劉宇哲，張 群，楊 勇，張新宇，彭慧蓮

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076)

1 引言

隨著我國航天事業(yè)的快速發(fā)展，在軌航天器數(shù)量越來越多，充分利用燃料消耗殆盡的航天器(如上面級或者火箭的末子級等)正成為一種有效節(jié)約成本的方案[1-2]。但在航天器燃料耗盡后，航天器起旋并保持繞本體的勻速自轉過程中，各電氣系統(tǒng)須工作正常，天線信號通聯(lián)時長得到保障。

航天器上的天線信號覆蓋范圍一般是空間圓形錐體，最大不超過一個半球[3]。當航天器起旋并保持繞本體的勻速自轉且在航天器本體可見范圍內存在測控通信站時，天線所形成的圓錐體信號覆蓋范圍將不斷掃略地面測控站，從而建立通信鏈路。在航天器保持勻速自轉的約束條件下，為了增加通信鏈路建立的時間，有效的處理辦法有2種：一種是盡可能多地增加天線數(shù)量，使得天線圓錐體信號收發(fā)范圍能夠完全覆蓋整個航天器本體的球體包絡[4]，這種方式是粗放的，且極大地消耗了航天器上有限的能源；另一種方式是通過優(yōu)化天線布局，盡可能減少天線布局數(shù)量，同時能夠達到建立通信鏈路的有效時長要求[5]。本文采取第二種方式保證建立通信鏈路的時長。

目前關于航天器上天線的研究主要集中于天線的定位機構的指向精度方面和衛(wèi)星點波束覆蓋區(qū)域方面的研究[6-8]，鮮有關于星載天線布局的研究內容發(fā)表。而關于天線布局的研究，更多的則是關于固定姿態(tài)下的車載、艦載和機載的天線布局優(yōu)化研究[9-11]。本文利用其他行業(yè)的天線布局優(yōu)化技術，應用于定軸旋轉姿態(tài)下航天器的天線布局優(yōu)化。將航天器簡化為一個含有姿態(tài)信息的位點，天線信號輻射范圍簡化為一個空間圓形錐體，通過建立天線布局姿態(tài)與航天器本體的空間相對位置關系和地面測控站與航天器本體的空間相對位置關系，映射得到天線布局姿態(tài)與信號覆蓋測控站的時長關系模型；再通過數(shù)值仿真得到3種不同布置角度下天線覆蓋各測控站時長的圖譜，并以覆蓋時長最長為目標函數(shù)，利用遺傳算法對布置3個天線的航天器進行優(yōu)化，以得到3個天線能夠覆蓋最廣范圍的布局形式。

2 天線信號覆蓋范圍建模

本文的研究對象是一個以定角速度繞本體Z軸旋轉的航天器，如圖1所示，本體上安裝有數(shù)個固定于本體的天線?？紤]以航天器本體作為基坐標系，測控站是圍繞航天器本體的Z軸以定角速度旋轉的，因此可以將等Z軸面上的測控站集合到圖中X-Z平面上的紅色位點。只要在圖中X-Z平面上能夠被天線信號覆蓋到的紅色位點，則位于該等軸面上的測控站均能在航天器自轉過程中被天線信號覆蓋到，區(qū)別只是時間的長短。由于航天器本體是勻速自轉的，因此信號覆蓋時間的長短是由等軸面信號覆蓋范圍的弧長決定的。

圖1 天線信號覆蓋范圍的模型Fig.1 Model of signal radiation range

通過以上分析可知，3種安裝角度的天線對應3種不同的建模形式，因此本節(jié)建立3種狀態(tài)的天線信號覆蓋范圍模型，分別稱為0°俯仰角模型、正向俯仰角模型和負向俯仰角模型。

2.1 0°俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測控站的X-Z向視圖如圖2所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉一周，會掃過地面某一測控站TA，αA表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αA。地面測控站位于X軸夾角為θA的位點TA。天線信號在X-Z平面覆蓋的范圍為SA1SA2圍成的弧段，SA為天線信號覆蓋范圍的中線位置。由TA向Z軸作垂線，與SA1SA2的交點為QA，對應的等Z軸面的圓半徑為rA1。由于天線信號覆蓋范圍只和角度有關，因此可以假定天線所在空間的球形為半徑為1的單位球。0°俯仰角模型表示天線信號覆蓋范圍的中線位置SA位于X軸上，即SAz＝0。

根據(jù)式(1)所示球坐標定義：

以及圖2中的幾何關系，由式(2)～式(5)可以獲得基于姿態(tài)信息αA的位點數(shù)據(jù)SA1x、SA1z、SA2x和SA2z：

圖2 0°俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.2 The 0°pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)圖2中的幾何關系和SA1x、TAz數(shù)據(jù)，由式(6)和式(7)可以獲得QAx和QAz：

