程春田，趙志鵬，靳曉雨，劉令軍，鐘儒鴻

（大連理工大學(xué)，遼寧 大連 116024）

1 研究背景

最近二十多年以來(lái)，我國(guó)在西南集中建成了以金沙江、瀾滄江、雅礱江、烏江、大渡河、紅水河等干流梯級(jí)水電站群為代表的巨型梯級(jí)水電站群，高水頭、大容量、巨型機(jī)組、遠(yuǎn)距離、跨省跨區(qū)域輸送是其不同于以往中小流域的根本特征。由于高壓瞬變流，這些干流梯級(jí)巨型水電站普遍存在多個(gè)不規(guī)則機(jī)組限制區(qū)。當(dāng)水電站或機(jī)組響應(yīng)單個(gè)甚至多個(gè)受端電網(wǎng)負(fù)荷需求及水電電力市場(chǎng)化后時(shí)段出力波動(dòng)頻繁時(shí)，由于水電站時(shí)段間和梯級(jí)上下游間緊密的水力聯(lián)系，容易引起水電站自身后續(xù)時(shí)段和梯級(jí)上下游水電站群出力、水頭和流量發(fā)生級(jí)聯(lián)變化，從而給水電站和梯級(jí)水電站群運(yùn)行帶來(lái)巨大困難，嚴(yán)重影響水電站和電網(wǎng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，成為制約西南水電安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的技術(shù)瓶頸。

事實(shí)上，水電機(jī)組限制區(qū)問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外水電機(jī)組組合（Hydro Unit Commitment，HUC）的經(jīng)典問(wèn)題，以往大多數(shù)研究主要集中在規(guī)則限制區(qū)建模與求解。Guan等[1]利用拉格朗日松弛法對(duì)規(guī)則限制區(qū)約束進(jìn)行處理，將梯級(jí)水電調(diào)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)由動(dòng)態(tài)規(guī)劃和網(wǎng)絡(luò)流算法解決的雙層優(yōu)化問(wèn)題，取得了良好的結(jié)果。Bo等[2]、Borghetti等[3]和 Diniz等[4]均采用混合整數(shù)線性規(guī)劃（MILP）方法對(duì)規(guī)則限制區(qū)進(jìn)行建模，對(duì)梯級(jí)水電機(jī)組組合問(wèn)題進(jìn)行了求解。隨著我國(guó)西南地區(qū)巨型梯級(jí)水電站群陸續(xù)建成，巨型機(jī)組高水頭不規(guī)則多限制區(qū)問(wèn)題已經(jīng)成為電網(wǎng)、發(fā)電企業(yè)面臨的棘手問(wèn)題，基于工程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，程春田等[5-6]提出了將機(jī)組不規(guī)則限制區(qū)通過(guò)組合數(shù)學(xué)的方式轉(zhuǎn)化成電站的限制區(qū)，通過(guò)廠站組合和啟發(fā)式策略規(guī)避機(jī)組限制區(qū)問(wèn)題，但對(duì)于變化頻繁、要求更高的機(jī)組組合問(wèn)題，上述方法還是略顯不足，需要更高效的多個(gè)高水頭不規(guī)則限制區(qū)快速自動(dòng)規(guī)避方法。對(duì)于有復(fù)雜不規(guī)則機(jī)組限制區(qū)的HUC問(wèn)題，國(guó)際上普遍采用MILP對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模求解[7-8]。MILP方法因?yàn)橄鄬?duì)成熟的數(shù)學(xué)理論和良好的全局搜索能力、靈活的建模方式及有大量成熟的開(kāi)源和商業(yè)求解器可以調(diào)用，是求解HUC問(wèn)題最常用的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法之一。Li等[7]采用基于人工剖分的方式對(duì)三峽電站存在的限制區(qū)進(jìn)行MILP建模，實(shí)現(xiàn)了對(duì)32臺(tái)機(jī)組組合的高效求解，但該方法依賴(lài)特定電站的限制區(qū)特征和人工經(jīng)驗(yàn)，不適合自動(dòng)化優(yōu)化建模。Cheng等[8]提出一種基于分段線性化的不規(guī)則限制區(qū)MILP建模方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)烏江流域構(gòu)皮灘單個(gè)電站的不規(guī)則限制區(qū)的建模與求解。但是其限制區(qū)邊界描述需要事先由人工確定，對(duì)限制區(qū)數(shù)據(jù)形式有一定要求，難以實(shí)現(xiàn)模型的自動(dòng)化建模及應(yīng)用。

