孫彥景，劉洋，周家思，曹起，李松

（1.中國礦業(yè)大學信息與控制工程學院，江蘇 徐州 221116；2.西安科技大學通信與信息工程學院，陜西 西安 710600；3.香港中文大學（深圳）理工學院，廣東 深圳 518172）

1 引言

高效的無線接入技術對于實現(xiàn)下一代無線網(wǎng)絡的高數(shù)據(jù)速率和設備大規(guī)模連接都具有重要意義。非正交多址接入（NOMA,non-orthogonal multiple access）技術作為一種新型的多址接入技術[1]，由于可以顯著地提高系統(tǒng)的頻譜利用率與系統(tǒng)和速率，已經(jīng)引起國內(nèi)外學者的廣泛關注。與傳統(tǒng)的正交多址接入（OMA,orthogonal multiple access）技術相比，NOMA 可在同一時頻資源塊上通過功率復用服務多個用戶，并在接收端利用串行干擾消除（SIC,successive interference cancellation）技術減少干擾。NOMA 通常根據(jù)用戶的信道狀態(tài)條件，為信道條件較差的用戶分配更多的功率，從而利用用戶間信道差異獲得性能增益。文獻[2]已經(jīng)證明與OMA 方案相比，NOMA 輔助的多播和單播方案可以提高系統(tǒng)的頻譜利用率。

多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）技術在不增加頻譜帶寬的前提下，可以提供分集增益和空間復用增益以成倍地提高數(shù)據(jù)傳輸速率，因此NOMA 和MIMO 的結合可以提升通信系統(tǒng)的能量效率及頻譜利用率。文獻[3]比較了MIMO 信道中NOMA 和OMA 系統(tǒng)在兩用戶及多用戶場景下的和速率，仿真分析證明，在2種場景下，MIMO NOMA 的系統(tǒng)性能都明顯優(yōu)于MIMO OMA。文獻[4-6]在下行鏈路場景中，對MIMO NOMA 系統(tǒng)和速率最大化問題進行了研究。文獻[4]針對MIMO NOMA 多中繼協(xié)作網(wǎng)絡，提出了一種低復雜度的天線選擇方案，以解決遍歷和速率最大化問題，并推導出在高信噪比情況下遍歷和速率上下界的閉合形式。文獻[5]研究了MIMO NOMA 系統(tǒng)存在單個竊聽者情況下的保密和速率最大化問題，并提出了基于二階錐規(guī)劃的交替優(yōu)化方案。文獻[6]基于完美信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information），在系統(tǒng)總功率受限和弱用戶服務質量（QoS,quality of service）需求的約束下研究了MIMO NOMA 系統(tǒng)和速率最大化問題，并提出了在全速率傳輸情況下的最優(yōu)臟紙編碼算法。

然而，以上研究均假設CSI 是完美的。隨著發(fā)射天線數(shù)增加，在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)存在導頻污染的情況下，由于天線校準誤差、信道估計誤差以及反饋受限，獲取精確的發(fā)射端CSI 變得尤其困難，因此這種假設過于理想化，不能直觀反映實際網(wǎng)絡的性能。而且NOMA 系統(tǒng)的編解碼與CSI 質量密切相關，所以分析具有非完美CSI 的NOMA 系統(tǒng)顯得尤為重要。

在文獻[6]的基礎上，文獻[7]基于非完美CSI，在瑞利衰落信道中研究了同樣的優(yōu)化問題，并提出最優(yōu)和低復雜度次優(yōu)功率分配算法。文獻[8-10]在總功率和用戶QoS 受限的情況下，研究了MIMO NOMA 系統(tǒng)的能量效率最大化問題，并提出了用戶分簇方案和混合波束成形方案。此外，為了減小接收信號與發(fā)送信號之間的歐氏距離，在接收端可采用最小均方誤差（MMSE,minimum mean squared error）接收機接收信號。文獻[11]研究了MMSE 波束成形和基于NOMA 的最大比傳輸這2種傳輸模式的自適應切換問題，以最大化加權和速率。

