王珊珊 吳維康 楊聲遠(yuǎn)

1) (東南大學(xué)物理學(xué)院,南京 211189)

2) (新加坡科技與設(shè)計(jì)大學(xué),量子材料理論研究室,新加坡 487372)

拓?fù)涔?jié)線與節(jié)面金屬指的是在費(fèi)米能附近存在能帶交叉,并且這些交叉點(diǎn)在動(dòng)量空間分別形成一維曲線和二維曲面的金屬材料.這種特殊的能帶結(jié)構(gòu)可以帶來很多奇異的物理性質(zhì),使得這兩類體系在近幾年得到了廣泛關(guān)注.本文著重討論了節(jié)線與節(jié)面金屬相關(guān)概念的發(fā)展,回顧了有關(guān)的研究工作,包括節(jié)線與節(jié)面的特征與分類以及相應(yīng)材料的預(yù)測(cè).

1 引 言

拓?fù)洳牧鲜钱?dāng)前物理學(xué)中發(fā)展極為迅速的一個(gè)領(lǐng)域,并且其影響也擴(kuò)展到了化學(xué)、材料學(xué)以及電子工程學(xué)等學(xué)科.從概念上來說,這一領(lǐng)域的研究至少可以追溯到量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn).1980年,von Klitzing等[1]在具有高遷移率的二維電子氣系統(tǒng)中施加強(qiáng)磁場(chǎng),發(fā)現(xiàn)霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)出一系列的平臺(tái),其對(duì)應(yīng)的值是基本物理常數(shù)e2/h的整數(shù)倍.尤其驚人的是所觀測(cè)到的量子化的平臺(tái)數(shù)值達(dá)到了極高的精度(可達(dá)十億分之一),使得這個(gè)效應(yīng)后來成為了電阻單位的度量標(biāo)準(zhǔn).固體系統(tǒng)不可避免地會(huì)有雜質(zhì)、缺陷和熱擾動(dòng)的影響,為什么這些電導(dǎo)平臺(tái)竟然可以達(dá)到如此高的精度呢? 1982年,Thouless,Kohmoto,Nightingale 和 den Nijs指出這些霍爾電導(dǎo)平臺(tái)對(duì)應(yīng)的整數(shù)其實(shí)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?其在數(shù)學(xué)中被稱為Z (在凝聚態(tài)物理中也被稱為TKNN不變量)[2].拓?fù)洳蛔兞渴怯脕韺?duì)各種抽象的結(jié)構(gòu)進(jìn)行刻畫分類的整數(shù).比如一個(gè)二維封閉曲面上孔洞的數(shù)目就是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?正因?yàn)檫@個(gè)不變量一定是整數(shù)而不能連續(xù)取值,所以這些霍爾電導(dǎo)平臺(tái)才會(huì)有這么高的量子化精度.

量子霍爾效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)需要有一個(gè)外加磁場(chǎng)使電子的能譜形成朗道能級(jí),有沒有可能不需要外場(chǎng),固體本身就具有拓?fù)湫阅? 1988年,Haldane通過構(gòu)建一個(gè)具體的理論模型,說明了即使沒有外磁場(chǎng),體系本身的能帶也可以有非平庸的(即不為0的)陳數(shù),形成了后來被稱為量子反?；魻栃?yīng)的拓?fù)鋺B(tài)[3].這里研究的模型是在一個(gè)類似石墨烯的二維六角晶格模型中加入了破壞時(shí)間反演對(duì)稱性的一些躍遷相位.或許是因?yàn)檫@種情況在實(shí)際材料中很難實(shí)現(xiàn),所以這項(xiàng)研究在發(fā)表后的十多年間并未受到很多關(guān)注.

近年來拓?fù)洳牧项I(lǐng)域的蓬勃發(fā)展發(fā)端于Kane和Mele[4,5]在2005年的兩篇報(bào)道.他們從理論上提出了量子自旋霍爾效應(yīng)的概念(后來也被稱為二維拓?fù)浣^緣體).在最簡(jiǎn)單的圖像中,這個(gè)態(tài)可以看作是把具有相反陳數(shù)的兩個(gè)Haldane模型結(jié)合到了一起,每個(gè)模型對(duì)應(yīng)著一個(gè)電子自旋,從而整個(gè)系統(tǒng)仍然保持了時(shí)間反演對(duì)稱性.當(dāng)系統(tǒng)處于量子自旋霍爾效應(yīng)態(tài)時(shí),它的內(nèi)部是一個(gè)絕緣體,系統(tǒng)的低能電子激發(fā)發(fā)生在邊界: 在邊界上存在無能隙的一對(duì)邊緣態(tài)能帶.Kane和Mele使用的模型基于石墨烯,Haldane模型中所需要的躍遷相位在這里自然地對(duì)應(yīng)著一種自旋軌道耦合(spinorbit coupling,SOC) 作用,因此他們提出: 2004年在實(shí)驗(yàn)上被實(shí)現(xiàn)的石墨烯[6,7]就是一種二維拓?fù)浣^緣體[5].但是由于碳是一種輕元素,石墨烯中的SOC非常微弱,導(dǎo)致其在體能帶中打開的帶隙太小,在實(shí)驗(yàn)上很難觀測(cè)到量子自旋霍爾效應(yīng)的特征[8,9].2006年,Bernevig 等[10]提出利用 HgTe 量子阱結(jié)構(gòu)中的能帶反轉(zhuǎn)可以實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng),成為第一個(gè)被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的二維拓?fù)浣^緣體[11].隨后,拓?fù)浣^緣體的概念又從二維被推廣到三維[12,13],并衍生出了拓?fù)渚w絕緣體[14]、軸子絕緣體等許多概念[15].

