宋征宇，王 聰

(1.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076;2.北京航天自動(dòng)控制研究所, 北京 100854)

0 引言

在人類航天和空間探索事業(yè)發(fā)展過程中，航天發(fā)射和運(yùn)輸系統(tǒng)的高風(fēng)險(xiǎn)、高成本和高復(fù)雜性一直是難以逾越的瓶頸，回收火箭并多次使用是能夠降低發(fā)射成本的重要途徑之一，也是未來地外天體定點(diǎn)軟著陸以及垂直起降大范圍機(jī)動(dòng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。然而，火箭返回垂直著陸充滿挑戰(zhàn)。由于火箭返回過程中飛行空域跨度大、飛行環(huán)境變化顯著、過程約束復(fù)雜，經(jīng)歷了由稀薄大氣層邊緣經(jīng)稠密大氣到地面著陸的過程，面臨一系列不確定性。傳統(tǒng)的基于離線規(guī)劃、在線跟蹤的方式無論從可靠性、適應(yīng)性、最優(yōu)性等角度，均已無法滿足大范圍、多階段、高動(dòng)態(tài)和多約束的應(yīng)用環(huán)境與要求。在線軌跡規(guī)劃技術(shù)能夠根據(jù)火箭當(dāng)前狀態(tài)在線生成滿足約束條件的飛行軌跡，使其在返回著陸過程中具備自適應(yīng)調(diào)整和在線實(shí)時(shí)優(yōu)化能力，能夠有效應(yīng)對(duì)各種干擾和突發(fā)情況，是實(shí)現(xiàn)可重復(fù)使用火箭垂直著陸的關(guān)鍵技術(shù)。國(guó)內(nèi)外的研究普遍表明，僅從著陸段的制導(dǎo)與控制技術(shù)看(不考慮前序飛行段的導(dǎo)航等因素)，在月球、火星和地球上實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)軟著陸(pinpoint landing)的技術(shù)難度逐步遞增。因此，實(shí)現(xiàn)運(yùn)載火箭垂直著陸的意義，早已超過僅僅火箭重復(fù)使用這一個(gè)需求。

本文主要總結(jié)國(guó)外針對(duì)垂直著陸以及再入返回著陸在線軌跡規(guī)劃技術(shù)所開展的理論、算法研究及工程進(jìn)展。

1 在線軌跡規(guī)劃技術(shù)的發(fā)展

1.1 最優(yōu)控制

運(yùn)載火箭回收的概念及回收方式早在20世紀(jì)90年代就已被提出[1-2]，但直到2015年年底人類才第一次成功回收運(yùn)載火箭。考慮到著陸過程存在的大量不確定性，研究人員和任務(wù)設(shè)計(jì)者一直在追求在線生成可行或者最優(yōu)軌跡的能力[3]，前提是滿足飛行過程的邊界條件、路徑約束以及標(biāo)稱運(yùn)動(dòng)方程?；谠诰€軌跡優(yōu)化方法解決制導(dǎo)問題也是航天控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[4]。針對(duì)著陸過程的大部分傳統(tǒng)閉環(huán)制導(dǎo)方法主要將問題轉(zhuǎn)換為僅具有終端約束的最優(yōu)反饋控制問題(沒有路徑約束)，利用龐特里亞金極大值原理或變分法進(jìn)行求解[5-6]，這類制導(dǎo)律稱為最優(yōu)制導(dǎo)律[7]。由于存在強(qiáng)不確定性，最優(yōu)制導(dǎo)律加入了基于滑?？刂评碚摰姆蔷€性項(xiàng)，可以在不準(zhǔn)確測(cè)量和未建模動(dòng)態(tài)的情況下提高其魯棒性[8]。由于可以增強(qiáng)魯棒性，這個(gè)研究方向在過去幾年中得到了發(fā)展并應(yīng)用于不同的場(chǎng)景[9-10]。

1.2 多項(xiàng)式制導(dǎo)

