李帥 王國(guó)胤 楊潔

摘 要：在三支決策問(wèn)題中，領(lǐng)域?qū)＜胰簺Q策是一種確定損失函數(shù)的最直接方法。相較于體現(xiàn)單一不確定性的語(yǔ)言變量模型和模糊集模型，云模型描述的專家評(píng)價(jià)更能夠反映認(rèn)知過(guò)程中復(fù)雜的不確定性形式，并能通過(guò)云綜合的方法獲得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)。但當(dāng)前的云綜合方法僅對(duì)數(shù)字特征進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性組合，缺乏對(duì)概念語(yǔ)義差異上的描述，難以獲得令人信服的結(jié)果。因此首先證明了在云模型的距離空間中賦權(quán)距離和是一個(gè)凸函數(shù)，并將綜合云模型定義為此函數(shù)的最小值點(diǎn)。然后，將該定義推廣到多個(gè)云模型的場(chǎng)景下，提出了一種新的云綜合方法——基于密度中心的云綜合方法。群決策過(guò)程中，該方法在保證綜合評(píng)價(jià)與基礎(chǔ)評(píng)價(jià)之間的相似度最高的同時(shí)獲得最精確的綜合評(píng)價(jià)，為損失函數(shù)的確定提供了一種新的語(yǔ)義解釋。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在與簡(jiǎn)單線性組合和合理粒度方法對(duì)比中，該方法所確定的損失函數(shù)使得三支決策中的誤分類率最低。

關(guān)鍵詞：云綜合;云模型;群決策;三支決策

中圖分類號(hào)：TP391.1;TP181

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Threeway group decisions model based on cloud aggregation

LI Shuai1，2， WANG Guoyin1*， YANG Jie1

1.Chongqing Key Laboratory of Computational Intelligence（Chongqing University of Posts and Telecommunications）， Chongqing 400065， China;

2.School of Mathematics and Information Science， Nanchang Hangkong University， Nanchang Jiangxi 330063， China

Abstract：

Group decision making of domain experts is the most direct approach to determine loss function in threeway decision problems. Different from linguistic variable model and fuzzy set model with single uncertainty， expert evaluations described by cloud model can reflect the complex uncertainty form in cognitive process， and the synthetic evaluation function can be obtained by cloud aggregation. However， numerical characteristics only are performed simple linear combination in current cloud aggregation methods， leading the lack of the description of concept semantic differences and the difficulty to obtain convincing results. Therefore firstly， the weighted distance sum was proved to be a convex function in the distance space of cloud model. And the aggregational cloud model was defined as the minimum point of that function. Then， this definition was generalized to the multicloud model scenario， and a cloud aggregation method namely density center based cloud aggregation method was proposed. In group decision making， the proposed method obtains the most accurate synthetic evaluations with the highest similarity between synthetic evaluation and basic evaluation， providing a novel semantic interpretation of the determination of loss function. The experimental results show that the misclassification rate of the threeway decision with loss function determined by the proposed method is the lowest compared with simple linear combination and rational granularity methods.

Key words：

cloud aggregation; cloud model; group decision making; threeway decisions

0?引言

在實(shí)際問(wèn)題中，通常會(huì)遇到三支決策的問(wèn)題。與一般的決策問(wèn)題不同，它將結(jié)果分為接受、延遲和拒絕三種決策方案，被廣泛地應(yīng)用在垃圾郵件分類[1]、推薦系統(tǒng)[2]、風(fēng)險(xiǎn)投資[3-4]等領(lǐng)域。決策粗糙集作為Pawlak粗糙集的推廣形式為三支決策奠定了理論基礎(chǔ)，借鑒了貝葉斯決策理論，通過(guò)引入損失函數(shù)，為三支決策提供了決策規(guī)則。損失函數(shù)的確定是三支決策過(guò)程的一個(gè)關(guān)鍵步驟，許多研究者在這方面做了大量的工作[5-8]， 其中，最直接有效的方法就是由領(lǐng)域?qū)＜抑苯咏o出損失函數(shù)，但該過(guò)程中的不確定性又給決策帶來(lái)了新問(wèn)題。

第一個(gè)問(wèn)題是如何量化或描述專家評(píng)價(jià)的不確定性。當(dāng)前，處理知識(shí)的不確定性仍然是人工智能領(lǐng)域的一大挑戰(zhàn)。不確定性是人類認(rèn)知的固有屬性，同時(shí)也是知識(shí)表達(dá)的一大障礙。這包含了兩個(gè)原因：一是由于個(gè)人的閱歷不同，對(duì)同樣概念的理解不同;另一方面，由于思考的方式不同，對(duì)同一概念的表達(dá)方式不同。例如，當(dāng)被問(wèn)到“年輕人”這個(gè)概念時(shí)，20歲的小王認(rèn)為18～25歲是年輕人，而34歲的小李則認(rèn)為35歲以下是年輕人;反過(guò)來(lái)，當(dāng)被問(wèn)到誰(shuí)是年輕人時(shí)，小李會(huì)說(shuō)自己和小王，但小王可能只會(huì)說(shuō)自己。這兩個(gè)方面的認(rèn)知過(guò)程分別體現(xiàn)為從外延到內(nèi)涵的抽象和從內(nèi)涵到外延的具象，并被合稱為雙向認(rèn)知過(guò)程。從例子中可以看出，雙向認(rèn)知過(guò)程中的不確定性現(xiàn)象更為復(fù)雜。作為一種重要的認(rèn)知計(jì)算模型，云模型[9-11]可以通過(guò)正向云變換（Forward Cloud Transformation， FCT）與逆向云變換（Backward Cloud Transformation， BCT）對(duì)雙向認(rèn)知過(guò)程中的不確定性進(jìn)行描述，它不僅體現(xiàn)了人類認(rèn)知過(guò)程中的隨機(jī)性和模糊性，還反映了二者之間的聯(lián)系，被廣泛地應(yīng)用在人工智能的各個(gè)領(lǐng)域[12-16]。

