梁 勇，張友安，劉京茂

（1. 海軍航空大學(xué)，煙臺(tái)，264001；2. 煙臺(tái)南山學(xué)院電氣與電子工程系，煙臺(tái)，265713； 3. 山東南山國(guó)際飛行有限公司，煙臺(tái)，265713）

0 引 言

多彈協(xié)同控制是未來(lái)導(dǎo)彈發(fā)展的必然趨勢(shì)，而單個(gè)導(dǎo)彈的精確時(shí)間和角度控制又是實(shí)現(xiàn)多彈協(xié)同的基礎(chǔ)。航路規(guī)劃技術(shù)作為提高導(dǎo)彈作戰(zhàn)能力的重要舉措，已開(kāi)始應(yīng)用于導(dǎo)彈時(shí)間與角度控制[1～6]。文獻(xiàn)[1]、 文獻(xiàn)[2]采用Dubins 路徑實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)在指定時(shí)刻以指定的角度到達(dá)指定地點(diǎn)進(jìn)行空中加油，無(wú)人機(jī)同時(shí)到達(dá)是在速度控制的基礎(chǔ)上進(jìn)行。文獻(xiàn)[3]給出多無(wú)人機(jī)協(xié)同路徑規(guī)劃的方法，它的任務(wù)目標(biāo)是為了無(wú)人機(jī)同時(shí)以安全路徑到達(dá)，并使無(wú)人機(jī)滿足初始角度約束及終端角度約束，無(wú)人機(jī)同時(shí)到達(dá)是由相同的路徑長(zhǎng)度來(lái)保證。文獻(xiàn)[4]中將此方法推廣到三維空間。這種方法同樣假定飛行器速度恒定。文獻(xiàn)[5]提出了雙圓弧+機(jī)動(dòng)飛行的多導(dǎo)彈攻擊時(shí)間與攻擊角度協(xié)同制導(dǎo)律。采用雙圓弧原理將導(dǎo)彈導(dǎo)引到預(yù)定的攻擊角度上；利用機(jī)動(dòng)飛行實(shí)現(xiàn)時(shí)間控制。文獻(xiàn)[6]提出了最短路徑+直線機(jī)動(dòng)的方法。文獻(xiàn)[7]提出了一種在Dubins 路徑的在線快速航路規(guī)劃方法。但上述方法均基于飛行器速度或其變化規(guī)律已知或可控前提條件下。針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]基于預(yù)測(cè)碰撞點(diǎn)設(shè)計(jì)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法具有一定參考價(jià)值，但在大前置角時(shí)精度不高； 文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]雖然提出了在大前置角情況下的剩余時(shí)間估計(jì)方法，但又假設(shè)導(dǎo)彈飛行速度大小為已知常值。文獻(xiàn)[11]在迭代求解的基礎(chǔ)上，提出了分段預(yù)測(cè)的方法，但主要用于解決末制導(dǎo)剩余時(shí)間估計(jì)問(wèn)題。

為此，本文將分段解析迭代的導(dǎo)彈速度預(yù)測(cè)與Dubins 在線航路規(guī)劃相結(jié)合，提出了解決速度變化規(guī)律未知條件下導(dǎo)彈角度和時(shí)間控制問(wèn)題的新方法。

1 Dubins 路徑規(guī)劃的基本思路

假設(shè)n 枚導(dǎo)彈以不同角度同時(shí)攻擊同一目標(biāo)，如圖 1 所示，其中每枚導(dǎo)彈的彈目距離和初始航向角都不相同，速度也不相同且不可控，要求同時(shí)擊中目標(biāo)。采用Dubins 路徑規(guī)劃解決這一問(wèn)題的基本思路是：一方面通過(guò)Dubins 路徑規(guī)劃實(shí)現(xiàn)角度控制；另一方面當(dāng)飛行速度恒定或變化規(guī)律已知時(shí)，可根據(jù)式（1），將時(shí)間約束轉(zhuǎn)化為航程約束，通過(guò)微調(diào)轉(zhuǎn)彎半徑實(shí)現(xiàn)精確時(shí)間控制。