當(dāng)飛行任務(wù)必須滿足更嚴(yán)格的約束要求時(shí)，通常需要求解具有終端和路徑約束的軌跡規(guī)劃問題，例如高著陸精度或人員安全性(載人任務(wù))。這類方法始于Apollo計(jì)劃，并被繼續(xù)使用于火星著陸器，也可以在地球上被用于垂直起降[7]。上述問題通常是非線性的且求解困難，直到過去10年仍只能離線求解。為了簡(jiǎn)化問題，Apollo登月艙的加速度設(shè)計(jì)為關(guān)于時(shí)間的二次多項(xiàng)式[11]。這樣生成的軌跡并不是最優(yōu)的，因?yàn)闆]有對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化；但是二次多項(xiàng)式的系數(shù)可以通過預(yù)定下降時(shí)間的終端邊界條件進(jìn)行解析求解。這種方法在NASA的火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室(Mars Science Laboratory, MSL)探測(cè)器中進(jìn)行了修改，增加了對(duì)動(dòng)力下降段持續(xù)時(shí)間的線性搜索，來最小化燃料消耗[12-13]。除了這些擴(kuò)展之外，還可以通過增加開環(huán)制導(dǎo)律的多項(xiàng)式階數(shù)使系數(shù)計(jì)算欠定，提供系數(shù)選擇的優(yōu)化空間。但是，這些制導(dǎo)方式的落點(diǎn)偏差均在千米級(jí)以上，遠(yuǎn)沒有實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)著陸。

1.3 計(jì)算制導(dǎo)

隨著硬件平臺(tái)計(jì)算能力的不斷提升，為了進(jìn)一步提升航空航天器制導(dǎo)的自主性，近幾年計(jì)算制導(dǎo)這個(gè)新的研究方向越來越得到關(guān)注[14-15]。相比傳統(tǒng)的航天器制導(dǎo)方法，計(jì)算制導(dǎo)強(qiáng)調(diào)用優(yōu)化迭代計(jì)算來逐步取代傳統(tǒng)的解析制導(dǎo)律，依靠魯棒高效的優(yōu)化計(jì)算方法和先進(jìn)的硬件計(jì)算平臺(tái)，來處理航天領(lǐng)域中針對(duì)復(fù)雜非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)化計(jì)算難題，突破傳統(tǒng)制導(dǎo)方法的瓶頸[14]。處理復(fù)雜非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)能力的增強(qiáng)，可以進(jìn)一步提升航天器制導(dǎo)性能，使航天器更加智能自主，對(duì)復(fù)雜多樣的任務(wù)具有更好的適應(yīng)性。Bollino等[16-17]基于直接法中的偽譜方法和采樣反饋技術(shù)提出了滾動(dòng)時(shí)域在線軌跡優(yōu)化制導(dǎo)框架，并應(yīng)用于航天器再入制導(dǎo)。Seebinder等[18]引入靈敏度理論進(jìn)行在線軌跡生成，基于非線性規(guī)劃參數(shù)靈敏度分析和離線優(yōu)化的軌跡來在線生成近似最優(yōu)軌跡，并應(yīng)用于火星大氣進(jìn)入在線軌跡生成問題。Sagliano等[19]將多變量偽譜插值方法與子空間選擇算法相結(jié)合，基于離線最優(yōu)軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)在線生成近似最優(yōu)參考軌跡，應(yīng)用于再入飛行器在線參考軌跡生成問題。

1.4 凸優(yōu)化

在計(jì)算制導(dǎo)研究中，基于凸優(yōu)化的在線軌跡優(yōu)化方法成為了研究熱點(diǎn)并得到快速發(fā)展。凸優(yōu)化的特征[20]如表1所示。

表1 凸優(yōu)化特征

采用凸優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，需要首先將問題進(jìn)行凸化轉(zhuǎn)換，然后采用對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解。對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的求解框架如圖1所示。

圖1 對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法求解框架

但是，并非所有問題均可進(jìn)行無損凸化轉(zhuǎn)換，因此常用的做法是序列凸優(yōu)化。例如先將問題進(jìn)行線性化和凸化處理，在求得當(dāng)前凸優(yōu)化子問題最優(yōu)解后，根據(jù)解的結(jié)果重新修正優(yōu)化命題，重復(fù)上述過程進(jìn)行再一次求解；當(dāng)前后兩次求解的結(jié)果其偏差小于一定范圍時(shí)，認(rèn)為計(jì)算收斂停止迭代。在基于配點(diǎn)法的一般數(shù)值問題求解中，也會(huì)經(jīng)常用到建立多個(gè)子問題進(jìn)行迭代求解的方法，有時(shí)稱作約束松弛方法，即通過建立簡(jiǎn)化的問題，提升求解速度；然后逐步完善至原問題，求解難度逐步加大；但前后兩個(gè)問題比較相似，因此可以用前述一個(gè)問題的解作為后續(xù)問題的合理初值猜想，從而加快后續(xù)問題的求解效率。相對(duì)于這種策略，對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法由于對(duì)初值不敏感而無法效仿，這也是常說對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法無法“熱啟動(dòng)”的原因。