第二個(gè)問(wèn)題是如何獲得客觀或有說(shuō)服力的專家評(píng)價(jià)。專家基于領(lǐng)域的熟悉程度進(jìn)行評(píng)價(jià)，受個(gè)人感官及心理素質(zhì)影響較大，在實(shí)際應(yīng)用中往往缺乏說(shuō)服力。一般采用兩種辦法解決這一問(wèn)題： 第一，使用語(yǔ)言變量或模糊集進(jìn)行評(píng)價(jià)[17]。在基于語(yǔ)言變量的決策中，專家只需提供對(duì)對(duì)象的語(yǔ)言描述而不是一個(gè)精確數(shù)值，這讓評(píng)價(jià)更貼近現(xiàn)實(shí)，便于操作。第二，對(duì)多個(gè)專家評(píng)價(jià)進(jìn)行融合。使用逼近理想點(diǎn)排序法 （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution， TOPSIS）、層次分析法（Analytic Hierarchy Process， AHP）以及聚合函數(shù)等方法對(duì)專家的評(píng)價(jià)進(jìn)行融合。由于語(yǔ)言變量只能描述評(píng)價(jià)中的模糊性，不能描述隨機(jī)性。因此，文獻(xiàn)[17-18]將語(yǔ)言評(píng)價(jià)模型轉(zhuǎn)化為云模型進(jìn)行決策。云模型可以方便地實(shí)現(xiàn)雙向認(rèn)知過(guò)程，并通過(guò)雙向云變換反映這一過(guò)程的隨機(jī)性和模糊性。在基于云模型的群決策中，云綜合是融合專家知識(shí)的關(guān)鍵步驟，但當(dāng)前的云綜合普遍缺乏具體的意義。在群決策中，一方面我們希望得到的綜合評(píng)價(jià)是所有基礎(chǔ)評(píng)價(jià)中的一種“折中”方案，即綜合評(píng)價(jià)到所有基礎(chǔ)評(píng)價(jià)的加權(quán)距離和最小;另一方面，從粒認(rèn)知計(jì)算的角度來(lái)看，群決策又是一個(gè)數(shù)據(jù)?；倪^(guò)程。按照合理粒化特異性（specificity）原則[19]，希望得到的綜合評(píng)價(jià)越精確越好。因此，需要設(shè)計(jì)一種滿足上述需求的融合方法。

本文在云模型表達(dá)的專家評(píng)價(jià)基礎(chǔ)之上，從概念的相似性度量出發(fā)，通過(guò)最小化綜合評(píng)價(jià)與基本評(píng)價(jià)之間的賦權(quán)距離，定義了一種新的云綜合方法——基于密度中心的云綜合方法。該方法在通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)保證綜合評(píng)價(jià)與基本評(píng)價(jià)之間的相似度最高的同時(shí)，使得綜合評(píng)價(jià)最精確，并為損失函數(shù)提供了一種新的語(yǔ)義解釋。實(shí)驗(yàn)證明，該方法所確定的損失函數(shù)在三支決策中能得到更好的效果。

1?相關(guān)工作

1.1?決策粗糙集

首先簡(jiǎn)要介紹決策粗糙集。針對(duì)經(jīng)典決策粗糙集模型缺乏容錯(cuò)能力的問(wèn)題，Yao[20-22]結(jié)合貝葉斯決策理論[23]和Pawlak粗糙集建立了基于決策粗糙集的三支決策模型。從粗糙集角度上看，模型由狀態(tài)集和決策動(dòng)作集組成， 其中，狀態(tài)集Ω={C，C}表示對(duì)象屬于集合C或不屬于集合C;決策動(dòng)作集A={aP，aB，aN}分別表示將目標(biāo)對(duì)象x分類到正域POS（C）、邊界域BND（C）和負(fù)域NEG（C）的決策動(dòng)作。在三支決策理論中，也將這三種決策動(dòng)作分別稱為接受、延遲和拒絕[22，24-25]。從貝葉斯決策角度上看，對(duì)于不同狀態(tài)進(jìn)行不同決策動(dòng)作會(huì)帶來(lái)6種相應(yīng)的決策代價(jià)或損失，如表1所示。

表1中λPP，λBP，λNP分別表示目標(biāo)概念C中對(duì)象采取aP，aB，aN三種決策動(dòng)作產(chǎn)生的決策代價(jià)或損失;λPN，λBN，λNN分別表示目標(biāo)概念C以外的對(duì)象采取aP，aB，aN三種決策動(dòng)作產(chǎn)生的決策代價(jià)或損失。6個(gè)決策代價(jià)或損失滿足下列不等式：

λPP≤λBP<λNP（1）

λNN≤λBN<λPN（2）

式（1）表示對(duì)一個(gè)屬于目標(biāo)概念C的對(duì)象x作出接受決策的損失小于或等于對(duì)其作出延遲決策的損失，而這兩種損失又小于對(duì)其作出拒絕的損失;反之，式（2）表示對(duì)不屬于目標(biāo)概念的對(duì)象x作出拒絕決策的損失小于等于對(duì)其作出延遲決策的損失，而這兩種損失又小于對(duì)其作出接受決策的損失。

條件概率Pr（C|[x]）定義為將對(duì)象x劃分到目標(biāo)概念C的概率，[x]表示對(duì)象x所屬等價(jià)類。對(duì)對(duì)象x作出不同決策動(dòng)作所產(chǎn)生的損失表示如下：

R（aP|[x]）=λPPPr（C|[x]）+

λPNPr（C|[x]）

R（aB|[x]）=λBPPr（C|[x]）+

λBNPr（C|[x]）

R（aN|[x]）=λNPPr（C|[x]）+

λNNPr（C|[x]）（3）

Yao[22，24]依據(jù)貝葉斯決策理論中的風(fēng)險(xiǎn)最小規(guī)則，比較式（3）中三種決策的損失，對(duì)對(duì)象x作出損失最小的決策：

（P）?若R（aP|[x]）≤R（aB|[x]）且R（aP|[x]）≤R（aN|[x]），則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B）?若R（aB|[x]）≤R（aP|[x]）且R（aB|[x]）≤R（aN|[x]），則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N）?若R（aN|[x]）≤R（aP|[x]）且R（aN|[x]）≤R（aB|[x]），則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

上述（P）～（N）的決策規(guī)則被稱為正規(guī)則、邊界規(guī)則和負(fù)規(guī)則，分別作為對(duì)對(duì)象x接受、延遲和拒絕的判斷標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)镻r（C|[x]）+Pr（C|[x]）=1，可以將上述決策規(guī)則中的Pr（C|[x]）用1-Pr（C|[x]）代換，決策規(guī)則（P）～（N）可以改寫成如下形式：

（P′）?若Pr（C|[x]）≥α且Pr（C|[x]）≥γ，則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B′）?若Pr（C|[x]）≤α且Pr（C|[x]）≤β，則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N′）?若Pr（C|[x]）≤β且Pr（C|[x]）≤γ，則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

以上決策中，閾值α、 β和γ值定義如下：

α=λPN-λBN（λPN-λBN）+（λBP-λPP）

β=λBN-λNN（λBN-λNN）+（λNP-λBP）

γ=λPN-λNN（λPN-λNN）+（λNP-λPP）（4）

決策規(guī)則（P′）～（N′）將決策規(guī)則（P）～（N）中的對(duì)決策損失間的比較轉(zhuǎn)化為條件概率值Pr（C|[x]）與閾值（α， β，γ）間的比較，將貝葉斯決策模型轉(zhuǎn)化為概率粗糙集模型。