對(duì)于拓?fù)浣^緣體可以有幾種不同視角的理解.一種是從能帶反轉(zhuǎn)的角度.每個(gè)孤立原子具有分立的原子軌道能級(jí),當(dāng)原子規(guī)律地聚集到一起形成晶體時(shí),它們的原子軌道由于互相交疊作用從而演化為能帶.在這個(gè)過程中很可能能級(jí)的能量次序發(fā)生了改變,比如在某個(gè)原子中p軌道比s軌道能量高,但是在其形成的晶體中s軌道形成的能帶卻高于p軌道形成的能帶(當(dāng)然在晶體中通常每個(gè)能帶都有不止一種軌道成分,這里說的是其主要的軌道成分),這種情況就被稱為能帶發(fā)生了反轉(zhuǎn).能帶反轉(zhuǎn)本身就體現(xiàn)了一種拓?fù)湫? 它表示這個(gè)能帶和原子極限下的能級(jí)(有時(shí)也被稱為原子絕緣體的能帶)是截然不同的,如果想從一個(gè)平滑地變成另一個(gè),就一定要發(fā)生能級(jí)間的簡(jiǎn)并.以上是一個(gè)過于簡(jiǎn)單的圖像,這里還有兩點(diǎn)需要注意.一是因?yàn)槟軒Ь哂猩?反轉(zhuǎn)不一定在整個(gè)布里淵區(qū)(Brillouin zone)上發(fā)生,而往往只發(fā)生在其中的部分區(qū)域,那么此時(shí)能帶是否還具有全局上的拓?fù)湫跃托枰幼屑?xì)地分析.有時(shí)經(jīng)過負(fù)負(fù)得正,在兩個(gè)區(qū)域發(fā)生的反轉(zhuǎn)反而帶來一個(gè)拓?fù)渖掀接沟膽B(tài).二是發(fā)生反轉(zhuǎn)的能帶需要是費(fèi)米能級(jí)上下的兩個(gè)能帶才有意義,因?yàn)檫@樣才會(huì)帶來下面要討論的在體能隙中存在的拓?fù)溥吘墤B(tài),而固體的多數(shù)物理性質(zhì)都是由這些低能電子態(tài)所決定的.

第二種視角是體和邊緣的對(duì)應(yīng)關(guān)系(bulkboundary correspondence),也就是體能帶的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)邊界上存在的無能隙邊緣態(tài).這一點(diǎn)可以從上面討論的能帶反轉(zhuǎn)的圖像有一個(gè)直觀的理解.如圖1所示,固體的外部真空可以等價(jià)于一個(gè)原子絕緣體(拓?fù)淦接沟膽B(tài)),那么從能帶反轉(zhuǎn)的內(nèi)部過渡到不反轉(zhuǎn)的外部,能帶會(huì)在邊界處交叉而關(guān)閉能隙,也就形成了無能隙的邊緣態(tài).因?yàn)檫@個(gè)邊界分開了兩個(gè)具有不同拓?fù)湫缘膮^(qū)域,它也被稱為一個(gè)拓?fù)洚牨?(topological domain wall),而這個(gè)邊緣態(tài)也就對(duì)應(yīng)著一個(gè)拓?fù)洚牨谥械木钟驊B(tài).這里值得注意的是: 在量子力學(xué)中,能級(jí)總是傾向于互相排斥,要保證圖中在邊界上的能級(jí)交叉往往需要有額外的對(duì)稱性的保護(hù).比如在(通常所說的)拓?fù)浣^緣體中,這個(gè)交叉就是由時(shí)間反演對(duì)稱所保護(hù)的.

圖1 關(guān)于拓?fù)浣^緣體中拓?fù)溥吘墤B(tài)的簡(jiǎn)單圖像Fig.1.A schematic figure for the topological boundary state in a topological insulator.

第三種視角是從數(shù)學(xué)上用拓?fù)洳蛔兞縼砜坍嬐負(fù)浣^緣態(tài).前面提到過,拓?fù)洳蛔兞?比如陳數(shù))是一個(gè)整數(shù),它由所有被占據(jù)的能帶(也就是價(jià)帶)所決定.具有相同拓?fù)洳蛔兞康膬蓚€(gè)態(tài)在拓?fù)渖鲜堑葍r(jià)的.對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的拓?fù)浞诸愐蕾囉谙到y(tǒng)所具有的對(duì)稱性和維度,不同的對(duì)稱性和維度會(huì)帶來不同的拓?fù)漕愐约安煌耐負(fù)洳蛔兞?例如破壞時(shí)間反演的二維系統(tǒng)可以由陳數(shù)來刻畫,但是當(dāng)時(shí)間反演對(duì)稱存在的時(shí)候,陳數(shù)總是0,那就要用到Z2不變量(也就是說該系統(tǒng)只有兩種拓?fù)漕?來進(jìn)行刻畫[4].對(duì)什么樣的體系該有什么樣的分類在數(shù)學(xué)上已有不少成熟的判定標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果[16,17].在物理研究中也發(fā)展了很多不同的方法來計(jì)算一個(gè)給定體系的拓?fù)鋽?shù).在這些方法中常常會(huì)用到貝利聯(lián)絡(luò)(Berry connection)和貝利曲率(Berry curvature)這樣的概念[18].它們體現(xiàn)的是電子波函數(shù)在動(dòng)量空間中的幾何性質(zhì)[19].

隨著對(duì)拓?fù)浣^緣體理解的深入,人們意識(shí)到拓?fù)涞母拍钜部梢酝卣沟浇饘賾B(tài).比如考慮一個(gè)三維金屬,其體能帶不具有能隙,但如果在三維的布里淵區(qū)中取一個(gè)二維的封閉曲面且使得曲面上沒有穿越費(fèi)米面的能帶,那可以認(rèn)為它對(duì)應(yīng)著一個(gè)二維的絕緣體,也就可以用二維絕緣體的拓?fù)浞诸悂砜坍嬎黐20,21].那么什么樣的曲面會(huì)是拓?fù)浞瞧接沟哪? 通常這樣的曲面會(huì)包裹住一些能帶的簡(jiǎn)并點(diǎn).例如在外爾半金屬 (Weyl semimetal)中[22],能帶在費(fèi)米面附近的交叉形成了具有線性色散的二重簡(jiǎn)并點(diǎn)(稱為外爾點(diǎn)),于是包裹住這種點(diǎn)的二維曲面就具有 ± 1的陳數(shù).類比于電磁學(xué)中的高斯定律,可以把外爾點(diǎn)看作是動(dòng)量空間中的拓?fù)浯艈螛O子,它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)就是貝利曲率,而這個(gè)磁場(chǎng)在曲面上的磁通正對(duì)應(yīng)著陳數(shù),也就是曲面包裹的凈磁荷.另一方面,因?yàn)榍嫔系耐負(fù)鋽?shù)不能連續(xù)變化,這說明里面的那個(gè)外爾點(diǎn)是拓?fù)浞€(wěn)定的,其簡(jiǎn)并不能被輕易破壞.