Sagliano[31]將偽譜離散方法和凸優(yōu)化相結(jié)合用于動(dòng)力下降和著陸過程在線軌跡優(yōu)化。如果無法將軌跡優(yōu)化問題一次性轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，通過序列凸優(yōu)化算法將求解原問題轉(zhuǎn)化為求解一系列凸優(yōu)化問題來得到原問題的解[32-34]。Szmuk等[35]、Mao等[36-37]在一定前提下給出了序列凸優(yōu)化算法的收斂性證明。Pinson等[38]研究了一種以燃料最省為目標(biāo)，用于不規(guī)則星體著陸的凸優(yōu)化方法。Wang等[39]通過定義新的狀態(tài)量和控制量實(shí)現(xiàn)對(duì)再入運(yùn)動(dòng)方程狀態(tài)量和控制量的解耦，利用序列線性化將原優(yōu)化問題表述為一系列有限維凸問題，并研究了基于序列半正定規(guī)劃的軌跡優(yōu)化算法[40]。

相比于火星著陸，運(yùn)載火箭地球著陸不可忽略氣動(dòng)力[41]，因而動(dòng)力下降段的飛行優(yōu)化問題非線性更強(qiáng)，可靠高效求解更為困難，因此研究成果還較為有限。Szmuk等[35]研究了含氣動(dòng)阻力的燃料最優(yōu)著陸優(yōu)化問題，利用連續(xù)凸化將原非凸問題轉(zhuǎn)換為迭代求解凸優(yōu)化子問題[42]。Liu[42]將推力與攻角(控制氣動(dòng)升阻力)同時(shí)作為控制量，將對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行迭代求解，并從理論上證明了所采用松弛技術(shù)的有效性。Wang等[43]將該研究工作拓展到飛行時(shí)間自由的問題，并研究了在模型預(yù)測(cè)框架下通過凸優(yōu)化得到制導(dǎo)指令的方法。為了提高著陸飛行軌跡的精度，Wang等[44-45]將偽譜法與凸優(yōu)化相結(jié)合，提出偽譜離散-改進(jìn)序列凸優(yōu)化算法求解含過程約束的著陸優(yōu)化問題，并基于模型預(yù)測(cè)控制與凸優(yōu)化設(shè)計(jì)了著陸制導(dǎo)算法。張志國(guó)等[46]同樣采用了凸優(yōu)化，并通過在線求解凸優(yōu)化問題實(shí)時(shí)得到著陸段制導(dǎo)指令。Ma等[47-48]采用非線性規(guī)劃與偽譜法求解火箭返回全程優(yōu)化問題，并提出內(nèi)外增長(zhǎng)初始化策略提高算法的收斂性。可以看出，以上研究均采用了基于序列凸優(yōu)化或非線性規(guī)劃的方法，但還無法從理論上保證算法的收斂性，目前僅能通過各類技巧提高算法的收斂效果，包括利用數(shù)值優(yōu)化中的線性搜索方法(計(jì)算步長(zhǎng))或信賴域方法(動(dòng)態(tài)調(diào)整信賴域半徑)[49]，以及更利于序列凸優(yōu)化收斂的凸化方法[50]。此外，算法的不可靠(無法保證收斂)通常也使其難以滿足實(shí)時(shí)性要求。

總而言之，提高著陸軌跡優(yōu)化的可靠性與計(jì)算效率仍是目前學(xué)術(shù)界的研究難點(diǎn)，具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和潛在的應(yīng)用價(jià)值。目前,國(guó)內(nèi)外在該領(lǐng)域的研究仍處于探索階段，現(xiàn)有方法還難以工程應(yīng)用。深入研究保證收斂、具備在箭載計(jì)算機(jī)上實(shí)時(shí)計(jì)算、性能魯棒的精確著陸制導(dǎo)方法，對(duì)助力我國(guó)早日掌握火箭回收技術(shù)，提高我國(guó)在商業(yè)航天國(guó)際發(fā)射市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力具有非常重要的意義。