目前在針對MIMO NOMA 系統(tǒng)和速率的研究中，在接收端利用SIC 減少強用戶受到的干擾時，僅考慮強用戶解碼弱用戶的信號的總速率。而在SISO NOMA 系統(tǒng)中，在系統(tǒng)總功率和用戶QoS 受限的情況下，需要對每個用戶的解碼速率進行限制[12-13]，那么在MIMO NOMA 系統(tǒng)中，為了保證各用戶信號的正確解碼，限定強用戶的每條數(shù)據(jù)流都需要正確解碼弱用戶的信號具有重要意義。在NOMA 系統(tǒng)中，發(fā)送天線噪聲功率與發(fā)送信號功率成正比，弱用戶所分配的大功率信號的發(fā)送噪聲可能會掩蓋小功率的有用信號，因此在系統(tǒng)建模時還需要考慮發(fā)送天線噪聲。

針對上述問題，在系統(tǒng)總功率受限和用戶QoS需求的約束下，本文基于非完美CSI 研究了MIMO NOMA 系統(tǒng)的預編碼和接收機設計以最大化系統(tǒng)和速率。在接收端，將發(fā)送天線噪聲考慮在內(nèi)，通過設計接收機以最小化接收信號與發(fā)送信號之間的誤差，限定強用戶的每條數(shù)據(jù)流都可以解碼弱用戶的信號，從而可以保證用戶信號的每條數(shù)據(jù)流的正確解碼。但由于預編碼矩陣和其共軛轉置矩陣的耦合導致所形成的優(yōu)化問題具有非凸性，本文利用半正定規(guī)劃和一階泰勒展開形成D.C.（difference of two convex functions）問題，由于重構優(yōu)化問題時忽略了預編碼協(xié)方差矩陣秩為1的限制條件，采用罰函數(shù)保證優(yōu)化問題之間等價。仿真結果表明，與OMA 系統(tǒng)相比，本文提出的D.C.算法可以提升系統(tǒng)和速率。

2 系統(tǒng)模型

本文考慮的系統(tǒng)模型如圖1所示。基站與各用戶所配置的天線數(shù)分別為M和N，并假設M≥N。假設用戶1和用戶2分別代表強用戶和弱用戶，其中，Hi∈CN×M表示基站到用戶i(i∈{1,2})的信道。在發(fā)送端，基站利用預編碼矩陣Vi∈CM×N對信號si∈CN×1進行預編碼，并將兩用戶信號疊加后再分別發(fā)送給用戶i。假設源信號si的協(xié)方差矩陣為單位陣，即Cov(si)=I。

圖1 MIMO NOMA 系統(tǒng)模型

基站發(fā)送給用戶i的信號xi，經(jīng)過無線信道傳輸后可表示為

其中，j∈{1,2}且j≠i；n i為加性高斯白噪聲；c為發(fā)送天線噪聲，其功率與發(fā)送信號功率成正比，即

其中，ei為接收天線噪聲，其功率與接收噪聲的功率成正比，即

其中，β為比例系數(shù)，Φi為ui的協(xié)方差矩陣，即

此外，本文假設發(fā)送端無法獲得完美CSI，即存在信道估計誤差，其協(xié)方差矩陣為單位陣σ2I，并滿足

3 問題建模

根據(jù)NOMA 技術原理，強用戶可利用SIC 消除弱用戶干擾信號，再解碼自身信號，因此強用戶接收的信號可表示為

其中，t1為系統(tǒng)總干擾。t1及其協(xié)方差矩陣可分別表示為

在接收端，每條數(shù)據(jù)流的接收機、接收信號及解碼信號可分別表示為，它們滿足。本文以最小均方差為優(yōu)化目標，考慮如下優(yōu)化問題

將目標函數(shù)寫成矩陣形式并展開可得

因此，解碼后的第n個符號可表示為

對于有用信號和干擾信號，其功率分別為

相應的信干噪比為

因此，用戶1的第n路信號的傳輸速率可用香農(nóng)定理求出，即

同理可得，用戶1與用戶2分別解碼用戶2的第n路信號的速率，分別為

在保證系統(tǒng)總功率和用戶QoS 需求前提下，最大化系統(tǒng)和速率，建立如下優(yōu)化問題

上述限制條件C2表示利用SIC 減少強用戶受到的干擾時強用戶解碼弱用戶信號的速率應不小于弱用戶解碼自己的速率。在單天線NOMA 中，強用戶的信道增益較大，因此可以完全解碼弱用戶的信號以消除干擾。但在多天線情況下，設計預編碼時，無法保證上述干擾消除條件，因此，需要限定強用戶的每條數(shù)據(jù)流都能夠完全解碼弱用戶的信號。對于限制條件 C3，由于Qi=，根據(jù)Rank(AB)≤min (Rank(A),Rank (B))，因此限定預編碼協(xié)方差矩陣的秩為1。

