任秋兵，李明超，杜勝利，劉承照

（水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津大學(xué)，天津 300354）

1 研究背景

堆石料通常是指山體開(kāi)采所得巖塊經(jīng)一定程度粉碎而得到的巖石碎塊類(lèi)集合體。由于其具有壓實(shí)性能好、透水性強(qiáng)、承載力大和抗剪強(qiáng)度高等良好工程特性，在堆石壩等工程中得到了廣泛應(yīng)用[1]，作為堆石壩中堆石體填筑材料的堆石料稱(chēng)為筑壩堆石料（或堆石壩料）。堆石壩各分區(qū)填筑對(duì)堆石料有相應(yīng)級(jí)配要求，主堆石料和次堆石料粒徑相對(duì)較大，墊層料多為連續(xù)級(jí)配細(xì)石料，過(guò)渡料粒徑、級(jí)配應(yīng)符合墊層料與主堆石料間的反濾要求[2]。實(shí)際工程中，除要求顆粒級(jí)配和相對(duì)密度外，對(duì)筑壩堆石料的基本物理力學(xué)性能（如抗剪強(qiáng)度、壓縮模量等）更為關(guān)注。筑壩堆石料的抗剪強(qiáng)度是指壩料抵抗剪切破壞的極限能力，其數(shù)值等于剪切破壞時(shí)滑動(dòng)面上的剪應(yīng)力?？辜魪?qiáng)度是衡量堆石料質(zhì)量的關(guān)鍵指標(biāo)之一，也是影響堆石壩施工進(jìn)度和運(yùn)行安全的主要因素，故準(zhǔn)確測(cè)定堆石料抗剪強(qiáng)度一直是工程項(xiàng)目可行性研究以及施工建設(shè)階段的重要任務(wù)[3-4]。隨著水電工程規(guī)模日益增大，如水布埡大壩壩高達(dá)到233 m，大壩勢(shì)必會(huì)遭受巨大荷載，這對(duì)作為壩體的堆石料強(qiáng)度特性精確、可靠描述提出了更高要求[5]。

隨著現(xiàn)代大型施工碾壓設(shè)備的普及應(yīng)用，允許上壩的堆石料最大粒徑高達(dá)1500 mm以上[6-7]，充分體現(xiàn)筑壩堆石料粒徑跨度大這一特點(diǎn)。鑒于此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者常采用室內(nèi)或原位剪切試驗(yàn)來(lái)直接測(cè)定堆石料抗剪強(qiáng)度。張其光等[8]利用新研制的堆石料風(fēng)化試驗(yàn)儀對(duì)風(fēng)化后堆石料試樣進(jìn)行直剪試驗(yàn)，探討了風(fēng)化過(guò)程中堆石料的抗剪強(qiáng)度特性變化；陳濤等[9]開(kāi)展了凍融循環(huán)下堆石料抗剪強(qiáng)度試驗(yàn)研究，結(jié)果表明凍融循環(huán)后會(huì)使堆石料試樣的抗剪強(qiáng)度有所降低；Liu[10]和胡偉等[11]分別研制了大型原位直剪儀，并通過(guò)測(cè)定堆石料抗剪強(qiáng)度驗(yàn)證了試驗(yàn)設(shè)備的工作性能。此外，若堆石料尺寸較大而試驗(yàn)條件難以滿足要求時(shí)，則選用縮尺試驗(yàn)測(cè)定其抗剪強(qiáng)度。然而，由于缺乏合理的尺寸效應(yīng)評(píng)價(jià)體系，堆石料縮尺引起的強(qiáng)度和變形的變化規(guī)律尚未形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，對(duì)縮尺引起的強(qiáng)度和變形差異的機(jī)理亦尚未完全明晰，故堆石料尺寸效應(yīng)一直都是困擾工程設(shè)計(jì)和安全評(píng)價(jià)的難題[12]。孔憲京等[13-14]研發(fā)了系列三軸儀（包含國(guó)內(nèi)第一臺(tái)超大型靜動(dòng)兩用三軸儀），構(gòu)成了多尺度三軸試驗(yàn)平臺(tái)，為系統(tǒng)研究堆石料強(qiáng)度與變形的尺寸效應(yīng)提供了技術(shù)支撐?？傮w而言，常規(guī)試驗(yàn)儀器僅能測(cè)定中、小粒徑堆石料的抗剪強(qiáng)度，而直接測(cè)定大粒徑堆石料的抗剪強(qiáng)度則需通過(guò)自行研發(fā)大型試驗(yàn)設(shè)備來(lái)實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致試驗(yàn)成本大幅提高。再者，與常規(guī)剪切試驗(yàn)相比，適配大尺度試驗(yàn)的堆石料試樣制備難度增加、時(shí)耗延長(zhǎng)，剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)利用率卻未見(jiàn)提升。

