李 蓉，張一帆,楊薇薇

1.淮南職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息與電氣工程系，安徽淮南,232001；2.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南,232001

相較于傳統(tǒng)指針式羅盤和平衡架結(jié)構(gòu)羅盤，電子羅盤(又稱數(shù)字指南針)具有能耗低、體積小、重量輕、精度高、可微型化等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于汽車、航海、無人機(jī)導(dǎo)航等領(lǐng)域[1]。電子羅盤在使用時(shí)，易受外界硬、軟磁干擾產(chǎn)生測量誤差，硬磁干擾通常會導(dǎo)致電子羅盤產(chǎn)生零點(diǎn)漂移；軟磁干擾則會導(dǎo)致隨機(jī)誤差的產(chǎn)生，硬磁干擾與軟磁干擾產(chǎn)生的誤差互相獨(dú)立。

目前對電子羅盤受到的硬、軟磁干擾產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒ㄓ泻芏?。李智、秦濤等人提出基于橢圓假設(shè)的誤差補(bǔ)償方法[2-4]，可同時(shí)對電子羅盤的硬、軟磁干擾進(jìn)行補(bǔ)償，其特點(diǎn)是精度較高，但計(jì)算量過大導(dǎo)致應(yīng)用場景有限。胡超等人提出的羅差補(bǔ)償系數(shù)法[5]只能對電子羅盤的軟磁干擾進(jìn)行補(bǔ)償，無法補(bǔ)償電子羅盤受到的硬磁干擾，應(yīng)用場景單一。Fang J提出的基于最小二乘法(Least squares,LS)的橢圓擬合的誤差補(bǔ)償方法[6]，對應(yīng)用場景的要求較為苛刻，不具有廣泛性。Bonnet S提出了標(biāo)定傳感器采集數(shù)據(jù)，利用橢球擬合對誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒╗7]，但該方法忽略了傳感器自身噪聲的影響，從而導(dǎo)致精度較低。

針對現(xiàn)有電子羅盤誤差補(bǔ)償方法中存在計(jì)算量過大、應(yīng)用場景有限、補(bǔ)償精度較低等問題，提出了一種基于最小二乘法和卡爾曼濾波算法(LS-KF)的誤差補(bǔ)償方法，分別對電子羅盤的硬、軟磁干擾誤差進(jìn)行補(bǔ)償，并結(jié)合Allan方差分析法對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定量分析。該方法可有效補(bǔ)償電子羅盤測量誤差，同時(shí)具有計(jì)算量小，應(yīng)用場景豐富的特點(diǎn)。

1 電子羅盤LS-KF誤差補(bǔ)償方法

1.1 電子羅盤的LS硬磁干擾誤差補(bǔ)償

電子羅盤在實(shí)際使用過程中會受到外部環(huán)境的硬磁干擾產(chǎn)生零點(diǎn)漂移，從而導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生?？墒褂米钚《朔▽τ泊鸥蓴_導(dǎo)致的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

(1)

(2)

式(2)中，Sx，Sy分別表示電子羅盤真實(shí)值S的X軸方向和Y軸方向的向量。

(3)

式(3)中，Ox，Oy分別表示電子羅盤零點(diǎn)漂移量O的X軸方向和Y軸方向的數(shù)值，三個變量之間的關(guān)系可由一個數(shù)學(xué)模型來表示：

(4)

在理想狀態(tài)下，電子羅盤實(shí)測數(shù)據(jù)即為真實(shí)值，沒有測量誤差存在,Ox，Oy的值為零。STS為一常數(shù)U2，是為本地磁場強(qiáng)度平方

(5)

在實(shí)際測量環(huán)境中，Ox，Oy的值不為零，因此，實(shí)測電子羅盤第i個測量值誤差

(6)

可將式(6)簡寫為：

(7)

式(7)中

(8)

式(8)中,D2為電子羅盤任意一點(diǎn)真實(shí)值Sx(i)和Sy(i)平方的和。

假設(shè)電子羅盤任意一點(diǎn)測量值的坐標(biāo)到以電子羅盤零點(diǎn)漂移量Ox、Oy的數(shù)值為坐標(biāo)點(diǎn)的距離都相等。

由式(8)可知實(shí)測電子羅盤軌跡形如以電子羅盤零點(diǎn)漂移量Ox、Oy的數(shù)值為圓心的，半徑為D的標(biāo)準(zhǔn)圓。

將測量所得n組樣本帶入(6)式中并寫成矩陣形式有

r=Y-Fβ

(9)

式(9)中:

(10)

(11)

(12)

根據(jù)最小二乘法理論有

rTr=(Y-Fβ)T(Y-Fβ)

(13)

令J=rTr，設(shè)存在β，使得J=min對β求偏導(dǎo)，則有

(14)

可得

β=(FTF)-1(FTY)