就物理性質(zhì)而言,拓?fù)浣饘俚闹匾灾饕蛠碓从谶@些穩(wěn)定存在的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn).這是因?yàn)楫?dāng)這些點(diǎn)靠近費(fèi)米能的時(shí)候,低能的電子會(huì)具有與傳統(tǒng)材料中電子截然不同的性質(zhì).除了色散會(huì)很不一樣,這些電子本征地具有一個(gè)衍生出的贗自旋(pseudospin)自由度.比如一個(gè)外爾點(diǎn)附近的電子就具有一個(gè)1/2的贗自旋,對(duì)應(yīng)著相交的兩個(gè)能帶的自由度.而且這個(gè)贗自旋是和電子的動(dòng)量耦合在一起的.對(duì)一個(gè)外爾點(diǎn)附近的電子,它遵循的有效模型就類似于量子場(chǎng)論中外爾費(fèi)米子的模型.這導(dǎo)致了外爾半金屬以及其他的拓?fù)浣饘贂?huì)具有很多奇異的物理性質(zhì),并且很多高能物理中討論的效應(yīng)也可以在固體系統(tǒng)中進(jìn)行研究[23-25].

從上面這個(gè)觀點(diǎn)來看,石墨烯其實(shí)就是一個(gè)非常好的二維拓?fù)浒虢饘?在忽略SOC的情況下,石墨烯的費(fèi)米面就只由布里淵區(qū)角上的兩個(gè)點(diǎn)(K和K′)組成,每個(gè)點(diǎn)附近的色散都呈線性,低能電子由二維的外爾模型所描述.這里我們需要厘清一個(gè)概念[26]: 在有關(guān)石墨烯的早期文獻(xiàn)中一般把這個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn)稱為狄拉克點(diǎn)(Dirac point),這是因?yàn)槿绻袺和K′的模型寫在一起,那就像是一個(gè)4×4的由兩個(gè)手性相反的外爾模型所組成的狄拉克模型.但是需要注意這其中的兩個(gè)外爾模型的動(dòng)量參考點(diǎn)是不同的,一個(gè)是 K,另一個(gè)是 K′.嚴(yán)格地說,每個(gè)單個(gè)的簡(jiǎn)并點(diǎn)都應(yīng)該被稱為外爾點(diǎn)而不是狄拉克點(diǎn).這種對(duì)于外爾點(diǎn)和狄拉克點(diǎn)的區(qū)分在后來對(duì)三維拓?fù)浒虢饘俚挠懻撝惺呛苊鞔_的[27].但是由于歷史的原因,在石墨烯和二維材料的研究領(lǐng)域中,仍然有部分文獻(xiàn)不加區(qū)分地將這些線性色散的簡(jiǎn)并點(diǎn)統(tǒng)稱為狄拉克點(diǎn).

對(duì)拓?fù)浣饘傺芯康恼嬲d起是在2011年,Wan等[22]提出了拓?fù)浒虢饘俚母拍?預(yù)言了一類磁性的外爾半金屬材料,并證明了它會(huì)具有一種奇特的費(fèi)米弧拓?fù)浔砻鎽B(tài).之后不久,在2012年,Young等[27]討論了三維狄拉克半金屬的概念.在這種材料的體能帶中存在狄拉克型的能帶交叉點(diǎn),即這個(gè)點(diǎn)可以看作是由兩個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)重合在了一起,對(duì)應(yīng)著無質(zhì)量的狄拉克模型.其后又有許多工作討論了更多類型的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn),例如雙重外爾點(diǎn) (double Weyl point)[28],三度、六度和八度簡(jiǎn)并的節(jié)點(diǎn)[29-33],雙折射狄拉克點(diǎn)(birefringent Dirac point)[34-36],三次狄拉克點(diǎn)(cubic Dirac point)[37,38],二次色散的簡(jiǎn)并點(diǎn) (quadratic contact point)[39]等.在這些簡(jiǎn)并點(diǎn)中,外爾點(diǎn)是最穩(wěn)定的:只要不破壞晶格的平移對(duì)稱性,單個(gè)的外爾點(diǎn)就是穩(wěn)定的.而其他各種類型的點(diǎn)都需要額外的晶格對(duì)稱性(比如旋轉(zhuǎn)、鏡面等)的保護(hù).

對(duì)應(yīng)于提出的各種拓?fù)浣饘俑拍?迄今研究者們已經(jīng)找到了不少真實(shí)材料.這個(gè)領(lǐng)域的研究范式一般是首先提出概念(新的拓?fù)鋺B(tài)),總結(jié)出實(shí)現(xiàn)這一概念對(duì)材料的要求(如對(duì)稱性),然后通過材料數(shù)據(jù)庫(kù)和第一性原理計(jì)算尋找滿足要求的真實(shí)材料,最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.當(dāng)然也有不少情況是首先在某種真實(shí)材料中恰巧發(fā)現(xiàn)了新奇的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn),繼而再抽象出一般性的拓?fù)鋺B(tài)的概念.在這個(gè)領(lǐng)域中,第一性原理計(jì)算已被證明是一個(gè)強(qiáng)有力的工具.計(jì)算所預(yù)測(cè)的拓?fù)洳牧?所得到的能帶特征和表面態(tài)在非常多的例子中都被實(shí)驗(yàn)成功地驗(yàn)證.其成功除了計(jì)算方法的不斷發(fā)展完善,也歸因于拓?fù)洳牧系暮芏嘈再|(zhì)(比如簡(jiǎn)并點(diǎn)和表面態(tài))是由對(duì)稱性和拓?fù)錄Q定的而對(duì)計(jì)算的精度并不敏感.