由圖3所示，TA與QA的位置是相互關聯(lián)的，并進一步結合圖4可知，在天線旋轉掃描過程中，TA將與QA1或者QA2重合，因此可知天線掃描地面測控站的距離或者時間由QA1QA2的弧長決定，其平面示意圖可見圖5。而QA1QA2的弧長由QA1QA2的距離lA所決定，QA1QA2的距離則是其Y向的距離，式(8)～式(12)構建了由QA1和QA2兩個位點的x和z軸數(shù)據(jù)求解其對應y軸數(shù)據(jù)以及距離lA：

天線掃描測控站的夾角如式(13)所示：

其中，vA表示OQA1的向量，eA表示X軸的單位方向向量。QA1QA2的弧長所對應的圓的半徑為式(14)：

圖3 天線信號覆蓋范圍的二維視圖Fig.3 Signal radiation range in 2D view

圖4 天線信號覆蓋范圍的三維視圖Fig.4 Signal radiation range in 3D view

圖5 0°俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.5 The 0°pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

則基于QA1QA2的距離lA和所對應的圓半徑rA1即可確定天線信號覆蓋地面測控站的弧長，也就可以進一步得到天線信號覆蓋地面測控站的時長。

2.2 正向俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測控站的X-Z向視圖如圖6所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉一周，會掃過地面測控站TB，αB表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αB。地面測控站位于X軸夾角為θB的位點TB。天線信號在X-Z平面覆蓋的范圍為SB1SB2圍成的弧段，SB為天線信號覆蓋范圍的中線位置，OSB與X軸的夾角為φB。由TB向Z軸作垂線，與SB1SB2的交點為QB，對應的等Z軸面的圓半徑為rB1。正向俯仰角模型表示天線信號覆蓋范圍的中線位置SB位于圓形的上半部，即SBz＞0。

圖6 正向俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.6 Positive pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)式(15)所示球坐標定義：

根據(jù)圖6中的幾何關系，由式(16)～式(19)可以獲得基于姿態(tài)信息αB的位點數(shù)據(jù)SB1x、SB1z、SB2x和SB2z：

求取基于SB1和SB2的直線方程系數(shù)如式(20)～(21)：

根據(jù)圖6中的幾何關系，由式(22)可以獲得坐標值QBz：

根據(jù)直線方程則由式(23)可以求得坐標值QBx：

由于TB與QB的位置是相互關聯(lián)的，在天線旋轉掃描過程中，TB將與QB1或者QB2重合，因此可知天線掃描地面設備的距離或者時間由QB1QB2的弧長決定，如其平面示意圖 7。而QB1QB2的弧長由QB1QB2的距離lB所決定，QB1QB2的距離則是式(24)～(26)所示QB1QB2的Y向距離：

圖7 正向俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.7 Positive pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

天線信號覆蓋測控站的夾角為式(27)：

其中，vB表示OQB1的向量，eB表示X軸的單位方向向量。

如圖8所示，當天線的接收范圍在＋Z向覆蓋較廣時，位于＋Z向的地面測控站將會全天候接收到天線的信號，此時對應的數(shù)理判定條件為QBz＞SB2z；類似地，當天線的接收范圍在-Z向覆蓋較廣時，位于-Z向的地面測控站將不會接收到天線的信號，此時對應的數(shù)理判定條件為QBz＜SB1z。

圖8 正向俯仰角的特殊情況Fig.8 Special situation of positive pitch angle model

2.3 負向俯仰角模型

空間中天線以錐形掃略地面測控站的X-Z向視圖如圖9所示，O代表天線(即航天器本體)所在的位置，天線繞Z軸旋轉一周，會掃過地面測控站TC，αC表示天線的單向張角，即天線最大張角為2αC。地面測控站位于X軸夾角為θC的位點TC。天線信號在X-Z平面覆蓋的范圍為SC1SC2圍成的弧段，SC為天線信號覆蓋范圍的中線位置，OSC與X軸的夾角為φC。由TC向Z軸作垂線，與SB1SB2的交點為QC，對應的等Z軸面的圓半徑為rC1。負向俯仰角模型表示天線信號覆蓋范圍的中線位置SC位于圓形的下半部，即SCz＜0。

圖9 負向俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Z向的投影Fig.9 Negative pitch angle model of signal radiation range in X-Z plane projection