(15)

將測量數(shù)據(jù)代入式(10)(11)中，可得矩陣Y、F的值；將Y、F代入式(15)中，可進(jìn)一步求得矩陣β的值，從而可得電子羅盤零點(diǎn)漂移量Ox、Oy。

1.2 電子羅盤的KF軟磁干擾誤差補(bǔ)償

電子羅盤在實(shí)際使用過程中，受外部環(huán)境的軟磁干擾會產(chǎn)生隨機(jī)噪聲，隨機(jī)噪聲是導(dǎo)致測量誤差存在的主要原因。電子羅盤受軟磁干擾產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲屬于高斯白噪聲。

卡爾曼濾波算法可對帶有高斯白噪聲的線性系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)[8-10]，該濾波算法是目前應(yīng)用最為廣泛的一種濾波方法，在通信、導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制等領(lǐng)域都得到了較好的應(yīng)用。其基本思想是以最小均方誤差準(zhǔn)則作為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，通過遞推理論實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)未來狀態(tài)量的估計(jì)，使得估計(jì)值盡可能接近真實(shí)值?？柭鼮V波算法的數(shù)學(xué)模型如下：

(16)

式中，X(k)為k時(shí)刻電子羅盤狀態(tài)量；Z(k)為k時(shí)刻電子羅盤的測量值；假設(shè)W(k)、V(k)是互相獨(dú)立的高斯白噪聲；其協(xié)方差分別為Q、R，W(k)為輸入噪聲；V(k)為觀測噪聲；B為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。H是系統(tǒng)測量矩陣。

卡爾曼濾波具體遞推過程如下：

(1)利用系統(tǒng)k-1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)：

X(k|k-1)=BX(k-1|k-1)

(17)

式(17)中，X(k|k-1)是利用系統(tǒng)k-1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測得到的系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)，X(k-1|k-1)是系統(tǒng)k-1時(shí)刻狀態(tài)的最優(yōu)結(jié)果。

(2)更新系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣：

P(k|k-1)=BP(k-1|k-1)BT+Q

(18)

式中,P(k|k-1)是X(k|k-1)對應(yīng)的協(xié)方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應(yīng)的協(xié)方差。

(3)計(jì)算系統(tǒng)k時(shí)刻狀態(tài)的最優(yōu)估算

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(K)-HX(k|k-1))

(19)

式中，Kg為系統(tǒng)的卡爾曼增益

(20)

(4)更新系統(tǒng)k時(shí)刻下系統(tǒng)狀態(tài)的協(xié)方差

P(k|k)=(1-Kg(k)H)P(k|k-1)

(21)

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式(18)的P(k-1|k-1)。這樣，系統(tǒng)就可以通過不斷迭代的計(jì)算，更新各時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)量，從而得到系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值。

在該研究模型中，將系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣B和系統(tǒng)的測量矩陣H設(shè)置為1，同樣，將系統(tǒng)的卡爾曼增益Kg以及系統(tǒng)的協(xié)方差P的初始值也設(shè)置為1，即可進(jìn)行卡爾曼濾波。

2 基于Allan方差的誤差分析

Allan方差分析法是由David Allan[11]提出的一種基于時(shí)域的誤差分析方法，具有便于計(jì)算、易于分離等優(yōu)點(diǎn)，能夠定量地對傳感器各項(xiàng)不同的誤差進(jìn)行細(xì)致的表征和辨識[12-14]。因此本文采用Allan方差分析法對經(jīng)過LS-KF誤差補(bǔ)償前后的電子羅盤隨機(jī)誤差進(jìn)行分析，并將其作為LS-KF誤差補(bǔ)償方法的性能評價(jià)指標(biāo)。

2.1 Allan方差基本定義

樣本信號長度為N的電子羅盤采集數(shù)據(jù)，其采樣周期為T。將樣本分成L組，每組含M(MN-1/2)個樣本點(diǎn),則每組的相關(guān)時(shí)間τ=M·T，計(jì)算每一組的平均值[15]：

(22)

(23)

其中，Allan方差的平方根即為Allan標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 電子羅盤隨機(jī)噪聲的Allan方差

電子羅盤在受到外部磁場干擾的情況下，所產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲主要有量化噪聲QN、零偏不穩(wěn)定性噪聲BI;可用Allan方差分析法對這兩項(xiàng)噪聲進(jìn)行辨識分析[16-18]，各噪聲源互相獨(dú)立。量化噪聲的Allan方差為:

(24)

零偏不穩(wěn)定性噪聲的Allan方差為:

(25)

鑒于電子羅盤的量化噪聲和零偏不穩(wěn)定性噪聲互相獨(dú)立，所以電子羅盤噪聲的Allan方差分析結(jié)果如式(26)所示

(26)

(27)

(28)