4 D.C.規(guī)劃

由于問題P2以及限制條件C2的高非凸性，導致問題P2是NP-hard 問題。本文利用半正定規(guī)劃[14]以及一階泰勒展開形成D.C.問題。

為保證強用戶可以完全解碼弱用戶的信號，弱用戶應以r1→2,n與r2,n中的較小速率傳輸信號。因此，系統(tǒng)和速率等價為

通過引入輔助變量g1,n和g2,n，并假設，同時忽略預編碼協(xié)方差矩陣的秩為1時，問題P2可重構為

但僅當最優(yōu)預編碼協(xié)方差矩陣的秩為1時，才能保證問題P3與P2等價，本文利用罰函數(shù)解決等價問題，原理如下。如果Rank(Q1)=Rank(Q2)=1，那么Q1和Q2分別只有一個非0特征值，即秩為1的約束可轉化為

其中，?k∈{1,2}。由于λmax(Qk)在厄米特矩陣集合上為凸集，可將式(23)最小化作為優(yōu)化目標。

其中，?＞0。如果懲罰因子?足夠大，那么tr(Q1+Q2)和λmax(Q1+Q2)差值可最小化。否則，即使的值很小，系統(tǒng)功耗仍會很大。仿真結果表明，最優(yōu)預編碼協(xié)方差矩陣都滿足秩為1的條件，可以保證問題P3與P2等價，因此在仿真時省略了罰函數(shù)。

因為非凸限制條件，問題P3仍不是凸優(yōu)化問題。將r1,n、r2,n和r1→2,n的表達式進行統(tǒng)一整理，并表示為

其中，K為N×N的厄米特矩陣，h為N×1的向量。易得式(24)右側滿足1-hHK-1h=det (1-hHK-1h)，再根據(jù) det (1+aHa)=det(I+aaH)，其中a為行向量，可得同時，代入等式約束，限制條件C3可表示為

不等式(26)為凹函數(shù)-凹函數(shù)≥0的形式，即為D.C.形式。由于被減函數(shù)Ψ1,n為凹函數(shù)，其二階偏導小于或等于0，一階泰勒展開式大于或等于原函數(shù)，則當被減函數(shù)Ψ1,n用其一階泰勒展開式替代時，放大了被減函數(shù)Ψ1,n，定義域變?yōu)樵x域的子集，如果仍滿足限制條件，那么可以保證原函數(shù)也滿足限制條件。

將式(26)中的函數(shù)Ψ1,n用其一階泰勒展開式代替，可得

此時，式(27)為凹函數(shù)-仿射函數(shù)≥0的形式，可得到一個凸集，從而實現(xiàn)了由非凸限制條件C3轉化為凸集的目標。

同理，限制條件C4與C5可轉化為C7與C8，即可得到下述凸優(yōu)化問題

算法1D.C.規(guī)劃（DCP）

1)設置迭代次數(shù)k=0，并初始化一個中心點

2)重復下述迭代過程；

3)在點(k)Q處更新P4中限制條件C6～C8；

6)更新迭代次數(shù)：k=k+1；

7)直到目標函數(shù)收斂。

對于含有S個變量的傳統(tǒng)內(nèi)點法[16-17]，其復雜度為O(S3)。與傳統(tǒng)內(nèi)點法類似，上述D.C.算法的復雜度為O((M×2N)3.5)，其中，M和N分別為發(fā)送和接收天線數(shù)。

