章恩澤, 尹 丹

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225127)

近年來(lái), 隨著電力系統(tǒng)節(jié)能減排運(yùn)行需求的不斷增加, 一種綜合考慮發(fā)電成本和污染排放的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模式——環(huán)境/經(jīng)濟(jì)調(diào)度(environmental/economic dispatch, EED)[1-2]備受關(guān)注. Chen等[3]提出一種非線性分式規(guī)劃方法并建立了2個(gè)同步模型求解EED. Wei等[4]提出基于線性規(guī)劃的外部近似算法進(jìn)行求解. 然而, 此類基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法難以得到污染排放和燃料費(fèi)用之間的折中關(guān)系. 目前, 求解EED問(wèn)題主要采用啟發(fā)式方法[5-6], 其中粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法[7-8]實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且快速收斂, 尤其適用于處理EED復(fù)雜問(wèn)題中的高維數(shù)和非線性[9-10]. 此外, 約束多目標(biāo)粒子群(constrained multi-objective particle swarm optimization, CMOPSO)算法[11]、基于Sigma值的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(multi-objective particle swarm optimization with the sigma method, SMOPSO)算法[12]及時(shí)變多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(time variant multi-objective particle swarm optimization, TVMOPSO)算法[13]亦被應(yīng)用于解決EED問(wèn)題, 但這些方法均存在控制參數(shù)多和局部搜索精度低等問(wèn)題. 與PSO算法相比, 具有量子行為特性的粒子群優(yōu)化(quantum-based particle swarm optimization, QPSO)算法[14]尋優(yōu)能力更強(qiáng)、收斂速度更快且控制參數(shù)更少. 本文擬提出一種改進(jìn)的多目標(biāo)量子粒子群優(yōu)化算法(quantum-based multi-objective particle swarm optimization, QMOPSO)求解EED問(wèn)題, 通過(guò)引入隨時(shí)間變化而改變作用范圍的變異算子增強(qiáng)算法的搜索能力,設(shè)置外部存儲(chǔ)器保留搜索過(guò)程中找到的Pareto最優(yōu)解, 并引入模糊集理論提取折中解, 以期為調(diào)度人員提供最佳調(diào)度方案.

1 EED問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

EED問(wèn)題是在滿足若干約束條件的前提下尋找一個(gè)最優(yōu)調(diào)度方案, 使得燃料費(fèi)用和污染排放同時(shí)達(dá)到最優(yōu), 其本質(zhì)是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.

1.1 目標(biāo)函數(shù)

1.2 約束條件

1.3 優(yōu)化問(wèn)題

(1)

2 多目標(biāo)量子粒子群優(yōu)化算法

2.1 具有量子行為特性的粒子群優(yōu)化算法

QPSO僅有位移更新而沒(méi)有速度更新,其位移更新方程為

(2)

式中u和φ均為[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù),pbi為第i個(gè)粒子的自身最佳位置,pbi=[pbi1,pbi2,…,pbiD],D為粒子的維數(shù),pg為粒子群的全局最優(yōu)位置,mb為各個(gè)粒子最佳位置的中心,α為壓縮因子(取值0.5～1.0).

QPSO算法描述如下:

1) 選擇全局最佳位置. 首先計(jì)算外部檔案中每個(gè)非劣解的擁擠距離, 隨后為外部檔案中每個(gè)粒子選擇gb, 擁擠距離值越大, 則該粒子被選為pg的概率越大;

2) 引入變異算子, 提高尋優(yōu)過(guò)程中群體的多樣性. 在QMOPSO中, 以隨時(shí)間變化而改變作用范圍的方式進(jìn)行變異操作;

3) 更新外部檔案. 設(shè)置一個(gè)容量有限的外部檔案保留搜索過(guò)程中找到的非支配解. 當(dāng)外部檔案達(dá)到最大容量Na時(shí), 采用基于擁擠距離的方法對(duì)外部檔案進(jìn)行裁剪.

QMOPSO算法步驟如下:

1) 初始化量子粒子群,每個(gè)粒子的初始自身最佳位置設(shè)置為粒子本身;

2) 計(jì)算各粒子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)向量, 根據(jù)Pareto支配關(guān)系將非劣解置于外部檔案中;

3) 為每個(gè)粒子從外部檔案中選取pg, 根據(jù)式(2)更新粒子位置, 再進(jìn)行變異操作與約束處理;

4) 計(jì)算新種群中每個(gè)粒子的目標(biāo)向量;

5) 更新粒子的pb. 將更新后的粒子與當(dāng)前自身最佳位置pb比較, 若更新后粒子支配了pb, 則更新后粒子為新的pb; 否則,pb保持不變;

6) 更新外部檔案;

7) 若達(dá)到最大迭代次數(shù), 轉(zhuǎn)入下一步, 否則轉(zhuǎn)入步驟3);

8) 輸出外部檔案中Pareto最優(yōu)解作為最終解.

