郝永樂,左 平,朱 青

(1.周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 周口 466001;2.空軍航空大學 基礎部,長春 130022)

0 引 言

在生物種群中,年齡不同將導致種群內(nèi)部例如生育率、死亡率、捕食能力等方面存在明顯差異.因此,將種群按照年齡結(jié)構進行劃分的模型能更好地反映個體的生理特征以及種群擴散程度.目前,對帶有年齡結(jié)構種群模型的研究已取得了豐富的成果[1-6].偏微分方程求解數(shù)值解是近年來的研究熱點,目前對具有年齡結(jié)構數(shù)學模型的研究主要集中在解的定性理論上,而對復雜偏微分生物模型的數(shù)值求解問題研究報道較少.本文考慮帶有隨機擴散項的種群模型[7]:

1 模型處理

為了對上述模型進行數(shù)值求解,先要對模型進行適當?shù)奶幚砗秃喕?步驟如下:

2) 對方程(1)和方程(4)關于年齡a進行積分;

3) 針對反應擴散系數(shù)進行處理[8-10],得到如下簡化系統(tǒng):

(8)

其中:

(9)

表示種群在t時刻的出生率;

(10)

表示種群在t時刻的死亡率;

(11)

表示種群在t時刻、位置x處的種群總量;

(12)

2 有限元方法

下面對所提出的偏微分模型進行數(shù)值解求解.首先給出方程(8)的變分形式:

(13)

將空間區(qū)域Ω剖分成有限個單元的集合Th,形成有限元網(wǎng)格.在一維空間中常用等分剖分,二維空間中常用三角剖分或四邊形剖分.通常情況下,有限元方法要求網(wǎng)格是正規(guī)的.其次,構造有限元子空間,其由Th上所有屬于C(Ω)的、多項式次數(shù)不大于p-1的分片多項式組成的子空間Sh形成.本文的數(shù)值實驗使用等分剖分作為有限區(qū)間的網(wǎng)格.

制度貸款是由政府制定的一種長期低息貸款方式，其主要目的在于鼓勵農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。該貸款方式主要分為三種類型：一是由政府出面進行擔保，將銀行中的一些資金用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)；二是由政府進行擔保和支付相應的利息費用，調(diào)用農(nóng)協(xié)的資金；三是直接利用國家金融機構進行財政資金貸款。

ut(t,x): [0,T]→Sh,

使得

(14)

成立,其中u0h∈Sh是函數(shù)u0(x)在有限元空間Sh中的一個近似.注意到當有限元空間基函數(shù)給定時,式(14)為一個一階常微分方程組,稱其為半離散格式.關于半離散格式有如下誤差估計:

定理1[11]設u為問題(8)的精確解,k次有限元空間Sh滿足逼近性質(zhì):

并且初值滿足

‖u0-u0h‖+h‖u0-u0h‖1≤Chk‖u0‖k,

則半離散格式的解uh(t,x)滿足如下誤差估計:

(15)

(16)

(17)

其中:tk-1/2=tk-τk/2;fk-1/2=f(tk-1/2,x).

當k(t),μ(t),β(t)均為常數(shù)時,有如下誤差估計:

(19)

(20)

(21)

由式(19)～(21)可知結(jié)論成立.

3 數(shù)值模擬

下面利用上述差分格式對簡化后的模型進行數(shù)值求解,其中參數(shù)如下：

真解為u=e-tsin πx.

有限元方法求解問題(8)的數(shù)值解、逐點誤差及有限元方法的收斂階情況分別如圖1(A)～(C)所示.其中: 數(shù)值解與真實解在32×32網(wǎng)格下的誤差在10-5內(nèi);圖1(C)中“‖euh‖1”表示數(shù)值解的H1誤差曲線,“1階”表示標準一階收斂曲線,“‖euh‖”表示數(shù)值解的L2誤差曲線,“2階”表示標準誤差曲線.由圖1(C)可見,有限元方法的L2誤差滿足二階收斂,H1誤差滿足一階收斂,與理論分析結(jié)果相符.

圖1 有限元方法求解問題(8)的數(shù)值解(A)、逐點誤差(B)及有限元方法的收斂階(C)Fig.1 Numerical solution (A),pointwise error (B) and convergence order (C) of finite element for solving problem (8) by finite element method