就實(shí)驗(yàn)而言,表征拓?fù)浣饘俚淖钪饕侄问墙欠直婀怆娮幼V(angle-resolved photoemission spectroscopy,ARPES).拓?fù)浣饘俚闹饕卣骶褪悄軒е械暮?jiǎn)并點(diǎn),利用ARPES可以直接探測(cè)固體內(nèi)部和表面的能帶結(jié)構(gòu)并和第一性原理計(jì)算的結(jié)果做比較.某些種類的拓?fù)浣饘贂?huì)存在受保護(hù)的表面態(tài),這些表面態(tài)可以用掃描隧道顯微鏡(scanning,tunneling microscopy,STM) 等手段進(jìn)行 探 測(cè),用 掃 描 隧 穿 譜 (scanning,tunneling spectroscopy,STS)和準(zhǔn)粒子干涉 (quasiparticle interference,QPI)的方法可以進(jìn)一步得到表面態(tài)的能量和動(dòng)量分布的信息.輸運(yùn)性質(zhì)也可以反映拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)的某些特征,比如在外爾半金屬中會(huì)存在由手征反常(chiral anomaly)效應(yīng)所帶來的負(fù)磁阻貢獻(xiàn)[23,40].這里值得注意的是輸運(yùn)過程是相當(dāng)復(fù)雜的,會(huì)同時(shí)存在很多不同的相互競(jìng)爭(zhēng)的機(jī)制[41],尤其是當(dāng)費(fèi)米面附近的能帶并不簡(jiǎn)單的時(shí)候.近期的研究證實(shí)了負(fù)磁阻可以有其他的來源,也完全可以存在于非拓?fù)涞牟牧现衃41-43].因此研究者們?cè)诮忉屳斶\(yùn)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果時(shí)需要格外謹(jǐn)慎.

就具體材料而言,最先在實(shí)驗(yàn)上得到驗(yàn)證的拓?fù)浣饘偈荳ang等[44,45]預(yù)測(cè)的三維狄拉克半金屬材料Na3Bi和Cd3As2.對(duì)于三維外爾半金屬,首先被實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證的是翁紅明等人和Huang等[46,47]所預(yù)測(cè)的TaAs材料體系.在近年來的研究中,特別是最近利用對(duì)稱性指標(biāo)理論進(jìn)行大規(guī)模數(shù)據(jù)庫(kù)搜索的工作中[48-50],新的拓?fù)浣饘俨牧详懤m(xù)被發(fā)現(xiàn).但是要找到一個(gè)“好”的拓?fù)浣饘俨牧先匀皇悄壳斑@個(gè)領(lǐng)域面臨的一大挑戰(zhàn).那什么樣的材料是“好”的呢? 這至少要包含以下幾個(gè)方面: 第一,我們關(guān)注的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)要靠近費(fèi)米面,因?yàn)橹挥羞@樣低能電子和大部分的固體性質(zhì)才能體現(xiàn)出這個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn)的特征;第二,費(fèi)米面附近的能帶要足夠干凈,沒有其他無關(guān)的能帶,最理想的情況是低能只存在產(chǎn)生簡(jiǎn)并點(diǎn)的那些能帶;第三,簡(jiǎn)并點(diǎn)附近的特征色散能量區(qū)間要足夠大,比如對(duì)于外爾點(diǎn),就要要求其線性色散的能量區(qū)間要大;第四,這個(gè)材料本身要穩(wěn)定,并且可以制備出高純度的樣品.到目前為止,恐怕除了石墨烯(作為一個(gè)二維的外爾半金屬),還沒有一個(gè)真實(shí)材料可以滿足上面的四點(diǎn)要求.所以對(duì)理想的拓?fù)浣饘俨牧系奶剿魅匀皇且粋€(gè)重要的研究課題.

本文要討論的節(jié)線和節(jié)面金屬是對(duì)外爾/狄拉克半金屬概念的另一種推廣.對(duì)于一個(gè)三維體系,其兩個(gè)能帶間的交點(diǎn)不僅可以是零維的點(diǎn),也可以形成一維的線或者二維的面.由于簡(jiǎn)并的維度不同,節(jié)線與節(jié)面金屬會(huì)帶來與節(jié)點(diǎn)金屬不一樣的物理特性.其實(shí)這些簡(jiǎn)并結(jié)構(gòu)在各種固體的能帶中是廣泛存在的,但是如上面所提到的,有物理意義的情形是它們必須存在于費(fèi)米面附近,這在真實(shí)材料中就變得難得了.對(duì)節(jié)線的研究始于2014年到2015年幾個(gè)研究組發(fā)表的一系列工作[51-58].對(duì)節(jié)面的研究更晚一些,始于2016年Zhong等[59]和Liang等[60]的研究工作.目前,這個(gè)領(lǐng)域仍然處在快速發(fā)展的時(shí)期.本文著重介紹節(jié)線與節(jié)面金屬的相關(guān)概念,它們的分類、物理性質(zhì),以及材料預(yù)測(cè).

2 節(jié)線金屬

2.1 節(jié)線的概念

我們對(duì)節(jié)線可以有一個(gè)很直觀的理解.如圖2(a)所示,當(dāng)固體中的兩個(gè)能帶相交的時(shí)候,就在布里淵區(qū)中形成了一個(gè)一維的節(jié)線.對(duì)單粒子系統(tǒng),這個(gè)線總是閉合的,因此很多研究也把它稱為一個(gè)節(jié)環(huán)(nodal loop).通常碰到的節(jié)線都是由兩個(gè)能帶線性交叉而形成的.在線上的任意一點(diǎn)P的附近,可以給出一個(gè)低能有效模型[61]:

這里q是從P出發(fā)的波矢,qi(i=1,2) 是其在(過P點(diǎn))垂直于節(jié)線的平面中的兩個(gè)分量,vi是相應(yīng)的費(fèi)米速度,泡利矩陣σi代表了相交的兩個(gè)能帶的自由度(這個(gè)模型展開到q的一階項(xiàng),沿著線的切線方向的色散至少是二階,因此沒有包括在內(nèi)).由這個(gè)模型,可以得到節(jié)線附近的色散關(guān)系.對(duì)應(yīng)于兩個(gè)本征態(tài) u±(q) 的能量本征值是:

如果考慮圖2(b)中在q1—q2平面里的一個(gè)閉合路徑 ? (它上面處處有局部的能隙,可以被看作是一個(gè)一維的絕緣體),當(dāng) ? 足夠靠近節(jié)線的時(shí)候,沿著它走一圈的貝利相位為π,即:

圖2 節(jié)線的示意圖 (a)由兩條能帶交叉所形成的節(jié)線;(b)綠色的環(huán)代表節(jié)線,? 是環(huán)繞節(jié)線一個(gè)路徑,沿著 ? 走一圈的貝利相為π[61]Fig.2.Schematic figure of a nodal loop: (a) Nodal loop formed by two crossing bands;(b) the Berry phase of a closed path ? circling the nodal loop (green circle) is π[61].

