基于差分進(jìn)化電液伺服滑?？刂蒲芯?/h1>
2019-12-13 06:04:10曹昌勇
沈陽理工大學(xué)學(xué)報 2019年5期
曹昌勇，林 華，苗 芳
(1.皖西學(xué)院 機械與車輛工程學(xué)院，安徽 六安 237012；2.遼寧省計量科學(xué)研究院，沈陽 110004)
電液伺服系統(tǒng)質(zhì)量輕，響應(yīng)快[1]，已在許多場合得到應(yīng)用。同時，系統(tǒng)的參變量多，偶合性強，存在不確定的非線性因素以及干擾問題，針對這些問題，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)方面的研究。王喆等[2]提出了一種軋機兩側(cè)液壓伺服位置自抗擾同步控制方法，提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能和抗干擾能力。韓以倫等[3]利用電液伺服系統(tǒng)設(shè)計實現(xiàn)了液壓伺服張緊裝置，并利用模糊PID參數(shù)整定方法實現(xiàn)了裝置的高精度控制。李元春等[4]設(shè)計了液壓機械臂自適應(yīng)二階滑模控制律，使系統(tǒng)精確地跟蹤期望軌跡并具有較強的魯棒性。王云鵬等[5]，劉艷雄等[6]采用遺傳算法實現(xiàn)了PID控制參數(shù)的在線整定，加快了伺服缸的響應(yīng)速度，提高了控制精度。黃山云等[7]以DSP控制器為核心，設(shè)計實現(xiàn)了伺服系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制，減小了響應(yīng)的超調(diào)量，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。
差分進(jìn)化算法是一種隨機啟發(fā)式搜索算法，采用實數(shù)編碼，簡單的變異操作和一對一競爭生存策略，降低了遺傳操作的復(fù)雜性，其性能要優(yōu)于遺傳算法、粒子群算法等進(jìn)化算法?；？刂?SMC)的非線性控制表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性[8]，根據(jù)系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動模態(tài)”軌跡運動，使得控制響應(yīng)速度快、對參數(shù)的變化以及干擾不靈敏，并且具有簡單的物理實現(xiàn)。魯棒控制[9]可很好地控制系統(tǒng)的性能，在一定參數(shù)攝動下維持系統(tǒng)的某些特性。
本文分析了電液伺服系統(tǒng)控制數(shù)學(xué)模型，利用滑?？刂圃砗鸵活怟型觀測器實現(xiàn)系統(tǒng)輸出的位置跟蹤以及對位置的速度和加速度估計。通過Matlab/Simulink平臺設(shè)計實現(xiàn)控制算法的連續(xù)系統(tǒng)仿真，從而可分析控制算法的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度和控制精度。
1 電液伺服系統(tǒng)及其控制模型
1.1 伺服缸的位置傳遞函數(shù)
張鑫[10]、馮業(yè)恒[11]根據(jù)電液伺服系統(tǒng)本身的物理特性以及對外部環(huán)境的分析，將伺服閥當(dāng)作無摩擦和泄漏的四通滑閥，液壓缸也處于理想狀態(tài)，并在工作腔內(nèi)每處壓力相同，液壓油溫度和容積彈性模量均視為常數(shù)，得到伺服缸位置傳遞函數(shù)。
(1)
式中：Y為伺服缸位置傳遞函數(shù)；s為拉普拉斯算子；Kn為傳遞函數(shù)增益；a、b、c、d為s多項式系數(shù)；Kq為電液伺服閥的流量增益；Ap為液壓缸工作面積；Xv為主控制信號；Kce為總流量壓力系數(shù)；Vt：為液壓缸總?cè)莘e；βe為液壓油彈性模量；F為干擾信號；Mt為折合到活塞桿的總質(zhì)量；Be為活塞及負(fù)載的粘性阻尼系數(shù)；K為負(fù)載彈性剛度。