為了彌補(bǔ)上述直接測(cè)定方法（即剪切試驗(yàn)）的不足，作為一種有效輔助手段，堆石料抗剪強(qiáng)度間接測(cè)定方法應(yīng)運(yùn)而生。以往試驗(yàn)研究[15-17]表明，堆石料抗剪強(qiáng)度主要取決于顆粒級(jí)配、組成和密實(shí)度等[8]，且各因素與抗剪強(qiáng)度呈高度非線性關(guān)系[18]，這為間接測(cè)定堆石料抗剪強(qiáng)度奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。根據(jù)理論依據(jù)的不同，現(xiàn)將間接測(cè)定方法大致分為數(shù)值模擬和機(jī)器學(xué)習(xí)兩類(lèi)。兩者均是根據(jù)已有堆石料剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其抗剪強(qiáng)度進(jìn)行合理推算，不僅節(jié)約了試驗(yàn)成本，還提高了積累試驗(yàn)數(shù)據(jù)利用率；有所不同的是，數(shù)值模擬注重還原堆石料試樣真實(shí)性態(tài)，而機(jī)器學(xué)習(xí)則主要反映抗剪強(qiáng)度與其影響因素間的復(fù)雜映射關(guān)系。利用數(shù)值模擬方法重現(xiàn)或推斷原型足尺堆石料試樣的抗剪強(qiáng)度和變形規(guī)律較為常見(jiàn)[19-20]，而以機(jī)器學(xué)習(xí)為核心的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法[21]在該方面的應(yīng)用較少[6]，根據(jù)相關(guān)方法推導(dǎo)堆石料抗剪強(qiáng)度計(jì)算公式更是鮮有報(bào)道。對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)員或工程師而言，數(shù)學(xué)計(jì)算公式具有簡(jiǎn)單、易用等特點(diǎn)，因而成為其最常運(yùn)用的算術(shù)形式，而直接應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)算法需要依賴(lài)開(kāi)發(fā)環(huán)境和編程技能，這對(duì)筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型的推廣使用造成一定影響。此外，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)難以對(duì)公式全部自變量進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)試，不免會(huì)存在數(shù)據(jù)缺失或逸出等問(wèn)題，這將直接影響公式推算精度。為此，有必要開(kāi)發(fā)一種既符合工程應(yīng)用實(shí)際情況，又能準(zhǔn)確推算堆石料抗剪強(qiáng)度的魯棒性工具。

鑒于此，本文開(kāi)展基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度間接測(cè)定模型及其實(shí)用計(jì)算公式研究，其主要包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：（1）通過(guò)廣泛搜集文獻(xiàn)資料彌補(bǔ)現(xiàn)有室內(nèi)大型剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)單一和匱乏的不足；（2）針對(duì)如何從多因素中合理篩選公式自變量并確保公式推算精度這一問(wèn)題，提出一種集成組合客觀賦權(quán)與互信息的綜合性成本型指標(biāo)（comprehensive cost-type index integrating combinatorial objective weighting and mutual information，CCI）；（3）為克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極小值以及多參數(shù)調(diào)優(yōu)復(fù)雜等局限性，耦合進(jìn)化算法和誤差反向傳播算法形成一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合訓(xùn)練方法；（4）結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和優(yōu)化參數(shù)，將進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)換為實(shí)用計(jì)算公式及其簡(jiǎn)化應(yīng)用方法，以促進(jìn)其在實(shí)際工程中的應(yīng)用；（5）利用工程實(shí)例對(duì)所提公式進(jìn)行驗(yàn)證分析，并將抗剪強(qiáng)度推算值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比。

