球桿系統(tǒng)基于二階滑模的分級滑?？刂?/h1>
2019-12-14 01:12:48王益博
中國測試 2019年11期 關(guān)鍵詞：系統(tǒng)
于 濤，王益博，楊 昆，趙 偉
(1.遼寧工業(yè)大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001;2.北京印刷學(xué)院信息工程學(xué)院，北京 102600)
0 引 言
球桿系統(tǒng)是控制領(lǐng)域中經(jīng)典的實驗對象之一，它不僅結(jié)構(gòu)簡單，并且具有非線性、開環(huán)不穩(wěn)定和欠驅(qū)動等重要性質(zhì)，因此非常適合在實驗室中研究控制方法的設(shè)計和實現(xiàn)。鑒于復(fù)雜非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)在控制器設(shè)計和驗證上的實際困難，最新提出的控制方法可以先在球桿系統(tǒng)中進行測試，然后根據(jù)其在球桿系統(tǒng)中的控制效果來判定該控制方法的有效性。因此，球桿系統(tǒng)的控制方法研究對于非線性控制系統(tǒng)及其相關(guān)理論的研究具有十分重要的意義。
近期以來，已應(yīng)用于球桿系統(tǒng)的控制方法主要有狀態(tài)反饋控制[1]、切換控制[2]、動態(tài)面控制[3]、滑?？刂芠4]、模糊控制[5]、預(yù)測控制[6]等。球桿系統(tǒng)是一種2自由度欠驅(qū)動系統(tǒng)，欠驅(qū)動特性意味著球桿系統(tǒng)的控制問題可以借助欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法來得以解決。分級滑模控制[7-8]是實現(xiàn)欠驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)定控制的有效方法，因此可以考慮應(yīng)用分級滑模控制來實現(xiàn)球桿系統(tǒng)的有效控制。在基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂品椒╗7-8]中，由于不連續(xù)控制量顯式地出現(xiàn)在控制律中，在未建模動態(tài)和非理想切換特性的影響下，控制器會產(chǎn)生有害的抖振現(xiàn)象。連續(xù)近似化方法[9]雖然能夠抑制控制器抖振，但也會使滑模控制器喪失原有的魯棒性。
高階滑模[10]的出現(xiàn)使得構(gòu)建連續(xù)的滑?？刂破鞒蔀榭赡?，因此可以考慮借助高階滑模來實現(xiàn)無抖振的分級滑模控制。二階滑模[10]是高階滑模中最為成熟的控制方法，其中super-twisting算法[10]是目前應(yīng)用最為廣泛的二階滑模算法。對于關(guān)于滑動變量的關(guān)系度為1的受控系統(tǒng)，super-twisting算法無需積分控制量的導(dǎo)數(shù)即可得出連續(xù)的滑模控制器。文獻[11]和文獻[12]在super-twisting算法基礎(chǔ)上分別提出了不同的二階滑模算法，通過引入不同的額外連續(xù)控制項來加快滑動變量及其導(dǎo)數(shù)的收斂速度。相較于文獻[11]算法，由文獻[12]算法得出的控制律相對簡單且易于實現(xiàn)，同時推得的收斂時間估計也更為準(zhǔn)確。為此，本文采用文獻[12]提出的二階滑模算法來構(gòu)造連續(xù)的分級滑?？刂破?。
針對基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破鞯那笆霾蛔悖疚幕诙A滑模提出一種無抖振分級滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法，并基于所提方法設(shè)計了球桿系統(tǒng)的平衡控制器。在設(shè)計剛性球和連桿子系統(tǒng)的滑動變量基礎(chǔ)上，進一步將兩者結(jié)合成第二級滑動變量。本文控制器由切換控制律和第二級滑動面的等效控制律構(gòu)成，其中切換控制律由第二級滑動變量和文獻[12]提出的二階滑模算法來推得。本文控制器不僅能夠確保閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且具有較好的控制性能和很強的魯棒性。