由式可以求得各Allan方差的估計(jì)值

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)采集

實(shí)驗(yàn)使用HMC5883L電子羅盤采集數(shù)據(jù)，采樣時(shí)間為0.1 s，通過Arduino UNO的I2C通信總線讀取測量數(shù)據(jù)。通過串口轉(zhuǎn)接模塊將所得數(shù)據(jù)發(fā)送至筆記本，筆記本使用MATLAB接收數(shù)據(jù)并保存。數(shù)據(jù)采集環(huán)境如圖1所示。

圖1 電子羅盤數(shù)據(jù)采集環(huán)境

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.2.1 硬磁干擾誤差補(bǔ)償結(jié)果分析

圖2 實(shí)測數(shù)據(jù)軌跡與標(biāo)準(zhǔn)圓對比

假設(shè)實(shí)測電子羅盤軌跡為標(biāo)準(zhǔn)圓是基于最小二乘法對電子羅盤硬磁干擾誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那疤?，因此需要將?shí)測電子羅盤軌跡與標(biāo)準(zhǔn)圓對比。

實(shí)測電子羅盤數(shù)據(jù)軌跡與標(biāo)準(zhǔn)圓的對比如圖2所示，測算后可得，實(shí)測電子羅盤數(shù)據(jù)軌跡與標(biāo)準(zhǔn)圓最大相對誤差為4%，在誤差允許的范圍內(nèi)；因此，可使用最小二乘法對電子羅盤硬磁干擾誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

由圖3、圖4可知，補(bǔ)償后的電子羅盤數(shù)據(jù)軌跡的圓心從(-42.092 8,419.273)處轉(zhuǎn)移到了(0,0)處。結(jié)果顯示，最小二乘法可對電子羅盤硬磁干擾誤差進(jìn)行有效補(bǔ)償。

圖3 對硬磁干擾補(bǔ)償前電子羅盤數(shù)據(jù)軌跡

圖4 對硬磁干擾補(bǔ)償后電子羅盤軌跡

3.2.2 軟磁干擾補(bǔ)償結(jié)果分析

在對電子羅盤進(jìn)行硬磁干擾補(bǔ)償后，進(jìn)一步利用卡爾曼濾波對電子羅盤實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行軟磁干擾誤差補(bǔ)償。

電子羅盤x軸原始數(shù)據(jù)如圖5所示，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行測算，其均值為0.002 2，方差為1.371 7。

圖5 卡爾曼濾波前電子羅盤X軸數(shù)據(jù)

對電子羅盤x軸原始數(shù)據(jù)進(jìn)行卡爾曼濾波誤差補(bǔ)償，結(jié)果如圖6所示。對補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)進(jìn)行測算，其均值為-0.007 5，方差為0.012 9。相較于原始數(shù)據(jù)，經(jīng)由卡爾曼濾波補(bǔ)償后，電子羅盤x軸數(shù)據(jù)的均值和方差均有明顯下降。

圖6 卡爾曼濾波后電子羅盤x軸數(shù)據(jù)

使用Allan方差分析法對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算，并繪制Allan方差曲線，Allan方差曲線對比如圖7所示。

由圖7可以看出，經(jīng)由卡爾曼濾波補(bǔ)償后，電子羅盤x軸數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的Allan方差值有明顯的下降；與圖5、圖6的表現(xiàn)相符。

圖7 卡爾曼濾波前后Allan方差對比

使用最小二乘法對實(shí)驗(yàn)所得的Allan方差曲線進(jìn)行擬合，可得到各誤差項(xiàng)的值。濾波后的量化噪聲和零偏不穩(wěn)定性噪聲的Allan方差值分別由0.000 935和0.160 291，降到了0.000 161和0.035 448。經(jīng)過補(bǔ)償后量化噪聲和零偏不穩(wěn)定性噪聲分別減小了82.8%和77.9%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于LS-KF的誤差補(bǔ)償方法能對電子羅盤受硬、軟磁干擾產(chǎn)生的誤差進(jìn)行有效補(bǔ)償。

4 結(jié) 語

為對電子羅盤在實(shí)際使用過程中的硬、軟磁干擾誤差進(jìn)行補(bǔ)償，論文提出了一種基于LS-KF的誤差補(bǔ)償方法。該方法可先后對電子羅盤硬、軟磁干擾誤差進(jìn)行補(bǔ)償。同時(shí)，運(yùn)用Allan方差分析法對補(bǔ)償結(jié)果進(jìn)行定量分析。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LS-KF誤差補(bǔ)償方法可對電子羅盤硬、軟磁干擾誤差進(jìn)行有效的補(bǔ)償，使用Allan方差分析法對誤差補(bǔ)償前后電子羅盤信號進(jìn)行定量分析，可以看出各項(xiàng)隨機(jī)誤差均大幅降低。該方法可有效提高電子羅盤測量精度。