由傳遞函數(shù)模型可知，信號的微分獲取是控制的關(guān)鍵因素，精確地獲取信號的速度對于控制系統(tǒng)至關(guān)重要，而根據(jù)傳感器測量得到信號的速度比較困難，采用K型低增益觀測器對信號速度和加速度進(jìn)行估計是一種可行的方法。
K觀測器模型可設(shè)計為
(2)
若使A的特征值具有負(fù)實部?？墒笰的特征值全為-10，可得觀測器的k1、k2、k3為
(3)
1.2 滑模控制
運用滑?？刂茣r，首先應(yīng)建立滑模函數(shù)，取跟蹤誤差e，滑模因子c1、c2滑模因子滿足Hurwitz條件[12-13]，設(shè)計滑模函數(shù)s為
(4)
式中：x1為系統(tǒng)輸出；x1d為系統(tǒng)輸入。
滑模控制器輸入為
(5)
1.3 差分進(jìn)化算法
差分進(jìn)化算法通過群體內(nèi)個體間合作與競爭智能地優(yōu)化搜索，降低了遺傳操作的復(fù)雜性，通過多點搜索以大概率找到全局最優(yōu)解，算法的基本流程包括四個步驟。
初始群體的生成是隨機的，其中第i個個體可表示為
(6)
基本變異操作可隨機選擇3個不相同個體進(jìn)行如下計算。
hij(t+1)=xp1j(t)+F(xp2j(t)-xp3j(t))
(7)
式中：h為變異后的個體值，i≠p1≠p2≠p3；t為變異代數(shù)；F為變異因子。
為了增加群體的多樣性，設(shè)置交叉概率與交叉算法為：
(8)
式中：v為交叉后的個體值；randlij∈(0，1)；P為交叉概率，P∈(0，1)。
交叉操作后要通過評價函數(shù)確定xi是否為下一代成員，評價函數(shù)需根據(jù)具體實際建立，本文根據(jù)輸入輸出誤差e，控制器輸入u設(shè)計評價函數(shù)，并采用懲罰函數(shù)避免超調(diào)，模型如下。
(9)
式中：J為評價函數(shù)；ω1、ω2、ω3為權(quán)值。
1.4 優(yōu)化策略與分析
根據(jù)式(5)和式(6)可知c1、c2和ks是滑?？刂浦兄匾娜齻€參數(shù)。c1、c2決定了滑模函數(shù)滑模面的位置，人為設(shè)定的滑模面并非最優(yōu)滑模面，通過優(yōu)化滑模因子可得到最優(yōu)滑模面與滑模函數(shù)。收斂速率能保證系統(tǒng)指數(shù)收斂，適合解決大階躍響應(yīng)控制問題。
根據(jù)評價函數(shù)設(shè)計基于差分進(jìn)化算法的滑模優(yōu)化控制，以輸入輸出誤差，控制輸入作為優(yōu)化性能指標(biāo)，滑模因子與收斂速率作為待優(yōu)化的調(diào)節(jié)參數(shù)，控制輸入為平方項的目的是為了防止控制能量過大，對輸入輸出誤差采用懲罰功能，避免超調(diào)現(xiàn)象產(chǎn)生，懲罰項的權(quán)值要遠(yuǎn)大于控制輸入項權(quán)值，保證對超調(diào)的懲罰是足夠大的，保證控制系統(tǒng)的跟蹤精度與控制效果。
2 系統(tǒng)仿真
2.1 仿真程序結(jié)構(gòu)及其算法流程設(shè)計
仿真程序的結(jié)構(gòu)設(shè)計包括兩大模塊：滑模控制模塊和差分進(jìn)化模塊。其中滑?？刂颇K使用Matlab/Simulink連續(xù)系統(tǒng)完成仿真，得到位置、速度、加速度跟蹤信號等，將滑?？刂颇K作為差分進(jìn)化模塊的子模塊進(jìn)行調(diào)用，評價函數(shù)作為評價單元集成在差分進(jìn)化模塊中，調(diào)用評價函數(shù)得到評價數(shù)值。評價函數(shù)中集成有滑?？刂颇K，只有滑?？刂颇K仿真完成后才能得到評價函數(shù)所需的評價參數(shù)，否則不能進(jìn)行評價函數(shù)的計算。評價函數(shù)計算完成后再回到差分進(jìn)化模塊，進(jìn)入下一次進(jìn)化操作。