1 球桿系統(tǒng)的動力學(xué)方程
考慮如圖1所示的無摩擦的球桿系統(tǒng)，連桿L在驅(qū)動力矩 τ的作用下繞軸心O點 轉(zhuǎn)動，剛性球Q在重力作用下沿連桿上表面滾動。剛性球在連桿L上的位置和連桿的轉(zhuǎn)角分別以r和 θ來表示。設(shè)剛性球的質(zhì)量和半徑分別為m和R，剛性球和連桿的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jm和JM。
圖1 球桿系統(tǒng)的模型
選取r和 θ作為廣義坐標(biāo)，然后借助拉格朗日動力學(xué)來推導(dǎo)球桿系統(tǒng)的動力學(xué)模型。
首先，分析球桿系統(tǒng)的動能。分別計算剛性球和連桿的動能，并忽略剛性球動能中較小的速度乘積項可得球桿系統(tǒng)的動能為
然后，計算球桿系統(tǒng)的勢能。選取軸心O點所在水平面為零勢能面，可得球桿系統(tǒng)的勢能為
其中g(shù)為重力加速度。
再將拉格朗日函數(shù)L=T-V代入拉格朗日方程，可得球桿系統(tǒng)的動力學(xué)模型為
球桿系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以進一步轉(zhuǎn)化為如下式所示的形式：
式中：
2 基于二階滑模的分級滑?？刂破?/h2>2.1 問題描述
球桿系統(tǒng)的控制目標(biāo)是通過操縱驅(qū)動力矩使得剛性球穩(wěn)定在連桿的中心位置，同時使連桿保持平衡，即使系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定在平衡點（θ=0，r=0）。根據(jù)球桿系統(tǒng)的控制目標(biāo)，設(shè)計剛性球子系統(tǒng)的滑動變量s1(t)為
其中c1＞0。
對于連桿子系統(tǒng)，設(shè)計滑動變量s2(t)為
其中c2＞0。
考慮到球桿系統(tǒng)僅有1個驅(qū)動力矩，而閉環(huán)控制系統(tǒng)要求保證第一級滑動變量s1(t)和s2(t)都趨近于0。因此，進一步將s1(t)和s2(t)組合成第二級滑動變量S(t)
其中k1＞0，k2＞0。
通過構(gòu)造球桿系統(tǒng)的第二級滑動變量，剛性球和連桿子系統(tǒng)的雙目標(biāo)控制問題能夠轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的單目標(biāo)控制問題，即通過選取適當(dāng)?shù)尿?qū)動力矩τ，使式(9)所示的滑動變量S(t)趨近于0。
2.2 控制律設(shè)計
由式(6)易知，剛性球子系統(tǒng)的等效控制律無法求得，因此文獻[7]提出的控制器結(jié)構(gòu)并不適用于球桿系統(tǒng)的分級滑模控制，即不能采用第一級各滑動面的等效控制律來構(gòu)造球桿系統(tǒng)的分級滑?？刂破?。因此，本文采用具有如下結(jié)構(gòu)形式的分級滑?？刂破?/p>
式中：τeq——第二級滑動面的等效控制律；
τsw——待確定的切換控制律。
我不知道你注意到?jīng)]有，在此次收購普洛斯的股權(quán)結(jié)構(gòu)中：萬科占比21.4%，厚樸、高瓴資本、S MG，分別持股21.3%、21.3%、21.2%，萬科雖然為第一大股東，但股份僅比第二大和第三個股東高出0.1%，其象征意味大于實際意義。萬科雖然控股，但從治理結(jié)構(gòu)看，普洛斯管理層實際說了算。這對萬科來講，可能也并非是壞事。
將式(10)和式(12)代入式(11)，可以得到
接下來，借助文獻[12]提出的二階滑模算法來推導(dǎo)控制器的切換控制律 τsw。
由式(4)，可見k2b＞0。在式(13)中，選擇如下形式的狀態(tài)反饋控制律
其中usw為新的控制量。
將式(14)代入式(13)，可以得到
再由文獻[12]提出的二階滑模算法，可以得到控制量usw為
其中 λ1＞0，λ2＞0。
其中 λ3＞0。
由式(14)和式(16)，可得控制器的切換控制律τsw為