2.2 QMOPSO求解EED問(wèn)題的具體實(shí)現(xiàn)

將本文方法應(yīng)用于IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[15]. 該系統(tǒng)中含6臺(tái)發(fā)電機(jī), 由41條傳輸線路連接而成,系統(tǒng)有功負(fù)荷總和的標(biāo)幺值為2.834.

1) 編碼. 將每個(gè)發(fā)電機(jī)的輸出功率作為分量構(gòu)成一個(gè)粒子, 每個(gè)粒子由一個(gè)六位的實(shí)數(shù)編碼串構(gòu)成, 即PGi=(PGi,1,PGi,2,PGi,3,PGi,4,PGi,5,PGi,6),i=1,2,…,NS, 其中NS為種群規(guī)模,PGi,j為第j臺(tái)發(fā)電機(jī)的輸出功率.

2) 約束處理. 使用適用于等式約束的方法[15]來(lái)處理電力平衡約束,將非可行解轉(zhuǎn)化為可行解, 保證獲得非劣解的可行性.

3) 折中解. 對(duì)于外部檔案中某個(gè)非支配解xk, 其關(guān)于目標(biāo)函數(shù)Fi的滿意度為

(3)

3 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證QMOPSO的性能, 將其優(yōu)化結(jié)果與CMOPSO[11]、SMOPSO[12]和TVMOPSO[13]等3種典型多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比分析. 所有實(shí)驗(yàn)均在Intel(R) Core(TM)2 Duo處理器、2.0 GHz、2.0 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上采用Matlab R2013a編程實(shí)現(xiàn).

算法參數(shù)設(shè)置: CMOPSO中自適應(yīng)網(wǎng)格每一維目標(biāo)的劃分?jǐn)?shù)為30, 變異概率為0.4, 慣性權(quán)重ω=0.4; SMOPSO中擾動(dòng)因子RT取[0,1]上隨機(jī)數(shù), 添加概率為0.05,ω=0.4; TVMOPSO中變異參數(shù)取5,ω=0.3(tmax-t)/tmax+0.4,c1=-2.0t/tmax+2.5,c2=2.0t/tmax+0.5, 其中tmax為最大迭代次數(shù). 此外,為客觀公正地評(píng)價(jià)算法的性能, 4種算法中種群及外部檔案規(guī)模均設(shè)為50, 最大迭代次數(shù)tmax設(shè)為400.

采用非劣間距度量(spacing metric, SM)、標(biāo)準(zhǔn)化距離(normalized distance metric,NDM)及支配覆蓋率(tow set coverage, TSC)比較4種算法下的求解結(jié)果,如表1～2所示.

SM值用來(lái)描述非劣解在目標(biāo)空間上分布的均勻性,其值越小表明非劣解分布越均勻. 通過(guò)度量?jī)蓚€(gè)極端解(即分別單獨(dú)優(yōu)化兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)所得最優(yōu)解)的NDM值評(píng)價(jià)Pareto前沿分布的范圍,其值越大表明非劣解分布越寬廣. 采用TSC度量算法所獲得的非劣解與問(wèn)題的未知Pareto前沿之間的逼近程度,以驗(yàn)證算法的收斂性能. 對(duì)于算法A和B,TSC(A,B)=1表示算法B的解完全被A的解支配(稱A覆蓋B),表明A獲得的Pareto最優(yōu)前沿更接近真實(shí)的Pareto前沿. 由表1～2可知: QMOPSO關(guān)于指標(biāo)SM的平均性能最好,且在Pareto最優(yōu)解的分布廣度上的平均性能優(yōu)于其他3種算法; QMOPSO所得解分別有4.71%被SMOPSO所得解支配,6.28%被CMOPSO所得解支配,QMOPSO的收斂性能優(yōu)于其他3種算法.

為了進(jìn)一步說(shuō)明所得解在目標(biāo)空間的分布, 現(xiàn)給出4種算法所得Pareto前沿及折中解, 如圖1所示. 由圖1可見(jiàn),QMOPSO和SMOPSO的解分布更均勻. 綜上分析, QMOPSO算法的收斂性、分布的均勻性和寬廣性均優(yōu)于其他3種算法, 更能有效求解EED問(wèn)題.

表1 4種算法關(guān)于指標(biāo)SM、NDM的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 4種算法關(guān)于指標(biāo)TSC的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

圖1 4種算法所得Pareto前沿及折中解示意圖Fig.1 Pareto fronts and compromise solutions produced by the four algorithms

分別單獨(dú)優(yōu)化燃料費(fèi)用和廢氣排放得到問(wèn)題的2個(gè)極端解, 其最小值如表3所示. 由表3可知, 與其他3種算法相比,QMOPSO獲得的極端解最優(yōu).

表4 4種算法所得的最優(yōu)折中解