根據(jù)式(7)～式(10)進(jìn)行群體的差分進(jìn)化操作，在評價函數(shù)里首先對滑?？刂葡到y(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)束后會得到評價函數(shù)中需要的評價參數(shù)，根據(jù)仿真結(jié)果計算評價函數(shù)值，通過不斷地判斷評價函數(shù)值，不斷更新最優(yōu)解直到得到全局最優(yōu)解。
滑?？刂颇K是完成系統(tǒng)控制仿真的核心模塊，如圖1所示。其中Signal、MSystem_ctrl、SFG_plant、K_levant均為S-Function寫成的連續(xù)系統(tǒng)，Signal是信號生成部分，仿真生成sin(πt)正弦信號。SFG_plant是系統(tǒng)模型，K_levant是K型觀測器，用于對從系統(tǒng)模型輸出的信號進(jìn)行觀測和估計，MSystem_ctrl是控制器部分，輸入激勵信號與觀測器觀測的信號，采用式(5)建立的滑?？刂颇Ｐ蛯ο到y(tǒng)進(jìn)行控制，實驗設(shè)置仿真時間為2.5s。變量BsS用于存儲每次迭代時所需的待優(yōu)化參數(shù)；變量ut用于存儲控制輸入；變量y用于存儲輸入信號、輸出信號和觀測信號及其速度、加速度。
圖1 Simulink 滑?？刂颇Ｐ?/p>
2.2 仿真參數(shù)設(shè)置與結(jié)果分析
取定常力的線性定?？刂葡到y(tǒng)模型：a=1，b=0.4，c= 24336，d=0，Kn=15948000。根據(jù)式(3)可得k1=29.6，k2=-24048，k3=-709730。差分進(jìn)化待優(yōu)化參數(shù)設(shè)置：c1∈(5,600)，c2∈(5,600)，ks∈(20,2000)，變異因子F=1.2，交叉概率P=0.75，設(shè)置進(jìn)化代數(shù)為50，染色體大小為30個，待優(yōu)化參數(shù)為3個，根據(jù)式(10)對每一代的進(jìn)化進(jìn)行評價，最終得到最優(yōu)解。
根據(jù)仿真參數(shù)設(shè)置得到最優(yōu)函數(shù)變化情況，如圖2所示?？芍獌?yōu)化指標(biāo)在第30次迭代之前就進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)區(qū)，說明此時已經(jīng)找到了全局最優(yōu)解，30次迭代之后，優(yōu)化指標(biāo)已基本穩(wěn)定。通過圖3亦可看出，待優(yōu)化參數(shù)在30次迭代時已基本不變。
圖2 優(yōu)化指標(biāo)變化曲線
圖3 待優(yōu)化參數(shù)變化
經(jīng)過50次迭代后得到最優(yōu)解為c1=600，c2=45.931，ks=143.15，最優(yōu)指標(biāo)為J=1.4672，可見最優(yōu)指標(biāo)數(shù)值非常小，說明系統(tǒng)對輸入信號的跟蹤非常精確，通過比較跟蹤曲線和輸入信號曲線可進(jìn)一步更直觀地分析。
由于迭代在30次時已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，為保證對比的區(qū)別性，取5個不同迭代次數(shù)的跟蹤曲線，選擇第1、7、10、22、50次迭代時的跟蹤曲線，與理想的輸入曲線進(jìn)行對比，如圖4所示。
圖4 位置跟蹤曲線
由圖4可知，各迭代次數(shù)對應(yīng)的位置跟蹤曲線最終都能精確地收斂于理想位置曲線，第50次迭代跟蹤曲線在初始跟蹤時跟蹤速度較慢，當(dāng)隨著時間的推移，其跟蹤速度逐漸增大，且更快地達(dá)到理想位置。由于增加了誤差懲罰項，故每次迭代后的位置跟蹤曲線沒有發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象，均小于或等于理想曲線對應(yīng)值。