2 研究框架

在考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)多樣性的情況下，針對(duì)筑壩堆石料自身特性提出抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式，其研究框架如圖1所示，主要包括典型試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)建立、公式自變量篩選、進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建、公式推導(dǎo)與簡(jiǎn)化應(yīng)用以及工程實(shí)例驗(yàn)證等5個(gè)步驟：（1）查閱國(guó)內(nèi)外堆石料抗剪強(qiáng)度試驗(yàn)資料，收集影響堆石料抗剪強(qiáng)度的可量化因素及對(duì)應(yīng)試驗(yàn)值，以建立典型室內(nèi)剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)。（2）結(jié)合相關(guān)性分析和CCI值篩選出主要因素作為模型自變量，對(duì)應(yīng)因變量為抗剪強(qiáng)度，將歸一化數(shù)據(jù)按比例拆分為訓(xùn)練集和測(cè)試集（即hold-out法），其中訓(xùn)練集用于構(gòu)建遺傳進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，而測(cè)試集則用于檢驗(yàn)訓(xùn)練后模型的推算性能。（3）利用確定性系數(shù)（R2）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）等指標(biāo)[22-24]量化評(píng)價(jià)進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型于測(cè)試集上的表現(xiàn)。若多次性能評(píng)價(jià)均滿足工程要求，表明所建模型具有初步可用性；反之，需重復(fù)步驟（1）—（3），直至模型推算精度達(dá)標(biāo)。（4）根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和優(yōu)化參數(shù)，經(jīng)推導(dǎo)得到堆石料抗剪強(qiáng)度計(jì)算公式，并運(yùn)用敏感性分析探尋少數(shù)關(guān)鍵因素，以建立一種具有魯棒性的公式簡(jiǎn)化應(yīng)用方法。（5）將所提公式應(yīng)用于實(shí)際工程，通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證凸顯其優(yōu)越性與實(shí)用性。

圖1 研究框架

3 堆石料抗剪強(qiáng)度間接測(cè)定模型及實(shí)現(xiàn)方法

3.1 堆石料抗剪強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型堆石作為一種天然材料，其工程特性受巖性、顆粒級(jí)配、巖塊微裂隙、巖塊強(qiáng)度等多種因素的影響，致使堆石料抗剪強(qiáng)度間接測(cè)定具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性。本文將基于上述復(fù)雜因素構(gòu)建堆石料抗剪強(qiáng)度間接測(cè)定數(shù)學(xué)模型。首先，根據(jù)文獻(xiàn)資料確定可用于計(jì)算堆石料抗剪強(qiáng)度的影響因素。然后，將影響因素進(jìn)行分類(lèi)，一類(lèi)為可量化因素（如顆粒級(jí)配、巖塊強(qiáng)度等），另一類(lèi)為不可量化因素（如巖性、巖塊微裂隙等）。其次，在收集國(guó)內(nèi)外堆石料抗剪強(qiáng)度試驗(yàn)資料的過(guò)程中，試驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含大部分可量化因素，而對(duì)于不可量化因素，則應(yīng)注重試驗(yàn)數(shù)據(jù)的多樣性和豐富性。以巖性為例，試樣需源自不同巖性的堆石母巖，如砂巖、玄武巖、英安巖、花崗巖等。最后，將堆石料抗剪強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，該模型由關(guān)鍵因素（自變量）集、最優(yōu)化擬合模型和抗剪強(qiáng)度計(jì)算模型等三個(gè)部分構(gòu)成。

（1）關(guān)鍵因素集。顆粒級(jí)配（GC）、級(jí)配和細(xì)度模數(shù)（GF）、硬度和強(qiáng)度（RS）、相對(duì)密度（RD）和外界荷載（EL）等可量化因素共同構(gòu)成關(guān)鍵因素集。

式中：Dn為特征粒徑；g（Dn）為特征粒徑的派生量；Gm、Fm分別為級(jí)配和細(xì)度模數(shù)；R、UCS分別為材料硬度和抗壓強(qiáng)度；γ為材料密度；Ns為正應(yīng)力。

（2）最優(yōu)化擬合模型。將模型參數(shù)限定范圍作為約束條件，構(gòu)建以抗剪強(qiáng)度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的最小誤差為目標(biāo)函數(shù)的多元非線性擬合模型，從而達(dá)到調(diào)優(yōu)參數(shù)的目的。

式中：δ為計(jì)算誤差；α為模型參數(shù)。

（3）抗剪強(qiáng)度計(jì)算模型。以關(guān)鍵因素為輸入變量，抗剪強(qiáng)度(τ)為輸出變量，基于進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法構(gòu)建筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度計(jì)算模型。

式中：enn(·)為進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法；αbest為最優(yōu)模型參數(shù)。

據(jù)此，本文將重點(diǎn)探討典型試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)建立、自變量篩選和進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建三部分內(nèi)容，從而為推導(dǎo)筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式提供必要條件。