模型(1)給出了節(jié)線的一個(gè)局部描述.這里再給出一個(gè)簡(jiǎn)單的、可以整體描述一個(gè)節(jié)線的模型.當(dāng)然,與模型 (1)不同,這個(gè)模型不具有普適性,但是它可以增進(jìn)我們對(duì)節(jié)線概念的理解,也可以作為計(jì)算節(jié)線物理性質(zhì)的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).我們考慮一個(gè)在kx-ky平面上的一個(gè)圓形的節(jié)環(huán)(如圖2(b)),從而給出下面這個(gè)模型[61]:

2.2 節(jié)線的對(duì)稱性保護(hù)

前面已經(jīng)提到,除了外爾點(diǎn)可以有一個(gè)很強(qiáng)的拓?fù)浔Ｗo(hù),其他的能帶簡(jiǎn)并都需要一些額外的對(duì)稱性保護(hù).下面討論可以保護(hù)節(jié)線的幾種對(duì)稱性.它們也代表了形成節(jié)線的幾種機(jī)制.

1)手征對(duì)稱性 (chiral symmetry).手征對(duì)稱性指的是存在一個(gè)與系統(tǒng)哈密頓量反對(duì)易的幺正(unitary)對(duì)稱操作.用Π代表這個(gè)對(duì)稱操作,那么

這個(gè)對(duì)稱性在系統(tǒng)能譜上的反映特別明顯: 能譜是上下對(duì)稱的樣子.對(duì)于固體系統(tǒng),這個(gè)對(duì)稱性通常在兩種情況下可以遇到: 一個(gè)是在超導(dǎo)系統(tǒng)中,在利用Nambu表象描述超導(dǎo)準(zhǔn)粒子激發(fā)譜時(shí),由于人為地引入了空穴自由度(當(dāng)時(shí)間反演對(duì)稱性被保持時(shí)),對(duì)應(yīng)的BdG模型自然的會(huì)有一個(gè)手征對(duì)稱性;另一種情況是系統(tǒng)的晶格是一種二分的(bipartite)類型,即可以分成兩套子晶格(sublattice),每一個(gè)子晶格中的軌道只與另一個(gè)子晶格中的軌道有耦合,對(duì)于這種情況,手征對(duì)稱性也被稱為子晶格對(duì)稱性(sublattice symmetry);就具體材料而言,這種對(duì)稱性一般在單質(zhì)材料中出現(xiàn);并且一般對(duì)輕元素,比如碳,硼等所組成的結(jié)構(gòu),會(huì)保持的比較好[56,62,63].

當(dāng)系統(tǒng)具有手征對(duì)稱性時(shí),對(duì)于大多數(shù)情況我們都可以在一個(gè)動(dòng)量空間的一維的閉合路徑上定義一個(gè)拓?fù)淅@數(shù)(winding number)(見文獻(xiàn)[16]中的具體討論).類似于圖2(b)中的情況,一個(gè)節(jié)線可以被繞著它的路徑 ? 上的非平庸(即不為零的)拓?fù)淅@數(shù)所刻畫和保護(hù).只要系統(tǒng)的對(duì)稱性不被破壞,這個(gè)節(jié)線就不會(huì)被任何微擾打開能隙.

2014年,我們?cè)诜闯３瑢?dǎo)的準(zhǔn)粒子激發(fā)譜中討論了這類節(jié)線的拓?fù)湫再|(zhì)[51].該項(xiàng)研究預(yù)言了一種叫作狄拉克超導(dǎo)的拓?fù)湎?可能存在于Cu摻雜的Bi2Se3,或者UPt3之中).當(dāng)體系的一種中心反演對(duì)稱性被破壞時(shí),原本激發(fā)譜中四重簡(jiǎn)并的狄拉克點(diǎn)就會(huì)演化成一個(gè)手征對(duì)稱所保護(hù)的節(jié)環(huán)(見圖3(a)).研究在體系的表面上,這個(gè)體能帶中的節(jié)環(huán)投影為表面布里淵區(qū)中的一個(gè)環(huán),在環(huán)內(nèi)會(huì)出現(xiàn)鼓膜狀的表面態(tài)(drumhead surface state)能帶[51].值得注意的是,由于存在手征對(duì)稱性,這里的節(jié)環(huán)和鼓膜表面態(tài)都被限制于零能.在這個(gè)例子中,體系具有強(qiáng)SOC.需要指出的是手征對(duì)稱所保護(hù)的節(jié)線也可以存在于沒有SOC的系統(tǒng)中[56].

圖3 在狄拉克超導(dǎo)體中出現(xiàn)的由手征對(duì)稱性保護(hù)的節(jié)線 (a)當(dāng)空間反演或者時(shí)間反演破壞時(shí),一個(gè)狄拉克點(diǎn)會(huì)變?yōu)橐粋€(gè)節(jié)環(huán)或兩個(gè)外爾點(diǎn);(b)-(d)刻畫了(a)中幾種簡(jiǎn)并點(diǎn)的拓?fù)浔Ｗo(hù)機(jī)制,其中節(jié)環(huán)是由拓?fù)淅@數(shù)所保護(hù)[51]Fig.3.Chiral symmetry protected nodal line in a Dirac superconductor: (a) A Dirac node can evolve into a nodal ring or two Weyl nodes under different symmetry breaking;(b)-(d) illustrate the different topological protection for the degeneracies in (a).Here,the nodal ring is protected by the winding number[51].