由式(12)和式(19)，可得分級滑?？刂坡?τ為
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1：對于式(4)所示的球桿系統(tǒng)，分別按式(5)、式(7)和式(9)設(shè)計球桿系統(tǒng)的各級滑動變量，若采用式(20)所示的分級滑?？刂破?，則第二級滑動變量S(t)及其導(dǎo)數(shù)能夠在有限時間內(nèi)收斂于0。
證明：首先將控制律式(20)代入式(11)，可以得到
然后再采用文獻[12]第五章定理1的證明方法，可以證明滑動變量S(t)及其導(dǎo)數(shù)是有限時間收斂的。限于篇幅，本定理的具體證明過程以及二階滑模算法式(21)的收斂時間分析請參閱文獻[12]，本文此處不再贅述。
定理2：對于式(4)所示的球桿系統(tǒng)，分別按式(5)、式(7)和式(9)設(shè)計球桿系統(tǒng)的各級滑動變量，若采用式(20)所示的分級滑?？刂破?，則第一級滑動變量s1(t)和s2(t)漸近收斂于0。
球桿系統(tǒng)的第一級滑動變量s1(t)和s2(t)的漸近收斂性可由文獻[13]定理4.2的證明結(jié)果得出。限于篇幅，本定理的具體證明過程請參閱文獻[13]，本文此處不再贅述。
3 數(shù)值仿真實驗
為驗證本文方法的有效性，在Matlab仿真環(huán)境中進行球桿系統(tǒng)的平衡控制實驗。整個數(shù)值仿真實驗過程主要包括控制性能測試和魯棒性測試兩部分。
在仿真實驗中，按文獻[14]選取球桿系統(tǒng)的各參數(shù)：剛性球的質(zhì)量為m=0.27kg，剛性球的轉(zhuǎn)動慣量為Jm=4.32×10-5kg·m2，連桿的轉(zhuǎn)動慣量為JM=0.1402kg·m2，剛性球的半徑為R=0.02m。
結(jié)合球桿系統(tǒng)的實際裝置[14]，在仿真實驗中設(shè)置剛性球在連桿上滾動的行程 |r|≤0.4m，設(shè)定作用于連桿L的驅(qū)動力矩 |τ|≤ 3N·m。
在控制性能測試和魯棒性測試實驗中，球桿系統(tǒng)的初始狀態(tài)均設(shè)為
3.1 控制性能測試
首先，通過與基于傳統(tǒng)滑模的分級滑模控制器進行比較來測試本文控制器的控制性能。
鑒于文獻[7]提出的控制器結(jié)構(gòu)不能直接應(yīng)用于球桿系統(tǒng)，因此可先按本文式(10)方式來構(gòu)造分級滑?？刂破?，然后再按文獻[7]方法設(shè)計分級滑?？刂坡?。按上述方式可以得到基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破鳛?/p>
在控制器式(22)中，各參數(shù)的選取范圍和各滑動變量的設(shè)計均與本文控制器相同。
為使兩種分級滑模控制器均能發(fā)揮出最佳性能，采用文獻[15]方法對兩者進行優(yōu)化。在進行仿真對比時，本文控制器式(20)的各參數(shù)分別取為c1=3.0934，c2=7.858，k1=2.5543，k2=0.2788，λ1=8.1163，λ2=8.9775，λ3=1.1111。
基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破魇?22)的各參數(shù)分別取為c1=0.9323，c2=4.3321，k1=5.2257，k2=1.3368，λ1=1.192，λ2=0.595。
本文控制器的仿真實驗結(jié)果如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)分別為剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ的變化曲線，可以看出在本文控制器作用下球桿系統(tǒng)能夠快速、準(zhǔn)確地收斂至期望的平衡點，剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ收斂至0的時間分別為3.68 s和4.46 s。圖2(c)為作用于連桿L的驅(qū)動力矩 τ的變化曲線，可見本文控制器的輸出信號較為連續(xù)光滑，沒有呈現(xiàn)出明顯的抖振現(xiàn)象。仿真實驗結(jié)果表明，本文方法有效地實現(xiàn)了球桿系統(tǒng)的無抖振分級滑?？刂?。