比較誤差變化曲線，分析各迭代次數(shù)對應(yīng)的誤差大小以及收斂速度，如圖5所示。根據(jù)控制輸入曲線分析控制輸入能量的大小，輸入能量越小越好，如圖6所示。根據(jù)圖5可知隨著迭代的不斷進(jìn)行，待優(yōu)化參數(shù)不斷得到優(yōu)化，位置誤差的收斂速度不斷增大；結(jié)合圖6可知控制輸入非常小，在0.001 m級別，相對誤差較小；結(jié)合圖2可得第50次迭代，即差分進(jìn)化進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，位置誤差和控制輸入達(dá)到最優(yōu)水平，此時的優(yōu)化函數(shù)J的數(shù)值最小。
圖5 誤差收斂曲線
圖6 控制輸入
使用優(yōu)化后的參數(shù)進(jìn)行速度跟蹤的分析，如圖7所示?？芍到y(tǒng)在0.3s左右既能精確跟蹤理想速度曲線，速度跟蹤曲線與速度觀測曲線幾乎完全重合，說明觀測器對系統(tǒng)輸出的觀測是非常精確的；結(jié)合圖4位置跟蹤曲線可知，優(yōu)化后的控制器具有收斂速度更快、位置誤差與控制輸入綜合性能最優(yōu)、速度跟蹤精確等特點。綜合分析可知，運用差分進(jìn)化算法并結(jié)合滑?？刂评碚?，達(dá)到了更加精確跟蹤的目的，同時又控制輸入能量保持在非常低的水平。
圖7 速度跟蹤曲線
3 結(jié)論
基于差分進(jìn)化算法和伺服系統(tǒng)滑?？刂评碚摚瑧?yīng)用于電液伺服控制。在進(jìn)行50次進(jìn)化迭代后得到最優(yōu)滑模因子與收斂率，仿真結(jié)果表明優(yōu)化后的系統(tǒng)的收斂速度更快，跟蹤精度更高，評價指標(biāo)最低。應(yīng)用差分進(jìn)化算法優(yōu)化滑模控制中的參數(shù)，可事先預(yù)知系統(tǒng)的跟蹤性能并優(yōu)化跟蹤性能，具有很好的實際工程應(yīng)用意義。
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電液伺服系統(tǒng)質(zhì)量輕，響應(yīng)快[1]，已在許多場合得到應(yīng)用。同時，系統(tǒng)的參變量多，偶合性強，存在不確定的非線性因素以及干擾問題，針對這些問題，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)方面的研究。王喆等[2]提出了一種軋機兩側(cè)液壓伺服位置自抗擾同步控制方法，提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能和抗干擾能力。韓以倫等[3]利用電液伺服系統(tǒng)設(shè)計實現(xiàn)了液壓伺服張緊裝置，并利用模糊PID參數(shù)整定方法實現(xiàn)了裝置的高精度控制。李元春等[4]設(shè)計了液壓機械臂自適應(yīng)二階滑模控制律，使系統(tǒng)精確地跟蹤期望軌跡并具有較強的魯棒性。王云鵬等[5]，劉艷雄等[6]采用遺傳算法實現(xiàn)了PID控制參數(shù)的在線整定，加快了伺服缸的響應(yīng)速度，提高了控制精度。黃山云等[7]以DSP控制器為核心，設(shè)計實現(xiàn)了伺服系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制，減小了響應(yīng)的超調(diào)量，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。
