chǔ)上提出了一種根據(jù)頻率選擇的基于深層小波包多閾值去除干擾信號(hào)的方法，并將這種方法應(yīng)用到超寬帶系統(tǒng)中，來(lái)緩解超寬帶系統(tǒng)中的窄帶干擾。從上述文獻(xiàn)可以看出，小波包變換多被應(yīng)用于解決通信系統(tǒng)中的干擾抑制問(wèn)題。但是小波包變換是在小波函數(shù)的基礎(chǔ)上完成的，而經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的研究，各類(lèi)小波函數(shù)已被大部分人所了解，因此當(dāng)通信過(guò)程中存在竊聽(tīng)方時(shí)，在單純采用小波包變換進(jìn)行通信時(shí)發(fā)送的信號(hào)很容易被竊聽(tīng)方獲取。

加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Weighted Fractional Fourier Transform，WFRFT)是物理層安全領(lǐng)域的一項(xiàng)新技術(shù)，最初由Shi.C.C在1995年提出[9]，由于其具有諸多優(yōu)點(diǎn)，因此在近幾年受到了較多關(guān)注。梅林最早將WFRFT應(yīng)用于通信系統(tǒng)，并研究了WFRFT信號(hào)的特點(diǎn)及其抗截獲性能[10]，文獻(xiàn)[11-12]提出了WFRFT在物理層安全中的應(yīng)用，并證明了其抗竊聽(tīng)和抗識(shí)別性能，WFRFT還與人工噪聲技術(shù)和TDCS技術(shù)結(jié)合，從而達(dá)到惡化竊聽(tīng)方接收信號(hào)的目的[13]，文獻(xiàn)[14]將加權(quán)類(lèi)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換處理后的信號(hào)與Logistic映射產(chǎn)生的混沌相位擾碼結(jié)合應(yīng)用于衛(wèi)星通信中，提出了一種衛(wèi)星混合載波混沌相位擾碼安全傳輸方案。WFRFT還能作為一種預(yù)編碼方案被應(yīng)用于通信系統(tǒng)，能夠在抑制窄帶干擾和降低峰均比等方面優(yōu)于原有系統(tǒng)[15-16]，文獻(xiàn)[17]分析了在WFRFT預(yù)編碼下廣義頻分復(fù)用(Generalized Frequency Division Multiplexing，GFDM)通信系統(tǒng)的誤碼性能，同時(shí)為解決參數(shù)單一的問(wèn)題，多項(xiàng)WFRFT(M-WFRFT)[18]和多項(xiàng)多參WFRFT(MP-WFRFT)[19]被提出并應(yīng)用到信息安全中取得了較好的效果。

從上述文獻(xiàn)可以看出，同樣作為時(shí)頻域信號(hào)處理技術(shù)，小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在性能上各有優(yōu)劣，本文在對(duì)這2種技術(shù)進(jìn)行介紹的基礎(chǔ)上，通過(guò)仿真分析對(duì)比2種時(shí)頻域信號(hào)處理技術(shù)的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)。

1 小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換概述

1.1 小波包變換

小波包變換是在小波變換的基礎(chǔ)上提出了一種時(shí)頻域變換，主要為了解決小波變換由于沒(méi)有對(duì)同一尺度上的細(xì)節(jié)分量進(jìn)一步分解，造成高頻信息不能得到較好地處理這一問(wèn)題，小波包是利用長(zhǎng)度為2N的完全重構(gòu)正交濾波器組h0和h1構(gòu)造的，其函數(shù)由濾波器組遞歸定義，可表示為：

(1)

(2)

式中，n為非負(fù)整數(shù)，p0(x)和p1(x)為相應(yīng)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)[20]，pn(x)稱(chēng)為母函數(shù)，小波包函數(shù)具有以下特點(diǎn)：

① 小波包函數(shù)具有平移正交性，及對(duì)?k,j有：

〈pn(x-k),pn(x-j)〉=δkj；

(3)

② 由同一生成元尺度函數(shù)產(chǎn)生的小波包函數(shù)p2n(x)和p2n+1(x)，對(duì)任意的整數(shù)k和j有：

〈p2n(x-k),p2n+1(x-j)〉=0。

(4)

(5)

因此?j∈Z,j≠1有：

(6)

通過(guò)式(6)可以看出，小波包變換對(duì)空間Wj進(jìn)行了更精細(xì)的劃分，從而能夠?qū)π盘?hào)的高頻分量進(jìn)行分析。分析過(guò)程就是小波包分解和重構(gòu)的過(guò)程，其快速算法的迭代式為：

(7)

式中，fn為待分解信號(hào)，H和G分別為分解濾波器組，j=1,2,...,J,i=1,2,...,2j-1，J為最大小波包分解級(jí)數(shù)。

信號(hào)的小波包重構(gòu)即為其分解的逆過(guò)程，是由各級(jí)分解系數(shù)逐級(jí)迭代，從而恢復(fù)出原始信號(hào)，可表示為：