式中 L(t) 為所求的剩余航程；V (t) 為飛行速度變化規(guī)律； tf為設(shè)定的攻擊時(shí)間；t 為當(dāng)前時(shí)間。

而在導(dǎo)彈速度不可控且變化規(guī)律未知的情況下，時(shí)間控制的關(guān)鍵是如何準(zhǔn)確實(shí)時(shí)估計(jì)導(dǎo)彈速度 ( )V t ，即對(duì)導(dǎo)彈速度變化規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)化建模，并將其轉(zhuǎn)化為航程，從而為在線實(shí)時(shí)規(guī)劃航路提供依據(jù)。

圖1 導(dǎo)彈同時(shí)攻擊示意 Fig.1 Sketch Map of Salvo Attack

2 速度變化規(guī)律未知條件下的速度預(yù)測(cè)方法

導(dǎo)彈速度預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是導(dǎo)彈速度方程，如式（2）所示：

式中md( t )為導(dǎo)彈質(zhì)量，md( t )=M0? μt，其中，M0為導(dǎo)彈的初始質(zhì)量，μ為燃料的消耗率； P (t)為推力；α為攻角；β 為側(cè)滑角；ρV2為動(dòng)壓；ρ 為海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣密度；S 為參考面積； V (t)為飛行速度；Cx為阻力系數(shù)，考慮到水平飛行是反艦導(dǎo)彈的典型飛行狀態(tài)，因此這里沒(méi)有考慮重力對(duì)速度的影響。

當(dāng)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方向上的推力與阻力近似平衡時(shí)，V˙( t ) ≈0，整個(gè)導(dǎo)彈飛行過(guò)程有多個(gè)近似平衡狀態(tài)，各近似平衡狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換可看作線性變化，即加速度 V˙ ( t)恒定。因此可將航程分割成若干段，并假設(shè)每一段內(nèi)導(dǎo)彈的速度按照勻加速或者勻減速規(guī)律變化，由此求出每一段內(nèi)的速度變化規(guī)律?？紤]到該速度預(yù)測(cè)用于在線航路規(guī)劃中對(duì)于剩余航路的預(yù)測(cè)，因此隨著剩余飛行時(shí)間的減少，對(duì) V (t)以及剩余航程L 的預(yù)測(cè)將越來(lái)越準(zhǔn)確。

具體預(yù)測(cè)方法如下：

a）設(shè)速度預(yù)測(cè)時(shí)間段為[ t0,td]，將該時(shí)間段劃分為若干長(zhǎng)度為? tk的時(shí)間段，給定初始速度V? ( t0)和加速度V˙?˙ ( t0)。

b）tk時(shí)刻，由式（3）計(jì)算平飛攻角α?ph，由式（4）計(jì)算β?：

式中cyα為升力系數(shù)對(duì)攻角α 的偏導(dǎo)數(shù)。

式中czβ為側(cè)力系數(shù)對(duì)側(cè)滑角β 的偏導(dǎo)數(shù)；R 為側(cè)滑轉(zhuǎn)彎半徑。

f） 1k k= + ，返回c）計(jì)算至dkt t= 。（見(jiàn)a）部分,dt為速度預(yù)測(cè)時(shí)間段的結(jié)束時(shí)間）

3 利用速度預(yù)測(cè)和Dubins 航路規(guī)劃實(shí)現(xiàn)精確時(shí)間角度控制的方法

利用Dubins 航路規(guī)劃實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈時(shí)間和角度控制的方法具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，在此不再贅述。本文重點(diǎn)給出利用預(yù)測(cè)速度對(duì)上述航路規(guī)劃中所需的剩余航程進(jìn)行修正的方法。在整個(gè)飛行過(guò)程中，選取若干剩余航程修正點(diǎn)，具體修正方法如下:

a）設(shè)修正點(diǎn)起始時(shí)刻為 t0，根據(jù)時(shí)間約束確定 td；由彈載慣導(dǎo)獲取，剩余規(guī)劃航程按航跡形狀劃分為 Si, i=1,2, … ,n ；