根據(jù)式(28)所示球坐標定義：

根據(jù)圖9中的幾何關系，由式(29)～式(32)可以獲得基于姿態(tài)信息αC的位點數(shù)據(jù)SC1x、SC1z、SC2x和SC2z：

求取基于SC1和SC2的直線方程系數(shù)如式(33)～(34)所示：

根據(jù)圖9中的幾何關系，由式(35)可以獲得坐標值QCz：

根據(jù)直線方程則由式(36)可以求得坐標值QCx：

由于TC與QC的位置是相互關聯(lián)的，在天線旋轉掃描過程中，TC將與QC1或者QC2重合，因此天線掃描地面測控站的距離或者時間由QC1QC2的弧長決定，平面示意見圖 10。而QC1QC2的弧長由QC1QC2的距離lC所決定，QC1QC2的距離則是如式(37)～(39)所示的QC1QC2的Y向距離：

圖10 負向俯仰角的天線信號覆蓋范圍在X-Y向的投影Fig.10 Negative pitch angle model of signal radiation range in X-Y plane projection

天線信號覆蓋地面測控站的夾角如式(40)所示：

其中vC表示OQC1向量，eC表示X軸的單位方向向量。

如圖11所示，當天線的接收范圍在＋Z向覆蓋較廣時，位于＋Z向的地面接收站將不會接收到天線的信號，此時對應的數(shù)理判定條件為QCz＞SC2z；類似地，當天線的接收范圍在-Z向覆蓋較廣時，位于-Z向的地面測控站將全天候接收到天線的信號，此時對應的數(shù)理判定條件為QCz＜SC1z。

圖11 負向俯仰角的特殊情況Fig.11 Special situation of negative pitch angle model

3 模型優(yōu)化

將遺傳算法應用到天線信號覆蓋范圍的優(yōu)化問題中，對影響覆蓋范圍的關鍵參數(shù)進行優(yōu)化。

3.1 優(yōu)化目標

由建模分析可知，影響天線覆蓋范圍的因素為天線的波束角張角α和天線安裝的俯仰角φ。同時考慮三維空間中天線信號的重復覆蓋問題，還需考察在X-Y平面上天線安裝的偏擺角β。偏擺角β表示在X-Y平面上，天線信號覆蓋弧長在等Z軸面圓弧上的移動角度。因此，天線信號覆蓋范圍掃過第i個測控站的弧長角度區(qū)間(ψ1，ψ2)i可以表示為式(41)所示波束角張角α、天線安裝的俯仰角φ和偏擺角β的函數(shù)：

由于航天器以勻速繞Z軸自轉，所以可以用天線信號覆蓋范圍掃過的弧長對應的角度來替代表達天線信號覆蓋范圍掃過的時長。

在X-Z平面均布n個測控站，則可以觀測若干天線信號能夠覆蓋的總角度ψ如式(42)所示：

其中，函數(shù)fsyn的作用在于將位于同一個測控站下的3個天線的覆蓋范圍進行綜合統(tǒng)計。

天線全天候完全覆蓋n個測控站的全部角度集合S可以表達為式(43)：

則評價天線信號覆蓋比率的指標η可以表達為式(44)：

3.2 優(yōu)化參數(shù)和邊界

影響天線覆蓋范圍的關鍵參數(shù)為α、φ和β，α表示天線張角，是天線的固有屬性，因此一般是固定的。因此真正影響天線信號覆蓋范圍的參數(shù)是天線的布局安裝角度：俯仰角φ和偏擺角β，因此本文對3個天線的6個俯仰角和偏擺角參數(shù)進行優(yōu)化。為了減少優(yōu)化數(shù)據(jù)計算量，且根據(jù)基本的天線布局規(guī)律，可以將優(yōu)化布局的3個天線的關鍵參數(shù)進行優(yōu)化區(qū)域劃分，設定天線A的安裝角度優(yōu)化域為φA＝0°，βA∈[-90°，90°]；天線B的安裝角度優(yōu)化域為φB∈[0°，90°]，βB∈[0°，180°]；天線C的安裝角度優(yōu)化域為φC∈[-90°，0°]，βC∈[-180°，0°]，即3種優(yōu)化域分別對應著0°俯仰角模型，正向俯仰角模型和負向俯仰角模型。由于在0°俯仰角模型中φA＝0°，因此實際優(yōu)化5個天線布局的關鍵參數(shù)。

3.3 算法參數(shù)

遺傳算法參見文獻[12]，本文中涉及的遺傳算法參數(shù)如見表1所示，包括種群規(guī)模M、個體基因長度L、進化次數(shù)(即迭代次數(shù))G，交叉率Pc和變異率Pm。種群規(guī)模M代表在每一次進化(迭代)中，有M個優(yōu)化參數(shù)組合參與到進化中；個體基因長度L代表每個被編輯的基因的長度，本文涉及五個優(yōu)化參數(shù)，則每一個優(yōu)化參數(shù)由L/5長度的基因信息表達；進化次數(shù)G表達的是進化次數(shù)，多次迭代后，最優(yōu)結果穩(wěn)定，即可認為進化次數(shù)是足夠的；交叉率Pc代表的是基因以Pc的概率被選擇出來進行交叉操作；變異率Pm代表的是基因以Pm的概率被選擇出來進行變異操作。一般來說這個參數(shù)會小一些，因為變異不知道會使得個體會變優(yōu)還是會變差，但是一定的基因變異率可以加快找到最優(yōu)解。