圖2 本文控制器的仿真實驗結(jié)果
基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)的仿真實驗結(jié)果如圖3所示。由仿真實驗結(jié)果可以看出，式(22)所示控制器能夠有效實現(xiàn)球桿系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，從而再次驗證了本文所采用的分級滑模控制器結(jié)構(gòu)式(10)的合理性。由圖3(a)和圖3(b)可以看出，在控制器式(22)的作用下，剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角θ收斂至各自期望值的時間分別為5.54 s和4.62 s。由圖3(c)可以看出，基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)存在十分明顯的抖振問題。
圖3 基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)的仿真實驗結(jié)果
為量化兩種分級滑?？刂破鞯目刂菩阅?，分別定義平均剛性球位置誤差E(r)和平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)為
式中：n——采樣點總個數(shù)；
ti——第i個采樣時刻。
采用式(23)分別計算兩種分級滑?？刂破鞯钠骄鶆傂郧蛭恢谜`差E(r)和平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)，所得兩種分級滑?？刂破鞯男阅苤笜?biāo)如表1所示。
分別對比表1中兩種控制器的性能指標(biāo)E(r)和E(θ)可見，本文控制器的控制效果較好，本文控制器作用下平均剛性球位置誤差E(r)為0.017 3 m，平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)為 0.054 4 rad。此外，對比圖2和圖3中剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ的變化曲線可見，相較于基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)，本文控制器還能夠較好地抑制球桿系統(tǒng)超調(diào)。
表1 兩種分級滑?？刂破鞯男阅苤笜?biāo)
3.2 魯棒性測試
通過測試受擾條件下閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能來驗證本文控制器的魯棒性。為此，在控制性能測試實驗基礎(chǔ)上，在連桿轉(zhuǎn)角上分別添加不同類型的干擾信號。在 6～9 s 加入幅值為 0.017 5 rad 的階躍干擾，在 13～16 s加入頻率為 1.5 Hz、幅值為 0.017 5 rad的正弦干擾。魯棒性測試實驗中，本文控制器參數(shù)與控制性能測試實驗相同。
本文控制器的魯棒性測試結(jié)果如圖4所示。由圖可知，雖然閉環(huán)系統(tǒng)性能受到了外加干擾帶來的不良影響，但本文控制器還是能夠確保球桿系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且獲得了較好的控制效果。仿真實驗結(jié)果表明，本文控制器能夠有效抑制和消除外加干擾對閉環(huán)系統(tǒng)性能的不良影響，具有很強的外部干擾魯棒性。
圖4 本文控制器的魯棒性測試結(jié)果
4 結(jié)束語
針對球桿系統(tǒng)的控制問題，本文設(shè)計了一種基于二階滑模的無抖振分級滑?？刂破?。鑒于已有分級滑模控制器結(jié)構(gòu)的局限性，本文方法采用了一種通用性更好的分級滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)?；谒峥刂破鹘Y(jié)構(gòu)和球桿系統(tǒng)的第二級滑動變量，本文方法借助二階滑模算法推導(dǎo)出連續(xù)光滑的分級滑?？刂破鳌７抡鎸嶒灲Y(jié)果不僅表明了本文所提出的控制方法的有效性，并且驗證了本文控制器對于外部干擾具有很強的魯棒性。球板系統(tǒng)是球桿系統(tǒng)的二維擴展，基于本文方法進一步尋求球板系統(tǒng)控制問題的解決方案是本文下一步將要開展的主要工作。