3.2 集成客觀賦權(quán)與互信息的綜合性指標(biāo)（CCI）模型自變量愈多，不代表模型推算精度愈高，自變量間存在高度相關(guān)關(guān)系不僅會(huì)使數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜化，還會(huì)造成參數(shù)估計(jì)失真，故需進(jìn)行自變量篩選。一般通過(guò)相關(guān)性分析剔除顯著相關(guān)變量，其僅利用線性相關(guān)系數(shù)衡量變量（兩自變量、自變量與因變量）間的信息重疊度，既未考慮自變量自身及其之間的固有信息，又忽略了自變量與因變量間的信息傳遞，故極易導(dǎo)致自變量篩選不當(dāng)。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種集成組合客觀賦權(quán)與互信息的綜合性成本型指標(biāo)（CCI）以合理剔除顯著相關(guān)變量。CRITIC（criteria importance through intercriteria correlation）法[25]可兼顧考慮各自變量間的對(duì)比強(qiáng)度和沖突性，并由此綜合確定客觀權(quán)值，但該方法未能慮及自變量間的離散性，熵權(quán)法[26]則可有效彌補(bǔ)這一不足。為進(jìn)一步將因果關(guān)系融入變量評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，利用互信息法[27]改進(jìn)基于CRITIC法和熵權(quán)法的組合客觀賦權(quán)模型，以全面反映某個(gè)自變量在變量體系中的相對(duì)重要性。CCI值具體計(jì)算步驟如下所述。

（1）步驟1。在熵權(quán)法賦值計(jì)算中，采用q個(gè)指標(biāo)對(duì)p個(gè)對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià)，構(gòu)建判斷矩陣并對(duì)該矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。其中，xij，xij≥0為判斷矩陣X中任意指標(biāo)值，且其對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化值為由此，求得第j個(gè)自變量的信息熵值Ej和熵權(quán)值ej如下：

（2）步驟2。利用CRITIC法計(jì)算第j個(gè)自變量的客觀權(quán)值cj。

式中：rij為第i個(gè)自變量與第j個(gè)自變量之間的相關(guān)系數(shù)；σj為第j個(gè)自變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）步驟3。假設(shè)自變量xj與因變量y的聯(lián)合分布為邊緣分布分別為p(xj)和p(y)，互信息mj則為聯(lián)合分布與邊緣分布的相對(duì)熵值。

（4）步驟4。通過(guò)融合客觀權(quán)值ej和cj以及熵值mj等屬性求得綜合性指標(biāo)（即CCI值）ωj，且ωj越小，表明該指標(biāo)提供的有效信息量越大，其重要程度也就越高。

式中：m為權(quán)值（或熵值）的種類(lèi)個(gè)數(shù)，本文選取ej、cj和mj三種權(quán)值（或熵值），故m=3為常數(shù)；Pji為第i種權(quán)值（或熵值）的第j個(gè)計(jì)算結(jié)果；分別為第i種權(quán)值（或熵值）的最大和最小計(jì)算結(jié)果。

3.3 進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型堆石料抗剪強(qiáng)度與其影響因素表現(xiàn)出復(fù)雜的映射關(guān)系，欲通過(guò)關(guān)鍵因素推算抗剪強(qiáng)度，亟需一種有監(jiān)督的非線性回歸學(xué)習(xí)算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在這方面具有較大的優(yōu)勢(shì)。多層感知機(jī)是一種按照誤差反向傳播算法訓(xùn)練的多層前向型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也是目前應(yīng)用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[28-30]，其最基本成分為神經(jīng)元模型（見(jiàn)圖2）。研究表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在容易陷入誤差函數(shù)局部極值點(diǎn)以及初始連接權(quán)重和閾值對(duì)推算結(jié)果影響較大等問(wèn)題[31]。為此，本文采用具有全局優(yōu)化性和自適應(yīng)性的遺傳算法[32-33]（genetic algorithm，GA）對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重和閾值進(jìn)行優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)誤差全局最小，從而構(gòu)建出最優(yōu)進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。該模型的訓(xùn)練過(guò)程簡(jiǎn)述如下：（1）確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、初始權(quán)重和閾值以及遺傳算法初始參數(shù)。（2）定義適應(yīng)度函數(shù)，并計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值。（3）利用輪盤(pán)賭法進(jìn)行選擇和交叉操作，再進(jìn)行變異操作，并重新計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值。（4）重復(fù)（2）和（3），直至達(dá)到最大迭代次數(shù)或滿足設(shè)定誤差要求。（5）將適應(yīng)度值最小的染色體解碼得到最優(yōu)初始權(quán)重和閾值。（6）運(yùn)用誤差反向傳播算法進(jìn)行局部細(xì)致搜索，當(dāng)達(dá)到既定收斂精度時(shí)，結(jié)束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程。

圖2 M-P神經(jīng)元模型

4 典型試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)