為解決機(jī)組多不規(guī)則限制區(qū)快速規(guī)避和自動(dòng)建模問(wèn)題，本文以水電系統(tǒng)運(yùn)行中常見(jiàn)的調(diào)峰需求為目標(biāo)，提出基于Hertel-Mehlhorn凸剖分算法的多個(gè)不規(guī)則限制區(qū)約束自動(dòng)解析技術(shù)、并應(yīng)用凸優(yōu)化理論及析取規(guī)劃理論方法構(gòu)建復(fù)雜不規(guī)則限制區(qū)約束的MILP模型，然后應(yīng)用商用求解器對(duì)問(wèn)題求解，從而實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜水電系統(tǒng)調(diào)度運(yùn)行自動(dòng)建模和問(wèn)題求解。提出的方法在西南某干流流域梯級(jí)水電站群進(jìn)行了方法驗(yàn)證，下面將詳細(xì)介紹方法原理和具體的驗(yàn)證情況。

2 高水頭巨型機(jī)組多個(gè)不規(guī)則限制區(qū)問(wèn)題及其約束自動(dòng)建模處理

據(jù)統(tǒng)計(jì)，世界上壩高200 m以上的水電站70%在中國(guó)，單機(jī)容量達(dá)到或者超過(guò)700 MW的水輪機(jī)組大多在中國(guó)，這樣就產(chǎn)生了非常獨(dú)特的西南地區(qū)高水頭巨型機(jī)組多個(gè)不規(guī)則限制區(qū)問(wèn)題。不同于以往中低水頭和中下容量的機(jī)組規(guī)則限制區(qū)情況（圖1（a）），高水頭巨型機(jī)組多個(gè)不規(guī)則限制區(qū)邊界條件復(fù)雜（圖1（b）（c）），不能在工程應(yīng)用通過(guò)簡(jiǎn)單設(shè)定固定的出力條件就可快速解決此問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題隨著水電站或者機(jī)組對(duì)頻繁變化的負(fù)荷需求的響應(yīng)而愈加困難，因此成為西南地區(qū)水電系統(tǒng)運(yùn)行的瓶頸問(wèn)題。為了自動(dòng)識(shí)別和避開(kāi)復(fù)雜的機(jī)組限制區(qū)，我們?cè)诖颂岢鰴C(jī)組限制區(qū)約束的通用數(shù)學(xué)表達(dá)。

圖1 限制區(qū)示意圖

2.1 機(jī)組限制區(qū)約束的數(shù)學(xué)化定義首先，假設(shè)各限制區(qū)外邊界均為簡(jiǎn)單多邊形，即任何不相鄰邊不相交。該假設(shè)符合目前已知的水電機(jī)組限制區(qū)特征。在實(shí)際工程中，可以直接獲取的數(shù)據(jù)包括：限制區(qū)邊界點(diǎn)，機(jī)組出力上下限，機(jī)組凈水頭上下限等。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，進(jìn)行如下定義：

式中：Rm表示機(jī)組第m個(gè)子限制區(qū)，R表示機(jī)組的限制區(qū)組合，Poly()表示由括號(hào)內(nèi)點(diǎn)集依次相連，首尾相接組成的有界多邊形平面區(qū)域。(Hm，j，Pm，j)表示機(jī)組第m個(gè)限制區(qū)上的第j點(diǎn)。 M 表示機(jī)組含有的子限制區(qū)個(gè)數(shù)，Jm表示機(jī)組限制區(qū)m所包含的頂點(diǎn)數(shù)。為凈水頭和機(jī)組出力上下限形成的平面區(qū)域，其中“×”表示笛卡爾積乘法符號(hào)，和分別為機(jī)組凈水頭的下限和上限，分別為機(jī)組出力下限和上限?！啊北硎炯系臏p運(yùn)算。 Asafe表示安全運(yùn)行

區(qū)。在上述定義下，限制區(qū)約束可表示為：

式中：h、p分別為機(jī)組運(yùn)行時(shí)的凈水頭和出力。

通過(guò)上述數(shù)學(xué)表達(dá)，我們將機(jī)組限制區(qū)約束統(tǒng)一描述為去除不規(guī)則限制區(qū)的相應(yīng)安全區(qū)約束，從而為我們對(duì)不規(guī)則限制區(qū)識(shí)別及自動(dòng)化建模打下基礎(chǔ)。

