唐曉杰，趙 迪，何明浩，袁 浩 ，薛永輝

(1.空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢 430019; 2.中國人民解放軍31435部隊，遼寧 沈陽 110000; 3.中船重工武漢凌久電子有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430019)

0 引 言

到達(dá)角(direction-of-arrival, DOA)估計是信號處理領(lǐng)域的重點研究問題之一，在雷達(dá)、通信、電子對抗領(lǐng)域均有著廣泛的運用[1-4]。信號在傳播過程中，容易受到地形、氣候和環(huán)境的影響，產(chǎn)生折射、反射，形成相干信號，在處理相干信號時，傳統(tǒng)的DOA估計算法性能下降，甚至失效[5]，因此，相干信號DOA估計算法一直以來都是研究熱點。

前向空間平滑(Forward Spatial Smooth, FOSS)算法[6]是最早進(jìn)行相干信號DOA估計的方法，其孔徑損失嚴(yán)重，當(dāng)陣元數(shù)為M時，能估計的到達(dá)角至多只有M/2個。為了增大孔徑，獲得更高的測向自由度，Pillai等人提出了前后向空間平滑(Forward and Backward Spatial Smooth, FBSS)算法[7]，F(xiàn)BSS利用了后向子陣列，增加了平滑次數(shù)，能夠估計至多2M/3個到達(dá)角。FOSS和FBSS算法僅恢復(fù)了數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩，并沒有完全消除信號的相干性。文獻(xiàn)[8]提出了一種ESPRIT-like算法，將數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的任意一行構(gòu)造成Toeplitz矩陣，能夠完全消除信號的相干性，進(jìn)而可以利用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計，但該算法數(shù)據(jù)丟失嚴(yán)重，估計精度不高。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于前后向矢量重構(gòu)的CVM算法，利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中的兩行數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣構(gòu)造，但其數(shù)據(jù)利用率仍較低。文獻(xiàn)[10]提出了一種序貫分組的相干信號分組估計方法，提高了精度和最大可分辨信號數(shù)，但是算法復(fù)雜度較高，且需要每組相干信號數(shù)先驗信息。文獻(xiàn)[11]提出了一種主奇異矢量模態(tài)分析法(principal-singular-vector utilization for modal analysis, PUMA)，通過加權(quán)最小二乘法求得LP(Linear Prediction)系數(shù)，再估計出信號DOA，該算法利用了信號子空間的全部矢量且不需要進(jìn)行譜峰搜索，因此精度較高，同時算法復(fù)雜度較低，但是信噪比較低時性能下降很快。

上述算法均為子空間類算法，其顯著缺點為需要已知信號源數(shù)作為先驗信息，以此來構(gòu)造信號子空間和噪聲子空間。常用的信號源數(shù)估計方法有信息論(AIC)準(zhǔn)則[12]、最小描述長度(MDL)準(zhǔn)則[13]等，但均不適用于相干信號。文獻(xiàn)[14]提出了一種無需先驗信息的多重Toeplitz矩陣重構(gòu) (Multi-Toeplitz, MT)算法，在2M+1個陣元條件下，利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中的M+1行數(shù)據(jù)構(gòu)造Toeplitz矩陣，再通過誤差最小準(zhǔn)則構(gòu)造代價函數(shù)，實現(xiàn)相干信號的DOA估計。該算法不需要構(gòu)造信號子空間或噪聲子空間，因此無需信號源數(shù)先驗信息，當(dāng)信噪比較高時，算法性能與子空間類算法的性能相當(dāng)，但低信噪比條件下性能較差。

針對以上問題，本文提出了一種前后向多重Toeplitz矩陣重構(gòu) (Forward and Backward Multi-Toeplitz，F(xiàn)BMT)算法，在MT算法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了后向Toeplitz矩陣，進(jìn)一步提高了數(shù)據(jù)利用率。本文算法繼承了MT算法無需信號源數(shù)先驗信息的優(yōu)點，同時具備更高的測向精度和魯棒性。

1 信號模型

假設(shè)有K個窄帶遠(yuǎn)場信號入射到2M+1個陣元組成的均勻線陣上，信號到達(dá)角為{θ1,θ2,…,θK}，且滿足K≤2M+1，相鄰的陣元間距d等于半波長λ。其中前P個信號是相干信號，剩下的K-P個信號相互獨立。不妨設(shè)第一個信號s1(t)為直射信號，則第p個相干信號可以表示為

sp(t)=ρps1(t),p=2,…,P

(1)

式中，ρp是第p個相干信號的相干系數(shù)。陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

(2)

式中，a(θi)=[ej2πMdsin(θi)/λ,…,1,…,e-j2πMdsin(θi)/λ]T，i=1,…,K是導(dǎo)向矢量，N(t)表示2M+1維零均值高斯白噪聲，噪聲功率為σ2。將上式寫成矩陣的形式