在3.1節(jié)中所建堆石料抗剪強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的間接測(cè)定方法，即利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)式表征大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)中抗剪強(qiáng)度與其影響因素間的非線性映射關(guān)系，因而所用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量在很大程度上決定了公式推算精度。本文通過(guò)收集165組源自世界各地的堆石料室內(nèi)剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)[34-46]（為確保試驗(yàn)數(shù)據(jù)的多樣性，要求顆粒巖性、試樣尺寸等有所區(qū)別）建立起典型數(shù)據(jù)庫(kù)，將13個(gè)關(guān)鍵因素（包括特征粒徑及其派生量、級(jí)配和細(xì)度模數(shù)等）作為公式自變量，因變量即為堆石料抗剪強(qiáng)度。數(shù)據(jù)庫(kù)中全部變量名稱(chēng)、符號(hào)、單位和統(tǒng)計(jì)信息匯總于表1。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)信息

4.1 關(guān)鍵因素分析將影響堆石料抗剪強(qiáng)度特性的13個(gè)關(guān)鍵因素細(xì)分為堆石料級(jí)配、級(jí)配和細(xì)度模數(shù)、硬度和強(qiáng)度、材料密度以及正應(yīng)力五類(lèi)，并說(shuō)明選取其作為公式自變量的緣由。

（1）堆石料級(jí)配。已有研究[47]證實(shí)，堆石料粒徑級(jí)配會(huì)影響抗剪強(qiáng)度測(cè)定結(jié)果。不過(guò)，其具體影響規(guī)律，至今仍未有統(tǒng)一定論。由于原位顆粒尺寸過(guò)大，實(shí)際操作中常用級(jí)配縮尺來(lái)表征，本文亦是如此。除選用特征粒徑D10、D30、D60和D90外，還加入曲率系數(shù)Cc和不均勻系數(shù)Cu兩個(gè)級(jí)配派生量。

（2）級(jí)配和細(xì)度模數(shù)。細(xì)度模數(shù)Fm是表征堆石料粒徑的粗細(xì)程度及類(lèi)別的指標(biāo)，F(xiàn)m值越大，表示顆粒越粗。與Fm類(lèi)似，級(jí)配模數(shù)Gm也是根據(jù)顆粒篩分結(jié)果計(jì)算而得的，Gm值越大，表示堆石料中細(xì)顆粒含量越高。

（3）硬度和強(qiáng)度。在高約束條件下，材料硬度會(huì)對(duì)顆粒膨脹性產(chǎn)生影響，采用國(guó)際巖石力學(xué)與巖石工程學(xué)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ISRM）規(guī)定的硬度等級(jí)[48]R作為衡量指標(biāo)。此外，增添堆石料單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)（單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)所用試件均為自然含水狀態(tài)，并非飽和含水狀態(tài)）中最小抗壓強(qiáng)度值UCSmin和最大抗壓強(qiáng)度值UCSmax作為自變量。

（4）材料密度。一般而言，堆石料抗剪強(qiáng)度會(huì)隨著材料密度γ的增加而增加。材料密度越大，顆粒間的相互作用越顯著，抗剪強(qiáng)度也就越大。在大尺度三軸試驗(yàn)過(guò)程中，通常需要控制相對(duì)密度。

（5）正應(yīng)力。外界約束對(duì)堆石料抗剪強(qiáng)度的影響已被眾多研究[49]所證明。一般認(rèn)為，隨著正應(yīng)力Ns的增大，顆粒破碎程度得以提高，膨脹效應(yīng)逐漸消散，摩擦角顯著減小，抗剪強(qiáng)度隨之降低。

4.2 自變量篩選在構(gòu)建進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型前，利用相關(guān)性分析和CCI值校核各個(gè)因素的必要性。為檢驗(yàn)多因素間的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)對(duì)13個(gè)自變量進(jìn)行Pearson相關(guān)性分析，分析結(jié)果以相關(guān)系數(shù)矩陣圖（圖3）的形式展示。由圖3可知，3組變量的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值超過(guò)0.9，分別為D10和D30（0.97）、Gm和Fm（-0.96）以及UCSmin和UCSmax（0.94）。為減小自變量間顯著相關(guān)性對(duì)公式推算精度的影響，利用3.2節(jié)方法對(duì)全部變量進(jìn)行重要性評(píng)價(jià)，各變量的熵權(quán)值、CRITIC權(quán)值、互信息以及CCI值見(jiàn)表2。從表2可以看出，上述3組變量組內(nèi)CCI值按大小排序分別為D30＞D10、Fm＞Gm和UCSmin＞UCSmax。因此，將D30、Fm和UCSmin3個(gè)冗余變量剔除，最終留存10個(gè)關(guān)鍵因素（包含D10、D60、D90、Cc、Cu、Gm、R、UCSmax、γ和Ns）作為公式（或模型）自變量。而后，對(duì)所有變量進(jìn)行歸一化處理，并將165組試驗(yàn)數(shù)據(jù)按8∶2的比例隨機(jī)拆分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，其中132組數(shù)據(jù)用來(lái)訓(xùn)練進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，剩余33組數(shù)據(jù)則用于評(píng)估其推算性能。