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(1.遼寧工業(yè)大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001;2.北京印刷學(xué)院信息工程學(xué)院，北京 102600)
0 引 言
球桿系統(tǒng)是控制領(lǐng)域中經(jīng)典的實驗對象之一，它不僅結(jié)構(gòu)簡單，并且具有非線性、開環(huán)不穩(wěn)定和欠驅(qū)動等重要性質(zhì)，因此非常適合在實驗室中研究控制方法的設(shè)計和實現(xiàn)。鑒于復(fù)雜非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)在控制器設(shè)計和驗證上的實際困難，最新提出的控制方法可以先在球桿系統(tǒng)中進行測試，然后根據(jù)其在球桿系統(tǒng)中的控制效果來判定該控制方法的有效性。因此，球桿系統(tǒng)的控制方法研究對于非線性控制系統(tǒng)及其相關(guān)理論的研究具有十分重要的意義。
近期以來，已應(yīng)用于球桿系統(tǒng)的控制方法主要有狀態(tài)反饋控制[1]、切換控制[2]、動態(tài)面控制[3]、滑?？刂芠4]、模糊控制[5]、預(yù)測控制[6]等。球桿系統(tǒng)是一種2自由度欠驅(qū)動系統(tǒng)，欠驅(qū)動特性意味著球桿系統(tǒng)的控制問題可以借助欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法來得以解決。分級滑模控制[7-8]是實現(xiàn)欠驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)定控制的有效方法，因此可以考慮應(yīng)用分級滑模控制來實現(xiàn)球桿系統(tǒng)的有效控制。在基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂品椒╗7-8]中，由于不連續(xù)控制量顯式地出現(xiàn)在控制律中，在未建模動態(tài)和非理想切換特性的影響下，控制器會產(chǎn)生有害的抖振現(xiàn)象。連續(xù)近似化方法[9]雖然能夠抑制控制器抖振，但也會使滑模控制器喪失原有的魯棒性。
高階滑模[10]的出現(xiàn)使得構(gòu)建連續(xù)的滑?？刂破鞒蔀榭赡?，因此可以考慮借助高階滑模來實現(xiàn)無抖振的分級滑模控制。二階滑模[10]是高階滑模中最為成熟的控制方法，其中super-twisting算法[10]是目前應(yīng)用最為廣泛的二階滑模算法。對于關(guān)于滑動變量的關(guān)系度為1的受控系統(tǒng)，super-twisting算法無需積分控制量的導(dǎo)數(shù)即可得出連續(xù)的滑模控制器。文獻[11]和文獻[12]在super-twisting算法基礎(chǔ)上分別提出了不同的二階滑模算法，通過引入不同的額外連續(xù)控制項來加快滑動變量及其導(dǎo)數(shù)的收斂速度。相較于文獻[11]算法，由文獻[12]算法得出的控制律相對簡單且易于實現(xiàn)，同時推得的收斂時間估計也更為準(zhǔn)確。為此，本文采用文獻[12]提出的二階滑模算法來構(gòu)造連續(xù)的分級滑?？刂破?。
針對基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破鞯那笆霾蛔悖疚幕诙A滑模提出一種無抖振分級滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法，并基于所提方法設(shè)計了球桿系統(tǒng)的平衡控制器。在設(shè)計剛性球和連桿子系統(tǒng)的滑動變量基礎(chǔ)上，進一步將兩者結(jié)合成第二級滑動變量。本文控制器由切換控制律和第二級滑動面的等效控制律構(gòu)成，其中切換控制律由第二級滑動變量和文獻[12]提出的二階滑模算法來推得。本文控制器不僅能夠確保閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且具有較好的控制性能和很強的魯棒性。
