印茂偉， 吳軒光， 張雨亭， 李玉琳

(西南科技大學(xué) 國防科技學(xué)院，四川 綿陽 621010)

0 引 言

時(shí)間交錯(cuò)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器 (time-interleaved analog to digital converter,TIADC)[1,2]是提高高分辨率ADC采樣率的一種有效技術(shù)途經(jīng)。然而，通道間的時(shí)間失配會(huì)在TIADC輸出信號(hào)中產(chǎn)生諧波，導(dǎo)致性能嚴(yán)重下降[3,4]。因此，時(shí)間失配校正成為不可或缺的環(huán)節(jié)，決定著TIADC系統(tǒng)的實(shí)際性能。模數(shù)混合方法[5]通過調(diào)整模擬延遲線對每個(gè)時(shí)鐘相位進(jìn)行微調(diào)，但該方法容易受到電壓、老化等因素的影響?；谙嚓P(guān)運(yùn)算[6,7]的時(shí)間估計(jì)具有很高的精度，但二階統(tǒng)計(jì)量和矩陣運(yùn)算帶來算法復(fù)雜度的增加?；诠_(dá)馬變換[8,9]的方法僅用一個(gè)定系數(shù)的FIR濾波器來補(bǔ)償時(shí)間，從而簡化了校正結(jié)構(gòu)。然而，只有一些特殊的通道數(shù)具有哈達(dá)馬變換，限制了該方法的推廣應(yīng)用。

一般而言，盲校正方法精度低、復(fù)雜度高，而盲自適應(yīng)方法收斂速度較慢。為此，本文提出一種低復(fù)雜度的全數(shù)字快速盲校正方法，用于對具有寬平穩(wěn)帶限輸入的TIADC系統(tǒng)的在線高精度時(shí)間補(bǔ)償。

1 TIADC建模與時(shí)間校正

為便于全數(shù)字誤差校正，本文采用數(shù)字模型。設(shè)TIADC系統(tǒng)有M個(gè)通道，總體采樣頻率為fs，理想情況下第k通道輸出為

xk[n]=x[nM+k],k=0,1,…,M-1

(1)

式中x[n]為理想系統(tǒng)輸出?？紤]時(shí)間偏差τk的存在，實(shí)際系統(tǒng)中第k通道輸出為

yk[n]=xk[n+τk],k=0,1,…,M-1

(2)

因?yàn)橄到y(tǒng)輸出的整體延時(shí)不影響本文所討論的問題，故假設(shè)∑τk=0。

時(shí)間偏差τk導(dǎo)致的輸出信號(hào)頻譜附加延時(shí)因子ejωτk，可以通過一階泰勒級(jí)數(shù)ejωτ≈1+jωτ來近似表達(dá)。由此也可以得到第k通道校準(zhǔn)后的輸出信號(hào)

(3)

圖1給出了時(shí)間校正的自適應(yīng)濾波實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，其中DL用于補(bǔ)償hd[n]的群時(shí)延。hd[n]可采用多相濾波器結(jié)構(gòu)[7]來實(shí)現(xiàn)，如果其抽頭數(shù)為2D+1，則延時(shí)值DL=D/M。圖1結(jié)構(gòu)只需M個(gè)減法器和乘法器，以及一個(gè)定系數(shù)的FIR濾波器即可實(shí)現(xiàn)時(shí)間補(bǔ)償。

圖1 M通道TIADC時(shí)間校正實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

2 時(shí)間失配估計(jì)

定義信號(hào)N個(gè)點(diǎn)的期望運(yùn)算如下

(4)

對于寬平穩(wěn)信號(hào)理論上有E{f}=常數(shù)。E{·}作為理想期望運(yùn)算的近似，按滑動(dòng)平均方式工作,可以采用累加/復(fù)位器(accumulator & reset)[5]來實(shí)現(xiàn)。顯然，N的有限值帶來數(shù)據(jù)加窗效應(yīng)，從而造成期望值的近似和波動(dòng)，導(dǎo)致算法穩(wěn)態(tài)誤差的增加。

根據(jù)一階泰勒級(jí)數(shù)，相鄰?fù)ǖ篱g的輸出信號(hào)關(guān)系為

(5)

為降低估計(jì)的隨機(jī)誤差，對式(5)兩邊求絕對值和期望運(yùn)算，有

(6)

(7)

根據(jù)式(6)和式(7)，可得M-1個(gè)觀測量如下

(8)

由此得到關(guān)于τk的M-1個(gè)線性獨(dú)立方程為

τk+1-τk=bk,k=0,1,…,M-2

(9)