(8)

1.2 加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，由于相對(duì)于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換計(jì)算簡(jiǎn)便而被逐漸應(yīng)用到通信領(lǐng)域[22-23]，其是由一系列變換基函數(shù)加權(quán)求和得到的，基函數(shù)均由待變換信號(hào)的傅里葉變換得到，對(duì)于任意一個(gè)信號(hào)，其傅里葉變換定義為：

(9)

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可得：

(10)

因此，加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可定義為：

Fα[f(x)]=ω0(α)f(x)+ω1(α)F(x)+
ω2(α)f(-x)+ω3(α)F(-x)，

(11)

式中，ωl(α)為加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的系數(shù)，其表達(dá)式為：

(12)

該系數(shù)滿(mǎn)足可加性，即

(13)

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[24]通過(guò)研究將加權(quán)項(xiàng)數(shù)M由原來(lái)的4項(xiàng)擴(kuò)展到了任意M≥3，即多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，其系數(shù)和定義可以表示為：

(14)

M≥3，

(15)

在多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上，可通過(guò)對(duì)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行一般化處理進(jìn)一步增加幾圈變換的參數(shù)，從而強(qiáng)化其性能，由此可得到多項(xiàng)多參加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，其變換系數(shù)和定義分別為：

(16)

(17)

式中，V=MV,NV為參數(shù)集合，MV=m0,m1,...,mM-1，NV=n0,n1,...,nM-1均為整數(shù)向量。

通過(guò)引入離散傅里葉變換以及定義置換矩陣P，加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以以離散的方式實(shí)現(xiàn)，從而更好地應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)中，置換矩陣P的各個(gè)元素定義為Pm,k=δmodm+k,N。根據(jù)4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換中各項(xiàng)之間的關(guān)系，加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的離散實(shí)現(xiàn)形式為：

Fα[x]= (ω0(α)I+ω1(α)F+

ω2(α)PI+ω3(α)PF)x，

(18)

式中，x為待變換的信號(hào)向量，I為單位矩陣，F(xiàn)為離散傅里葉變換的矩陣，其定義為：

(19)

令

Wα=ω0(α)I+ω1(α)F+ω2(α)PI+ω3(α)PF；

(20)

則4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的離散形式可以表示為：

Fα[x]=Wαx。

(21)

由于多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和多項(xiàng)多參加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是從4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上演變而來(lái)，因此其離散形式也可以通過(guò)4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的離散形式得到，由式(14)～(17)可得，多項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和多項(xiàng)多參加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以表示為：

(22)

(23)

2 2種變換在變換域通信中的應(yīng)用

小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為一種時(shí)頻域的信號(hào)處理技術(shù)，可直接應(yīng)用于通信信號(hào)的傳輸中，即將信號(hào)變換到不同的域之后進(jìn)行發(fā)送，然后在接收端采用相應(yīng)的方法恢復(fù)出原信號(hào)。同時(shí)，作為一種能對(duì)信號(hào)的域進(jìn)行變換的信號(hào)處理方法，也可以應(yīng)用于變換域通信中，變換域通信系統(tǒng)(Transform Domain Communication System,TDCS)是一種在認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電、擴(kuò)頻通信和變換域處理技術(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展出來(lái)的一種無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)，具有良好的抗干擾和抗截獲能力[25-26]。通過(guò)感知周?chē)h(huán)境的頻譜，變換域通信將其中占用的和存在干擾的頻率通過(guò)幅度成形形成0和1組成的譜函數(shù)，然后將譜函數(shù)與本地生成的隨機(jī)相位混合后形成本地基函數(shù)，使用基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制后傳輸，調(diào)制的方法一般有雙極性調(diào)制和循環(huán)相移鍵控調(diào)制等方式，在接收端，接收機(jī)通過(guò)同樣的過(guò)程獲得生成基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，傳統(tǒng)的變換域通信在感知頻譜和生成基函數(shù)時(shí)采用的是傅里葉變換，如果用小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換替代傅里葉變換，則會(huì)形成基于小波包變換或加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換域通信系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 變換域通信系統(tǒng)

將小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換引入變換域通信，讓變換域通信的可變換域有了更多的選擇，使得變換域通信能夠更加靈活，同時(shí)也增強(qiáng)了變換域通信的保密性。

3 2種變換在通信中的應(yīng)用對(duì)比仿真分析

對(duì)小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換直接應(yīng)用于通信中和應(yīng)用于變換域通信中的性能通過(guò)蒙特卡洛方法進(jìn)行仿真分析，通信信道設(shè)置為高斯白噪聲信道，均值為0、方差為1，蒙特卡洛仿真次數(shù)設(shè)置為1 000次，小波包變換的層數(shù)設(shè)置為5層，不失一般性，加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)設(shè)為0.5，因?yàn)樵谶@個(gè)階數(shù)下其特性表現(xiàn)最為明顯，為不至于太復(fù)雜，這里只對(duì)4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行仿真。

