趙巨巖，王道榮，孟 剛，趙海燕，李宏杰

（1. 清華大學(xué)力學(xué)與機(jī)械工程系，北京，100084； 2. 北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076；試驗(yàn)物理與計(jì)算數(shù)學(xué)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100076）

0 引 言

在工程研究的實(shí)踐中[1～3]，通常是通過(guò)1:1 的試驗(yàn)來(lái)對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，但有的大型試驗(yàn)在工程實(shí)現(xiàn)方面不僅消耗大，而且實(shí)現(xiàn)真實(shí)試驗(yàn)條件比較困難，因此在工程實(shí)踐過(guò)程中通常用部分部段模型和縮比模型進(jìn)行試驗(yàn)替代，同時(shí)輔以數(shù)值仿真分析。但如何才能將模擬試驗(yàn)與真實(shí)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而有效實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)結(jié)果的預(yù)測(cè)，成為工程實(shí)踐中亟待解決的問(wèn)題，此時(shí)量綱分析[4,5]就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

在應(yīng)用中[6～9]量綱分析可以減少所要求解方程中的自變量，簡(jiǎn)化理論模型。本文針對(duì)具有雙層結(jié)構(gòu)材料的軸對(duì)稱(chēng)柱形殼體，運(yùn)用量綱分析方法，依據(jù)模型和原型基本相似的特點(diǎn)，開(kāi)展在脈沖載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，在特定條件下建立無(wú)量綱因變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)3 個(gè)不同幾何尺寸的縮比模型件對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，為研究大尺寸復(fù)雜結(jié)構(gòu) 體脈沖載荷作用下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)提供一種重要的方法。

1 物理模型

研究對(duì)象為一個(gè)雙層圓柱形殼體，兩層結(jié)構(gòu)層由材料1 和材料2 組成，兩種材料都為各向同性、理想塑性材料，滿(mǎn)足Mises 屈服準(zhǔn)則。材料1 的密度為1ρ ，楊氏模量為1E ，泊松比為1ν ，屈服應(yīng)力為1Y ，厚度為H1；材料2 的密度為2ρ ，楊氏模量為2E ，泊松比為2ν ，屈服應(yīng)力為2Y ，厚度為H2。圓柱形殼體長(zhǎng)度為L(zhǎng)、外半徑為R，如圖1 所示。殼體的任何響應(yīng)都與自身的材料特性、結(jié)構(gòu)特性、載荷的分布特征以及作用時(shí)間緊密相連，本模型只以余弦加載為研究對(duì)象，余弦加載的特點(diǎn)為殼體在180°范圍內(nèi)其外側(cè)受到沿延徑向的壓力在軸向是均勻分布的、而沿軸向θ 按半余弦分布，載荷為 ( )cosθp t，如圖2 所示。同時(shí)假設(shè)載荷在各點(diǎn)隨時(shí)間的變化規(guī)律是以如下特征而在各點(diǎn)同步加載的：其在極角 θ =0°處的壓力峰值為 p0、作用總時(shí)間為τ0、加卸載規(guī)律為等腰三角形，如圖3 所示，其數(shù)學(xué)形式如式（1）所示。

圖1 圓柱形殼上側(cè)軸向受均布載荷p 示意 Fig.1 Schematic Diagram of Iaxal Uniform Load p on the Upper Side of a Cylindrical Shell

圖2 圓柱形殼上側(cè)徑向受余弦載荷p 示意 Fig.2 Schematic Diagram of Lateral Side of Cylindrical Shell Subjected to Cosine Load p

圖3 三角形壓力脈沖載荷 Fig.3 Triangular Pressure Pulse Load

對(duì)于此種分布規(guī)律和時(shí)程特點(diǎn)的脈沖載荷，圓柱形殼上的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)只依賴(lài)于2 個(gè)參數(shù)：0p 和0τ 。這里只以研究殼體受載區(qū)域的中心點(diǎn)最大等效應(yīng)力maxσ和最大等效應(yīng)變maxε 隨外載的變化規(guī)律為例。

2 問(wèn)題求解之量綱分析

針對(duì)上述物理模型，可以確定問(wèn)題的主自變量為：殼體長(zhǎng)度 L、外徑R、厚度 H1和 H2、材料物性參數(shù)ρ1,E1,ν1,Y1和 ρ2, E2,ν2,Y2、脈沖載荷參數(shù) p0和τ0，圓柱形殼體中最大等效應(yīng)變 εmax、最大等效應(yīng)力 σmax是這些自變量的函數(shù)，即：