2)時(shí)空反演(PT)對(duì)稱性.當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)具有空間反演(P)和時(shí)間反演(T)的聯(lián)合操作的對(duì)稱性,并且SOC可以忽略時(shí),布里淵區(qū)中的任何一條閉合路徑上貝利相位都必須是量子化的(π的整數(shù)倍,這個(gè)整數(shù)就是一個(gè)拓?fù)淅@數(shù)).如圖2所示,路徑?上的非平庸的(π)貝利相位為節(jié)線提供了一個(gè)保護(hù).

因?yàn)檫@里的對(duì)稱性要求沒有SOC,所以這種節(jié)線一般是在SOC比較弱的輕元素材料中出現(xiàn).2015年,幾個(gè)研究組分別在不同的碳的同素異形體中發(fā)現(xiàn)了這種節(jié)線(見圖4)[52,53,56].在一些例子中,節(jié)線還同時(shí)受到手征對(duì)稱性的雙重保護(hù)[56].在早期的研究中,Yu等[54]和Kim等[]55]也發(fā)現(xiàn)反鈣鈦礦材料Cu3PdN中當(dāng)不考慮SOC時(shí)也會(huì)有這種類型的節(jié)環(huán);當(dāng)考慮SOC時(shí),節(jié)環(huán)被破壞而只留下一對(duì)狄拉克型的簡(jiǎn)并點(diǎn).之后找到的不少節(jié)線材料是屬于這一類的,比如 Ca2As[64],CaP3家族[65],Ca3P2材料[66],CaTe 材料[67],BaSn2[68],CuTeO3[69]和堿土金屬單質(zhì)[70].

3)鏡面對(duì)稱性.這種情況是最容易理解的.假定系統(tǒng)具有一個(gè)鏡面對(duì)稱性Mz,即垂直于z軸的一個(gè)鏡面,那么布里淵區(qū)中的 kz=0 和kz=π 平面便是在這個(gè)對(duì)稱操作下的不變子空間: 在這兩個(gè)面上每個(gè)k點(diǎn)的能量本征態(tài)同時(shí)也是(當(dāng)存在簡(jiǎn)并時(shí),總可以選為)鏡面的本征態(tài).如果兩個(gè)能帶在其中一個(gè)平面上的鏡面本征值相反,那么它們?cè)谶@個(gè)面上的交點(diǎn)就被鏡面對(duì)稱所保護(hù).而在一個(gè)二維平面,兩個(gè)能帶一般都會(huì)交出一個(gè)一維的節(jié)線.需要注意的是,鏡面保護(hù)的節(jié)線既可以出現(xiàn)在沒有SOC的系統(tǒng),也可以出現(xiàn)在有SOC的系統(tǒng),并且與系統(tǒng)存在的其他對(duì)稱性(比如P和T)有關(guān)[71].

4)滑移鏡面 (glide mirror)對(duì)稱性.滑移鏡面是一種非簡(jiǎn)單的(nonsymmorphic)晶格對(duì)稱性.它也是一種鏡面操作,但要額外加上一個(gè)分?jǐn)?shù)晶格矢量的平移.這里我們對(duì)滑移鏡面單獨(dú)進(jìn)行分析,因?yàn)樗鶎?dǎo)致的節(jié)線有其獨(dú)特的性質(zhì).我們考慮一個(gè)具有時(shí)間反演對(duì)稱但沒有空間反演對(duì)稱的三維系統(tǒng).在布里淵區(qū)中,存在八個(gè)時(shí)間反演不動(dòng)點(diǎn)(time reversal invariant momenta,TRIM),即滿足 k=-k+G 的點(diǎn),這里 G 是某個(gè)倒格矢.在這些TRIM點(diǎn)上,能帶要滿足Kramers雙重簡(jiǎn)并.如果晶格具有一個(gè)包含平移半個(gè)晶格矢量的滑移鏡面,那么可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)對(duì)稱操作的本征值在TRIM點(diǎn)可以是以下兩種類型: 在四個(gè)TRIM點(diǎn)是 ± 1,在另外四個(gè) TRIM 點(diǎn)是 ± i.由于時(shí)間反演操作要取復(fù)共軛,所以在 ± 1的 TRIM點(diǎn),Kramers雙重簡(jiǎn)并的配對(duì)是(+1,+1) 和 (- 1,-1) ;而在 ± i的 TRIM 點(diǎn),配對(duì)必須是 (+i,-i).這兩種配對(duì)類型的不同,導(dǎo)致從一類TRIM點(diǎn)到另一類TRIM點(diǎn)的路徑上,隨著k值得變化,能帶本征值也跟著變化,在中間過程中,能帶必然發(fā)生了交換,從而導(dǎo)致一種沙漏狀的色散(如圖5(b)).沙漏脖子處的交點(diǎn)是一個(gè)二重簡(jiǎn)并點(diǎn),為滑移鏡面所保護(hù).由于這里連接兩個(gè)TRIM點(diǎn)的路徑可以是保持滑移鏡面對(duì)稱的平面上的任何一條路徑,所以不同路徑上的二重簡(jiǎn)并點(diǎn)會(huì)最終形成一個(gè)外爾型的節(jié)環(huán),見圖5(a).

圖4 在三種碳材料中發(fā)現(xiàn)的節(jié)線 (a) Mackay-Terrones結(jié)構(gòu)的三維碳和節(jié)線在動(dòng)量空間的表示[52];(b) hyperhoneycomb 結(jié)構(gòu)的三維碳和節(jié)線在動(dòng)量空間的表示[53];(c)三維的石墨烯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和節(jié)線在動(dòng)量空間的表示[56]Fig.4.Nodal lines found in three carbon allotropes: (a) 3D carbon with Mackay-Terrones crystal structur[52];(b) 3D hyperhoneycomb carbon[53];(c) 3D graphene network structure[56].

上面的討論中假定了空間反演是破缺的.當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)還具有空間反演時(shí),圖5(b)中的每條能帶都因?yàn)镻T對(duì)稱而有一個(gè)額外的二度簡(jiǎn)并.一般來說,由于引入了額外的簡(jiǎn)并度,沙漏脖子處的交點(diǎn)會(huì)被破壞.但是當(dāng)空間反演和滑移鏡面滿足某種特定的代數(shù)關(guān)系時(shí)(見文獻(xiàn)[72]中的討論),這個(gè)交點(diǎn)也有可能仍然被保持,而成為一個(gè)四度簡(jiǎn)并的狄拉克點(diǎn).這樣的話,在保持滑移鏡面不變的面上就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)狄拉克型的節(jié)環(huán)[73,74].