2 美國(guó)開展的實(shí)踐研究

美國(guó)的定點(diǎn)著陸經(jīng)歷了月球、火星以及地球3種環(huán)境，其定點(diǎn)著陸的難度逐漸加大。

2.1 Apollo任務(wù)

對(duì)于月球著陸，經(jīng)典的Apollo制導(dǎo)算法在動(dòng)力下降段根據(jù)狀態(tài)邊界約束和固定飛行時(shí)間，尋找加速度剖面的閉合形式解。盡管Apollo任務(wù)取得了令其自身專家均感到驚訝的成果，其制導(dǎo)方法仍存在以下不足：1)制導(dǎo)生成的軌跡不能保證滿足飛行器推力約束，因此在制導(dǎo)指令中引入散布修正項(xiàng)；2)除終端約束外，對(duì)飛行器狀態(tài)沒有約束，生成的軌跡可能會(huì)進(jìn)入地下或與障礙物碰撞；3)軌跡在時(shí)間或燃油消耗方面也不是最佳的。

自Apollo計(jì)劃結(jié)束以來，為了提高性能，對(duì)著陸段制導(dǎo)方法進(jìn)行了擴(kuò)展[12]。修改后的Apollo制導(dǎo)算法將飛行時(shí)間作為自由變量，通過對(duì)飛行時(shí)間的線性搜索，查找符合飛行器約束、著陸時(shí)間最短或燃料消耗最小的飛行軌跡。這種方法可以在不顯著增加實(shí)現(xiàn)復(fù)雜性的情況下大大提高性能，但并不是全局最優(yōu)的軌跡。

2.2 火星探測(cè)任務(wù)

對(duì)于火星著陸任務(wù),NASA火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室MSL在2012年著陸時(shí)使用了基于Apollo的改進(jìn)式多項(xiàng)式制導(dǎo)方法進(jìn)行動(dòng)力下降。該算法的目標(biāo)是在動(dòng)力下降段實(shí)現(xiàn)拋傘點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)高精度的高度和航程控制，并且多項(xiàng)式制導(dǎo)能夠在飛行器勻速垂直下降之前消除水平速度，使垂直速度達(dá)到預(yù)定值。

盡管MSL的制導(dǎo)算法進(jìn)行了改進(jìn)，但其對(duì)再入初始條件的適應(yīng)能力仍然有限，因此考核制導(dǎo)算法的性能僅針對(duì)開傘點(diǎn)，即將針對(duì)開傘點(diǎn)的控制精度和機(jī)動(dòng)性能作為考核指標(biāo)[51]，如果開傘點(diǎn)距離標(biāo)稱位置差距較大，制導(dǎo)算法并不具備在線規(guī)劃和定點(diǎn)控制的能力，因此，火星著陸的落點(diǎn)偏差都在千米級(jí)以上。

2.3 未來火星定點(diǎn)著陸探測(cè)

NASA認(rèn)為，Apollo任務(wù)及其改進(jìn)算法無法滿足定點(diǎn)著陸的要求，主要是由于機(jī)動(dòng)范圍受限。著陸的最后兩個(gè)階段是減速段(比如采用降落傘減速)、動(dòng)力下降段(powered descent, PD)，由于減速段很難準(zhǔn)確控制與PD段的交接班條件，因此PD段的初始狀態(tài)無法提前確定，這時(shí)需要采用自主制導(dǎo)(autonomous guidance)來實(shí)現(xiàn)軌跡調(diào)整和控制，示意圖如圖2所示[52]。

圖2 自主制導(dǎo)示意圖

迄今為止，著陸任務(wù)通常針對(duì)行星表面平坦的區(qū)域，以提高安全著陸的概率。但未來對(duì)火星探測(cè)的需求不僅局限于此，更有價(jià)值的科學(xué)興趣點(diǎn)往往位于地勢(shì)險(xiǎn)峻甚至溝壑和谷底，那里可能曾經(jīng)是河流沖刷的遺跡。對(duì)這些地區(qū)的探測(cè)，靠火星車從平坦處翻山越嶺來考察是不現(xiàn)實(shí)的，因此定點(diǎn)著陸成了任務(wù)成功的前提條件。目前，包括NASA自主精確著陸危險(xiǎn)規(guī)避技術(shù)(Autonomous Landing Hazard Avoidance Technology, ALHAT)[53]、美國(guó)國(guó)家航空航天局自動(dòng)著陸系統(tǒng)(Autonomous Autolanding System, AAS)[54]、NASA JPL著陸器視覺系統(tǒng)(Lander Vision System, LVS)[55]在內(nèi)的多種自主精確導(dǎo)航和危險(xiǎn)檢測(cè)技術(shù)正處于開發(fā)和測(cè)試階段，這些系統(tǒng)的發(fā)展和精確著陸制導(dǎo)將使自主定點(diǎn)著陸精度控制在100m范圍內(nèi)，從而具備探測(cè)科學(xué)家們更感興趣的危險(xiǎn)區(qū)域的能力。