1.2?云模型

定義1[9]設(shè)定性概念C為定量論域U上的概念，若x∈U為概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，x對(duì)C的確定度μ∈[0，1]為有穩(wěn)定分布的隨機(jī)數(shù)：

μ（x）：U→[0，1];x∈U

則x在論域U上的分布成為云模型。定量數(shù)值x體現(xiàn)表示概念的定量值的隨機(jī)性，μ（x）反映定量數(shù)值x隸屬于定性概念C的確定程度。

上述定義中，云模型的隸屬度函數(shù)μ（x）不僅描述了概念的模糊性，而且將隸屬度函數(shù)μ（x）定義為具有穩(wěn)定分布的隨機(jī)數(shù)。將概念內(nèi)涵的模糊性和外延的隨機(jī)性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。下面，給出正態(tài)云模型的定義：

定義2[9]設(shè)定性概念C為定量論域U上的概念，C包含3個(gè)數(shù)字特征（Ex，En，He），若x∈U為概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，x對(duì)C的確定度μ∈[0，1]為有穩(wěn)定分布的隨機(jī)數(shù)：

μ（x）：U→[0，1]，x∈U

滿足：

x～RN（Ex，|y|）

y～RN（En，He）

且隸屬度函數(shù)滿足指數(shù)形式：

μ（x）=exp-（x-Ex）22y2

那么所有云滴構(gòu)成的隨機(jī)變量X的分布成為正態(tài)云模型。

正態(tài)云模型與正態(tài)分布之間有著緊密的聯(lián)系[26]。當(dāng)超熵He=0時(shí)，正態(tài)云模型退化為正態(tài)分布，稱為云模型的期望曲線：

y=exp-（x-Ex）22En2

0

y1=exp-（x-Ex）22（En+3He）2

y2=exp-（x-Ex）22（En-3He）2

之間，且當(dāng)正態(tài)云模型的特征參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，包絡(luò)曲線始終存在; 因此，可以用包絡(luò)曲線刻畫云模型的分布特征。由于正態(tài)分布的普遍性，本文僅討論正態(tài)云模型。圖1展示了正態(tài)云模型的形狀、三條特征曲線以及霧化情形。

2?針對(duì)群決策的云模型?；瘷C(jī)制

粒認(rèn)知計(jì)算認(rèn)為，人類是從不同側(cè)面和層次對(duì)客觀世界進(jìn)行表示、理解和分析。為實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，研究者提出了模糊集、粗糙集、商空間[28]、區(qū)間集和云模型等一系列的粒計(jì)算模型。目前，粒計(jì)算的思想已經(jīng)存在于人工智能的各領(lǐng)域的研究中，在此基礎(chǔ)上，Yao將粒計(jì)算總結(jié)為一種哲學(xué)、方法和認(rèn)知的統(tǒng)一機(jī)制[29]。

2.1?云模型的粒化機(jī)制

云模型對(duì)原始數(shù)據(jù)?；膬?yōu)勢(shì)表現(xiàn)在對(duì)定性概念的描述中，同時(shí)保留了隨機(jī)和模糊這兩種不確定性。此外，正向和逆向云算法還實(shí)現(xiàn)了知識(shí)內(nèi)涵和外延的雙向認(rèn)知。云模型的粒化機(jī)制包括自適應(yīng)高斯云變換[30]和云綜合[31]，自適應(yīng)高斯云變換是基于概念的穩(wěn)定性，將低粒度層若干個(gè)不穩(wěn)定的云模型合并成一個(gè)粗粒度層上較為穩(wěn)定的云模型。從粒認(rèn)知計(jì)算的角度來(lái)看，群決策也是一種?；侄?，它將若干離散的基礎(chǔ)評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)換為一個(gè)綜合評(píng)價(jià)，在基于云模型的評(píng)價(jià)方法中，通常通過(guò)云綜合的方式實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。

云綜合是基于概念內(nèi)涵，將細(xì)粒度層若干個(gè)云模型綜合成一個(gè)粗粒度層的云模型的過(guò)程，其中低粒度層上的云概念稱為基礎(chǔ)云，綜合后的云概念稱為綜合云?！败浕蛟啤薄胺e分云”和“幅度云”綜合方法在圖像分割、檢索以及協(xié)同過(guò)濾等方面取得了很好的效果。這些方法往往從統(tǒng)計(jì)特征、幾何特性和不確定性等方面考慮對(duì)云模型進(jìn)行綜合， 但對(duì)于結(jié)果（特別是綜合云超熵He）的形成往往缺乏理論解釋。

當(dāng)前，在群決策中，云綜合方法通常被定義為概念內(nèi)涵的線性組合形式。

定義3[17]設(shè)兩個(gè)云模型C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2），則對(duì)于任意λ∈R，云模型的線性運(yùn)算如下：

C1+C2=（Ex1+Ex2，En12+En22，He12+He22）

C1-C2=（Ex1-Ex2，En12+En22，He12+He22）

λC1=（λEx1，λEn1，λHe1）

從上述定義可以看出，綜合云的數(shù)學(xué)期望是基礎(chǔ)云數(shù)學(xué)期望的線性組合。

此外，自適應(yīng)高斯云變換可以實(shí)現(xiàn)低粒度層概念向高粒度層概念轉(zhuǎn)換，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，也是將相近的概念進(jìn)行綜合，形成更為籠統(tǒng)的概念; 但在具體的應(yīng)用背景下，二者都缺乏針對(duì)性。因此，需要設(shè)計(jì)一種既有理論依據(jù)又能夠符合群決策語(yǔ)義的云模型?；瘷C(jī)制。