2.2 限制區(qū)約束自動(dòng)建模方法通過(guò)限制區(qū)定義可以看出，去除限制區(qū)后的安全運(yùn)行區(qū)域本質(zhì)上是一個(gè)可能存在離散，有洞等復(fù)雜情形的極度不規(guī)則平面區(qū)域，如何實(shí)現(xiàn)對(duì)該區(qū)域的MILP自動(dòng)化建模是本節(jié)及本文要解決的主要問(wèn)題。為此，本文提出一種基于凸剖分算法及凸優(yōu)化理論和析取規(guī)劃理論方法的不規(guī)則限制區(qū)自動(dòng)化建?；椒?。該方法首先需要對(duì)不規(guī)則安全區(qū)進(jìn)行凸剖分，然后對(duì)剖分后的結(jié)果采用凸優(yōu)化理論和析取規(guī)劃理論進(jìn)行建模。

2.2.1 安全運(yùn)行區(qū)Asafe的凸剖分 對(duì)安全區(qū)進(jìn)行凸剖分是指將不規(guī)則安全運(yùn)行區(qū)剖分成若干個(gè)互不重疊的凸多邊形區(qū)域的過(guò)程，而且要求這些剖分后的凸多邊形區(qū)域的并集與安全運(yùn)行區(qū)相等。線性化建模過(guò)程實(shí)質(zhì)上是對(duì)剖分結(jié)果的建模，剖分的結(jié)果會(huì)直接影響后續(xù)線性化建模質(zhì)量。由于建模過(guò)程中引入的整數(shù)變量數(shù)目等于剖分后凸多邊形的個(gè)數(shù)（見(jiàn)2.2.2節(jié)），而整數(shù)變量數(shù)目又直接影響求解效率，因此為便于MILP求解，需要將不規(guī)則限制區(qū)剖分成盡量少的凸多邊形，這一問(wèn)題在計(jì)算幾何中被稱(chēng)為最優(yōu)凸剖分（optimal convex decomposition，OCD）問(wèn)題。OCD是典型的NP-hard問(wèn)題，對(duì)該問(wèn)題已有大量研究[9-10]，其中Hertel-Mehlhorn（HM）算法[10]因其計(jì)算復(fù)雜度低，且在大多數(shù)情形下可找到最優(yōu)凸剖分結(jié)果，被廣泛應(yīng)用到計(jì)算機(jī)游戲設(shè)計(jì)[11]、室內(nèi)導(dǎo)航[12]等領(lǐng)域，本文在此采用HM算法實(shí)現(xiàn)對(duì)不規(guī)則限制區(qū)的凸剖分。使用HM算法對(duì)安全運(yùn)行區(qū)進(jìn)行凸剖分流程歸納如下：

圖2 安全區(qū)凸剖分示意圖

（1）預(yù)處理：由于限制區(qū)的復(fù)雜性，安全運(yùn)行區(qū)可能是由多個(gè)多邊形組成，每個(gè)多邊形可能存在單個(gè)甚至多個(gè)洞（見(jiàn)圖2（a）），這些復(fù)雜的情形都不適用于HM凸剖分算法，因此需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理主要包括分離和去洞兩個(gè)操作。分離是指將包含有多個(gè)多邊形的情形分離成若干個(gè)多邊形，之后的所有操作均是對(duì)單個(gè)多邊形的操作。去洞是指將包含洞的分離后的多邊形轉(zhuǎn)化為不含洞的簡(jiǎn)單多邊形的過(guò)程。該過(guò)程首先需要查找所有洞的最右側(cè)點(diǎn)，然后在距離該點(diǎn)較近的多邊形點(diǎn)之間進(jìn)行分割，分割后多邊形洞的個(gè)數(shù)減少1。反復(fù)執(zhí)行該過(guò)程，即可去除所有洞[13]。圖2（b）為去洞后安全區(qū)示意圖，從圖中可以看出，通過(guò)圖中右上角線段的分割，安全區(qū)不再包含洞。

（2）三角化：三角化是指將分離后的簡(jiǎn)單多邊形劃分成若干互不重疊的三角形的過(guò)程。該過(guò)程采用耳切法（ear clipping，EC）[13]進(jìn)行處理。對(duì)于簡(jiǎn)單多邊形“耳”，指凸點(diǎn)與相鄰點(diǎn)圍成的三角形，且該三角形內(nèi)部不可包含其他頂點(diǎn)。如圖3所示，圖中多邊形共包含4個(gè)耳，將三角形用其頂點(diǎn)構(gòu)成的三元元組進(jìn)行表示，則圖中多邊形的4個(gè)耳分別為（1，2，3）（2，3，4）（6，7，8）（7，8，9）?？梢宰C明，任何超過(guò)3個(gè)頂點(diǎn)以上的簡(jiǎn)單多邊形必然包括兩個(gè)以上的“耳”[13]，因此可以通過(guò)不斷切除多邊形耳的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)單多邊形的三角剖分。圖2（c）為采用“耳切法”三角化后的安全區(qū)示意圖。