為此，JPL從2004年起就提出了一種燃料最優(yōu)大范圍轉(zhuǎn)移(Guidance for Fuel-Optimal Large Diverts, G-FOLD)[52]的制導(dǎo)算法，歷經(jīng)9年的研發(fā)。該算法在節(jié)省燃料的同時(shí)，充分利用飛行器的機(jī)動(dòng)能力，最大化著陸精度，并結(jié)合推力大小和方向約束，以最大速度和地表避障為狀態(tài)約束，生成可行的飛行軌跡。

G-FOLD利用無損凸化方法引入附加松弛變量對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行增廣，采用一組等效的控制約束凸化著陸優(yōu)化問題，生成滿足狀態(tài)量和控制量約束的燃料最省飛行軌跡。并且設(shè)計(jì)了基于內(nèi)點(diǎn)法算法的定制化二階錐優(yōu)化求解器SOCP(Second Order Cone Programming)，提升軌跡優(yōu)化的效率和可靠性。2012年，JPL主導(dǎo)的自主上升與下降動(dòng)力飛行試驗(yàn)項(xiàng)目(Autonomous Ascent and Descent Powered-Flight Testbed, ADAPT)[56]在Xombie飛行器上成功對(duì)G-FOLD算法進(jìn)行了測(cè)試，能以每100ms在線計(jì)算一次的周期，將著陸精度控制在米級(jí),算法框圖如圖3所示。

圖3 G-FOLD在線軌跡規(guī)劃框圖

G-FOLD中包含4個(gè)主要模塊，即飛行時(shí)間優(yōu)化器(剩余飛行時(shí)間按照最小燃料消耗的目標(biāo)進(jìn)行線性搜索得到)、軌跡優(yōu)化器(轉(zhuǎn)換為二階錐優(yōu)化問題)、狀態(tài)預(yù)測(cè)器(考慮對(duì)規(guī)劃的時(shí)延進(jìn)行補(bǔ)償)和軌跡狀態(tài)表生成器(離散精度為20ms)；以及前處理和后處理模塊，其中前處理是將優(yōu)化命題轉(zhuǎn)換為G-OPT的標(biāo)準(zhǔn)形式，后處理是將計(jì)算結(jié)果中的一些松弛變量轉(zhuǎn)換為原來的物理變量。

該技術(shù)讓NASA看到了火星定點(diǎn)著陸的希望。2015年，在NASA最新版技術(shù)發(fā)展路線圖(2015 NASA Technology Roadmaps)的第9個(gè)領(lǐng)域“再入、下降和著陸系統(tǒng)”中重點(diǎn)提到了大范圍移動(dòng)制導(dǎo)方法[57]，其中對(duì)G-FOLD算法評(píng)價(jià)為“NASA目前所知的唯一滿足約束、燃料最優(yōu)且自主的算法”，實(shí)現(xiàn)了在線制導(dǎo)。在該路線圖中，NASA還總結(jié)了與其有關(guān)的技術(shù)子項(xiàng)，包括凸優(yōu)化問題的求解、在飛行計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)大范圍移動(dòng)的制導(dǎo)方法、大范圍移動(dòng)制導(dǎo)方法測(cè)試平臺(tái)3部分,如表2所示。

表2 在線軌跡規(guī)劃關(guān)鍵技術(shù)

為了驗(yàn)證該算法，NASA資助了多個(gè)小型飛行器的研制，并提供在這些飛行器上進(jìn)行飛行驗(yàn)證的機(jī)會(huì)(通過NASA Flight Opportunities項(xiàng)目進(jìn)行申請(qǐng))。這些不同類型的驗(yàn)證飛行器如圖4所示。