1 球桿系統(tǒng)的動力學(xué)方程
考慮如圖1所示的無摩擦的球桿系統(tǒng)，連桿L在驅(qū)動力矩 τ的作用下繞軸心O點 轉(zhuǎn)動，剛性球Q在重力作用下沿連桿上表面滾動。剛性球在連桿L上的位置和連桿的轉(zhuǎn)角分別以r和 θ來表示。設(shè)剛性球的質(zhì)量和半徑分別為m和R，剛性球和連桿的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jm和JM。
圖1 球桿系統(tǒng)的模型
選取r和 θ作為廣義坐標(biāo)，然后借助拉格朗日動力學(xué)來推導(dǎo)球桿系統(tǒng)的動力學(xué)模型。
首先，分析球桿系統(tǒng)的動能。分別計算剛性球和連桿的動能，并忽略剛性球動能中較小的速度乘積項可得球桿系統(tǒng)的動能為
然后，計算球桿系統(tǒng)的勢能。選取軸心O點所在水平面為零勢能面，可得球桿系統(tǒng)的勢能為
其中g(shù)為重力加速度。
再將拉格朗日函數(shù)L=T-V代入拉格朗日方程，可得球桿系統(tǒng)的動力學(xué)模型為
球桿系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以進一步轉(zhuǎn)化為如下式所示的形式：
式中：
2 基于二階滑模的分級滑?？刂破?/h2>2.1 問題描述
球桿系統(tǒng)的控制目標(biāo)是通過操縱驅(qū)動力矩使得剛性球穩(wěn)定在連桿的中心位置，同時使連桿保持平衡，即使系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定在平衡點（θ=0，r=0）。根據(jù)球桿系統(tǒng)的控制目標(biāo)，設(shè)計剛性球子系統(tǒng)的滑動變量s1(t)為
其中c1＞0。
對于連桿子系統(tǒng)，設(shè)計滑動變量s2(t)為
其中c2＞0。
考慮到球桿系統(tǒng)僅有1個驅(qū)動力矩，而閉環(huán)控制系統(tǒng)要求保證第一級滑動變量s1(t)和s2(t)都趨近于0。因此，進一步將s1(t)和s2(t)組合成第二級滑動變量S(t)
其中k1＞0，k2＞0。
通過構(gòu)造球桿系統(tǒng)的第二級滑動變量，剛性球和連桿子系統(tǒng)的雙目標(biāo)控制問題能夠轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的單目標(biāo)控制問題，即通過選取適當(dāng)?shù)尿?qū)動力矩τ，使式(9)所示的滑動變量S(t)趨近于0。
2.2 控制律設(shè)計
由式(6)易知，剛性球子系統(tǒng)的等效控制律無法求得，因此文獻[7]提出的控制器結(jié)構(gòu)并不適用于球桿系統(tǒng)的分級滑模控制，即不能采用第一級各滑動面的等效控制律來構(gòu)造球桿系統(tǒng)的分級滑?？刂破?。因此，本文采用具有如下結(jié)構(gòu)形式的分級滑?？刂破?/p>
式中：τeq——第二級滑動面的等效控制律；
τsw——待確定的切換控制律。
我不知道你注意到?jīng)]有，在此次收購普洛斯的股權(quán)結(jié)構(gòu)中：萬科占比21.4%，厚樸、高瓴資本、S MG，分別持股21.3%、21.3%、21.2%，萬科雖然為第一大股東，但股份僅比第二大和第三個股東高出0.1%，其象征意味大于實際意義。萬科雖然控股，但從治理結(jié)構(gòu)看，普洛斯管理層實際說了算。這對萬科來講，可能也并非是壞事。
將式(10)和式(12)代入式(11)，可以得到
接下來，借助文獻[12]提出的二階滑模算法來推導(dǎo)控制器的切換控制律 τsw。
由式(4)，可見k2b＞0。在式(13)中，選擇如下形式的狀態(tài)反饋控制律
其中usw為新的控制量。
將式(14)代入式(13)，可以得到
再由文獻[12]提出的二階滑模算法，可以得到控制量usw為
其中 λ1＞0，λ2＞0。
其中 λ3＞0。