圖3 多邊形的“耳”

（3）去除非重要對(duì)角線：非重要對(duì)角線指去除后相鄰三角形的并集為凸多邊形的對(duì)角線，反之為重要對(duì)角線。

（4）重復(fù)步驟3，直到所有對(duì)角線均為重要對(duì)角線。在去除非重要對(duì)角線后，其他對(duì)角線的重要性可能會(huì)隨之改變，因此需要反復(fù)執(zhí)行步驟2，直到不存在非重要對(duì)角線為止。圖2（d）為最終所得的安全區(qū)凸剖分結(jié)果，圖2（d）中比圖2（c）缺少的對(duì)角線，即為去除的非重要對(duì)角線。

2.2.2 線性化建模 本節(jié)進(jìn)一步介紹如何根據(jù)前文所得的凸剖分結(jié)果實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜限制區(qū)的MILP建模。為簡(jiǎn)化表達(dá)，首先定義NN為不大于N的正整數(shù)集合，其中N為任意正整數(shù)。設(shè)經(jīng)過(guò)凸剖分后，Asafe被剖分為凸多邊形集合根據(jù) Acx，限制區(qū)約束（4）可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

式中∨為邏輯“或”運(yùn)算符號(hào)。

i的總邊數(shù)。根據(jù)凸優(yōu)化理論，凸多邊形可以表示成以其各邊為界限的半平面的交集[14]，因此Acxi可轉(zhuǎn)化為下式：

式中：ai，j為 Acxi邊j的外法向量；bi，j為使上式成立的常數(shù)項(xiàng)。

根據(jù)式（6），式（5）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

上式中右側(cè)部分為典型的析取式結(jié)構(gòu)，可有效被析取規(guī)劃方法處理[15-16]。因此進(jìn)一步引入析取規(guī)劃建模方法對(duì)該析取式進(jìn)行線性化建模。其中析取式是指由邏輯“或”（OR）運(yùn)算符號(hào)∨連接的若干不等式或等式的關(guān)系結(jié)構(gòu)。析取規(guī)劃方法是研究如何求解析取式約束的通用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。通過(guò)引入整數(shù)變量，將析取式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為求解器可以求解的合取式結(jié)構(gòu)是析取規(guī)劃中最常用的處理方式。其中合取式是指由邏輯“與”連接的若干不等式或等式結(jié)構(gòu)。析取規(guī)劃中對(duì)析取式轉(zhuǎn)化方法主要分為Big-M（BM）法[17-18]和凸包法兩種。其中BM法引入變量相對(duì)較少，計(jì)算效率通常較高[19]。因此本文引入BM法對(duì)式（7）進(jìn)行線性化建模。

采用BM法進(jìn)行構(gòu)建，可得：

式中：yl為 Acxl的指標(biāo)變量，如果 yl=1，式（8）中所有i≠l的約束將被BM常數(shù)松弛，僅保留i=l的約束項(xiàng)，此時(shí)為BM常數(shù)。式（8）現(xiàn)代求解器求解MILP問(wèn)題通常采用分支定界或其變形方法，分支定界法首先求解原問(wèn)題的線性松弛或部分線性松弛問(wèn)題，因此其線性松弛問(wèn)題的可行域與原問(wèn)題越接近，越有利于問(wèn)題的求解。顯然，較大的BM常數(shù)會(huì)導(dǎo)致其線性松弛問(wèn)題可行域過(guò)大，從而降低分支定界算法的求解效率。因此，在滿(mǎn)足原問(wèn)題結(jié)構(gòu)的前提下，選擇盡量小的BM常數(shù)有利于進(jìn)一步提高算法的求解效率?；谝陨希疚腂M常數(shù)取值方法如下：

該取值的可行性驗(yàn)證如下：如果 yl′=1，則式（8）中滿(mǎn)足i=l′的約束組合等價(jià)于式（6），即對(duì)于式（8）中i≠l′的式子，將式（11）帶入其右手側(cè)常數(shù)項(xiàng)可得：

因此，該取值方式滿(mǎn)足式（8）結(jié)構(gòu)。顯然，任何小于式（11）中的BM取值方法都有可能導(dǎo)致式（12）、式（8）的不成立，因此本文采用的BM值為該構(gòu)建方法下的最優(yōu)取值。至此，不規(guī)則限制區(qū)的線性化模型構(gòu)建完畢。

