程江洲，李君豪，唐 陽，謝詩(shī)雨，王勁峰

（三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，宜昌 443002）

電池的荷電狀態(tài)SOC對(duì)于鋰電池的能量管理，防止鋰電池過充電和過放電，改善電池壽命和制定控制策略有一定的影響。估計(jì)鋰電池SOC的方法主要有：放電法[1-2]、負(fù)載電壓法、安時(shí)積分法、開路電壓法、內(nèi)阻法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]和卡爾曼濾波法等[5-6]。其中，放電法、開路電壓法、安時(shí)積分法及內(nèi)阻法的估算結(jié)果誤差較大；開路電壓法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法實(shí)現(xiàn)的條件較為苛刻。

針對(duì)估算誤差較大這一重大缺陷，學(xué)者們提出結(jié)合安時(shí)法與EKF算法[7]估算鋰電池的SOC。EKF采用泰勒級(jí)數(shù)展開方法求解系統(tǒng)線性方程，將系統(tǒng)變?yōu)榫€性系統(tǒng)并在線性系統(tǒng)中估算當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)。在對(duì)方程線性化處理時(shí)，通常只保留非線性函數(shù)的一階項(xiàng)，并除去其二階項(xiàng)及后續(xù)項(xiàng)。在鋰電池系統(tǒng)采用EKF算法估算SOC時(shí)，由于鋰電池系統(tǒng)為強(qiáng)非線性系統(tǒng)，被忽略的二階項(xiàng)及后續(xù)項(xiàng)會(huì)影響估算結(jié)果，導(dǎo)致估算SOC值發(fā)散，使得估算SOC遠(yuǎn)偏離于真實(shí)SOC。

為提高EKF算法的穩(wěn)定性和精度，在此改進(jìn)了EKF算法，并在MatLab/Simulink上進(jìn)行模型仿真，結(jié)果證明改進(jìn)是有效的。

1 鋰電池SOC估算原理

放電法采用恒流放電，工作電流和時(shí)間的乘積即為鋰電池荷電狀態(tài)。它是一種精度較高的SOC估算方法，但需要大量時(shí)間來獲取樣本，以及需要切斷正在工作的電池來試驗(yàn)，無法一邊試驗(yàn)一邊工作。

開路電壓法[8]精確測(cè)量開路電壓OCV（open circuit voltage），并根據(jù)OCV與SOC之間存在的函數(shù)聯(lián)系來估算SOC。該方法較放電實(shí)驗(yàn)法更準(zhǔn)確，但只能在鋰電池停止工作時(shí)進(jìn)行測(cè)量。

內(nèi)阻法[9-10]是用于測(cè)量鋰電池內(nèi)阻并基于測(cè)量?jī)?nèi)阻與SOC間的函數(shù)關(guān)系估算SOC的方法，由于內(nèi)部電阻隨電池狀態(tài)的變化而變化，因此無法精準(zhǔn)測(cè)出內(nèi)阻的具體值。若測(cè)量結(jié)果存在較大的誤差，則會(huì)導(dǎo)致估算不準(zhǔn)甚至錯(cuò)誤。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[11-12]是一種非線性特征的訓(xùn)練方法，它需要大量的數(shù)據(jù)來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)和適當(dāng)?shù)妮斎?，輸入條件更加嚴(yán)格。

安時(shí)積分法[13-14]是一種廣泛使用的鋰電池SOC測(cè)量方法，因未考慮鋰電池內(nèi)部產(chǎn)生的化學(xué)反應(yīng)，且儀器采集電流也存在誤差，時(shí)間越久則誤差累積越多，會(huì)極大地影響SOC估計(jì)結(jié)果。

2 鋰電池建模

建立系統(tǒng)方程首先需建立鋰電池等效模型，目前運(yùn)用廣泛的經(jīng)典等效電路模型主要有內(nèi)阻（Rint）模型、戴維南（Thevenin）模型及PNGV模型。

在此使用二階Thevenin電路模型來模擬電池正常工作狀態(tài)。相較一階Thevenin電路，二階電路精確度更高，能更實(shí)際還原鋰電池特性；相較于三階及更高階數(shù)模型，雖精確度相差不大，但計(jì)算量遠(yuǎn)低于更高階的模型。

二階Thevenin等效電路模型如圖1所示。圖中，R0為直流內(nèi)阻；R1，R2為鋰電池電化學(xué)和濃差極化內(nèi)阻；C1，C2為鋰電池極化電容；I為放電電流；U1，U2分別為R1，R2兩端電壓；Ub為端電壓；Uoc為開路電壓。

