(常州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，常州 213100)

0 引言

隨著流化床鍋爐的廣泛應(yīng)用，預(yù)防鍋爐的失效也成為人們研究的熱點(diǎn)[1]，而鍋爐水冷壁的磨損是其主要的失效形式之一[2]。現(xiàn)如今的鍋爐水冷壁磨損檢測(cè)主要由人工完成，而人工檢測(cè)效率低，費(fèi)用高且事故易發(fā)，所以研制一種智能機(jī)器人代替人工作業(yè)是現(xiàn)在市場(chǎng)所需求的。

在鍋爐內(nèi)部，磨損檢測(cè)機(jī)器人的移動(dòng)作業(yè)環(huán)境較為復(fù)雜，準(zhǔn)確的路徑跟蹤控制是保證其測(cè)量結(jié)果可靠的關(guān)鍵。對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的路徑跟蹤控制的研究一直是現(xiàn)今機(jī)器人研究的熱點(diǎn)。李金良[3]等人在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)原理的基礎(chǔ)上采用線性反饋控制來(lái)進(jìn)行路徑跟蹤，線性反饋控制法是一種常用的路徑跟蹤控制方法，但水冷壁磨損檢測(cè)爬壁機(jī)器人的模型是非線性的，致使其控制精度較低；陳罡[4]等人根據(jù)backstepping(反演法)結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了一種時(shí)變反饋控制律，控制效果不錯(cuò)，但設(shè)計(jì)過(guò)程較為復(fù)雜，很難在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)；智能控制的出現(xiàn)使控制器不再局限于數(shù)學(xué)模型[5]，王紀(jì)偉[6]等人提出了一種基于模糊免疫比例積分微分(PID)的智能控制方法，但模糊控制效果依賴于其模糊規(guī)則制定的好壞，若不能建立理想的模糊規(guī)則，則很難達(dá)到預(yù)期的效果。

滑模變結(jié)構(gòu)控制不依賴于水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人的精確數(shù)學(xué)模型，與其他控制方法相比，具有響應(yīng)迅速，能夠克服系統(tǒng)的不確定性，控制算法簡(jiǎn)單，魯棒性好等諸多優(yōu)點(diǎn)，適合對(duì)于在鍋爐內(nèi)部這樣復(fù)雜環(huán)境下作業(yè)的機(jī)器人的控制。本文以磨損檢測(cè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)，根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)一種基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器。由于在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，抖振是無(wú)法避免的且會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此系統(tǒng)引入“準(zhǔn)滑膜動(dòng)態(tài)”，將磨損檢測(cè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡限制在一定領(lǐng)域內(nèi)，采用邊界層法解決抖振問(wèn)題[7]，再通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定理論驗(yàn)證其穩(wěn)定性。最后通過(guò)MATLAB軟件模擬仿真，仿真結(jié)果表明該控制器可以克服誤差，使位姿誤差收斂至零。

1 磨損檢測(cè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

本文所設(shè)計(jì)的磨損檢測(cè)機(jī)器人需要在大型鍋爐內(nèi)部的水冷壁面上工作，故為了使機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)水冷壁的壁厚檢測(cè)，磨損檢測(cè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)需具備以下3個(gè)基本要求：

1)牢固可靠地吸附在壁面；

2)能沿水冷壁面進(jìn)行運(yùn)動(dòng)；

3)順利完成水冷壁磨損檢測(cè)。

故本文所設(shè)計(jì)的磨損檢測(cè)機(jī)器人采用永磁體吸附的吸附方式和履帶式移動(dòng)的移動(dòng)方式。永磁體吸附可以保證磨損檢測(cè)機(jī)器人即使在斷電的情況下也不會(huì)發(fā)生傾覆的危險(xiǎn)。而履帶式的移動(dòng)方式可確保機(jī)器人運(yùn)行平穩(wěn)，速度較快。

如圖1所示是磨損檢測(cè)機(jī)器人的工作環(huán)境——水冷壁壁面。鍋爐內(nèi)的水冷壁主要由鋼制的水冷管相互焊接而成。在鍋爐工作時(shí)，其內(nèi)部會(huì)因燃燒而形成高速的飛灰顆粒，從而對(duì)水冷壁壁面進(jìn)行沖刷，造成水冷壁壁面的磨損。故需要對(duì)水冷壁進(jìn)行定期的磨損檢測(cè)，防止產(chǎn)生爆管的危險(xiǎn)事故。

圖1 水冷壁

1.1 機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)