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(3)

式中，A(θ)=[a(θ1),…,a(θK)]∈(2M+1)×K表示陣列流形，S(t)=[s1(t),…,sK(t)]T∈K×1表示信號矢量，(·)T表示轉(zhuǎn)置。

2 算法流程

2.1 構(gòu)造前后向Toeplitz矩陣

首先計算數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX=E{X(t)XH(t)}，其中(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。由式(3)可得

A(θ)E{S(t)SH(t)}AH(θ)=

A(θ)RSAH(θ)

(4)

當(dāng)入射信號中含有相干信號時，信號協(xié)方差矩陣RS將會出現(xiàn)秩損，造成信號子空間的能量泄露，此時，傳統(tǒng)的MUSIC算法和ESPRIT算法將失效。選取數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX中的第m行

rm=[r(m,-M),r(m,-M+1),…,r(m,M)]=

[e-j2πmdsin(θ1)/λ,e-j2πmdsin(θ2)/λ,…,e-j2πmdsin(θK)/λ]RSAH(θ)=

cmAH(θ)

(5)

式中，1≤m≤M+1，cm=[e-j2πmdsin(θ1)/λ,e-j2πmdsin(θ2)/λ,…,e-j2πmdsin(θK)/λ]RS為1×K維行向量，由于信號協(xié)方差矩陣RS中不存在全零列，因此cm中不存在零元素。再用長度為M+1的滑窗截取rm中的元素，得到行向量

rm,i=[r(m,-i),r(m,1-i),…,r(m,M-i)]

i=0,…,M

(6)

取第一個行向量rm,0

(7)

(8)

式中，IM+1,m是一個(M+1)×(M+1)維矩陣且第m條對角線元素全為1，其余對角線元素為0。diag(·)為對角化操作，φ=diag([e-j2πdsin(θ1)/λ,…,e-j2πdsin(θK)/λ])為K×K維對角陣，pm=diag(cm)表示矩陣重構(gòu)之后的偽信號協(xié)方差矩陣。由于cm中不含有零元素，因此pm是滿秩對角陣，即通過重構(gòu)矩陣Rm可以消除信源的相干性。

若不考慮噪聲的影響，式(8)可以寫成

(9)

(10)

式中，J∈(M+1)×(M+1)為置換矩陣，易知因此后向矩陣中含有新的信息。又因為與Rm具有相同的結(jié)構(gòu)，因此可以同時利用前向Toeplitz矩陣Rm和后向Toeplitz矩陣來估計信號的DOA。

2.2 DOA估計

根據(jù)文獻(xiàn)[14]所提算法，進(jìn)行代價函數(shù)構(gòu)造以及DOA估計。對于第k個信號，必存在ek∈M+1和其余K-1個導(dǎo)向矢量張成的子空間正交，即

(11)

式中，range{·}表示張成的子空間。用Rm左乘ek可得

(12)

(13)

考慮噪聲影響，式(13)可以寫成

(14)

(15)

(16)

令

(18)

(19)

(20)

(21)

式(21)的根為

(22)

將式(22)帶入式(16)可得

(23)

(24)

式中，λi表示第i個特征值，有λ1≥…≥λM+1，ui為λi對應(yīng)的特征向量，因此可以得到

(25)

H(θ)=M+1-maxeig{GH(θ)F-1G(θ)}

(26)

式中，maxeig{·}表示取最大的特征值。

最后構(gòu)造一個關(guān)于θ的空間譜

(27)

Q(θ)譜峰對應(yīng)的角度即為估計的信號DOA。

2.3 本文的算法流程

Step3： 根據(jù)式(18)和式(19)計算矩陣F和矩陣G(θ)；

Step4： 根據(jù)式(27)計算空間譜Q(θ)，并通過譜峰搜索得到信號的DOA。

3 復(fù)雜度分析

針對文獻(xiàn)[14]的MT算法和本文提出的FBMT算法進(jìn)行算法復(fù)雜度分析。兩種算法所進(jìn)行的操作步驟是相同的，算法復(fù)雜度主要集中在計算RX，F(xiàn)，G(θ)以及Q(θ)上，下表給出了兩種算法的復(fù)雜度對比，其中陣元數(shù)為2M+1，快拍數(shù)為N。

表1 MT算法與FBMT算法的復(fù)雜度對比

由表1可知，F(xiàn)BMT的算法復(fù)雜度近似是MT的2倍，在數(shù)量級上沒有大幅的增加。設(shè)置仿真條件如下：5個陣元，3個到達(dá)角信號，信噪比為15 dB，快拍數(shù)為500，進(jìn)行1000次蒙特卡羅實驗，得到MT算法的平均用時為0.0243 s，F(xiàn)BMT算法的平均用時為0.0369 s，運算時間增加了約0.01 s，在可接受的范圍內(nèi)。下文的仿真將表明，改進(jìn)算法在提高了原算法精度的基礎(chǔ)上，一定程度也增加了其可測角數(shù)，因此通過增加一部分計算量來獲取性能的提升是有價值的。