由式(14)和式(16)，可得控制器的切換控制律τsw為
由式(12)和式(19)，可得分級滑?？刂坡?τ為
2.3 穩(wěn)定性分析
定理1：對于式(4)所示的球桿系統(tǒng)，分別按式(5)、式(7)和式(9)設(shè)計球桿系統(tǒng)的各級滑動變量，若采用式(20)所示的分級滑?？刂破?，則第二級滑動變量S(t)及其導(dǎo)數(shù)能夠在有限時間內(nèi)收斂于0。
證明：首先將控制律式(20)代入式(11)，可以得到
然后再采用文獻[12]第五章定理1的證明方法，可以證明滑動變量S(t)及其導(dǎo)數(shù)是有限時間收斂的。限于篇幅，本定理的具體證明過程以及二階滑模算法式(21)的收斂時間分析請參閱文獻[12]，本文此處不再贅述。
定理2：對于式(4)所示的球桿系統(tǒng)，分別按式(5)、式(7)和式(9)設(shè)計球桿系統(tǒng)的各級滑動變量，若采用式(20)所示的分級滑?？刂破?，則第一級滑動變量s1(t)和s2(t)漸近收斂于0。
球桿系統(tǒng)的第一級滑動變量s1(t)和s2(t)的漸近收斂性可由文獻[13]定理4.2的證明結(jié)果得出。限于篇幅，本定理的具體證明過程請參閱文獻[13]，本文此處不再贅述。
3 數(shù)值仿真實驗
為驗證本文方法的有效性，在Matlab仿真環(huán)境中進行球桿系統(tǒng)的平衡控制實驗。整個數(shù)值仿真實驗過程主要包括控制性能測試和魯棒性測試兩部分。
在仿真實驗中，按文獻[14]選取球桿系統(tǒng)的各參數(shù)：剛性球的質(zhì)量為m=0.27kg，剛性球的轉(zhuǎn)動慣量為Jm=4.32×10-5kg·m2，連桿的轉(zhuǎn)動慣量為JM=0.1402kg·m2，剛性球的半徑為R=0.02m。
結(jié)合球桿系統(tǒng)的實際裝置[14]，在仿真實驗中設(shè)置剛性球在連桿上滾動的行程 |r|≤0.4m，設(shè)定作用于連桿L的驅(qū)動力矩 |τ|≤ 3N·m。
在控制性能測試和魯棒性測試實驗中，球桿系統(tǒng)的初始狀態(tài)均設(shè)為
3.1 控制性能測試
首先，通過與基于傳統(tǒng)滑模的分級滑模控制器進行比較來測試本文控制器的控制性能。
鑒于文獻[7]提出的控制器結(jié)構(gòu)不能直接應(yīng)用于球桿系統(tǒng)，因此可先按本文式(10)方式來構(gòu)造分級滑?？刂破?，然后再按文獻[7]方法設(shè)計分級滑?？刂坡?。按上述方式可以得到基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破鳛?/p>
在控制器式(22)中，各參數(shù)的選取范圍和各滑動變量的設(shè)計均與本文控制器相同。
為使兩種分級滑模控制器均能發(fā)揮出最佳性能，采用文獻[15]方法對兩者進行優(yōu)化。在進行仿真對比時，本文控制器式(20)的各參數(shù)分別取為c1=3.0934，c2=7.858，k1=2.5543，k2=0.2788，λ1=8.1163，λ2=8.9775，λ3=1.1111。
基于傳統(tǒng)滑模的分級滑?？刂破魇?22)的各參數(shù)分別取為c1=0.9323，c2=4.3321，k1=5.2257，k2=1.3368，λ1=1.192，λ2=0.595。
本文控制器的仿真實驗結(jié)果如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)分別為剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ的變化曲線，可以看出在本文控制器作用下球桿系統(tǒng)能夠快速、準(zhǔn)確地收斂至期望的平衡點，剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ收斂至0的時間分別為3.68 s和4.46 s。圖2(c)為作用于連桿L的驅(qū)動力矩 τ的變化曲線，可見本文控制器的輸出信號較為連續(xù)光滑，沒有呈現(xiàn)出明顯的抖振現(xiàn)象。仿真實驗結(jié)果表明，本文方法有效地實現(xiàn)了球桿系統(tǒng)的無抖振分級滑?？刂?。
圖2 本文控制器的仿真實驗結(jié)果