式中f(x)，g(x)為函數(shù)關(guān)系；用L，M，T（長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間）單位制進(jìn)行分析， 應(yīng)變 εmax為因變量，無(wú)量綱； L，R，H1，H2的量綱均為長(zhǎng)度L； ρ1， ρ2為質(zhì)量密度，量綱為ML?3；因變量 σmax和自變量 E1，E2，Y1，Y2和 p0為應(yīng)力，量綱為ML?1T?2；ν1，ν2為自變量，無(wú)量綱； τ0為自變量，量綱為T(mén) 。

式（1）和式（2）中有14 個(gè)自變量，3 個(gè)獨(dú)立的量綱，取其中任何3 個(gè)量綱彼此獨(dú)立的物理量為基本量。例如，取基本量為：圓柱形殼體半徑R、材料1的密度1ρ 和楊氏模量1E 。以上述3 個(gè)量為基本量組變換其它自變量和因變量的無(wú)量綱表達(dá)式，如下所示：

因變量為

自變量為

根據(jù)Π 定理，把有量綱量的函數(shù)關(guān)系式（2）寫(xiě)成無(wú)量綱函數(shù)，最大等效應(yīng)變maxε 和無(wú)量綱最大等效應(yīng)力表達(dá)式，如下式：

式（5）中，對(duì)無(wú)量綱因變量起作用的自變量共11 個(gè)，可分為4 類(lèi)：第1 類(lèi)是幾何相似準(zhǔn)數(shù)，反映的是對(duì)結(jié)構(gòu)幾何尺度相似要求；第2 類(lèi)是材料相似準(zhǔn)數(shù)，反映的是對(duì)結(jié)構(gòu)材料相似要求；第3 類(lèi)是加載的載荷動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)數(shù)，反映的是對(duì)加載載荷強(qiáng)度的動(dòng)力相似要求；第4 類(lèi)是以在材料中縱波波速傳過(guò)結(jié)構(gòu)特征尺寸所需的時(shí)間為基準(zhǔn)，度量加載載荷的歷時(shí)。

3 對(duì)問(wèn)題相似律的進(jìn)一步分析

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)圓柱形殼體長(zhǎng)度L 為無(wú)限大，三維響應(yīng)問(wèn)題可視為二維平面問(wèn)題，殼體長(zhǎng)度L 將不影響柱殼體中的等效應(yīng)變和等效應(yīng)力，無(wú)量綱自變量減少為10 個(gè)。

用模型試驗(yàn)來(lái)確定無(wú)量綱函數(shù)f 的具體形式必須保證模型和原型的物理相似，也就是要求模型和原型的歸一化最大等效應(yīng)變maxε 與最大等效應(yīng)力分別相等。當(dāng)模型中所有相關(guān)參數(shù)的無(wú)量綱量與原型中對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱量都相等時(shí)，通過(guò)模型試驗(yàn)所測(cè)得的歸一化最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變值就與原型里的和相等（注：下標(biāo)m 為模型，p為原型）。

根據(jù)實(shí)際作用的力學(xué)環(huán)境，對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。

a）模型與原型滿(mǎn)足幾何相似條件，即：

b）模型和原型選用相同的材料，保證材料相似條件，即：

也就是材料相似準(zhǔn)數(shù)為常數(shù)，然后就只剩下加載載荷的動(dòng)力相似準(zhǔn)數(shù)：

式（5）可簡(jiǎn)化為

如果模型和原型完全物理相似，則：

除式（10）外，還應(yīng)有表示加載持續(xù)時(shí)間相似的動(dòng)力學(xué)相似條件：

由相似條件可以得出如下結(jié)論：假設(shè)原型和模型的幾何縮比為

則式（11）可寫(xiě)為

這就是說(shuō)，在滿(mǎn)足模型和原型其它相似準(zhǔn)數(shù)都相等的條件下，當(dāng)結(jié)構(gòu)的幾何尺度縮小n 倍的同時(shí)加載載荷的時(shí)間也縮小n 倍時(shí)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)的無(wú)量綱量是完全相等的，即：

此外，如果不把加載載荷參數(shù)0p 和0τ 看做兩個(gè)獨(dú)立的量，而只是關(guān)心它們的乘積000τ=I p ,考慮式（12），則式（13）將進(jìn)一步變換成如下沖量載荷形式，即：

由式（15）可知，在模型和原型材料和幾何尺寸完全相似的情況下，要使兩者動(dòng)力學(xué)響應(yīng)形同，幾何尺寸縮比為n 時(shí)，加載的沖量也要縮比為n 倍。