圖3 Pearson相關(guān)性分析結(jié)果

表2 各變量的熵權(quán)值、CRITIC權(quán)值、互信息和CCI值

5 堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式推導(dǎo)

5.1 模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)確定當(dāng)確定自變量和訓(xùn)練集后，輸入層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)隨之固定，此時(shí)首要問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾蝺?yōu)化隱含層數(shù)和隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)。理論上已經(jīng)證明，具有一個(gè)隱含層的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意非線性函數(shù)[50]，故優(yōu)先考慮單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。一般認(rèn)為，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)過(guò)少，難以擬合復(fù)雜映射關(guān)系；反之，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間增加，且容易出現(xiàn)“過(guò)擬合”現(xiàn)象。本文采用試湊法優(yōu)化隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[51]選定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)范圍為3≤L≤20，L∈?，后在該范圍內(nèi)逐步增加節(jié)點(diǎn)數(shù)以尋求對(duì)應(yīng)最佳擬合效果的節(jié)點(diǎn)數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)每個(gè)既定節(jié)點(diǎn)數(shù)分別進(jìn)行10次訓(xùn)練，同時(shí)保存訓(xùn)練、測(cè)試和總體R2值，剔除對(duì)應(yīng)最小和次小R2值的推算結(jié)果，取剩余8次結(jié)果求平均R2值，并將其記錄于圖4中。由圖可知，當(dāng)隱含層數(shù)為5、9、11、15和20時(shí)，3種R2值均為98%左右。依據(jù)“在滿足精度要求的前提下取盡可能緊湊的結(jié)構(gòu)，即取盡可能少的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)”這一原則，最終確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5，即單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為10-5-1。

圖4 確定性系數(shù)與隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系

圖5 平均適應(yīng)度曲線

5.2 進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建根據(jù)5.1節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，設(shè)置遺傳算法初始參數(shù)：最大進(jìn)化代數(shù)取100，種群個(gè)數(shù)取50，交叉概率和變異概率的取值分別為0.3和0.1，染色體長(zhǎng)度取(1 0+1)×5+(5 +1)×1=61，并將適應(yīng)度函數(shù)定義為其中M為訓(xùn)練樣本數(shù)，yi和分別為訓(xùn)練樣本中第i個(gè)實(shí)測(cè)值和對(duì)應(yīng)推算值。此外，設(shè)定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大訓(xùn)練次數(shù)、學(xué)習(xí)率和訓(xùn)練要求精度分別為100、0.1和0.000 01，其訓(xùn)練方法則采用Levenberg-Marquardt算法[52]。利用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)重和閾值，平均適應(yīng)度曲線見(jiàn)圖5。由圖5可知，學(xué)習(xí)過(guò)程收斂速度較快，大約經(jīng)過(guò)25次進(jìn)化即可尋得最優(yōu)解，此時(shí)平均適應(yīng)度趨近平穩(wěn)。將優(yōu)化所得權(quán)重和閾值賦予對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，并采用誤差反向傳播算法繼續(xù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練過(guò)程徹底結(jié)束后，利用測(cè)試樣本評(píng)估進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，以凸顯其良好推算性能。

對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化處理，并將訓(xùn)練集和測(cè)試集中實(shí)測(cè)值與推算值線性擬合效果繪制于圖6中。從圖中6可以看出，模型訓(xùn)練和測(cè)試R2值均大于0.9，且兩者差距較小。此外，對(duì)于少數(shù)抗剪強(qiáng)度大于1.5 MPa的數(shù)據(jù)點(diǎn)（僅占總數(shù)據(jù)量的10%左右），模型訓(xùn)練和測(cè)試效果亦較佳，可見(jiàn)所建模型具有較好的泛化能力。為準(zhǔn)確描述所得模型性能，采用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)推算結(jié)果進(jìn)行量化評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知，模型訓(xùn)練和測(cè)試效果較為接近，說(shuō)明模型推算未出現(xiàn)“過(guò)/欠擬合”現(xiàn)象。

圖6 堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)測(cè)值與推算值線性擬合關(guān)系

5.3 計(jì)算公式推導(dǎo)將5.2節(jié)中進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)繪制于圖7中，網(wǎng)絡(luò)隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用雙曲正切Sigmoid函數(shù)（用tansig(·)表示）和線性函數(shù)（用purelin(·)表示），各層閾值和層間連接權(quán)重匯總于表4。為確保進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型公式化的同時(shí)不降低其推算精度，結(jié)合圖7，根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論[53]推導(dǎo)得到如下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：Ok=16為因變量堆石料抗剪強(qiáng)度；Ii為第i個(gè)自變量；ftansig、fpurelin分別為隱含層和輸出層的傳遞函數(shù)；θj、θk分別為第j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)和第k個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)的閾值；wij、wjk分別為第i個(gè)輸入層節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重和第j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)與第k個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重。