本文所設(shè)計(jì)的水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人主要由移動(dòng)機(jī)器人和自動(dòng)磨損檢測(cè)裝置組成，如圖2所示是其三維模型圖。磨損檢測(cè)機(jī)器人通過(guò)裝有特制永磁鐵的履帶吸附在水冷壁壁面，驅(qū)動(dòng)電機(jī)通過(guò)蝸輪蝸桿減速器帶動(dòng)鏈輪,鏈輪與鏈條嚙合,從而使機(jī)器人沿著水冷管壁運(yùn)動(dòng)。

圖2 磨損檢測(cè)機(jī)器人三維圖

1.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

針對(duì)上述磨損檢測(cè)機(jī)器人，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立磨損檢測(cè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型，掌握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為后續(xù)控制器的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。磨損檢測(cè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖3所示。

圖3 磨損檢測(cè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)示意圖

水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人路徑跟蹤控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在給定磨損檢測(cè)機(jī)器人一定速度的前提下，通過(guò)計(jì)算設(shè)計(jì)出合適的控制律[vω]，使得在該控制律的作用下，磨損檢測(cè)機(jī)器人能夠沿著期望的路徑移動(dòng)。如圖3所示，設(shè)在XOY參考平面上，水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人以平行于管道L的位姿運(yùn)動(dòng)，左右履帶的理論運(yùn)動(dòng)速度分別為vL和vR，合成速度為v，磨損檢測(cè)機(jī)器人的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)(xc,yc)，傾斜角度為0°，則磨損檢測(cè)機(jī)器人的位姿表示為Pc=[xc,yc,0]T，當(dāng)機(jī)器人繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)，機(jī)器人的位姿表示為PK=[xK,yK,θK]T。所以水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人位姿可由以下公式(1)表示：

(1)

(2)

理想情況下，磨損檢測(cè)機(jī)器人的偏差角度保持為0°，vL=vR=v，對(duì)式(2)求導(dǎo)，可得理想情況下機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

而實(shí)際情況下磨損檢測(cè)機(jī)器人兩側(cè)的履帶因制造差異等原因速度不可能完全一致，故機(jī)器人將發(fā)生傾斜，不妨假設(shè)其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生傾斜角度，則可得到在K點(diǎn)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

磨損檢測(cè)機(jī)器人在K點(diǎn)時(shí)，其速度為：

(5)

其中，水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人的尺寸D=210 mm，d=45 mm。將上式(5)結(jié)合式(4)可得機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程：

(6)

2 路徑跟蹤運(yùn)動(dòng)誤差分析

如圖4所示建立水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位姿誤差模型，其中AB為期望路徑。

圖4 機(jī)器人跟蹤位姿誤差模型

如圖4所示，磨損檢測(cè)機(jī)器人t=0時(shí)，由A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間后，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，此時(shí)機(jī)器人位姿可以用表示。在理想情況下，理想機(jī)器人從t=0時(shí)開(kāi)始，能夠以期望速度沿期望直線路徑AB運(yùn)動(dòng)，之后，到達(dá)R點(diǎn)；則在R點(diǎn)的機(jī)器人位姿可由表示。

則磨損檢測(cè)機(jī)器人實(shí)際位姿和期望位姿之間的誤差可表示為：

(7)

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，得到機(jī)器人位姿誤差微分方程：

(8)

我們期望水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人跟蹤期望直線AB運(yùn)動(dòng)，所以需要由其實(shí)際位姿p=[xyθ]T和期望位姿pr=[xryrθr]T來(lái)確定其速度q=[vω]T，再通過(guò)式(5)計(jì)算得到合適的u=[vLvR]，通過(guò)調(diào)控運(yùn)動(dòng)狀態(tài)值u=[vLvR]使局部位姿誤差pe=[xeyeθe]T收斂至零，達(dá)到精確跟蹤的目的。

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制屬于非線性控制，其非線性是指控制的不連續(xù)，并且其“結(jié)構(gòu)”不是固定的，可以依賴偏差進(jìn)行變化，使系統(tǒng)按照預(yù)定的軌跡滑動(dòng)。與其他傳統(tǒng)控制方法相比，滑模變結(jié)構(gòu)控制具有：響應(yīng)迅速，能夠克服系統(tǒng)的不確定性，控制算法簡(jiǎn)單，魯棒性好等諸多優(yōu)點(diǎn)[8]。目前，在控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

滑模變結(jié)構(gòu)控制的本質(zhì)是一種特殊的非線性控制，而該特性致使系統(tǒng)的狀態(tài)被控制在某一子流形上運(yùn)動(dòng)，即“滑動(dòng)模態(tài)”運(yùn)動(dòng)?；＿\(yùn)動(dòng)包括：趨近運(yùn)動(dòng)、滑模運(yùn)動(dòng)。趨近運(yùn)動(dòng)是指系統(tǒng)由某一個(gè)初始狀態(tài)到達(dá)其切換面的運(yùn)動(dòng)，而為了提高趨近運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)品質(zhì)，高為炳教授提出了滑動(dòng)模態(tài)趨近律的概念。常用的趨近律有以下4種比較典型的趨近律：