2.2?概念漂移引導(dǎo)的云綜合方法

大部分的決策融合都采用加權(quán)求和的方式，它蘊(yùn)含了一種“折中”的決策語(yǔ)義，即找出一種與所有基礎(chǔ)評(píng)價(jià)都接近的評(píng)價(jià)作為融合結(jié)果。然而，這種語(yǔ)義接近程度往往要通過(guò)特殊的度量形式來(lái)表達(dá)。在群決策中，云綜合方法不應(yīng)是數(shù)字特征的簡(jiǎn)單線性組合，而應(yīng)充分體現(xiàn)這種“折中”的語(yǔ)義。用云模型表示概念時(shí)，語(yǔ)義的接近程度通常用相似性度量進(jìn)行描述。當(dāng)前，存在許多云模型的相似性度量方法，這些方法大致可以分為兩類：一類是基于云滴隨機(jī)分布來(lái)計(jì)算相似性度量[32]，這類方法度量云模型的相似性上，體現(xiàn)了云模型的不確定性，但是計(jì)算過(guò)程依賴于云滴的數(shù)量和采樣次數(shù)，結(jié)果不穩(wěn)定; 另一類方法是基于云模型的數(shù)字特征[33]或特征曲線[34-35]計(jì)算云模型相似度，穩(wěn)定性較強(qiáng)，時(shí)間復(fù)雜度低。此外，許昌林等[36]從相似性的反面入手，提出漂移性度量概念，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)云模型最大外包絡(luò)曲線的KL散度（KullbackLeibler divergence）定義云模型的概念漂移度。由于KL散度可以很好地刻畫分布間的差異性，因此，該方法計(jì)算的云模型相似度更具有普遍性。

定義4[36]設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個(gè)正態(tài)云模型，那么C1和C2的外包絡(luò)曲線分別為：

μ1=exp-（x-Ex1）22（En1+3He1）2

μ2=exp-（x-Ex2）22（En2+3He2）2

外包絡(luò)曲線對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為：

p（x）=12πEn1exp-（x-Ex1）22（En1+3He1）2

q（x）=12πEn2exp-（x-Ex2）22（En2+3He2）2

則基于對(duì)稱KL散度的云模型漂移性度量為：

DJ（C1‖C2）=DKL（C1‖C2）+DKL（C2‖C1）=

12[（Ex1-Ex2）2+σ21+σ22]1σ21+1σ22-2

其中σ1=En1+3He1，σ2=En2+3He2。

從定義中可以看出，概念的漂移性度量是用云模型的外包絡(luò)曲線所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從形式上來(lái)說(shuō)，概念的漂移性度量就是一個(gè)關(guān)于正態(tài)分布的KL散度度量。根據(jù)上文的分析，按照群決策中的“折中”語(yǔ)義內(nèi)涵，對(duì)基礎(chǔ)云模型融合的過(guò)程就是在概念漂移度量空間中尋找一個(gè)云模型，使得該云模型到兩個(gè)基礎(chǔ)云模型的概念漂移性之和最小，形式化定義如下：

定義5?設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個(gè)基礎(chǔ)云概念，若M滿足：

M=argmin[D（C‖C1）+D（C‖C2）]

則M是基礎(chǔ)云C1與C2基于漂移性度量D的綜合云模型。

如上述分析，若用對(duì)稱KL散度作為漂移性度量，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)關(guān)于正態(tài)分布的優(yōu)化問(wèn)題。下面的定理保證了這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題有全局最優(yōu)解。

定理1?設(shè)N1（μ1，σ21）和N2（μ2，σ22）是正態(tài)分布函數(shù)，則存在唯一的正態(tài)分布N0（μ0，σ20），使得目標(biāo)函數(shù)

G（N）=KL（N‖N1）+KL（N‖N2）（5）

取得最小值，KL（·）表示對(duì)稱KL散度。

證明?設(shè)正態(tài)分布N（x，y2），定義函數(shù)f（x，y2）為N到N1的對(duì)稱KL散度距離KL（N‖N1）。

f（x，y2）=KL（N‖N1）=

12[（x-μ）2+（y2+σ2）]1y2+1σ2-2

對(duì)x和y2求偏導(dǎo)數(shù)：

fx=（x-μ）1y2+1σ2

fy2=12σ2-12y4[（x-μ）2+σ2]

f（x，y2）的Hessian矩陣滿足

H（f）=1y2+1σ2-1y4（x-μ）-1y4（x-μ）1y6[（x-μ）2+σ2]=

1y6σ2y2+（x-μ）2σ2+1>0

則f（x，y2）=KL（N‖N1）在定義域內(nèi)是凸函數(shù); 同理KL（N‖N2）也是凸函數(shù)。由于凸函數(shù)的和函數(shù)仍是凸函數(shù)，所以目標(biāo)函數(shù)G（N）是凸函數(shù)，有全局最小值。

求目標(biāo)函數(shù)（5）的最小值，只需求目標(biāo)函數(shù)的梯度為0的值，即求解下列方程組：

（x-μ1）1y2+1σ21+（x-μ2）1y2+1σ22=01σ21+1σ22-1y6[（x-μ1）2+

（x-μ2）2+σ21+σ22]=0 （6）

可以看出，上述方程組解無(wú)解析形式，并且σ1和σ2比較小時(shí)y的方向?qū)?shù)非常大，用梯度下降法求解很難搜索到最優(yōu)解，因此采用牛頓法搜索最優(yōu)解?？梢钥吹蕉ɡ?是關(guān)于正態(tài)分布的優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)法直接用于求解云模型。

在云模型的3個(gè)數(shù)字特征中，期望Ex代表概念中最具代表性或最典型樣本， 熵En定性概念一種不確定性度量， 超熵He描述的是熵En的不確定性。相應(yīng)地，云模型的期望曲線表達(dá)了最具代表性的概念隸屬度;內(nèi)包絡(luò)曲線和外包絡(luò)曲線則分別描述了最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铍`屬度和最寬泛的概念隸屬度。三條特征曲線描述了概念的完整信息，因此本文分別針對(duì)三條特征曲線求式（5）的最優(yōu)解，以此來(lái)定義綜合云模型。

定義6?設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1和C2是U上的兩個(gè)基礎(chǔ)云概念。若正態(tài)分布N（μ，σ2）、N1（μ1，σ21）和N2（μ2，σ22）分別是C1和C2的期望曲線、外包絡(luò)曲線和內(nèi)包絡(luò)曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布關(guān)于式（5）的最優(yōu)解，則C1和C2基于對(duì)稱KL散度形成的綜合云模型M（Ex，En，He）滿足：

Ex=μ

En=（σ1+σ2）/2

He=（σ1-σ2）/6

由定義6可知，在對(duì)稱KL定義的云模型漂移性度量空間中，基礎(chǔ)云模型的期望曲線反映了概念隸屬度函數(shù)的平均值，因此用這一特征曲線確定綜合概念的平均隸屬度;基礎(chǔ)云模型外包絡(luò)曲線和內(nèi)包絡(luò)曲線反映了概念的最大隸屬度函數(shù)和最小隸屬度函數(shù)，二者分別描述了綜合云模型表達(dá)的最樂(lè)觀評(píng)價(jià)和最悲觀評(píng)價(jià)。因此，用它們來(lái)確定綜合云模型的不確定性——熵En和超熵He。