差分進(jìn)化算法是一種隨機啟發(fā)式搜索算法，采用實數(shù)編碼，簡單的變異操作和一對一競爭生存策略，降低了遺傳操作的復(fù)雜性，其性能要優(yōu)于遺傳算法、粒子群算法等進(jìn)化算法?；？刂?SMC)的非線性控制表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性[8]，根據(jù)系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動模態(tài)”軌跡運動，使得控制響應(yīng)速度快、對參數(shù)的變化以及干擾不靈敏，并且具有簡單的物理實現(xiàn)。魯棒控制[9]可很好地控制系統(tǒng)的性能，在一定參數(shù)攝動下維持系統(tǒng)的某些特性。
本文分析了電液伺服系統(tǒng)控制數(shù)學(xué)模型，利用滑?？刂圃砗鸵活怟型觀測器實現(xiàn)系統(tǒng)輸出的位置跟蹤以及對位置的速度和加速度估計。通過Matlab/Simulink平臺設(shè)計實現(xiàn)控制算法的連續(xù)系統(tǒng)仿真，從而可分析控制算法的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度和控制精度。
1 電液伺服系統(tǒng)及其控制模型
1.1 伺服缸的位置傳遞函數(shù)
張鑫[10]、馮業(yè)恒[11]根據(jù)電液伺服系統(tǒng)本身的物理特性以及對外部環(huán)境的分析，將伺服閥當(dāng)作無摩擦和泄漏的四通滑閥，液壓缸也處于理想狀態(tài)，并在工作腔內(nèi)每處壓力相同，液壓油溫度和容積彈性模量均視為常數(shù)，得到伺服缸位置傳遞函數(shù)。
(1)
式中：Y為伺服缸位置傳遞函數(shù)；s為拉普拉斯算子；Kn為傳遞函數(shù)增益；a、b、c、d為s多項式系數(shù)；Kq為電液伺服閥的流量增益；Ap為液壓缸工作面積；Xv為主控制信號；Kce為總流量壓力系數(shù)；Vt：為液壓缸總?cè)莘e；βe為液壓油彈性模量；F為干擾信號；Mt為折合到活塞桿的總質(zhì)量；Be為活塞及負(fù)載的粘性阻尼系數(shù)；K為負(fù)載彈性剛度。
由傳遞函數(shù)模型可知，信號的微分獲取是控制的關(guān)鍵因素，精確地獲取信號的速度對于控制系統(tǒng)至關(guān)重要，而根據(jù)傳感器測量得到信號的速度比較困難，采用K型低增益觀測器對信號速度和加速度進(jìn)行估計是一種可行的方法。
K觀測器模型可設(shè)計為
(2)
若使A的特征值具有負(fù)實部?？墒笰的特征值全為-10，可得觀測器的k1、k2、k3為
(3)
1.2 滑模控制
運用滑?？刂茣r，首先應(yīng)建立滑模函數(shù)，取跟蹤誤差e，滑模因子c1、c2滑模因子滿足Hurwitz條件[12-13]，設(shè)計滑模函數(shù)s為
(4)
式中：x1為系統(tǒng)輸出；x1d為系統(tǒng)輸入。
滑模控制器輸入為
(5)
1.3 差分進(jìn)化算法
差分進(jìn)化算法通過群體內(nèi)個體間合作與競爭智能地優(yōu)化搜索，降低了遺傳操作的復(fù)雜性，通過多點搜索以大概率找到全局最優(yōu)解，算法的基本流程包括四個步驟。
初始群體的生成是隨機的，其中第i個個體可表示為
(6)
基本變異操作可隨機選擇3個不相同個體進(jìn)行如下計算。
hij(t+1)=xp1j(t)+F(xp2j(t)-xp3j(t))
(7)
式中：h為變異后的個體值，i≠p1≠p2≠p3；t為變異代數(shù)；F為變異因子。
為了增加群體的多樣性，設(shè)置交叉概率與交叉算法為：
(8)
式中：v為交叉后的個體值；randlij∈(0，1)；P為交叉概率，P∈(0，1)。
交叉操作后要通過評價函數(shù)確定xi是否為下一代成員，評價函數(shù)需根據(jù)具體實際建立，本文根據(jù)輸入輸出誤差e，控制器輸入u設(shè)計評價函數(shù)，并采用懲罰函數(shù)避免超調(diào)，模型如下。
(9)
式中：J為評價函數(shù)；ω1、ω2、ω3為權(quán)值。
1.4 優(yōu)化策略與分析