圖4 美國(guó)各類垂直起降驗(yàn)證飛行器

2.4 Falcon9火箭

SpaceX公司的技術(shù)人員與前期開展凸優(yōu)化研究的美國(guó)學(xué)者和研究團(tuán)隊(duì)有著千絲萬縷的聯(lián)系。在其制導(dǎo)/導(dǎo)航與控制技術(shù)GNC首席工程師Blackmore看來[41]，在地球上帶有大氣的再入定點(diǎn)著陸比火星更困難。主要原因是地球的大氣密度大約是火星的100倍以上，氣動(dòng)力已經(jīng)不能當(dāng)作一項(xiàng)較小的干擾而被忽略。

圖5[41]所示的地球著落飛行過程中，最后紅色包絡(luò)的階段系采用了動(dòng)力轉(zhuǎn)移制導(dǎo)(powered divert guidance, PDG)，目的是消除前序飛行段積累的誤差。從圖5中可以看出，在有動(dòng)力工作的階段，如上升段、反推段，能夠減小控制偏差；在大氣層外滑行段，偏差基本維持不變；而在氣動(dòng)減速段，受大氣擾動(dòng)影響偏差增大，這些增大的偏差完全依靠最后的PDG制導(dǎo)來消除。對(duì)比圖5和圖2可以看出，在線軌跡規(guī)劃的主要使命，就是在末端動(dòng)力反推起點(diǎn)初始狀態(tài)不能提前確定(取決于氣動(dòng)減速和傘降減速的控制精度)的情況下，將飛行器著陸在提前確定的終點(diǎn)上。

圖5 SpaceX對(duì)垂直起降過程剖面的描述

Blackmore透露[41]，他們使用CVXGEN (Mattingley and Boyd 2012)生成定制化的飛行代碼，從而在考慮氣動(dòng)力的條件下，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)精確著陸段軌跡規(guī)劃問題的在線快速求解。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)需要非常快速的在線凸優(yōu)化，在零點(diǎn)幾秒內(nèi)得到最優(yōu)飛行軌跡。

為實(shí)現(xiàn)火箭垂直回收，SpaceX開展了多次回收試驗(yàn)，制定了多元、漸進(jìn)式發(fā)展的重復(fù)使用技術(shù)驗(yàn)證計(jì)劃，其研究過程如圖6所示。該計(jì)劃包括以下3種試驗(yàn)：低空(低于3.5km)、低速測(cè)試，高空(3.5km～91km)、中速測(cè)試，高空(91km以上)、高速(Ma=6)的彈道式再入、受控減速和受控降落試驗(yàn)。其中前2種主要通過蚱蜢驗(yàn)證機(jī)、F9R-Dev和新型F9R-Dev2驗(yàn)證機(jī)進(jìn)行驗(yàn)證，而第3種則結(jié)合Falcon-9火箭發(fā)射任務(wù)進(jìn)行。經(jīng)過持續(xù)的地面試驗(yàn)以及飛行試驗(yàn)，于2015年12月22日在陸地第一次成功回收了Falcon 9一級(jí)火箭，又于2016年4月8日在海上第一次成功回收了Falcon 9一級(jí)火箭，標(biāo)志著SpaceX突破了垂直著陸技術(shù)。2018年2月6日，F(xiàn)alcon Heavy火箭升空，并成功同時(shí)回收了兩枚助推器。

目前,國(guó)際上將火箭垂直著陸的過程分為兩種形式：1)返回原場(chǎng)(return to site)，火箭以著陸后減少運(yùn)輸成本為目的，返回發(fā)射場(chǎng)附近；2)順程著陸(down range landing)，火箭以盡可能減少回收損失的運(yùn)載能力為目的，在飛行方向上，設(shè)置移動(dòng)著陸平臺(tái)。Falcon Heavy的發(fā)射任務(wù)示意圖如圖7所示[58]，其中兩臺(tái)助推器分離時(shí)刻較早采用返回原場(chǎng)方式回收，芯級(jí)分離時(shí)刻能量較大采用順程著陸的方式進(jìn)行回收。

圖6 SpaceX垂直著陸技術(shù)研究過程

圖7 Falcon Heavy發(fā)射任務(wù)示意圖

3 其他國(guó)家相關(guān)工作

3.1 法國(guó)航天局(Centre National D’Etudes Spatiales, CNES)