盡管定義6的形式復(fù)雜，但對(duì)于一些特殊的基礎(chǔ)云模型，可以求出綜合云模型的解析表達(dá)形式。

定理2?設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C1（Ex1，En1，He1）和C2（Ex2，En2，He2）是U上的兩個(gè)基礎(chǔ)云概念，滿足Ex1=Ex2=μ，若M（Ex，En，He）是基礎(chǔ)云C1與C2基于對(duì)稱KL散度形成的綜合云模型，那么M滿足：

Ex=μEn=En1En2+He1He2He=（En1He2+En2He1）/3

證明?由于Ex1=Ex2=μ，方程組（6）化簡(jiǎn)為：

（x-μ）2y2+1σ12+1σ22=01σ12+1σ22-1y4（σ12+σ22）=0

解得：

x=μ

y=σ1σ2。

分別將基礎(chǔ)云模型的三條特征曲線代入，由定義6可得綜合云M（Ex，En，He）。

如圖2中實(shí)心和空心散點(diǎn)圖分別表示基礎(chǔ)云模型C1（50，10，2）和C2（10，3，0.5），三角形和星型的散點(diǎn)圖分別表示由定義3和定義6方法得到的綜合云模型。表2是兩種綜合方法的比較?？梢钥闯龆x6得到的綜合云與基礎(chǔ)云模型的距離比定義3的要小，這說(shuō)明綜合評(píng)價(jià)與基礎(chǔ)的評(píng)價(jià)間的概念漂移小，兼顧了基礎(chǔ)云概念。此外，通過(guò)對(duì)比可以看到，定義6方法得到的綜合云模型位置靠近更加清晰的概念（C2（10，3，0.5）），說(shuō)明越清晰的概念對(duì)綜合云模型的貢獻(xiàn)越大，這一過(guò)程也符合人類認(rèn)知。

2.3?基于密度中心的云綜合方法

在群決策過(guò)程中，不同決策者所做決策結(jié)果的重要程度不盡相同， 這與決策者業(yè)務(wù)水平、心理狀態(tài)以及對(duì)決策領(lǐng)域熟悉程度等因素密切相關(guān)。因此，通常對(duì)于決策者的決策結(jié)果賦予權(quán)重。對(duì)于云綜合方法來(lái)說(shuō)，這就需要在目標(biāo)函數(shù)中考慮各基礎(chǔ)云模型所對(duì)應(yīng)的權(quán)重。由于定理1證明了兩個(gè)正態(tài)分布的對(duì)稱KL散度距離是關(guān)于期望和方差的凸函數(shù)，因此，它們的凸組合仍然是凸函數(shù)。于是有下面推論：

推論1?設(shè)正態(tài)分布簇A={N1（μ1，σ12）i=1，2，…，n}，其對(duì)應(yīng)的權(quán)重集合W={ωii=1，2，…，n}，則存在唯一的正態(tài)分布N（μ0，σ02），使得目標(biāo)函數(shù)：

G（A）=∑ni=1ωi KL（N‖Ni）（7）

取得最小值，KL（·）表示對(duì)稱KL散度。

從粒認(rèn)知計(jì)算的角度來(lái)看，群決策又是一個(gè)數(shù)據(jù)粒化的過(guò)程。按照合理粒化的特異性原則[19]，綜合云應(yīng)該越精確越好，因此，在優(yōu)化過(guò)程中，對(duì)云模型的不確定性設(shè)定范圍。從上面的分析可以看到，云模型的內(nèi)外包絡(luò)曲線分別是云模型不確定的上下界，因此，需要考慮基礎(chǔ)云在內(nèi)外包絡(luò)曲線間變化時(shí)，綜合云模性不確定性的變化范圍。相較于定義6，受不同權(quán)重的影響，帶先驗(yàn)信息的云綜合方法更為復(fù)雜。將基礎(chǔ)云的外包絡(luò)曲線代入式（7），并不能得到綜合云的最大不確定性; 同理，基礎(chǔ)云的內(nèi)包絡(luò)曲線代入式（7），也不能得到最小不確定性。因此，需要在各基礎(chǔ)云模型的內(nèi)外包絡(luò)曲線間找到一組合適的正態(tài)分布曲線，使綜合云的內(nèi)外包絡(luò)曲線分別取到最小和最大值。設(shè)云模型簇C={Ci（Exi，Eni，Hei）i=1，2，…，n}，正態(tài)分布簇A={Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）θi∈[-1，1]，i=1，2，…，n}，則綜合云模型的內(nèi)外包絡(luò)曲線的方差分別滿足下列優(yōu)化問(wèn)題：

σouter=

max（argminσ∑ni=1ωi KL（N（μ，σ2）|

Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）））（8）

s.t.θi∈[-1，1]

σinner=

min（argminσ∑ni=1ωi KL（N（μ，σ2）|

Ni（Exi，（Eni+3θiHei）2）））（9）

s.t.θi∈[-1，1]

式（8）、（9）是多變量最優(yōu)化問(wèn)題，即在自變量θi的定義域內(nèi)找到一組θi，在滿足式（7）最小的所有σ中，找到最大的σ作為綜合云模型的外包絡(luò)曲線所對(duì)應(yīng)正態(tài)分布的方差σouter;在滿足式（7）最小的所有σ中，找到最小的σ作為綜合云模型的內(nèi)包絡(luò)曲線所對(duì)應(yīng)正態(tài)分布的方差σinner。式（8）、（9）中的優(yōu)化目標(biāo)無(wú)法用顯式函數(shù)表示，為解決這一問(wèn)題，本文采用粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法求最優(yōu)解。下面給出帶先驗(yàn)信息的云綜合定義。

定義7?設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C={Ci（Exi，Eni，Hei）i=1，2，…，n}是U上的n個(gè)基礎(chǔ)云概念，其對(duì)應(yīng)的權(quán)重集合W={ωii=1，2，…，n}。若N（μ，σ2）是云模型簇C期望曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布關(guān)于式（7）的最優(yōu)解，Nouter（μouter，σ2outer）和Ninner（μinner，σ2inner）是云模型簇C關(guān)于式（8）和式（9）的最優(yōu)解，則云模型簇C基于對(duì)稱KL散度形成的綜合云模型M（Ex，En，He）滿足：

Ex=μ

En=（σouter+σinner）/2

He=（σouter-σinner）/6

相對(duì)于定義3的云綜合方法，定義7除了給出了綜合云方法的語(yǔ)義解釋，還給出了概念的漂移性度量空間中的幾何解釋，即在概念的漂移性度量空間中，綜合評(píng)價(jià)到各基礎(chǔ)評(píng)價(jià)距離的賦權(quán)和最小，如果將權(quán)重看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，則綜合云模型就是所有基礎(chǔ)云模型的密度中心。因此，定義7被稱為基于密度中心的云綜合方法。此外，定義7還最大化了綜合云模型的內(nèi)外包絡(luò)曲線的差異，滿足合理?；刑禺愋栽瓌t，綜合云模型最精確。