就材料而言,Bzdusek等[75]提出滑移鏡面保護(hù)的外爾型節(jié)環(huán)有可能在IrF4的高溫順磁相中實(shí)現(xiàn).Wang等[73]和Li等[74]提出上面討論的狄拉克型節(jié)環(huán)可能在真實(shí)材料ReO2和X3SiTe6(X=Ta,Nb)中實(shí)現(xiàn),見圖6.最近,幾個(gè)研究組的 ARPES實(shí)驗(yàn)和輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)都給出了Ta3SiTe6和Nb3SiTe6具有拓?fù)湫再|(zhì)的證據(jù)[76,77].

圖5 滑移鏡面所保護(hù)的節(jié)線 (a) O和X 是滑移鏡面上對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同配對(duì)類型的TRIM點(diǎn);(b)展示了沿著連接O和X的一條路徑L上的能帶特征,這里每四條能帶都會(huì)形成一種沙漏形的結(jié)構(gòu);沙漏脖子處的交叉點(diǎn)P在滑移鏡面上會(huì)形成一條節(jié)線Fig.5.Nodal line protected by the glide mirror symmetry:(a) Shows the glide-mirror-invariant plane in Brillouin zone,O and X are two TRIM points with different glide mirror eigenvalues;(b) shows the band structure along a path L connecting O and X (as in (a));it displays an hourglass shaped spectrum.The degeneracy point P in the hourglass traces out a nodal loop in the glide mirror plane.

2.3 節(jié)線的特征和分類

一個(gè)概念可以按照它的特征來進(jìn)行分類.對(duì)于節(jié)線來說,它的主要特征包括以下幾個(gè)方面: 簡(jiǎn)并度、色散和形狀.對(duì)節(jié)線的分類也正是從這幾個(gè)方面展開.

圖6 具有滑移鏡面所保護(hù)的節(jié)線的例子 (a) ReO2的晶體結(jié)構(gòu)和能帶結(jié)構(gòu),可以看到高對(duì)稱線上的沙漏型色散[73];(b) X3SiTe6 (X=Ta,Nb) 的晶體結(jié)構(gòu)和能帶結(jié)構(gòu),以及在高對(duì)稱線上的沙漏型能量色散[74]Fig.6.Material examples with glide-mirror-protected nodal rings: (a) ReO2[73];(b) X3SiTe6 (X=Ta,Nb)[74],the hourglass dispersions can be observed in their band structures.

1)按照簡(jiǎn)并度分類: 外爾型和狄拉克型節(jié)線.在對(duì)節(jié)點(diǎn)的定義中,外爾點(diǎn)指的是滿足外爾模型的二度簡(jiǎn)并點(diǎn);狄拉克點(diǎn)指的是滿足狄拉克模型的四度簡(jiǎn)并點(diǎn).對(duì)節(jié)線來說,雖然沒有可以直接對(duì)應(yīng)的基本粒子模型,大家仍簡(jiǎn)單沿用了外爾和狄拉克這兩個(gè)名詞來說明節(jié)線的簡(jiǎn)并度,即二度簡(jiǎn)并的節(jié)線被稱為外爾節(jié)線 (Weyl nodal line),四度簡(jiǎn)并的節(jié)線被稱為狄拉克節(jié)線 (Dirac nodal line).

狄拉克型節(jié)線一般出現(xiàn)在具有PT對(duì)稱性、考慮了SOC的體系中.對(duì)于SOC可以忽略的(SOC-free)材料,一些文獻(xiàn)把兩個(gè)能帶相交得到的節(jié)線也稱為狄拉克型節(jié)線,這可能是考慮到每個(gè)態(tài)都有一個(gè)自旋自由度,所以簡(jiǎn)并度要乘以二(對(duì)非磁性材料).但是,對(duì)于這種情況,自旋是一個(gè)不起作用的自由度,低能的電子為一個(gè)兩帶模型所描述,所以將其稱為外爾型是更加合適的.

2)按照色散的類型分類: type-I,type-II,和hybrid節(jié)線.在對(duì)外爾點(diǎn)的研究中,依據(jù)節(jié)點(diǎn)附近色散的不同,把節(jié)點(diǎn)分成type-I和type-II兩類[78,79].type-I類型的色散就是通常見到的立著的錐狀色散.而對(duì)于 type-II色散,這個(gè)錐是倒下來的.也就是說在動(dòng)量空間的某個(gè)方向上,兩條相交能帶的斜率有相同的符號(hào)(一些研究工作中還定義了所謂type-III的色散,意指在某個(gè)方向上,其中一條能帶的色散是完全平的;但是,這個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)的是type-I和type-II兩個(gè)相區(qū)之間的邊界,其本身并不是一個(gè)穩(wěn)定存在的相).

2017年,Li等[61]將這種分類推廣到節(jié)線,提出了type-II和hybrid節(jié)線的概念.考慮節(jié)線上某個(gè)點(diǎn)P附近的色散,前面的(2)式刻畫了相交的兩條能帶在過P點(diǎn)垂直于節(jié)線的 q1-q2平面里的色散.如果這兩個(gè)能帶的斜率反號(hào),定義點(diǎn)P是type-I的;如果這兩個(gè)能帶的斜率同號(hào),則定義點(diǎn)P是type-II的.節(jié)線由這些點(diǎn)組成.如果組成節(jié)線的點(diǎn)都是type-I的,這個(gè)節(jié)線就被定義為type-I節(jié)線.類似地,可以定義type-II節(jié)線.還有第三種情況,即節(jié)線既包括type-I點(diǎn)也包括type-II點(diǎn),這被稱為hybrid節(jié)線.這三種類型可以比較直觀地在圖7中反映出來.type-I節(jié)線可以看作是由一個(gè)電子型能帶和一個(gè)空穴型能帶相交產(chǎn)生;type-II節(jié)線可以看作是由兩個(gè)電子型(或兩個(gè)空穴型)能帶相交產(chǎn)生;而一個(gè)hybrid節(jié)線可以由一個(gè)電子型(或空穴型)能帶和一個(gè)馬鞍型能帶相交產(chǎn)生(圖7中給出的是幾個(gè)典型例子,當(dāng)然還存在別的情況).