表1 遺傳算法參數(shù)Table 1 Parameters of genetic algorithm

4 仿真及結果

4.1 仿真驗證

基于以上建立的天線信號覆蓋范圍模型和優(yōu)化模型，在MATLAB中建立相應的仿真程序。仿真算例中，天線的張角設定為120°，即單向張角α為60°，設定圖譜中橫坐標表示地面測控站的分布角度θ為[90°， 80°， 70°， 60°， 50°， 40°， 30°， 20°，10°， 0°， -10°， -20°， -30°， -40°， -50°， -60°， -70°， -80°， -90°]；圖譜中縱坐標表示天線信號覆蓋范圍(即代表信號通聯(lián)的時長)。仿真中設定基于0°俯仰角模型的天線安裝角φA＝0°，βA＝0°；基于正向俯仰角模型的天線安裝角φB＝20°，βB＝30°；基于負向俯仰角模型的天線安裝角φC＝-20°，βC＝-30°，則可以得到典型安裝布局狀態(tài)下，3種天線的信號覆蓋范圍譜圖，如圖12～14所示。

圖12 基于0°俯仰角模型的仿真Fig.12 Simulation based on 0°pitch angle model

圖14 基于負向俯仰角模型的仿真Fig.14 Simulation based on negative pitch angle model

仿真結果顯示，基于0°俯仰角模型的天線覆蓋范圍更多地集中在圖譜的中心位置區(qū)域，并大致呈現(xiàn)橢圓形狀；基于正向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的右側，并有部分位置測控站的信號通聯(lián)時長是完全覆蓋的，即航天器任意旋轉姿態(tài)下都能獲得通聯(lián)信號；基于負向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的左側，并有部分位置測控站的信號通聯(lián)時長是完全覆蓋的，即航天器任意旋轉姿態(tài)下都能獲得通聯(lián)信號。仿真結果表明，該結果與實際狀態(tài)一致，驗證了模型和仿真程序的有效性。

4.2 優(yōu)化計算

本文設定19個均布的測控站，將天線信號覆蓋比率的指標η的最大值作為優(yōu)化目標，即在本體可見范圍內天線的信號覆蓋比率。遺傳算法的優(yōu)化過程可見圖15，可以看到大概在進化160次后，種群中的個體無論怎么進化，最優(yōu)結果已經不再變化了，此時可以認為找到了最優(yōu)解。

圖15 遺傳算法的優(yōu)化過程Fig.15 Optimization process of genetic algorithm

最優(yōu)解對應的天線布局角度的參數(shù)為βA＝1.23°，φB＝65.36°，βB＝178.30°，φC＝-65.36°，βC＝-176.04°， 其對應的η＝83.98%，覆蓋范圍圖譜如圖16所示。優(yōu)化結果顯示，優(yōu)化后的天線布局方案除了在圖譜的中上和中下部存在類三角形區(qū)域接收不到信號外，其他地方均能獲得良好的通聯(lián)時長。相較于經驗布局參數(shù)βA＝0°，φB＝45°，βB＝135°，φC＝-45°，βC＝-135°，其對應的η＝79.85%，提高了4.13%。

圖16 優(yōu)化后的三個天線信號覆蓋范圍Fig.16 Signal radiation range of three antennas after optimization

5 結論

1)基于理論模型的數(shù)值仿真計算顯示，基于0°俯仰角模型的天線覆蓋范圍更多地集中在圖譜的中心位置區(qū)域，并大致呈現(xiàn)橢圓形狀；基于正向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的右側；基于負向俯仰角模型的天線覆蓋范圍主要集中在圖譜的左側。

2)以3個天線信號覆蓋范圍最廣為優(yōu)化目標，利用遺傳算法，優(yōu)化得到了最優(yōu)解對應的天線布局角度 的 參 數(shù) 為βA＝ 1.23°，φB＝ 65.36°，βB＝178.30°，φC＝-65.36°，βC＝-176.04°，其對應的天線信號覆蓋比率η＝83.98%，優(yōu)化后的天線布局方案除了在圖譜的中上和中下部存在類三角形區(qū)域接收不到信號外，其他區(qū)域均能獲得良好的通聯(lián)信號。

3)本文的優(yōu)化方法可避免傳統(tǒng)的根據(jù)經驗布局天線并計算驗證的方法的盲目性和局限性，為天線布局提供了理論基礎，提高了論證布局方案的效率，也可對更多或更少數(shù)量的天線進行布局仿真和優(yōu)化。