3?基于云綜合的三支群決策

如第1章所述，確定6個(gè)代價(jià)函數(shù)是三支決策中的關(guān)鍵步驟。一般來(lái)說(shuō)，代價(jià)函數(shù)由領(lǐng)域?qū)＜覒{經(jīng)驗(yàn)主觀給定。為了使得該結(jié)果更加客觀，采用群決策的方案給出代價(jià)函數(shù)。然而，由于決策環(huán)境中的不確定性以及人類認(rèn)知的主觀不確定性，決策者往往很難給出一個(gè)精確的實(shí)值評(píng)價(jià)，于是，許多研究者圍繞損失函數(shù)的不確定評(píng)價(jià)形式，以三角模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)[37-39]、語(yǔ)言變量[40]等不確定模型對(duì)其開展研究。云模型能夠很好地刻畫人類認(rèn)知過(guò)程中的模糊性和隨機(jī)性，并能反映二者之間的聯(lián)系，能夠方便地實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)涵與外延之間的轉(zhuǎn)換。作為一種重要的認(rèn)知計(jì)算模型，文獻(xiàn)[18]將其引入三支群決策，對(duì)損失函數(shù)的不確定性進(jìn)行描述，并對(duì)數(shù)字特征進(jìn)行簡(jiǎn)單的加權(quán)平均得到綜合云模型，確定全局損失函數(shù)。這種綜合云忽略了云模型相似性度量與綜合方法的內(nèi)在聯(lián)系，在決策過(guò)程中缺乏說(shuō)服力。本文將采取基于密度中心的云綜合方法確定損失函數(shù)。

3.1?決策過(guò)程

如圖3三支群決策過(guò)程主要分為公式化決策問(wèn)題和決策分析兩個(gè)部分，具體分為以下5個(gè)步驟：

步驟1?根據(jù)具體的決策問(wèn)題背景，確定評(píng)估專家以及他們對(duì)應(yīng)的權(quán)重。專家集為E={e1，e2，…，et}，權(quán)重集為W={ω1，ω2，…，ωt}T。

步驟2?所有專家按照表1的形式對(duì)所有損失函數(shù)作出評(píng)價(jià)，并用云模型表示，記為：λkPP（ExkPP，EnkPP，HekPP）、λkBP（ExkBP，EnkBP，HekBP）、λkNP（ExkNP，EnkNP，HekNP）、λkPN（ExkPN，EnkPN，HekPN）、λkBN（ExkBN，EnkBN，HekBN）和λkNN（ExkNN，EnkNN，HekNN），其中1≤k≤t。

步驟3?為減少專家意見的不一致性，將云模型所表示的損失函數(shù)按照定義7進(jìn)行綜合，得到損失函數(shù)的綜合評(píng)價(jià)云模型。

步驟4?考慮到云模型的期望反映了最典型的概念外延，因此，將損失函數(shù)的綜合評(píng)價(jià)云模型的期望代入式（4），求出三支決策的各項(xiàng)閾值α、 β和γ。

步驟5?根據(jù)（P′）～（N′）的決策規(guī)則，對(duì)對(duì)象作出決策。

3.2?應(yīng)用案例

為了更好地說(shuō)明基于云模型的三支群決策過(guò)程，本節(jié)采用文獻(xiàn)[38]中戰(zhàn)略供應(yīng)商的選擇問(wèn)題對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)介紹。供應(yīng)管理是制造企業(yè)的關(guān)鍵問(wèn)題之一，直接影響到生產(chǎn)的準(zhǔn)時(shí)性。在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下，選擇合適供應(yīng)商會(huì)考慮一些可能決策結(jié)果中存在的損失。為了客觀地評(píng)價(jià)戰(zhàn)略供應(yīng)商，需要邀請(qǐng)多個(gè)專家進(jìn)行群決策。真實(shí)的決策中，對(duì)供應(yīng)商除了選擇和非選擇的決策外，還加入了延遲，這非常符合三支群決策的應(yīng)用場(chǎng)景。

步驟1?為了作出合理的決策，請(qǐng)相關(guān)專家對(duì)損失函數(shù)進(jìn)行評(píng)估。專家集為E={e1，e2，…，e11}，對(duì)應(yīng)的權(quán)重集W={ω1，ω2，…，ω11}T={0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.1，0.1，0.1，0.2，0.2}T。

步驟2?將所有專家對(duì)損失函數(shù)作出的不確定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)換為云模型，如表3。

步驟3?為消除不一致性，將表3中云模型表示的損失函數(shù)按定義7進(jìn)行綜合，得到損失函數(shù)的綜合評(píng)價(jià)云模型，如表4。

步驟4?將損失函數(shù)的綜合評(píng)價(jià)云模型的期望代入式（4），求得α=0.611-8， β=0.243-5，γ=0.417-3。

步驟5?對(duì)決策問(wèn)題給出判斷標(biāo)準(zhǔn)：

（P′）?若Pr（C|[x]）≥0.611-8，則作出接受決策，即x∈POS（C）;

（B′）?若Pr（C|[x]）≤0.611-8且Pr（C|[x]）≥0.243-5，則作出延遲決策，即x∈BND（C）;

（N′）?若Pr（C|[x]）≤0.243-5，則作出拒絕決策，即x∈NEG（C）。

4?實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)專家在6個(gè)損失函數(shù)上的評(píng)價(jià)，分別用定義3和定義6計(jì)算綜合云模型，并且比較二者與基礎(chǔ)云模型的賦權(quán)距離（表5）和以及綜合云的不確定性（表6）。賦權(quán)距離指的是綜合云到各基礎(chǔ)云距離的加權(quán)和，云模型的不確定性定義為熵和超熵的平方和：En2+He2。從表中可以看出，本文方法在賦權(quán)距離上都要小于定義3的方法，另外，得到的綜合云模型也更為精確。