5 仿真結果與分析

本文使用Matlab 軟件對所提D.C.算法的性能進行仿真。系統(tǒng)將根據(jù)兩用戶的信道狀態(tài)tr(HHH)確定用戶的強弱。為評估本文所提算法的性能，以MIMO OMA 系統(tǒng)作為仿真參考對象，圖2和圖3中OMA 曲線與采用等時隙時分多址技術的系統(tǒng)性能在數(shù)值上相等。為確保對比公平性，在MIMO OMA 系統(tǒng)中也利用凸優(yōu)化算法設計預編碼矩陣及接收機。所有仿真均采用瑞利信道[15]，發(fā)送噪聲系數(shù)κ、接收噪聲系數(shù)β與信道估計誤差方差σ2均為-40 dB，加性高斯白噪聲功率Pn=0 dB，基站發(fā)送功率Pt=25 dB，收發(fā)天線數(shù)M和N分別為2或4。以3種天線方案為例，本文所提算法可以擴展應用到其他天線方案。

圖2仿真了不同SNR 情況下的系統(tǒng)和速率。由圖2可知，隨著SNR 的增加，NOMA 與OMA的系統(tǒng)和速率均隨之增加，當采用不同收發(fā)天線數(shù)時，NOMA 的性能都明顯優(yōu)于OMA。M=2、N=2和M=4、N=2這2種天線方案所建立的有效信號鏈路數(shù)都為2，而M=4時性能更優(yōu)，因為增加的2根天線所產(chǎn)生的信道多樣性，可有效對抗多徑衰落，減小接收端的SNR 波動，從而使發(fā)射分集提供的分集增益可在不增加傳輸功率和帶寬的情況下提升系統(tǒng)和速率。

圖2 不同SNR 情況下的系統(tǒng)和速率比較

圖3仿真了基站發(fā)送天線數(shù)量不同時的系統(tǒng)和速率，其中SNR=25 dB。由圖3可知，隨著發(fā)送天線數(shù)M的增加，系統(tǒng)和速率隨之增加，因為發(fā)送端通過多條路徑發(fā)送信號，接收端可接收到同一個數(shù)據(jù)的多個獨立衰落信號，從而提高了接收可靠性。但當發(fā)送天線數(shù)M繼續(xù)增加時，系統(tǒng)和速率趨于飽和，因為MIMO NOMA 系統(tǒng)信道容量與較小的接收天線數(shù)N成正比，即只增加發(fā)送天線數(shù)M時，產(chǎn)生的分集增益可以改善接收端信噪比，而沒有改變信道極限容量。當接收天線數(shù)N翻倍時，系統(tǒng)和速率有較大改善。與OMA 系統(tǒng)相比，NOMA 對系統(tǒng)和速率有較明顯的提升。

圖3 不同天線數(shù)量情況下的系統(tǒng)和速率比較

圖4仿真了所提D.C.算法的收斂性。從圖4中可以看出，所提D.C.算法收斂性良好，當判決閾值δ=10-3時，系統(tǒng)和速率可在幾次迭代內(nèi)趨于飽和。當收發(fā)天線數(shù)不同時，系統(tǒng)和速率的收斂速度相似。當M=4、N=4時，與另2種方案相比，所需迭代次數(shù)相應增加。此外，當M和N增加時，系統(tǒng)的和速率性能顯著提升，因為在系統(tǒng)總功率受限條件下，只增加發(fā)送天線數(shù)與同步增加收發(fā)端天線數(shù)可分別產(chǎn)生分集增益以及空間復用增益。

圖4 D.C.算法的收斂性

6 結束語

在系統(tǒng)總功率受限和用戶QoS 需求的約束下，本文研究了基于非完美CSI 的MIMO NOMA 系統(tǒng)和速率最大化問題。為在強用戶信號接收端利用SIC 消除弱用戶信號的干擾，限制強用戶的每條數(shù)據(jù)流都可以解碼相應的弱用戶信號。本文所建立的優(yōu)化問題由于發(fā)送信號的預編碼矩陣和其共軛轉置矩陣的耦合而具有非凸性，利用半正定規(guī)劃和一階泰勒展開形成D.C.問題，由于重構優(yōu)化問題時忽略了預編碼協(xié)方差矩陣秩為1的限制，采用罰函數(shù)以解決等價問題。仿真結果表明，本文所提出的D.C.算法收斂性良好，與OMA 系統(tǒng)相比，可以較明顯地提升系統(tǒng)和速率。