基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)的仿真實驗結(jié)果如圖3所示。由仿真實驗結(jié)果可以看出，式(22)所示控制器能夠有效實現(xiàn)球桿系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，從而再次驗證了本文所采用的分級滑模控制器結(jié)構(gòu)式(10)的合理性。由圖3(a)和圖3(b)可以看出，在控制器式(22)的作用下，剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角θ收斂至各自期望值的時間分別為5.54 s和4.62 s。由圖3(c)可以看出，基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)存在十分明顯的抖振問題。
圖3 基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)的仿真實驗結(jié)果
為量化兩種分級滑?？刂破鞯目刂菩阅?，分別定義平均剛性球位置誤差E(r)和平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)為
式中：n——采樣點總個數(shù)；
ti——第i個采樣時刻。
采用式(23)分別計算兩種分級滑?？刂破鞯钠骄鶆傂郧蛭恢谜`差E(r)和平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)，所得兩種分級滑?？刂破鞯男阅苤笜?biāo)如表1所示。
分別對比表1中兩種控制器的性能指標(biāo)E(r)和E(θ)可見，本文控制器的控制效果較好，本文控制器作用下平均剛性球位置誤差E(r)為0.017 3 m，平均連桿轉(zhuǎn)角誤差E(θ)為 0.054 4 rad。此外，對比圖2和圖3中剛性球位置r和連桿轉(zhuǎn)角 θ的變化曲線可見，相較于基于傳統(tǒng)滑模的控制器式(22)，本文控制器還能夠較好地抑制球桿系統(tǒng)超調(diào)。
表1 兩種分級滑?？刂破鞯男阅苤笜?biāo)
3.2 魯棒性測試
通過測試受擾條件下閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能來驗證本文控制器的魯棒性。為此，在控制性能測試實驗基礎(chǔ)上，在連桿轉(zhuǎn)角上分別添加不同類型的干擾信號。在 6～9 s 加入幅值為 0.017 5 rad 的階躍干擾，在 13～16 s加入頻率為 1.5 Hz、幅值為 0.017 5 rad的正弦干擾。魯棒性測試實驗中，本文控制器參數(shù)與控制性能測試實驗相同。
本文控制器的魯棒性測試結(jié)果如圖4所示。由圖可知，雖然閉環(huán)系統(tǒng)性能受到了外加干擾帶來的不良影響，但本文控制器還是能夠確保球桿系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且獲得了較好的控制效果。仿真實驗結(jié)果表明，本文控制器能夠有效抑制和消除外加干擾對閉環(huán)系統(tǒng)性能的不良影響，具有很強的外部干擾魯棒性。
圖4 本文控制器的魯棒性測試結(jié)果
4 結(jié)束語
針對球桿系統(tǒng)的控制問題，本文設(shè)計了一種基于二階滑模的無抖振分級滑?？刂破?。鑒于已有分級滑模控制器結(jié)構(gòu)的局限性，本文方法采用了一種通用性更好的分級滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)?；谒峥刂破鹘Y(jié)構(gòu)和球桿系統(tǒng)的第二級滑動變量，本文方法借助二階滑模算法推導(dǎo)出連續(xù)光滑的分級滑?？刂破鳌７抡鎸嶒灲Y(jié)果不僅表明了本文所提出的控制方法的有效性，并且驗證了本文控制器對于外部干擾具有很強的魯棒性。球板系統(tǒng)是球桿系統(tǒng)的二維擴展，基于本文方法進一步尋求球板系統(tǒng)控制問題的解決方案是本文下一步將要開展的主要工作。
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