3 具有多個(gè)不規(guī)則限制區(qū)的梯級(jí)水電站群優(yōu)化調(diào)度模型

為驗(yàn)證本文提出的處理機(jī)組復(fù)雜多不規(guī)則限制區(qū)方法的有效性，以調(diào)峰任務(wù)為目標(biāo)，對(duì)梯級(jí)水電站群中多個(gè)水電站存在復(fù)雜限制區(qū)的調(diào)度任務(wù)進(jìn)行建模。

3.1 目標(biāo)函數(shù)調(diào)峰的目的是盡量使電網(wǎng)剩余負(fù)荷平緩，以減少系統(tǒng)整體峰谷差，降低火電等電源的爬坡壓力和燃料損耗。本文采用一階平均距作為目標(biāo)函數(shù)以平緩剩余負(fù)荷。

式中：r、R為電站編號(hào)和電站總數(shù)，并規(guī)定編號(hào)較小者位于上游；t、TI為調(diào)度時(shí)段編號(hào)和總時(shí)段數(shù)，本文TI設(shè)置為24；u、Ur為機(jī)組編號(hào)和電站r的機(jī)組總數(shù)目。如無(wú)特殊說(shuō)明，下文中r、t、u為下標(biāo)時(shí)，均為電站，時(shí)段及機(jī)組編號(hào)；p′r，u，t為電站r機(jī)組u在時(shí)段t的出力；Dt、D′t分別為時(shí)段t的系統(tǒng)負(fù)荷和減去水庫(kù)調(diào)峰負(fù)荷的系統(tǒng)剩余負(fù)荷；----D′為系統(tǒng)剩余負(fù)荷平均值。上述形式無(wú)法直接采用求解器求解，本文引入輔助變量δt做如下等價(jià)轉(zhuǎn)換：

3.2 常規(guī)約束常規(guī)約束指水電機(jī)組組合問(wèn)題中除了限制區(qū)約束以外的其他常見(jiàn)約束。

（1）水量平衡方程：

式中：qr，u，t表示機(jī)組開(kāi)機(jī)時(shí)段平均發(fā)電流量;為時(shí)段末庫(kù)容下限及上限值；為時(shí)段平均出庫(kù)流量下限及上限值；為開(kāi)機(jī)時(shí)段平均發(fā)電流量下限及上限值；為時(shí)段平均出力的下限和上限值。表示調(diào)度期初和末庫(kù)容是給定的。以上為機(jī)組開(kāi)機(jī)時(shí)各變量的邊界約束，而機(jī)組實(shí)際出力和實(shí)際發(fā)電流量?jī)H在開(kāi)機(jī)時(shí)需要滿(mǎn)足上述約束，關(guān)機(jī)時(shí)需要設(shè)置為0。首先定義0-1機(jī)組狀態(tài)變量yr，i，t，如果yr，i，t=1表示相應(yīng)機(jī)組處于開(kāi)機(jī)狀態(tài)，否則 yr，i，t=0。則上述情形可以描述為下列各式：

式中：q′r，u，t為機(jī)組實(shí)際時(shí)段平均發(fā)電流量。式（26）、式（28）分別表示處于開(kāi)機(jī)狀態(tài)時(shí)，機(jī)組實(shí)際發(fā)電流量（出力）等于機(jī)組開(kāi)機(jī)發(fā)電流量（出力），若處于關(guān)機(jī)狀態(tài)，這兩個(gè)約束將被松弛。式（27）、式（29）表示處于關(guān)機(jī)狀態(tài)時(shí)，機(jī)組實(shí)際發(fā)電流量和出力必須為0，若處于關(guān)機(jī)狀態(tài)這兩個(gè)約束將被松弛。

（3）機(jī)組開(kāi)停機(jī)持續(xù)時(shí)段約束：定義二元機(jī)組開(kāi)機(jī)操作變量 gr，u，t，若 gr，u，t=1表示該機(jī)組在該時(shí)段進(jìn)行開(kāi)機(jī)操作，否則 gr，u，t=0。定義機(jī)組關(guān)機(jī)整數(shù)操作變量dr，u，t，若dr，u，t=1表示該機(jī)組在該時(shí)段進(jìn)行關(guān)機(jī)操作，否則dr，u，t=0。則機(jī)組開(kāi)停機(jī)約束可表示為：