1)等速趨近律:

(9)

其中，常數(shù)ε表示趨近切換面的速率，ε較大可以使趨近速度較快，但會(huì)引起抖動(dòng)，sgn(s)表示符號(hào)函數(shù)。

2)冪次趨近律：

(10)

其中，α較大，可以較快趨近滑動(dòng)模態(tài)，當(dāng)α較小，可以降低抖振。

3)一般趨近律：

(11)

其中:f(0)=0，當(dāng)s≠0，sf(s)>0。

4)指數(shù)趨近律：

(12)

指數(shù)趨近律既可以縮短趨近時(shí)間，而且到達(dá)切換面的速度較小，所以本文選擇指數(shù)趨近律來(lái)完成控制器的設(shè)計(jì)。

3.1 基于指數(shù)趨近律的控制律設(shè)計(jì)

水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人的路徑跟蹤需要通過(guò)控制其輸入狀態(tài)q=[vw]T使跟蹤誤差pe=[xeyeθe]T趨向于零。設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù)為[9]：

(13)

(14)

使α=tan-1(vrye)，帶入公式(8)和式(14)可得:

(15)

由上式(15)變換可得其控制器的控制律為：

(16)

在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，需要頻繁地切換系統(tǒng)的控制狀態(tài)，而在實(shí)際系統(tǒng)中不存在理想的切換，所以對(duì)一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)而言，抖振是不可避免，一定存在的。但抖振的存在會(huì)影響到系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，因此本文引入“準(zhǔn)滑模動(dòng)態(tài)”，將水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)限制在一定鄰域內(nèi)，采用邊界層法，解決抖振問(wèn)題。

為解決抖振的問(wèn)題，使用連續(xù)函數(shù)?(si)=si/(|si|+δi)代替原來(lái)的符號(hào)函數(shù)sgn(si)，即：

(17)

式(17)中，δ1，δ2為很小的正數(shù)。將式(17)帶入(16)，得到新的控制律：

(18)

在上式(18)中，可以通過(guò)改變?chǔ)?和δ2，從而改變“邊界層”的寬度，其值越小[10]，則誤差收斂的范圍越小。

3.2 穩(wěn)定性證明

根據(jù)引理1[11]：對(duì)于任意x(x∈R)且滿足|x|<∞，有φ(x)=xsin(tan-1x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

當(dāng)xe=0，設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)：

(19)

設(shè)θe=-tan-1(vrye)，可得：

(20)

4 跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)與分析

在MATLAB平臺(tái)上，編寫(xiě)程序，進(jìn)行跟蹤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證控制器的有效性[12]。假設(shè)水冷壁爬壁機(jī)器人的實(shí)際初始位姿P0=(0.32,0.5,5π/12)，期望初始位姿PA=(0.25,0.1,π/2)，期望終點(diǎn)位姿PB=(0.25,4,π/2)，期望速度vr=0.3 m/s，期望角速度ωr=0。取參數(shù)ε1=ε2=0.5，k1=k2=4，δ1=0.1，δ2=0.05。經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)后，直線路徑跟蹤仿真如圖5所示，位姿誤差如圖6所示。

圖5 直線軌跡跟蹤仿真

圖6 機(jī)器人位姿誤差仿真

由圖5和圖6可知，在基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器的調(diào)節(jié)下，系統(tǒng)在2s內(nèi)便達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，位移跟蹤誤差收斂到零，且控制器輸出曲線較為光滑，跟蹤誤差量的超調(diào)量較小[13]。

因此滑模變結(jié)構(gòu)控制器可以使水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人更加平穩(wěn)的趨近期望路徑，并且跟蹤直線路徑運(yùn)動(dòng)；而誤差、和的超調(diào)量較小，變化平穩(wěn)，且逐漸收斂到零[14]。因此，采用上述設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器可以控制水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人沿期望的路徑穩(wěn)定的爬行，控制器的控制作用穩(wěn)定可靠[15]。

5 結(jié)論

本文針對(duì)鍋爐水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人的路徑跟蹤問(wèn)題，提出了一種基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制的機(jī)器人路徑跟蹤方法，并利用Lyapunov定理驗(yàn)證其收斂性。最后通過(guò)MATLAB軟件模擬仿真，仿真結(jié)果表明該控制器可以使水冷壁磨損檢測(cè)機(jī)器人更加平穩(wěn)的趨近期望路徑，并跟蹤直線路徑運(yùn)動(dòng)；且誤差超調(diào)量較小，變化平穩(wěn)，逐漸收斂至零。該滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)可靠，應(yīng)用性較好。