圖1 二階戴維南等效電池模型Fig.1 Thenenin second-order equivalent circuit cell model

在二階Thevenin等效電路電池模型中，根據(jù)基本電路定律，可列出以下基本方程：

根據(jù)安時(shí)積分法，鋰電池SOC為

式中：k0為開始時(shí)間；k為截止時(shí)間；CN為額定容量；I為放電電流。

對(duì)方程（1）（2）（3）進(jìn)行離散化處理，可得

其中 τq=RqCq，q＝1，2

式中：Ts為采樣時(shí)刻；τq為RqCq網(wǎng)絡(luò)時(shí)間常數(shù)。

通過以上推導(dǎo)，并將電池SOC作為系統(tǒng)狀態(tài)量，得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

式中：ωp，k為過程噪聲，p=1，2，3；φk+1為觀測(cè)噪聲。

3 改進(jìn)的EKF估計(jì)SOC算法

傳統(tǒng)EKF算法的計(jì)算步驟如圖2所示，其主要有預(yù)測(cè)過程和校正過程。

圖2 EKF算法流程Fig.2 Flow chart of EKF algorithm

預(yù)測(cè)過程步驟 確定系統(tǒng)在k-1時(shí)的初始值，預(yù)測(cè)出系統(tǒng)在k時(shí)的值；根據(jù)初始協(xié)方差矩陣，預(yù)測(cè)出k時(shí)刻的協(xié)方差預(yù)測(cè)矩陣pk。

校正過程步驟 利用協(xié)方差預(yù)測(cè)矩陣得到系統(tǒng)濾波增益Kk；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)方程更新及誤差協(xié)方差方程更新，完成校正。

因?yàn)镋KF算法對(duì)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模效果很好，而鋰電池系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，SOC與實(shí)際容量、內(nèi)阻、溫度等很多元素都不是線性關(guān)系，從而導(dǎo)致誤差積累。因此，需對(duì)EKF算法擴(kuò)展，使其改變?yōu)楹蟹蔷€性狀態(tài)函數(shù)的狀態(tài)空間方程，使計(jì)算結(jié)果更為精確。

改進(jìn)的EKF算法，在協(xié)方差預(yù)測(cè)步驟中引入了溫度補(bǔ)償系數(shù)T0：

式中：CN（25℃，1C）為鋰電池在 25℃下，以 1C 電量放電測(cè)得的額定容量；CN（T，C）為在溫度T時(shí)電量以恒定值放電，直至達(dá)到終止電壓，整個(gè)放電過程放電容量當(dāng)作電池的相對(duì)容量。

如以鋰電池CN（25℃，1C）的容量作為參考值1，那么根據(jù)獲得的不同溫度及放電倍率下相對(duì)可用容量大小，可計(jì)算出具體條件下的容量補(bǔ)償因子結(jié)果，見表1。

表1 容量補(bǔ)償因子結(jié)果Tab.1 Results of capacity compensation factor

初始化初值x0和協(xié)方差矩陣p0；按照運(yùn)行步驟，測(cè)得輸入值完成SOC估算。改進(jìn)EKF計(jì)算步驟具體如下：

步驟1 根據(jù)系統(tǒng)在k-1時(shí)的值xk-1，計(jì)算出在k-1時(shí)預(yù)測(cè)k時(shí)的估算值xk為

根據(jù)協(xié)方差p0，求出協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)pk為

式中：Q為過程噪聲協(xié)方差矩陣。

步驟2 利用式（10）求得的溫度補(bǔ)償系數(shù)T0，對(duì)協(xié)方差預(yù)測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化，得到p′k，即

用優(yōu)化后的矩陣p′k，求出濾波增益Kk為

式中：Hk為觀測(cè)矩陣；R為測(cè)量協(xié)方差。

步驟3 進(jìn)行狀態(tài)更新和協(xié)方差更新，即

4 仿真驗(yàn)證試驗(yàn)

為驗(yàn)證改進(jìn)EKF算法的有效性，采用BTS-2002型電池測(cè)量?jī)x（如圖3所示），對(duì)容量為2800 mA·h，電壓3.7 V的18650型磷酸鐵鋰電池做采集試驗(yàn)。采用改進(jìn)的EKF算法估計(jì)SOC時(shí)，需要用到OCV與鋰電池SOC之間對(duì)應(yīng)的的函數(shù)表達(dá)式，并辨別二階Thevenin電路模型模型參數(shù)。