4 相似準(zhǔn)則的試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證式（15）的科學(xué)性，設(shè)計(jì)了大小成幾何縮比的3 個(gè)圓柱殼體，縮比模型試驗(yàn)件材料為L(zhǎng)Y12 鋁合金，幾何尺寸比為1:1.5:2，3 個(gè)圓柱形縮比模型樣件幾何尺寸（厚度/直徑/高）分別為：2.0 mm/170 mm/200 mm/、3.0 mm/255 mm/300 mm、 4.0 mm/340 mm/400 mm，如圖4 所示。

圖4 3 個(gè)圓筒試驗(yàn)件圖示意 Fig.4 Diagram of Three Cylindrical Test Pieces

為研究在動(dòng)態(tài)加載下圓柱殼體的動(dòng)力響應(yīng)，對(duì)3 個(gè)圓筒施加如圖2 的余弦載荷，本次試驗(yàn)布置1～5的5 個(gè)測(cè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)加載強(qiáng)度峰值0°、45°、-45°、90°和135°的位置，測(cè)量應(yīng)變?yōu)榄h(huán)向應(yīng)變。在加載設(shè)計(jì)中，比沖量載荷大小按照小圓柱殼體、中圓柱殼體和大圓柱殼體順序，即：1:1.5:2。如果滿(mǎn)足相似律，那么當(dāng)加載載荷呈幾何縮比時(shí)3 個(gè)圓筒對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變值大小應(yīng)該相等。

4.2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

表1 為3 個(gè)不同圓筒殼體5 個(gè)測(cè)點(diǎn)環(huán)向最大拉伸應(yīng)變情況分析。

表1 不同殼體試驗(yàn)最大拉伸應(yīng)變數(shù)據(jù)分析 Tab.1 Analysis of Maximum Tensile Strain Data of Different Shell Tests

對(duì)測(cè)點(diǎn)1 來(lái)說(shuō)，大圓柱殼體、中圓柱殼體和小圓柱殼體按照比沖量縮比規(guī)律加載，拉伸應(yīng)變分別為2.837 kμε、2.942 kμε和3.074 kμε，平均應(yīng)變?yōu)?.951 kμε，相對(duì)于平均應(yīng)變的相對(duì)誤差分別為3.8%、0.3%和4.1%，平均相對(duì)誤差為2.7%。在誤差許可范圍內(nèi)認(rèn)為測(cè)點(diǎn)1 在3 次試驗(yàn)中的最大拉應(yīng)變值相等，驗(yàn)證了量綱分析的相似律結(jié)論。同樣的結(jié)論可以用到對(duì)測(cè)點(diǎn)2～5 的測(cè)量結(jié)果分析中。由表1 可知，除測(cè)點(diǎn)2在中圓柱殼體試驗(yàn)中平均相對(duì)誤差達(dá)到12.4%，其余各個(gè)點(diǎn)在試驗(yàn)中相對(duì)誤差對(duì)小于10%，并且大部分的相對(duì)誤差在5%附近。由于測(cè)點(diǎn)分布區(qū)域較廣，因此本次試驗(yàn)較好地驗(yàn)證了圓柱殼體在滿(mǎn)足幾何和材料相似情況下，動(dòng)態(tài)加載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有相似性的特點(diǎn)。

5 結(jié) 論

從工程實(shí)際問(wèn)題需求出發(fā)，以量綱理論為指導(dǎo)，通過(guò)建立在特定條件下無(wú)量綱因變量與無(wú)量綱自變量間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)函數(shù)依賴(lài)關(guān)系的分析研究，結(jié)論如下：

a）在模型和原型材料和幾何尺寸完全相似的情況下，當(dāng)殼體結(jié)構(gòu)只含有2 個(gè)獨(dú)立參數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱因變量只與2個(gè)加載載荷參數(shù)的無(wú)量綱自變量有關(guān)。

b）在模型和原型幾何相似、所取材料相同的條件下，當(dāng)原型到模型的幾何縮比為n 倍時(shí)，在原型材料和模型材料幾何尺寸完全相似的情況下，要使原型和模型動(dòng)力學(xué)響應(yīng)相同，當(dāng)幾何尺寸縮比為n 倍時(shí)，外載荷加載的沖量也要縮比n 倍。

c）開(kāi)展3 個(gè)不同幾何尺寸縮比試件動(dòng)態(tài)余弦加載試驗(yàn)，通過(guò)5 個(gè)測(cè)量點(diǎn)應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)的分析，結(jié)果證明理論推導(dǎo)是正確的。