聯(lián)立∑τk=0，可以求解每個(gè)通道的時(shí)間失配τk。

給出方程組的矩陣形式。定義2個(gè)M×1向量τ=[τ0,…,τk,…,τM-1]T和b=[b0,…,bk,…,bM-2,0]T，以及M×M系數(shù)矩陣A。若M=4，有

(10)

式中B=A-1。因此，τ可計(jì)算如下

τ=B·b

(11)

為了實(shí)現(xiàn)圖1中的τ計(jì)算，需要推導(dǎo)時(shí)間失配估計(jì)的反饋形式。其基本思想是利用校正后的輸出信號(hào)來迭代估計(jì)殘差，以有利于提高估計(jì)精度。

(12)

τ(m+1)=τ(m)+μ·Δτ

(13)

式中 Δτ=B·b，μ為步長因子，有0<μ≤1和τ(0)=0。當(dāng)μ=1時(shí)，有τ(1)=Δτ，從前述推導(dǎo)中可以看出，τ可以一步收斂到真值。事實(shí)上，Δτ總有誤差，故選取小的μ可以以較快速度遺忘誤差，有利于降低估計(jì)算法的穩(wěn)態(tài)誤差。

Δτ的計(jì)算可以進(jìn)一步得到簡化。注意到bM-1=0，定義b1=[b0,b1,…,bM-2]T，去掉矩陣B最后一列，構(gòu)成的M×(M-1)矩陣B1如式(14)。最終可以按Δτ=B1b1重新計(jì)算式(13)。計(jì)算后，可以利用左/右移位和加/減法運(yùn)算來計(jì)算Δτ=B1b1，這有利于用諸如FPGA等硬件來實(shí)現(xiàn)

(14)

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)均以4通道TIADC為例，并假設(shè)只有時(shí)間失配τ=[0.03,0.015,-0.03,-0.015]TT。假設(shè)N=1 024，導(dǎo)數(shù)濾波器抽頭數(shù)為25，輸入信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)217。除了特別說明，不考慮量化誤差。實(shí)驗(yàn)在MATLAB (R2016a,Win64)軟件下進(jìn)行。

圖2為算法的收斂性能，輸入信號(hào)為歸一化頻率0.1的單音信號(hào)。圖2(a)顯示μ=1時(shí)算法具有一步收斂性。為了充分利用這種快速收斂性，同時(shí)又能控制算法的穩(wěn)態(tài)精度，可以采用變步長迭代技術(shù)。如圖2(b)所示，算法能夠?qū)崿F(xiàn)3步精準(zhǔn)收斂，圖中的變步長策略為μ=1,0.5,0.5,0.25,0.25,0.25,…。

圖2 不同步長下的時(shí)間失配估計(jì)收斂曲線

圖3、圖4為變步長3步迭代校正效果。圖3采用頻率0.15的滿幅單音輸入，可以看出，經(jīng)過校正，歸一化頻率0.1,0.35和0.4共3處的諧波分別從-35.5，-75.45，-35.5 dBFS抑制到-88.1，-79.5，-92.1 dBFS。圖4采用歸一化載頻0.15、碼率0.001 5的二相編碼 (binary phase shift keying,BPSK)滿幅輸入信號(hào)，采用本方法可以有效壓制諧波達(dá)到或低于旁瓣電平。

圖3 正弦輸入信號(hào)校正前后頻譜

圖4 BPSK輸入信號(hào)校正前后頻譜

圖5給出了算法的無雜散動(dòng)態(tài)范圍(spurious free dynamic range,SFDR)和信噪比(signal to noise ratio,SNR)性能曲線。輸入輸出信號(hào)和導(dǎo)數(shù)濾波器均量化為12 bit，運(yùn)算中間結(jié)果保留18 bit的精度。定義如下

(15)

圖5 時(shí)間校正性能曲線

另外,對比本文和文獻(xiàn)[5,6,9]3種時(shí)間校正方法的性能，本方法在資源消耗和收斂速度等方面具有明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文提出了一種M通道TIADC的全數(shù)字盲校準(zhǔn)方法。校準(zhǔn)系統(tǒng)的每個(gè)部分工作在fs/M頻率下，降低了實(shí)現(xiàn)難度，各通道的一致結(jié)構(gòu)增加了系統(tǒng)的可靠性。由于采用了變步長技術(shù)，算法可以實(shí)現(xiàn)快速地精確收斂。同時(shí)，基于一階統(tǒng)計(jì)量的時(shí)間失配估計(jì)顯著地降低了算法的計(jì)算量。該方法具有復(fù)雜度低，計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，可用于TIADC的在線快速時(shí)間補(bǔ)償。