群決策的問(wèn)題中，對(duì)不一致信息表的決策反映了群決策的效果。為了驗(yàn)證方法的有效性，本文比較本文所提的群決策方法和基于定義3群決策方法在不一致信息表上決策的效果。效果的優(yōu)劣由錯(cuò)誤率判斷，錯(cuò)誤率[38]的定義如下：

e=nC→NEG（C）+nC→NEG（C）Q×100%

其中：Q是信息表中所有對(duì)象個(gè)數(shù)，C→NEG（C）是概念C中的元素被分類到NEG（C）的情況，即拒絕真實(shí)對(duì)象的情況，nC→NEG（C）表示這一現(xiàn)象的對(duì)象個(gè)數(shù)。C→POS（C）是非概念C中的元素被分類到POS（C）的情況，即取到非真實(shí)對(duì)象的情況，nC→NEG（C）表示這一現(xiàn)象的對(duì)象個(gè)數(shù)。錯(cuò)誤率e越小說(shuō)明決策效果越好。

為了驗(yàn)證結(jié)果，本文選取了6個(gè)UCI上的數(shù)據(jù)集進(jìn)行群三支決策。因?yàn)檫@6個(gè)數(shù)據(jù)集（表7）是一致性的信息表，并且是多標(biāo)簽數(shù)據(jù)，所以，需要?jiǎng)h除一些屬性使之不一致，合并一些標(biāo)簽使之成為三支決策問(wèn)題。這一過(guò)程具體描述如表8。

表格（有表名）

對(duì)于每一個(gè)數(shù)據(jù)集，本文將其平均劃分成5個(gè)等份，連續(xù)合并成5個(gè)數(shù)據(jù)集，并在每個(gè)數(shù)據(jù)集上計(jì)算錯(cuò)誤率。為了評(píng)價(jià)群決策方法的好壞，事實(shí)上只需要比較兩種云綜合方法在融合損失函數(shù)時(shí)的差異。方便起見，本文仍使用表3作為專家給出的損失函數(shù)評(píng)價(jià)矩陣，權(quán)重集仍為W={ω1，ω2，…，ω11}T={0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.05，0.1，0.1，0.1，0.2，0.2}T。

從定義3中可以看出，基于此方法的群決策只是將概念的內(nèi)涵進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性組合，并沒(méi)有反映出概念與概念之間的聯(lián)系。而本文方法以概念的相似度為目標(biāo)函數(shù)，用最優(yōu)化的方法求出基礎(chǔ)云模型的密度中心，使綜合云到各基礎(chǔ)云之間的距離加權(quán)最小。這一過(guò)程保持了基礎(chǔ)云之間的相似性特征，在錯(cuò)誤率上的表現(xiàn)優(yōu)于之前的綜合方法。

圖4中原始方法1是指基于定義3的三支群決策。為了說(shuō)明本文方法的優(yōu)勢(shì)，除了使用云綜合確定損失函數(shù)外，本文還與文獻(xiàn)[38]中合理粒度方法進(jìn)行比較（原始方法2）?？梢钥吹剑疚姆椒ǖ腻e(cuò)誤率并不是在每一個(gè)數(shù)據(jù)集上都比原始方法低，但就整體而言，本方法的效果要優(yōu)于原始方法，這說(shuō)明在三支群決策中基于密度中心的云綜合方法比之前方法更加有效。

5?結(jié)語(yǔ)

本文在決策粗糙集模型的三支決策基礎(chǔ)之上，考慮了群決策模型來(lái)確定損失函數(shù)。利用云模型能充分刻畫認(rèn)知過(guò)程中復(fù)雜不確定形式的優(yōu)勢(shì)，將多個(gè)專家評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為云模型，并借鑒合理?；枷耄岢隽艘环N云綜合方法。該方法以云模型相似性度量為基礎(chǔ)，通過(guò)優(yōu)化綜合評(píng)價(jià)結(jié)果與各專家評(píng)價(jià)信息間語(yǔ)義的近似程度，來(lái)獲得綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。該方法成功地解決了群決策中的信息聚合問(wèn)題。此外，相較于一般的云綜合方法，該方法提供了一種新的語(yǔ)義解釋。通過(guò)應(yīng)用案例和實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。值得注意的是，本方法中的云模型相似性度量可以具有多種形式，今后的工作中，將借鑒機(jī)器學(xué)習(xí)的方法，研究不同形式的相似性度量對(duì)群決策的影響。

參考文獻(xiàn) （References）

[1]JIA X， ZHENG K， LI W， et al. Threeway decisions solution to filter spam email： an empirical study[C]// Proceedings of the 8th International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing. Heidelberg： Springer， 2012： 287-296.

[2]ZHANG H， MIN F. Threeway recommender systems based on random forests[J]. KnowledgeBased Systems， 2015， 91（C）：275-286.

[3]LIANG D， LIU D. A novel risk decisionmaking based on decisiontheoretic rough sets under hesitant fuzzy information[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2015， 23（2）：237-247.

[4]LIU D， YAO Y， LI T. Threeway investment decisions with decisiontheoretic rough sets[J]. International Journal of Computational Intelligence Systems， 2011， 4（1）：66-74.

[5]LIANG D， LIU D， PEDRYCZ W， et al. Triangular fuzzy decisiontheoretic rough sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2013， 54（8）：1087-1106.

[6]SUN B， MA W. Rough approximation of a preference relation by multidecision dominance for a multiAgent conflict analysis problem[J]. Information Sciences， 2015， 315： 39-53.

[7]XU Z. An automatic approach to reaching consensus in multiple attribute group decision making[J]. Computers & Industrial Engineering， 2009， 56（4）：1369-1374.

[8]YANG X， YAO J. Modelling multiAgent threeway decisions with decisiontheoretic rough sets[J]. Fundamenta Informaticae， 2012， 115（2/3）： 157-171.

[9]李德毅，孟海軍，史雪梅. 隸屬云和隸屬云發(fā)生器[J]. 計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展， 1995， 32（3）：15-20. （LI D Y， MENG H J， SHI X M. Membership clouds and membership cloud generators[J]. Journal of Computer Research and Development， 1995， 32（3）：15-20.）

[10]LI D， CHEUNG D， SHI X M， el al. Uncertainty reasoning based on cloud models in controllers[J]. Computers and Mathematics with Applications， 1998， 35（8）： 99-123.

[11]李德毅，杜鹢. 不確定性人工智能[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 2005： 50-75. （LI D Y， DU Y. Artificial Intelligence with Uncertainty[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2005：50-75.）

[12]BUDANITSKY A， HIRST G. Evaluating WordNetbased measures of lexical semantic relatedness[J]. Computational Linguistics， 2006， 32（1）： 13-47.

[13]NGUYEN H A， AlMUBAID H. New ontologybased semantic similarity measure for the biomedical domain[C]// Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Granular Computing. Piscataway： IEEE， 2006： 623-628.

[14]SIM K M， WONG P T. Toward agency and ontology for Webbased information retrieval[J]. IEEE Transactions on Systems， Man and Cybernetics， Part C： Applications and Reviews， 2004， 34（3）： 257-269.