4 仿真校驗

本節(jié)通過仿真實驗將本文算法與FOSS算法、FBSS算法以及MT算法進(jìn)行比較，對不同條件下的均方根誤差RMSE以及測向成功率PR進(jìn)行了分析(假設(shè)當(dāng)測向偏差之和小于1°時，測向成功)。在仿真實驗中，設(shè)信號為零均值高斯信號，噪聲為零均值高斯白噪聲，由于FOSS、FBSS算法需要信號源數(shù)先驗信息，而MT算法和本文算法無需先驗信息，為方便比較，假設(shè)信號源數(shù)先驗信息都是已知的。均方根誤差通過1000次蒙特卡羅實驗得到，可表示為

(28)

實驗1：相干信號測向能力比較

假設(shè)有三個信號入射到5個陣元組成的均勻線陣上，信號到達(dá)角分別為[-16°,5°,34°]，快拍數(shù)N=500，SNR=15 dB。分別在相干及非相干條件下，利用FOSS、FBSS、MT以及本文算法進(jìn)行DOA估計，得到的歸一化空間譜如圖1所示。

圖1 歸一化空間譜

圖中三條紅色豎線表示真實信號的DOA，圖1(a)顯示的是相干信號的歸一化空間譜，相干系數(shù)分別為[1,0.8ejπ/3,0.5ejπ/4]，可以看出FBSS算法和本文算法均能形成三個尖銳的譜峰，MT算法只能形成兩個峰，而FOSS算法受限于陣列孔徑，將無法分辨相干信號。由此可知，當(dāng)陣元數(shù)較少時，F(xiàn)BSS算法的譜峰最尖銳，本文算法次之，MT算法出現(xiàn)漏角，而FOSS算法徹底失效。圖1(b)顯示的是非相干信號的歸一化空間譜，此時FOSS和FBSS均不用進(jìn)行空間平滑，退化為MUSIC算法，可知當(dāng)信號為非相干信號時，F(xiàn)OSS和FBSS的空間譜相同，MT算法和本文算法的空間譜相近，F(xiàn)OSS和FBSS的譜峰比MT算法和本文算法的譜峰尖銳。需要指出的是本文算法和MT算法均不需要信號源數(shù)先驗信息，這在一定程度上彌補了其譜峰不夠尖銳的缺點。

實驗2：不同信噪比條件下的算法性能比較

在實驗2中，共有三個信號入射到7個陣元組成的均勻線陣上，信號到達(dá)角分別為[-40°,-10°,20°]，快拍數(shù)N=300，前兩個信號為相干信號，相干系數(shù)分別為[1,0.9ejπ/3]，第三個信號獨立于前兩個信號。信噪比變化范圍為-5到15 dB，在不同信噪比條件下進(jìn)行實驗，得到算法性能隨信噪比變化如圖2所示。

圖2 RMSE和PR隨SNR的變化圖

圖2(a)顯示的是四種算法的RMSE隨著SNR的變化情況，由圖可知本文算法的性能最好，F(xiàn)OSS算法的性能最差。圖2(b)顯示的是四種算法的PR隨著SNR的變化情況，當(dāng)SNR>-3 dB時，本文算法的成功率始終高于其他三種算法，當(dāng)SNR>5 dB時，四種算法的成功率接近100%。

實驗3：不同采樣點條件下的算法性能比較

實驗3的信號入射條件、陣元條件與實驗2一致，且SNR=0 dB，采樣點變化范圍為100到1000，在不同的采樣點條件下進(jìn)行實驗，得到算法性能隨采樣點變化如圖3所示。

圖3 RMSE和PR隨采樣點數(shù)的變化圖

圖3(a)顯示的是四種算法的RMSE隨著采樣點數(shù)的變化情況，由圖可知本文算法的均方根誤差最小，F(xiàn)BSS算法性能略差于本文算法，但好于FOSS算法和MT算法。圖3(b)顯示的是四種算法的PR隨著采樣點數(shù)的變化情況，可以看出本文算法的成功率在不同采樣點數(shù)條件下始終略高于其他三種算法，其中MT算法與本文算法成功率相近，均好于FBSS算法和FOSS算法。

5 結(jié) 語

針對空間平滑類算法需要信號源數(shù)先驗信息、MT算法在低信噪比條件下精度不高的問題，本文提出了一種基于前后向多重Toeplitz矩陣重構(gòu)的FBMT算法，其數(shù)據(jù)利用率更高，因此估計精度更高、魯棒性更好，并且在低信噪比、低采樣條件下仍然具有較好的性能。