林 文 賢

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 潮州 521041)

考慮一類具阻尼項(xiàng)的二階中立型廣義Emder-Fowler方程:

(1)

假設(shè)以下條件成立：

(H1)τ(t)>0,r′(t)≥0,0≤p(t)≤1;

Emder-Fowler方程在核物理、天體物理以及氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1],而中立型泛函微分方程在高速計(jì)算機(jī)無損傳輸線路的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、自動(dòng)控制理論和神經(jīng)動(dòng)力系統(tǒng)理論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2].目前,關(guān)于方程(1)振動(dòng)性的研究得到廣泛關(guān)注[3-10],但大多數(shù)工作都是針對其某些特例,如文獻(xiàn)[3]研究的方程即為方程(1)當(dāng)α=β,m(t)=0時(shí)的特例.本文通過建立對任意α>0,β>0成立的廣義Riccati不等式,給出方程(1)的若干振動(dòng)準(zhǔn)則,所得結(jié)果改進(jìn)并推廣了文獻(xiàn)[3-6]的相應(yīng)結(jié)果.若無特殊說明,本文中的函數(shù)不等式對一切充分大的t均成立.

引理1設(shè)方程(1)在[t0,∞)上有非振動(dòng)解x(t),則y(t)y′(t)>0,t≥T0≥t0.

證明: 設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解,不妨設(shè)x(t)>0,故存在t1≥t0,使得當(dāng)t>t1時(shí),有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(當(dāng)x(t)<0時(shí),證明類似,因?yàn)樽儞Qx(t)=-u(t)可將方程(1)變?yōu)橥恍问?.由q(t)>0,有

于是

(2)

因而

(3)

將式(3)從t2到t積分得

引理2設(shè)方程(1)在[t0,∞)上有非振動(dòng)解x(t),則存在T0≥t0,使得

(4)

其中

Q(t)=q(t)[1-p(σ(t))]β.

(5)

證明: 設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解,不妨設(shè)x(t)>0,故存在t1≥t0,使得當(dāng)t>t1時(shí)有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(當(dāng)x(t)<0時(shí),可類似證明).則由引理1和假設(shè)條件(H1),(H2),有

y(t)>0,y′(t)>0, (r(t)(y′(t))α)′<0,t≥t1.

(6)

由τ(t)0和式(6),可得

x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))≥y(t)-p(t)y(τ(t))≥[1-p(t)]y(t),t≥t1,

則存在t2≥t1,使得當(dāng)t≥t2時(shí),有

x(σ(t))≥[1-p(σ(t))]y(σ(t)).

(7)

聯(lián)合假設(shè)條件(H3)、式(6)和式(7),由方程(1)可得式(4).證畢.

引理3設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解,做Riccati變換

(8)

則w(t)>0,且存在T≥t0,使得對任意正常數(shù)θ,均有

(9)

其中Q(t)由式(5)定義,且

λ=min{α,β},

特別地,當(dāng)α=β時(shí),任意常數(shù)θ=1.

證明: 設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解,不失一般性,存在t1≥t0,使得當(dāng)t>t1時(shí),有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由引理1知式(6)成立.由式(8)有

(10)

注意到r(t)(y′(t))α是減函數(shù),有

(11)

1) 當(dāng)β≥α?xí)r,由y(t)>0,y′(t)>0知,存在常數(shù)θα>0,T1≥T0,使得

y(β-α)/α[σ(t)]≥θα,t≥T1.

(12)

利用式(7),(11),(12),由式(10)得

(13)

2) 當(dāng)α>β時(shí),有

(14)

(15)

利用式(4),(15),由式(10)得

(16)

式(13),(16)表明不等式(9)成立.證畢.

定理1若存在函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),對任意正常數(shù)θ,有

(17)

則方程(1)是振動(dòng)的,其中當(dāng)α=β時(shí),θ=1.

證明: 設(shè)方程(1)存在非振動(dòng)解x(t).令

(18)

則v(t)>0.類似于引理3的證明,得

(19)

利用不等式

(20)

由式(19)可得

(21)

對式(21)積分,得

(22)

顯然,式(22)與式(17)矛盾.證畢.

下面給出方程(1)的Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則.考慮集合

D0={(t,s)|t>s≥t0}

和

D={(t,s)|t≥s≥t0},

如果函數(shù)H∈C(D,R),存在h∈C(D0,R),ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得:

1)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

2)H(t,s)對第二個(gè)變量有連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù),且滿足等式

則稱函數(shù)H∈P.

定理2假設(shè)存在函數(shù)H,h和ρ(t)使得H∈P,且對任意正常數(shù)θ及充分大的T≥t0,有

(23)

其中當(dāng)α=β時(shí),θ=1.則方程(1)是振動(dòng)的.

證明：設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解,定義v(t)如式(18),利用定理1知式(19)成立.將式(19)的t換為s并將兩邊同乘以H(t,s),再關(guān)于s積分,得

利用不等式(20),可得

因此,有

(24)

式(24)與式(23)矛盾.證畢.

例1考慮廣義Emder-Fowler阻尼方程:

(25)

由定理2可知方程(25)振動(dòng).