[15]RUS V， NIRAULA N， BANJADE R. Similarity measures based on latent Dirichlet allocation[C]// Proceedings of the 14th International Conference on Computational Linguistics and Intelligent Text Processing. Berlin： SpringerVerlag， 2013： 459-470.

[16]LAZA R， PAVON R， REBOIROJATO M， et al. Assessing the suitability of MeSH ontology for classifying Medline documents[C]// Proceedings of the 5th International Conference on Practical Applications of Computational Biology & Bioinformatics. Berlin： SpringerVerlag， 2011： 337-344.

[17]WANG J， PENG L， ZHANG H， et al. Method of multicriteria group decisionmaking based on cloud aggregation operators with linguistic information[J]. Information Sciences， 2014， 274：177-191.

[18]HU J， YANG Y， CHEN X. Threeway linguistic group decisions model based on cloud for medical care product investment[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems， 2017， 33（6）：3405-3417.

[19]PEDRYCZ W. Allocation of information granularity in optimization and decisionmaking models： towards building the foundations of granular computing[J]. European Journal of Operational Research， 2014， 232（1）：137-145.

[20]YAO Y Y. Decisiontheoretic rough set models[C]// Proceedings of the 2nd International Conference on Rough Sets and Knowledge Technology. Berlin： SpringerVerlag， 2007： 1-12.

[21]YAO Y Y， WONG S K M. A decision theoretic framework for approximating concepts[J]. International Journal of ManMachine Studies， 1992， 37（6）： 793-809.

[22]YAO Y. Threeway decisions with probabilistic rough sets [J]. Information Sciences， 2010， 180： 341–353.

[23]DUDA R O， HART P E. Pattern Classification and Scene Analysis[M]. New York： Wiley， 1973：10-13.

[24]YAO Y. The superiority of threeway decision in probabilistic rough set models[J]. Information Sciences， 2011， 181（6）： 1080-1096.

[25]ZHANG X， MIAO D. Reduction target structurebased hierarchical attribute reduction for twocategory decisiontheoretic rough sets[J]. Information Sciences， 2014， 277： 755-776.

[26]WANG G Y， XU C L， LI D Y. Generic normal cloud model[J]. Information Sciences， 2014， 280：1-15.

[27]李德毅，劉常昱，淦文燕. 正態(tài)云模型的重尾性質(zhì)證明[J]. 中國(guó)工程科學(xué)， 2011， 13（4）： 20-23. （LI D Y， LIU Y C， GAN W Y. Proof of the heavytailed property of normal cloud model[J]. Engineering Science， 2011， 13（4）： 20-23.）

[28]ZHANG B， ZHANG L. Theory and Applications of Problem Solving[M]. Amsterdam： Elsevier Science Inc.， 1992： 1-2.

[29]YAO Y. A triarchic theory of granular computing[J]. Granular Computing， 2016， 1（2）：145-157.

[30]LIU Y， LI D， HE W， et al. Granular computing based on Gaussian cloud transformation[J]. Fundamenta Informaticae， 2013， 127（1/2/3/4）： 385-398.

[31]許昌林.基于云模型的雙向認(rèn)知計(jì)算方法研究[D]. 成都： 西南交通大學(xué)， 2014. （XU C L. Method of bidirectional cognitive computing based on cloud model[D]. Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2014.）

[32]張仕斌，許春香.基于云模型的信任評(píng)估方法研究[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)， 2013， 36（2）： 422-431. （ZHANG S B， XU C X. Study on the trust evaluation approach based on cloud model[J]. Chinese Journal of Computers， 2013， 36（2）：422-431.）

[33]張光衛(wèi)， 李德毅， 李鵬， 等. 基于云模型的協(xié)同過(guò)濾推薦算法[J]. 軟件學(xué)報(bào)， 2007， 18（10）： 2403-2411. （ZHANG G W， LI D Y， LI P， et al. A collaborative filtering recommendation algorithm based on cloud model[J]. Journal of Software， 2007， 18（10）： 2403-2411.）

[34]李海林，郭崇慧，邱望仁. 正態(tài)云模型相似度計(jì)算方法[J]. 電子學(xué)報(bào)， 2011， 39（11）： 2561-2567. （LI H L， GUO C H， QIU W R. Similarity measurement between normal cloud models[J]. Acta Electronica Sinica， 2011， 39（11）： 2561-2567.）

[35]查翔，倪世宏，謝川，等. 云相似度的概念躍升間接計(jì)算方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2015， 37（7）： 1676-1682. （ZHA X， NI S H， XIE C， et al. Indirect computation approach of cloud model similarity based on conception skipping[J]. Systems Engineering and Electronics， 2015， 37（7）： 1676-1682.）

[36]許昌林，王國(guó)胤. 正態(tài)云概念的漂移性度量及分析[J]. 計(jì)算機(jī)科學(xué)， 2014， 41（7）： 9-14， 51. （XU C L， WANG G Y. Excursive measurement and analysis of normal cloud concept[J]. Computer Science， 2014， 41（7）： 9-14，51.）

[37]LIANG D， LIU D. Systematic studies on threeway decisions with intervalvalued decisiontheoretic rough sets[J]. Information Sciences， 2014， 276（C）：186-203.

[38]LIANG D， LIU D， KOBINA A. Threeway group decisions with decisiontheoretic rough sets[J]. Information Sciences， 2016， 345： 46-64.

[39]LIU D， LIANG D， WANG C. A novel threeway decision model based on incomplete information system[J]. KnowledgeBased Systems， 2016， 91： 32-45.

[40]LIANG D， PEDRYCZ W， LIU D， et al. Threeway decisions based on decisiontheoretic rough sets under linguistic assessment with the aid of group decision making[J]. Applied Soft Computing， 2015， 29（C）：256-269.

[41]UCI Machine Learning Repository[DB/OL].[2018-11-20]. http：//archive.ics.uci.edu/ml/datasets.html.

This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （61572091， 61772096）， the Science and Technology Talents Development Project of Guizhou Education Department （KY[2018]318）， the Highlevel Innovative Talents of Guizhou Province （ZKG 2018[15]）， the New Talent Cultivation Innovation and Exploration Project of Guizhou Province （QKHPTRC [2017]5727-06）.

LI Shuai， born in 1986， Ph. D. candidate， lecturer. His research interests include granular computing， rough set， cloud model.

WANG Guoyin， born in 1970， Ph. D.， professor. His research interests include granular computing， knowledge acquisition， cognitive computing， intelligent information processing， big data intelligence.

YANG Jie， born in 1987， Ph. D.， associate professor. His research interests include cloud model， granular computing， rough set， machine learning.