首先對(duì)小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換直接在應(yīng)用于通信中的性能進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示。

圖2 2種變換直接應(yīng)用于通信的性能對(duì)比

從圖中可知，由于小波包變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行高階的分解，因此在面對(duì)高斯白噪聲時(shí)，應(yīng)用小波包變換進(jìn)行的通信能夠更好地消除噪聲的干擾，相比于加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，其在高斯白噪聲信道下的誤碼性能更好，但是由于在信噪比較低時(shí)，對(duì)信號(hào)的分解會(huì)導(dǎo)致各個(gè)分量更容易受到噪聲的影響，因此在信噪比<5 dB時(shí)，直接應(yīng)用小波包變換進(jìn)行通信要比應(yīng)用加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換通信的性能要差。

對(duì)小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在變換域通信中的應(yīng)用進(jìn)行對(duì)比分析，頻譜環(huán)境分別設(shè)置為單音干擾、多音干擾和10%窄帶干擾，仿真對(duì)比分別在調(diào)制方式為雙極性鍵控調(diào)制和循環(huán)移位鍵控調(diào)制2種調(diào)制方式下進(jìn)行，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 雙極性鍵控調(diào)制下變換域通信系統(tǒng)性能對(duì)比

圖4 循環(huán)移位鍵控調(diào)制下變換域通信系統(tǒng)性能對(duì)比

由圖3可知，基于加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換域通信在誤碼性能上要優(yōu)于基于小波包變換的變換域通信，主要是由于在小波包變換在對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的過(guò)程中，諸多分量之間存在一定的相關(guān)性，使得生成的基函數(shù)也存在一定的相關(guān)性，從而在解調(diào)的過(guò)程中誤碼性能受到影響，而從傅里葉變換發(fā)展而來(lái)的加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換則不存在這一問(wèn)題，而且由于通過(guò)基函數(shù)避開(kāi)了干擾頻段，因此基于加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換域通信系統(tǒng)的誤碼性能要略?xún)?yōu)于理論值。同時(shí)由圖4可知，基于小波包變換的變換域通信抗多音干擾的能力要優(yōu)于其他2種干擾方式，主要是由于在多音干擾環(huán)境下干擾出現(xiàn)在不同的位置，因此小波包變換生成的基函數(shù)相關(guān)性相比于其他2種干擾環(huán)境下要好。

最后對(duì)2種變換直接應(yīng)用于通信中時(shí)的安全性能進(jìn)行仿真，仿真假設(shè)存在一個(gè)竊聽(tīng)方且通過(guò)一定的方式了解到通信中應(yīng)用了這2種變換，繼而可知所應(yīng)用的小波包函數(shù)，考慮到當(dāng)前應(yīng)用的小波包函數(shù)種類(lèi)不多，這是符合實(shí)際情況的，但是不知道加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 直接應(yīng)用2種變換進(jìn)行通信時(shí)竊聽(tīng)方的性能對(duì)比

由圖5可知，當(dāng)直接應(yīng)用加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行通信時(shí)，在竊聽(tīng)方所掌握的變換階數(shù)有誤差的情況下，其接收信號(hào)的誤碼性能基本上無(wú)法保證信號(hào)的正常接收，誤碼率都比較高，而在采用小波包變換進(jìn)行通信時(shí)，竊聽(tīng)者一旦從應(yīng)用較多的小波包函數(shù)中選擇了正確的小波包函數(shù)，就能夠接收到正確的信號(hào)，從而獲取合法接收方的信息，使信息安全受到威脅。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)小波包變換和加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的原理介紹和在不同應(yīng)用場(chǎng)景下的應(yīng)用對(duì)比分析，證明在直接應(yīng)用于通信時(shí)，小波包變換相比于加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換抗高斯白噪聲干擾的能力更強(qiáng)，但是在存在竊聽(tīng)方時(shí)，其安全性較弱；在應(yīng)用于變換域通信時(shí)，加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換要優(yōu)于小波包變換，同時(shí)對(duì)于小波包變換自身而言，其抗多音干擾的能力要優(yōu)于抗單音干擾和10%窄帶干擾的能力。由此可知，在相對(duì)簡(jiǎn)單的環(huán)境下可以利用小波包變換消除高斯白噪聲的干擾，而在有竊聽(tīng)方等相對(duì)復(fù)雜的環(huán)境下，應(yīng)用加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其與變換域通信技術(shù)的結(jié)合將會(huì)有更好的效果，從而為2種變換方式的選擇提供了依據(jù)。