CNES認(rèn)為制導(dǎo)/導(dǎo)航與控制技術(shù)GNC是垂直著陸過程最具挑戰(zhàn)的技術(shù)之一，并研發(fā)了分別基于渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)和擠壓式火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的FROG(a Rocket for GNC demonstration)驗(yàn)證平臺(tái)，用于驗(yàn)證垂直著陸過程中的制導(dǎo)控制算法,見圖8(a)。然而從文獻(xiàn)上看[59]，在FROG中并沒有采用在線規(guī)劃算法，而是離線根據(jù)直接法規(guī)劃最優(yōu)軌跡，并存貯在嵌入式計(jì)算機(jī)中；通過設(shè)計(jì)PID控制率和LQG最優(yōu)控制率對(duì)俯仰、偏航和滾動(dòng)三通道進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)著陸軌跡的跟蹤。

3.2 德國(guó)航空航天中心(Deutsches Zentrum fur Luft- und Raumfahrt, DLR)

DLR研制了EAGLE (Environment for Autonomous GNC and Landing Experiments)垂直起降驗(yàn)證平臺(tái)[60]，并利用凸優(yōu)化算法實(shí)時(shí)計(jì)算動(dòng)力著陸段燃料最省的飛行軌跡,見圖8(b)。根據(jù)最大可用加速度分別估計(jì)水平和豎直飛向的剩余飛行時(shí)間，取兩者最大值作為預(yù)計(jì)剩余飛行時(shí)間；并通過松弛終端約束的方式避免這個(gè)估計(jì)值有可能導(dǎo)致找不到最優(yōu)解的情況。算法采用梯形法和偽譜法對(duì)凸優(yōu)化問題進(jìn)行離散化，采用ECOS求解器快速計(jì)算。該求解器是蘇黎世理工大學(xué)成立的Embotech公司研發(fā)的基于對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的凸優(yōu)化問題嵌入式求解器，該公司還研發(fā)了基于數(shù)值算法的實(shí)時(shí)決策軟件FORCES[61]，從數(shù)值優(yōu)化理論上支撐歐洲各國(guó)和歐空局開展包括垂直著陸在內(nèi)的在線軌跡規(guī)劃研究工作。

(a)FROG

(b)EAGLE

(c)RV-X

3.3 CALLISTO

CNES和DLR聯(lián)合開發(fā)了驗(yàn)證飛行器CALLISTO(Cooperative Action Leading to Launcher Innovation in Stage Toss-back Operation)[62]，并且日本國(guó)家航天局JAXA在2017年也加入到了CALLISTO的研發(fā)中，該飛行器計(jì)劃2022年具備驗(yàn)證條件，并開展10次左右的飛行試驗(yàn)，驗(yàn)證包括制導(dǎo)控制技術(shù)在內(nèi)的垂直起降關(guān)鍵技術(shù)，降低未來發(fā)射風(fēng)險(xiǎn)。從圖9看，3國(guó)航天機(jī)構(gòu)各有側(cè)重，但GNC技術(shù)由原本法國(guó)航天局開發(fā)變成法、德、日3國(guó)共同研發(fā)。

日本在參與CALLISTO 之前，JAXA也獨(dú)立研發(fā)了RV-X飛行器(見圖8(c))[63-64]，用于驗(yàn)證著陸段的制導(dǎo)控制技術(shù)，并計(jì)劃開展百米高度的垂直起降飛行試驗(yàn)，這也為其后續(xù)開展國(guó)際合作積累了經(jīng)驗(yàn)。

(a)CNES和DLR版本

(b)法德日聯(lián)合版本

3.4 THEMIS

法國(guó)航天局將未來可重復(fù)使用的芯一級(jí)火箭命名為THEMIS，采用7臺(tái)可重復(fù)使用的液氧甲烷發(fā)動(dòng)機(jī)Prometheus，計(jì)劃于2023—2025年之間開展驗(yàn)證飛行，從而支撐新一代Ariane NEXT系列火箭的可重復(fù)使用。圖10是其效果圖，分別是火箭起飛和芯一級(jí)著陸[65]。

圖10 CNES構(gòu)想的重復(fù)使用一級(jí)飛行器THEMIS

總結(jié)各國(guó)垂直著陸技術(shù)的研發(fā)路線可以看出，各國(guó)科研機(jī)構(gòu)均以驗(yàn)證制導(dǎo)控制技術(shù)為目的，專門研發(fā)了小型驗(yàn)證飛行器,并且在線軌跡規(guī)劃技術(shù)作為著陸過程中的核心技術(shù)之一。美國(guó)和歐洲各國(guó)分別依托斯坦福大學(xué)和蘇黎世理工大學(xué)實(shí)驗(yàn)室的力量，研發(fā)了基于嵌入式平臺(tái)的在線軌跡規(guī)劃求解器，提升著陸過程的精度和成功率。