式中TGr，u、TDr，u分別為相應(yīng)機(jī)組的最小開(kāi)機(jī)和關(guān)機(jī)持續(xù)時(shí)段數(shù)。

（4）電站出庫(kù)約束：

（5）凈水頭相關(guān)約束：本節(jié)介紹與凈水頭計(jì)算相關(guān)的約束。

（6）機(jī)組動(dòng)力函數(shù)約束：

式中φr，u為機(jī)組動(dòng)力性能函數(shù)。

3.3 限制區(qū)約束

3.4 常規(guī)約束構(gòu)建方法常規(guī)約束中式（35）—式（37）為一維非凸非線性曲線約束，式（39）為二維非凸非線性曲面約束。這兩類(lèi)約束無(wú)法直接利用求解器求解，需要進(jìn)行線性化處理。而這兩類(lèi)約束線性化已有大量成熟方法，本文對(duì)于一維非線性約束及二維非線性約束均采用文獻(xiàn)[8]中所述方法，在此不再贅述。

4 應(yīng)用實(shí)例

為驗(yàn)證本文所提方法的合理與有效性，選用中國(guó)西南地區(qū)W流域干流梯級(jí)水庫(kù)系統(tǒng)中包含復(fù)雜不規(guī)則限制區(qū)的高水頭巨型水庫(kù)A和水庫(kù)B作為重點(diǎn)研究對(duì)象。W流域梯級(jí)水庫(kù)系統(tǒng)總裝機(jī)達(dá)8 GW，最高水頭達(dá)到200 m，是我國(guó)的十三大水電基地之一。水庫(kù)A和水庫(kù)B是流域中總裝機(jī)最大的兩座高水頭巨型水庫(kù)。其中水庫(kù)A位于上游，調(diào)節(jié)性能為季調(diào)節(jié)，共包含5臺(tái)機(jī)組，總裝機(jī)達(dá)1250 MW，最高水頭為140 m。水庫(kù)B位于梯級(jí)系統(tǒng)的下游，為多年調(diào)節(jié)水庫(kù)，共包含5臺(tái)機(jī)組，總裝機(jī)達(dá)到3000 MW，最高水頭達(dá)200 m。其中水庫(kù)A所有機(jī)組，水庫(kù)B中除4#機(jī)組外其他機(jī)組均含有大范圍不規(guī)則限制區(qū)。選取某年7、8、10、11月份某典型日實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行一日24點(diǎn)模擬計(jì)算，其中7、8月份方案作為汛期代表，10、11月份方案作為枯期代表。所有方案的最小開(kāi)停機(jī)約束均為4 h。

表1 方案主要參數(shù)

各方案其他主要參數(shù)見(jiàn)表1。為進(jìn)一步降低搜索空間提高求解精度和效率，表1中凈水頭范圍采用凈水頭動(dòng)態(tài)設(shè)置方式確定，具體方法如下：

本文算法及模型構(gòu)建均采用Python3.6語(yǔ)言編寫(xiě)，程序運(yùn)行的操作系統(tǒng)為Ubuntu16.4虛擬機(jī)，硬件配置為Inte（lR）Xeon（R）CPU E7-4850 v3@2.20GHz 96 logic CPU，32G RAM，并調(diào)用Gurobi8.1求解器分支定界算法進(jìn)行求解，凸剖分涉及的計(jì)算幾何相關(guān)基礎(chǔ)算法采用Shapely[20]和PolyPartition[21]等開(kāi)源庫(kù)中的相關(guān)算法。模型中對(duì)常規(guī)非線性約束進(jìn)行線性化時(shí)，尾水位泄量約束、機(jī)組性能曲線約束各變量方向分段數(shù)設(shè)置3，水頭損失曲線分段數(shù)為4。對(duì)于巨型水庫(kù)，其一日內(nèi)的水位變幅相對(duì)較小，因此本文僅在始末水位上下1m的范圍內(nèi)進(jìn)行離散，分段數(shù)設(shè)置為1。設(shè)置算法的停止準(zhǔn)則為運(yùn)行時(shí)間達(dá)到1800 s或gap值達(dá)到0.02。其中g(shù)ap值指當(dāng)前最優(yōu)可行解和最優(yōu)值下限的相對(duì)差值，gap值是描述當(dāng)前解最優(yōu)性的指標(biāo)，gap值越小說(shuō)明當(dāng)前值與理論上的全局最優(yōu)值越接近。