圖3 BTS-2002型電池測(cè)量?jī)xFig.3 BTS-2002 battery measuring instrument

首先確定OCV與SOC之間的函數(shù)表達(dá)式，在常溫25℃下進(jìn)行放電試驗(yàn)，電量為1C，測(cè)試電壓為2.75～3.70 V，獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)[11]所提出的方法，準(zhǔn)確得到SOC與OCV一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，并利用MatLab的數(shù)據(jù)擬合功能，求出函數(shù)表達(dá)式。SOC與OCV的關(guān)系如圖4所示。

OCV與SOC的函數(shù)關(guān)系（Voc-Sc）為

試驗(yàn)用最小二乘法辨別二階Thevenin等效電池的參數(shù) R0，R1和 C1，C2，并隨時(shí)間不斷變化、更新，在MatLab/Simulink中建立等效電池仿真模型。仿真的初始條件為

圖4 OCV與SOC的關(guān)系Fig.4 Relationship between OCV and SOC

以試驗(yàn)獲得的電流和電壓數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，導(dǎo)入至MatLab/Simulink鋰電池仿真模型內(nèi)。鋰電池SOC MatLab/Simulink仿真模塊如圖5所示。

圖5中，xk為狀態(tài)更新值，pk為估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣，誤差協(xié)方差矩陣為系統(tǒng)計(jì)算的偏差程度，當(dāng)計(jì)算t時(shí)刻的系統(tǒng)預(yù)測(cè)值時(shí)，通過系統(tǒng)協(xié)方差矩陣計(jì)算卡爾曼濾波增益Kk。協(xié)方差矩陣與預(yù)測(cè)精度呈線性關(guān)系，協(xié)方差矩陣越小，精度越高；反之，則精度越低。

圖5 鋰電池SOC MatLab/Simulink仿真模塊Fig.5 Lithium battery SOC MatLab/Simulink simulation module

改進(jìn)EKF算法用于估算鋰電池SOC的仿真驗(yàn)證如圖6所示。該試驗(yàn)通過設(shè)置遠(yuǎn)離真實(shí)值的隨機(jī)值，測(cè)試本文改進(jìn)算法的靈敏度。設(shè)置其隨機(jī)初始值為72%Sc，經(jīng)過短時(shí)間的迭代估算，得到SOC的測(cè)量值。自0時(shí)刻至3750 s時(shí)刻，鋰電池SOC仿真真實(shí)值從1減小到0，測(cè)量值經(jīng)算法測(cè)量和迭代后逐漸與真實(shí)值靠近，并與真實(shí)值曲線重合，在真實(shí)值范圍內(nèi)以極小的誤差波動(dòng)。仿真模型驗(yàn)證了改進(jìn)算法靈敏度與精度都具有很高的可靠性。

圖6 改進(jìn)EKF估算的鋰電池SOCFig.6 Improved EKF estimation of lithium battery SOC

模型的誤差及誤差率曲線如圖7所示。由圖7a可見，在初始時(shí)，經(jīng)快速迭代，誤差值迅速減小，并且隨著改進(jìn)EKF的不斷計(jì)算，誤差逐漸減小。由圖7b可見，由于初始值設(shè)置的誤差較大，初始的誤差率也大；經(jīng)過短時(shí)間迭代后，SOC逐漸接近真實(shí)值，誤差率也逐漸變小，在2%誤差率范圍內(nèi)波動(dòng)。通過估算系統(tǒng)可以得到很高的精準(zhǔn)度。

圖7 仿真誤差及誤差率的曲線Fig.7 Curve of simulation error value and error rate

5 結(jié)語

通過建立二階Thevenin等效電路模型，通過測(cè)得鋰電池不同容量所對(duì)應(yīng)開路電壓OCV值，得到OCV與SOC對(duì)應(yīng)函數(shù)，使得模型估算更精確；使用MatLab/Simulink軟件，建立二階Thevenin等效電池模型，導(dǎo)入試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，精確估計(jì)SOC。通過放電情況下實(shí)際值與測(cè)量值的對(duì)比，本文模型誤差較小，保持在2.10%誤差范圍內(nèi)。因此，本文模型具有較高精確度，可適用于實(shí)際鋰電池管理系統(tǒng)。