表3 模型性能量化評(píng)價(jià)

表4 進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各層閾值和層間連接權(quán)重

圖7 進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

為便于工程應(yīng)用，特將式（10）變換為：

通過(guò)提取網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重和閾值（見(jiàn)表4）并將其代入式（11），即可獲得拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為10-5-1的單隱含層進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的對(duì)應(yīng)表達(dá)式，即筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式：

需要注意的是，使用式（12）需對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化與反歸一化操作。

5.4 實(shí)用公式簡(jiǎn)化相較于進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式應(yīng)用更為方便，且推算精度相仿。然而，工程現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)繁雜，容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失或逸出等情況，故完成多達(dá)10種堆石料特性（自變量）的準(zhǔn)確測(cè)定難度較高，如何減少自變量個(gè)數(shù)同時(shí)避免推算精度下降較大便成為工程應(yīng)用中亟待解決的問(wèn)題。為此，通過(guò)敏感性分析量化各個(gè)變量影響堆石料抗剪強(qiáng)度的顯著程度，提出一種堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式簡(jiǎn)化應(yīng)用方法。

堆石料抗剪強(qiáng)度計(jì)算公式是由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型推導(dǎo)而得的，為使敏感性分析結(jié)果更為可靠，需尋求一種與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程密切相關(guān)的多因素敏感性分析方法。由5.2節(jié)可知，不斷調(diào)整的連接權(quán)重大小可反映自變量對(duì)因變量的影響程度，確定輸入層至輸出層間的權(quán)重分布情況，即可確定各個(gè)自變量的主次關(guān)系。改進(jìn)Garson算法[54]是基于網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重的敏感性分析方法的一個(gè)代表，其利用連接權(quán)重的乘積計(jì)算各個(gè)自變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)值sik，公式如下：

式中：N為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；L為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；k=1，2，…，M，其中M為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；sik為自變量對(duì)因變量的敏感度表征，sik值越大，敏感性越顯著。

結(jié)合表4中進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型層間連接權(quán)重，利用改進(jìn)Garson算法對(duì)全部自變量進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，在影響堆石料抗剪強(qiáng)度的10個(gè)關(guān)鍵因素中，Ns、D10和D90最為顯著，Cu、Gm、R和UCSmax次之，D60、Cc和γ最小。sik值排序前6的自變量的貢獻(xiàn)率大于0.8，故選取Ns、D10、D90、Cu、Gm和R作為簡(jiǎn)化公式（或模型）的自變量。遵照5.1節(jié)所述方法，確定簡(jiǎn)化單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為6-2-1。依據(jù)5.2節(jié)建模流程，構(gòu)建出簡(jiǎn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其各層閾值和層間連接權(quán)重見(jiàn)表5，推算性能量化評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表6。對(duì)比表3和表6可以看出，各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)差距較小，說(shuō)明刪減自變量后的簡(jiǎn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型推算性能仍與原模型相近。

根據(jù)5.3節(jié)推導(dǎo)步驟，將表5中數(shù)據(jù)代入式（11），即可獲得筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度簡(jiǎn)化計(jì)算公式：

表5 簡(jiǎn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各層閾值和層間連接權(quán)重

表6 簡(jiǎn)化模型性能量化評(píng)價(jià)

表7 工程試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總

6 工程實(shí)例驗(yàn)證

基于上述推導(dǎo)結(jié)果，以獨(dú)立于訓(xùn)練集的工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，對(duì)式（12）和式（14）進(jìn)行穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性驗(yàn)證，旨在通過(guò)此實(shí)例說(shuō)明所提計(jì)算公式及其簡(jiǎn)化應(yīng)用方法在堆石料抗剪強(qiáng)度推算方面的優(yōu)