根據(jù)式(5)和式(6)可知c1、c2和ks是滑?？刂浦兄匾娜齻€參數(shù)。c1、c2決定了滑模函數(shù)滑模面的位置，人為設(shè)定的滑模面并非最優(yōu)滑模面，通過優(yōu)化滑模因子可得到最優(yōu)滑模面與滑模函數(shù)。收斂速率能保證系統(tǒng)指數(shù)收斂，適合解決大階躍響應(yīng)控制問題。
根據(jù)評價函數(shù)設(shè)計基于差分進(jìn)化算法的滑模優(yōu)化控制，以輸入輸出誤差，控制輸入作為優(yōu)化性能指標(biāo)，滑模因子與收斂速率作為待優(yōu)化的調(diào)節(jié)參數(shù)，控制輸入為平方項的目的是為了防止控制能量過大，對輸入輸出誤差采用懲罰功能，避免超調(diào)現(xiàn)象產(chǎn)生，懲罰項的權(quán)值要遠(yuǎn)大于控制輸入項權(quán)值，保證對超調(diào)的懲罰是足夠大的，保證控制系統(tǒng)的跟蹤精度與控制效果。
2 系統(tǒng)仿真
2.1 仿真程序結(jié)構(gòu)及其算法流程設(shè)計
仿真程序的結(jié)構(gòu)設(shè)計包括兩大模塊：滑模控制模塊和差分進(jìn)化模塊。其中滑?？刂颇K使用Matlab/Simulink連續(xù)系統(tǒng)完成仿真，得到位置、速度、加速度跟蹤信號等，將滑?？刂颇K作為差分進(jìn)化模塊的子模塊進(jìn)行調(diào)用，評價函數(shù)作為評價單元集成在差分進(jìn)化模塊中，調(diào)用評價函數(shù)得到評價數(shù)值。評價函數(shù)中集成有滑?？刂颇K，只有滑?？刂颇K仿真完成后才能得到評價函數(shù)所需的評價參數(shù)，否則不能進(jìn)行評價函數(shù)的計算。評價函數(shù)計算完成后再回到差分進(jìn)化模塊，進(jìn)入下一次進(jìn)化操作。
根據(jù)式(7)～式(10)進(jìn)行群體的差分進(jìn)化操作，在評價函數(shù)里首先對滑?？刂葡到y(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)束后會得到評價函數(shù)中需要的評價參數(shù)，根據(jù)仿真結(jié)果計算評價函數(shù)值，通過不斷地判斷評價函數(shù)值，不斷更新最優(yōu)解直到得到全局最優(yōu)解。
滑?？刂颇K是完成系統(tǒng)控制仿真的核心模塊，如圖1所示。其中Signal、MSystem_ctrl、SFG_plant、K_levant均為S-Function寫成的連續(xù)系統(tǒng)，Signal是信號生成部分，仿真生成sin(πt)正弦信號。SFG_plant是系統(tǒng)模型，K_levant是K型觀測器，用于對從系統(tǒng)模型輸出的信號進(jìn)行觀測和估計，MSystem_ctrl是控制器部分，輸入激勵信號與觀測器觀測的信號，采用式(5)建立的滑?？刂颇Ｐ蛯ο到y(tǒng)進(jìn)行控制，實驗設(shè)置仿真時間為2.5s。變量BsS用于存儲每次迭代時所需的待優(yōu)化參數(shù)；變量ut用于存儲控制輸入；變量y用于存儲輸入信號、輸出信號和觀測信號及其速度、加速度。
圖1 Simulink 滑?？刂颇Ｐ?/p>
2.2 仿真參數(shù)設(shè)置與結(jié)果分析
取定常力的線性定?？刂葡到y(tǒng)模型：a=1，b=0.4，c= 24336，d=0，Kn=15948000。根據(jù)式(3)可得k1=29.6，k2=-24048，k3=-709730。差分進(jìn)化待優(yōu)化參數(shù)設(shè)置：c1∈(5,600)，c2∈(5,600)，ks∈(20,2000)，變異因子F=1.2，交叉概率P=0.75，設(shè)置進(jìn)化代數(shù)為50，染色體大小為30個，待優(yōu)化參數(shù)為3個，根據(jù)式(10)對每一代的進(jìn)化進(jìn)行評價，最終得到最優(yōu)解。