c） tk時(shí)刻，由計(jì)算k 時(shí)刻經(jīng)歷航程；

考慮到導(dǎo)彈速度變化一般不會(huì)特別劇烈，因此迭代收斂會(huì)比較快。

4 仿真研究

假設(shè)導(dǎo)彈的初始坐標(biāo)為（58705m,56680m）；導(dǎo)彈初始航向角為導(dǎo)彈初始速度為 291.8 m/s。目標(biāo)靜止，坐標(biāo)為（0m,0m）。

以彈道仿真程序解算獲得的導(dǎo)彈飛行參數(shù)作為實(shí)際值，用于比較分析。速度預(yù)測(cè)所用相關(guān)參數(shù)如下：海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣密度 ρ =1.225 kg/m3，參考面積升力系數(shù)對(duì)攻角的偏導(dǎo)數(shù)1/rad，側(cè)力系數(shù)對(duì)側(cè)滑角β 的偏導(dǎo)數(shù)為重力加速度 g = 9.8m/s2。取導(dǎo)彈初始質(zhì)量為M0= 1500 kg ，燃料的消耗率為μ = 0.5 kg/s。取阻力系數(shù)（攻角和側(cè)滑角的單位為弧度），推力 P ( t )= 6500N。取容限σ = 0.1，時(shí)間控制精度要求 ttol= 0.1s， td= 360 s，修正點(diǎn)4 個(gè)，仿真步長(zhǎng)為0.01 s。

速度預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2 所示。從圖2 可以明顯看出預(yù)測(cè)誤差較大，經(jīng)過(guò)多次迭代后，預(yù)測(cè)誤差大大減小。

圖2 導(dǎo)彈的預(yù)測(cè)速度 Fig.2 Predicted Speed of the Missile

規(guī)劃路徑結(jié)果如圖3 所示，由于在整個(gè)飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈速度由于燃料消耗等原因會(huì)逐漸增大，因此導(dǎo)彈沿未經(jīng)航路修正的規(guī)劃路徑飛行造成到達(dá)時(shí)間誤差較大；而采用本文提出的方法在各個(gè)修正點(diǎn)進(jìn)行航程修正后，規(guī)劃航跡增長(zhǎng)，保證時(shí)間控制精度在0.1 s以內(nèi)。

圖3 導(dǎo)彈的規(guī)劃路徑 Fig.3 Planned Route of the Missile

各修正點(diǎn)實(shí)際剩余航程與預(yù)測(cè)剩余航程比較如表1 所示。從表1 中可看出，隨著剩余飛行時(shí)間的減少，對(duì)剩余航程L 的預(yù)測(cè)將越來(lái)越準(zhǔn)確。與原剩余航程預(yù)測(cè)精度結(jié)論吻合。由表2 可知，各修正點(diǎn)迭代次數(shù)均不超過(guò)3 次，與原迭代收斂速度分析結(jié)論吻合，因此在實(shí)際應(yīng)用中可保證航路重新規(guī)劃的實(shí)時(shí)性。

表 1 各修正點(diǎn)實(shí)際剩余航程與預(yù)測(cè)剩余航程 Table 1 Actual Remaining Range and Predicted Remaining Range of Correcting Points

表 2 各修正點(diǎn)迭代次數(shù) Table 2 Iterations of Correcting Points

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)導(dǎo)彈速度不可控且變化規(guī)律未知的情況下的時(shí)間約束向航程約束的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，提出了一種分段解析迭代的速度預(yù)測(cè)與航程修正方法。該方法采用解析與迭代相結(jié)合的方法，完成在線導(dǎo)彈速度預(yù)測(cè)，同時(shí)對(duì)Dubins 路徑規(guī)劃所需航程進(jìn)行修正。仿真結(jié)果表明，該方法在滿足約束的前提下，時(shí)間控制精度較高，且計(jì)算量可滿足實(shí)時(shí)性要求。