4.1 凸剖分結(jié)果分析圖4為水庫(kù)A及水庫(kù)B各機(jī)組的安全運(yùn)行區(qū)及其凸剖分結(jié)果示意圖。值得注意的是，采用動(dòng)態(tài)凈水頭區(qū)間設(shè)置方法后，其安全運(yùn)行區(qū)會(huì)隨著凈水頭搜索區(qū)間的改變而改變。搜索區(qū)間越小，相應(yīng)安全運(yùn)行區(qū)越小，因此方案計(jì)算過(guò)程中采用的安全運(yùn)行區(qū)要小于圖4所示的安全運(yùn)行區(qū)。不失一般性，本節(jié)僅給出在設(shè)計(jì)最大凈水頭和最小凈水頭之間的安全區(qū)的剖分結(jié)果圖?？梢钥闯?，安全運(yùn)行區(qū)呈現(xiàn)出了高度不規(guī)則甚至有洞等特性。其中水庫(kù)A中1#—3#機(jī)組，水庫(kù)B中1#—3#及5#機(jī)組存在不止一個(gè)不規(guī)則限制區(qū)，此時(shí)安全運(yùn)行區(qū)的不規(guī)則性更加顯著。水庫(kù)B的1#—3#及5#機(jī)組在多限制區(qū)影響下，呈現(xiàn)出有洞的特性。水庫(kù)A中4#機(jī)組在水頭位于[112，129]時(shí)，存在一塊規(guī)則限制區(qū)，但在更大的區(qū)域內(nèi)，安全運(yùn)行區(qū)仍然具有不規(guī)則性，以往研究往往顯性或隱性假設(shè)機(jī)組運(yùn)行不會(huì)超出該規(guī)則限制區(qū)的水頭范圍，這在大多數(shù)情況是成立的，但在某些時(shí)段機(jī)組仍有可能在超出規(guī)則限制區(qū)運(yùn)行水頭范圍內(nèi)運(yùn)行，那么針對(duì)規(guī)則限制區(qū)的建模不再適用。水庫(kù)B的4#機(jī)組不包含限制區(qū)，因此其運(yùn)行區(qū)為完整的一塊矩形區(qū)域。從剖分結(jié)果看，在離散、有洞、多不規(guī)則限制區(qū)、部分規(guī)則限制區(qū)影響下，算法均可以有效將安全運(yùn)行區(qū)凸剖分為若干互不重疊的凸多邊形，這體現(xiàn)出凸剖分算法的通用性。

圖4 水庫(kù)安全運(yùn)行區(qū)及其凸剖分結(jié)果

4.2 計(jì)算結(jié)果及調(diào)峰效果分析各月份方案計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。從表中可以看出，汛期方案整體耗水量和發(fā)電量多于枯期方案。從變量及約束數(shù)量看，4個(gè)方案中連續(xù)變量均為3599個(gè)。不同方案之間離散變量個(gè)數(shù)及約束個(gè)數(shù)不同，這是由于采用了動(dòng)態(tài)凈水頭搜索區(qū)間后，安全運(yùn)行區(qū)也會(huì)動(dòng)態(tài)的隨之改變，從而導(dǎo)致安全區(qū)剖分結(jié)果及線性化結(jié)果的不同。從結(jié)果gap值及計(jì)算時(shí)間看，4個(gè)典型方案均在給定時(shí)間內(nèi)求出了近似最優(yōu)解，其中汛期方案的gap值達(dá)到0.02，枯期方案中10、11月份的gap值也達(dá)到0.04和0.05。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，對(duì)求解時(shí)間敏感的場(chǎng)景下，可以通過(guò)降低最大求解時(shí)間的方式或提高gap限制值的方式，減少總計(jì)算時(shí)間。相應(yīng)的，對(duì)結(jié)果最優(yōu)性要求較高的場(chǎng)景，則可以通過(guò)增加最大求解時(shí)間及進(jìn)一步降低gap的方式，以期得到更優(yōu)的解。

表2 各月份方案計(jì)算結(jié)果

從圖5中直觀看出，4個(gè)方案均達(dá)到較為顯著的削峰效果。水庫(kù)A和水庫(kù)B的發(fā)電過(guò)程也較好響應(yīng)了調(diào)峰需求。進(jìn)一步的，各方案結(jié)果的具體調(diào)峰指標(biāo)值如表3所示。表中表示原負(fù)荷的平均爬坡，表示剩余負(fù)荷的平均爬坡。這兩個(gè)值能夠體現(xiàn)負(fù)荷過(guò)程的整體光滑程度，其越小則認(rèn)為越平滑，也越有利于火電運(yùn)行。表示平均爬坡的減少比例。從表3中可以看出，汛期兩方案的峰谷差減少比例分別達(dá)到0.65和0.70，平均爬坡減少比例也分別達(dá)到0.54和0.63。枯期兩方案由于整體發(fā)電量較少，調(diào)峰效果相較汛期方案相對(duì)較差?？萜趦煞桨阜骞炔钕鄬?duì)減少比例為0.24和0.35，平均爬坡減少比例也達(dá)到了0.11和0.35。由此可以看出，本文的調(diào)峰模型可以有效削減峰谷差，使調(diào)峰結(jié)果更加平緩。