圖8 敏感性分析結(jié)果

6.2 準(zhǔn)確性驗(yàn)證基于6.1節(jié)所述仿真試驗(yàn)，利用R2、MAPE、MAE和RMSE等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)10次推算結(jié)果分別進(jìn)行準(zhǔn)確性量化評(píng)估，并將每個(gè)指標(biāo)的10次計(jì)算結(jié)果取平均數(shù)作為最終評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，其結(jié)果示于圖9中。由圖9可知，兩公式對(duì)應(yīng)4個(gè)指標(biāo)數(shù)值點(diǎn)圍成的圖形的重疊區(qū)域較大，說(shuō)明兩公式對(duì)9組試驗(yàn)測(cè)得抗剪強(qiáng)度的總體推算精度大致相當(dāng)。與穩(wěn)定性驗(yàn)證結(jié)果類(lèi)似，式（12）的推算準(zhǔn)確性亦較佳。綜上，實(shí)際工程應(yīng)用中，倘若試驗(yàn)條件相對(duì)完備，獲取堆石料特性信息較多，建議使用式（12）推算試樣抗剪強(qiáng)度；反之，則推薦選用所需材料特性信息較少的式（14）對(duì)試樣抗剪強(qiáng)度進(jìn)行估算。

表8 公式推算穩(wěn)定性量化評(píng)價(jià)結(jié)果

圖9 式（12）與式（14）推算準(zhǔn)確性對(duì)比結(jié)果

7 結(jié)論

本文基于進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法提出了一種筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式及其簡(jiǎn)化應(yīng)用方法，所提公式可利用D10、D60、D90、Cc、Cu、Gm、R、UCSmax、γ和Ns等10個(gè)關(guān)鍵因素準(zhǔn)確推算堆石料抗剪強(qiáng)度，具有較好的實(shí)用價(jià)值。本文主要研究結(jié)論總結(jié)如下：（1）堆石料抗剪強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)的多樣性是開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，建立典型室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)有助于構(gòu)建適用范圍較廣的筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度實(shí)用計(jì)算公式。（2）利用Pearson相關(guān)系數(shù)和CCI值對(duì)多因素進(jìn)行相關(guān)性和冗余性校核，以此達(dá)到合理勢(shì)。為探討某工程所用堆石料的抗剪強(qiáng)度特性，Indraratna等[55]選用當(dāng)?shù)匦鋷r制備諸多試樣進(jìn)行室內(nèi)大型三軸壓縮試驗(yàn)，部分試樣特性及其試驗(yàn)結(jié)果匯總于表7。

6.1 穩(wěn)定性驗(yàn)證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)重和閾值的隨機(jī)性導(dǎo)致式（12）和式（14）每次計(jì)算結(jié)果不盡相同，因此有必要對(duì)所提公式的穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證?，F(xiàn)將各自所需變量數(shù)值（見(jiàn)表7）代入式（12）和式（14），兩者分別進(jìn)行10次推算，并采用標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)評(píng)價(jià)9組試驗(yàn)對(duì)應(yīng)抗剪強(qiáng)度推算結(jié)果的離散程度，量化評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表8。從表8可以看出，兩公式對(duì)每組試驗(yàn)測(cè)得抗剪強(qiáng)度的多次推算結(jié)果波動(dòng)均較小，通過(guò)對(duì)比分析進(jìn)一步表明具有更多自變量的式（12）的穩(wěn)定性表現(xiàn)更為突出。剔除顯著相關(guān)變量的目的。（3）所提公式在測(cè)試樣本和工程實(shí)例中推算性能較為突出，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以充分逼近堆石料抗剪強(qiáng)度與其影響因素間的復(fù)雜非線性關(guān)系，且遺傳算法能夠有效優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始連接權(quán)重和閾值。（4）改進(jìn)Garson算法能夠合理量化各個(gè)因素對(duì)堆石料抗剪強(qiáng)度的敏感程度，對(duì)解決測(cè)試數(shù)據(jù)缺失或逸出等實(shí)際問(wèn)題起到一定的幫助作用。（5）實(shí)用計(jì)算公式及其簡(jiǎn)化應(yīng)用方法易于實(shí)現(xiàn)手工計(jì)算和電子表格自動(dòng)運(yùn)算，為推算筑壩堆石料抗剪強(qiáng)度提供了一種簡(jiǎn)便工具，從而能夠促進(jìn)其在實(shí)際工程中的應(yīng)用和發(fā)展。

此外，開(kāi)發(fā)該實(shí)用公式的主要目的是為了提高積累試驗(yàn)數(shù)據(jù)利用率和減少部分重復(fù)性測(cè)試工作，并非完全取代室內(nèi)或原位剪切試驗(yàn)。目前該方法還存在大粒徑堆石料試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料較少、公式自變量代表性不足、公式推導(dǎo)未考慮區(qū)分軟硬巖等方面的問(wèn)題。鑒于這類(lèi)機(jī)器學(xué)習(xí)方法的優(yōu)勢(shì)在于大數(shù)據(jù)分析，后續(xù)將結(jié)合更多室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)際工程應(yīng)用開(kāi)展進(jìn)一步研究與提升。