4 結(jié)論

綜合上述學(xué)術(shù)研究成果和各國(guó)開展的應(yīng)用可以看出：基于數(shù)值優(yōu)化的制導(dǎo)或在線軌跡規(guī)劃方法已成為學(xué)術(shù)界主流研究方向，并逐漸得到了工程界的認(rèn)可和應(yīng)用?？紤]凸優(yōu)化算法能夠保證收斂性的特點(diǎn)，垂直著陸問題的無損凸化方法研究和數(shù)值求解算法研究已成為工程領(lǐng)域和數(shù)值優(yōu)化領(lǐng)域的重要方向，其中基于對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法開發(fā)的凸優(yōu)化求解器已成為在線軌跡規(guī)劃算法的首選。結(jié)合我們自身開展的前期研究，得出如下結(jié)論：

1)基于模型的在線優(yōu)化方法對(duì)模型的精度要求較高，預(yù)測(cè)模型的偏差將被引入到每個(gè)規(guī)劃周期生成的最優(yōu)控制指令中，從而不斷累積至終端狀態(tài)。此時(shí)，對(duì)于終端約束不嚴(yán)格、可行域較寬、控制能力有盈余的問題，通過在線滾動(dòng)優(yōu)化可以一定程度上消除預(yù)測(cè)模型偏差的影響。然而對(duì)于定點(diǎn)垂直著陸問題，終端約束條件的滿足程度直接影響著陸過程的成功率，因此開展在線辨識(shí)算法的研究，實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)模型十分必要。

2)為進(jìn)一步提升凸優(yōu)化計(jì)算效率，針對(duì)計(jì)算耗時(shí)最多的線性方程組求解問題，稀疏矩陣分解和迭代更新等算法的優(yōu)化或者硬件化可能是有效手段；同時(shí)，適用于熱啟動(dòng)(可以人為設(shè)定合理的初值)的交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)也是新的理論研究方向之一。

3)對(duì)于垂直著陸任務(wù)，推力可調(diào)是實(shí)現(xiàn)垂直著陸段的必要條件，其重要性要大于推力深度調(diào)節(jié)能力。調(diào)節(jié)深度的大小取決于算法的先進(jìn)性。如果推力幅值固定，在偏差狀態(tài)下僅能通過姿態(tài)調(diào)節(jié)來控制，但不能同時(shí)兼顧三通道控制要求，往往為克服縱向偏差將在水平方向引入更大的偏差。當(dāng)推力幅值具備調(diào)節(jié)能力后，僅需較小的幅值調(diào)整范圍就能夠產(chǎn)生姿態(tài)大范圍調(diào)節(jié)的控制效果，同時(shí)配合較小的姿態(tài)調(diào)整能夠在偏差條件下滿足各方向的控制要求。

4)推力調(diào)節(jié)的深度將主要影響從氣動(dòng)減速段至動(dòng)力反推段的接入條件；調(diào)節(jié)范圍越窄，對(duì)交接班條件的限制越嚴(yán)格。交班條件可看作是能夠?qū)崿F(xiàn)安全著陸的物理可行域，通?？杀硎緸橛伤俣群臀恢脴?gòu)成的多維空間；超出這個(gè)條件，不是優(yōu)化算法找不到最優(yōu)解，而是物理上不可行。此外，推力越大，動(dòng)力反推的起點(diǎn)就越低，反推段的工作時(shí)間就越短。因此，可以根據(jù)控制算法的能力、發(fā)動(dòng)機(jī)推力調(diào)節(jié)的難度以及氣動(dòng)減速段的控制精度選擇一個(gè)最優(yōu)的、可行的推力調(diào)節(jié)范圍。對(duì)于當(dāng)前我國(guó)發(fā)動(dòng)機(jī)推力大、深度節(jié)流和調(diào)節(jié)性能較弱的情況，需要針對(duì)交接班條件開展研究。

5)不同的接入條件對(duì)偏差的適應(yīng)能力差別較大，為保證著陸過程中對(duì)正、負(fù)向偏差均具有一定的適應(yīng)能力，要求接入條件對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)推力盡可能處于調(diào)節(jié)范圍的中值附近。

6)末段推重比越大，計(jì)算延時(shí)對(duì)精度的影響就越顯著，因此需要研究計(jì)算延時(shí)的補(bǔ)償算法。