圖5 各方案調(diào)峰效果

表3 各方案結(jié)果調(diào)峰指標(biāo)值

4.3 限制區(qū)規(guī)避效果分析本節(jié)分析本文所提模型計(jì)算結(jié)果對(duì)限制區(qū)的規(guī)避效果，并與常規(guī)計(jì)算模型進(jìn)行對(duì)比。其中常規(guī)計(jì)算模型指不考慮限制區(qū)約束的短期調(diào)峰模型。如圖6、圖7所示，本節(jié)分別選擇8月份和10月份方案作為汛枯期代表進(jìn)行分析。圖中本文模型限制區(qū)指本文模型計(jì)算的運(yùn)行過(guò)程中各時(shí)段機(jī)組平均凈水頭對(duì)應(yīng)的出力限制區(qū)，常規(guī)模型限制區(qū)同理可得。從圖6中可以看出，常規(guī)模型由于沒(méi)有考慮限制區(qū)約束，在水庫(kù)A的3#機(jī)組，水庫(kù)B的2#和5#機(jī)組均出現(xiàn)落入限制區(qū)的情況，從而對(duì)電廠及電網(wǎng)的安全造成威脅。而本文模型在各個(gè)時(shí)段均避開(kāi)限制區(qū)。在汛期電網(wǎng)用電高峰時(shí)刻，各機(jī)組也以接近裝機(jī)容量的狀態(tài)進(jìn)行發(fā)電，以滿(mǎn)足電網(wǎng)的調(diào)峰需求。對(duì)于枯期10月份方案，從圖7可以看出，常規(guī)模型在水庫(kù)A的2#、3#機(jī)組，水庫(kù)B的1#、2#、5#機(jī)組出現(xiàn)了長(zhǎng)時(shí)段運(yùn)行在限制區(qū)的情況。本文模型計(jì)算結(jié)果均滿(mǎn)足限制區(qū)約束，保證了電站和電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。綜合對(duì)比圖6和圖7的出力限制區(qū)過(guò)程可以看出，在不同運(yùn)行條件，甚至同一日內(nèi)出力限制區(qū)都發(fā)生劇烈變化，傳統(tǒng)規(guī)則限制區(qū)考慮方式不再適用，對(duì)其的簡(jiǎn)化也勢(shì)必造成誤差從而增加落入限制區(qū)的風(fēng)險(xiǎn)。綜上，本文所提模型可以有效考慮水電機(jī)組復(fù)雜限制區(qū)約束，在保證電廠電網(wǎng)安全運(yùn)行的前提下，充分發(fā)揮水電的調(diào)峰能力。

圖6 8月份方案本文模型和常規(guī)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖7 10月份方案本文模型和常規(guī)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

針對(duì)制約影響我國(guó)西南地區(qū)水電安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的高水頭巨型機(jī)組復(fù)雜多不規(guī)則限制區(qū)瓶頸問(wèn)題，本文提出了自動(dòng)解析處理機(jī)組復(fù)雜限制區(qū)的建模優(yōu)化方法，該方法結(jié)合了計(jì)算幾何凸剖分理論、凸優(yōu)化理論、析取規(guī)劃方法及MILP數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，并通過(guò)西南某干流梯級(jí)水電站群實(shí)際資料進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果展現(xiàn)了方法的有效性。由于所提方法不需要對(duì)復(fù)雜不規(guī)則限制區(qū)進(jìn)行人工預(yù)處理，完全根據(jù)限制區(qū)的數(shù)學(xué)定義實(shí)現(xiàn)自動(dòng)剖分，達(dá)到了自動(dòng)建模與求解的效果。因此，解決了區(qū)域、省級(jí)電網(wǎng)大規(guī)模水電系統(tǒng)復(fù)雜不規(guī)則限制區(qū)自動(dòng)優(yōu)化建模難題，這對(duì)于將來(lái)響應(yīng)電網(wǎng)差異化、自動(dòng)化調(diào)度應(yīng)用，響應(yīng)市場(chǎng)化條件下的水電出力頻繁變化的新情況，意義特別重大。