根據(jù)仿真參數(shù)設(shè)置得到最優(yōu)函數(shù)變化情況，如圖2所示?？芍獌?yōu)化指標(biāo)在第30次迭代之前就進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)區(qū)，說明此時已經(jīng)找到了全局最優(yōu)解，30次迭代之后，優(yōu)化指標(biāo)已基本穩(wěn)定。通過圖3亦可看出，待優(yōu)化參數(shù)在30次迭代時已基本不變。
圖2 優(yōu)化指標(biāo)變化曲線
圖3 待優(yōu)化參數(shù)變化
經(jīng)過50次迭代后得到最優(yōu)解為c1=600，c2=45.931，ks=143.15，最優(yōu)指標(biāo)為J=1.4672，可見最優(yōu)指標(biāo)數(shù)值非常小，說明系統(tǒng)對輸入信號的跟蹤非常精確，通過比較跟蹤曲線和輸入信號曲線可進(jìn)一步更直觀地分析。
由于迭代在30次時已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，為保證對比的區(qū)別性，取5個不同迭代次數(shù)的跟蹤曲線，選擇第1、7、10、22、50次迭代時的跟蹤曲線，與理想的輸入曲線進(jìn)行對比，如圖4所示。
圖4 位置跟蹤曲線
由圖4可知，各迭代次數(shù)對應(yīng)的位置跟蹤曲線最終都能精確地收斂于理想位置曲線，第50次迭代跟蹤曲線在初始跟蹤時跟蹤速度較慢，當(dāng)隨著時間的推移，其跟蹤速度逐漸增大，且更快地達(dá)到理想位置。由于增加了誤差懲罰項，故每次迭代后的位置跟蹤曲線沒有發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象，均小于或等于理想曲線對應(yīng)值。
比較誤差變化曲線，分析各迭代次數(shù)對應(yīng)的誤差大小以及收斂速度，如圖5所示。根據(jù)控制輸入曲線分析控制輸入能量的大小，輸入能量越小越好，如圖6所示。根據(jù)圖5可知隨著迭代的不斷進(jìn)行，待優(yōu)化參數(shù)不斷得到優(yōu)化，位置誤差的收斂速度不斷增大；結(jié)合圖6可知控制輸入非常小，在0.001 m級別，相對誤差較小；結(jié)合圖2可得第50次迭代，即差分進(jìn)化進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，位置誤差和控制輸入達(dá)到最優(yōu)水平，此時的優(yōu)化函數(shù)J的數(shù)值最小。
圖5 誤差收斂曲線
圖6 控制輸入
使用優(yōu)化后的參數(shù)進(jìn)行速度跟蹤的分析，如圖7所示?？芍到y(tǒng)在0.3s左右既能精確跟蹤理想速度曲線，速度跟蹤曲線與速度觀測曲線幾乎完全重合，說明觀測器對系統(tǒng)輸出的觀測是非常精確的；結(jié)合圖4位置跟蹤曲線可知，優(yōu)化后的控制器具有收斂速度更快、位置誤差與控制輸入綜合性能最優(yōu)、速度跟蹤精確等特點。綜合分析可知，運用差分進(jìn)化算法并結(jié)合滑?？刂评碚?，達(dá)到了更加精確跟蹤的目的，同時又控制輸入能量保持在非常低的水平。
圖7 速度跟蹤曲線
3 結(jié)論
基于差分進(jìn)化算法和伺服系統(tǒng)滑?？刂评碚摚瑧?yīng)用于電液伺服控制。在進(jìn)行50次進(jìn)化迭代后得到最優(yōu)滑模因子與收斂率，仿真結(jié)果表明優(yōu)化后的系統(tǒng)的收斂速度更快，跟蹤精度更高，評價指標(biāo)最低。應(yīng)用差分進(jìn)化算法優(yōu)化滑模控制中的參數(shù)，可事先預(yù)知系統(tǒng)的跟蹤性能并優(yōu)化跟蹤性能，具有很好的實際工程應(yīng)用意義。
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