圖7 三種不同色散類型的-節(jié)線 (a) type-I節(jié)線;(b) type-II節(jié)線;(c) hybird 節(jié)線;(d)(f)三種節(jié)線的等能面[64]Fig.7.Three types of nodal lines classified by the energy dispersion: (a) Type-I nodal line;(b) type-II nodal lines;(c) hybrid nodal lines;(d)-(f) show the typical shapes of the constant energy surface for the three types[64].

上面這種分類的意義在于不同類型的節(jié)線會(huì)有不同的費(fèi)米面結(jié)構(gòu),進(jìn)而可以導(dǎo)致一系列物理性質(zhì)的不同.圖7(d)—(f)給出了三種類型節(jié)線對(duì)應(yīng)的等能面,可以看出它們之間有非常大的差別.基于這個(gè)認(rèn)識(shí),文獻(xiàn)[61]中討論了type-II節(jié)線在磁振蕩、磁響應(yīng)、光響應(yīng)和輸運(yùn)性質(zhì)上的特征,指出相比于type-I節(jié)線,type-II節(jié)線會(huì)使得光吸收受到抑制,同時(shí)會(huì)使材料有更高的遷移率(圖8(a)).之后,Zhang等[64]從理論上研究了hybrid節(jié)線的磁響應(yīng)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)它會(huì)具有一個(gè)零場(chǎng)的磁坍塌(zero-field magnetic breakdown)效應(yīng)以及磁共振中顯著的各向異性(圖8(b)).

就材料而言,大多數(shù)被報(bào)道的節(jié)線材料屬于type-I類型.具有type-II節(jié)線的材料包括K4P3[61],Mg3Bi2[80,81].具有hybrid節(jié)線的材料包括Ca2As[64]和Be2Si[82].

3)按照色散的次數(shù)分類: 線性、二次(quadratic)和三次(cubic)節(jié)線.材料中發(fā)現(xiàn)的節(jié)線絕大多數(shù)都具有線性的色散,即它們是由兩條能帶線性交叉所產(chǎn)生.(1)式反映的就是這種情況.那么有沒有可能存在具有高次色散的節(jié)線呢?2019年,Yu等[83]回答了這一問題.通過對(duì)晶體空間群對(duì)稱性的分析,他們得到了下面的結(jié)果: 1)在所有高次色散節(jié)線中,只有二次和三次節(jié)線(quadratic/cubic nodal line,QNL/CNL)能夠被對(duì)稱性所保護(hù)(圖9(a)),這里需要指出的是我們總可以寫出一個(gè)有高次色散的節(jié)線模型,關(guān)鍵是這個(gè)節(jié)線有沒有對(duì)稱性保護(hù);如果沒有保護(hù),那么任何微擾都會(huì)破壞這個(gè)線,這個(gè)線就不能夠穩(wěn)定存在;2)高次的節(jié)線的簡(jiǎn)并度只能是二重的;3)所有的高次節(jié)線都分布在布里淵區(qū)的主旋轉(zhuǎn)軸上.

圖8 Type-II節(jié)線和 hybrid 節(jié)線的特殊物理性質(zhì) (a) Type-II節(jié)線和 type-I節(jié)線的光學(xué)性質(zhì)的比較[61];(b) hybrid 節(jié)線導(dǎo)致的磁坍塌效應(yīng)和磁振蕩中的各向異性[64]Fig.8.Unique properties of type-II and hybrid nodal lines: (a) Comparison between type-I and type-II nodal lines in terms of JDOS and optical absorption rate[61];(b) the magnetic breakdown and its feature in anisotropic magnetic oscillation for a hybrid nodal loop[64].

圖9 (a)按照節(jié)線的色散次數(shù)進(jìn)行分類的示意圖;(b)-(d)展示了一個(gè)具有二次節(jié)線的材料ZrPtGa,(c)是ZrPtGa的能帶結(jié)構(gòu),藍(lán)色實(shí)線標(biāo)記了二次節(jié)線,(d)是這個(gè)節(jié)線在垂直于Γ-A的平面上的色散,可以清楚地看到是二次色散[83]Fig.9.(a) Schematic figure for the higher order nodal lines;(b)-(d) show the quadratic nodal line in ZrPtGa: (c) the band structure of ZrPtGa,the blue solid curve indicates the quadratic nodal line;(d) shows the band dispersion in the plane perpendicular to Γ-A,which clearly demonstrates a quadratic dispersion[83].

文獻(xiàn)[83]中給出了二次和三次節(jié)線附近的低能有效模型.類似(1)式,對(duì)二次節(jié)線,

這里 α 是一個(gè)取復(fù)數(shù)值的模型參數(shù),q±=qx±iqy,σ±=σx±iσy.三次節(jié)線的模型則有下面的形式:

這里的α和β是取實(shí)數(shù)值的模型參數(shù).色散次數(shù)的不同自然的帶來物理性質(zhì)的巨大差異.文獻(xiàn)[83]具體的討論了二次和三次節(jié)線在磁振蕩行為、朗道能級(jí)的結(jié)構(gòu)和光學(xué)響應(yīng)方面的特征.

就材料而言,具有二次節(jié)線的材料包括WC 族的一類材料,ZrPtGa(圖9(b)—(d)),V12P7,和ZrRuAs[83].具有三次節(jié)線的材料包括CaAgBi(這也是一個(gè)具有多種狄拉克點(diǎn)的材料[36]).目前找到的材料在費(fèi)米面附近的能帶都不理想.因此通過材料搜索和設(shè)計(jì)來得到具有高次節(jié)線的材料仍是將來的一個(gè)重要研究課題.

4)按照形態(tài)的拓?fù)浞诸?圖10中展示了兩個(gè)真實(shí)材料中的二類節(jié)線的例子.圖10(a)中的是一個(gè)三維的碳結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的節(jié)線,在布里淵區(qū)的一個(gè)鏡面上有兩條時(shí)間反演操作所聯(lián)系的節(jié)線,每一條都從左到右穿越了整個(gè)布里淵區(qū)[56].圖10(b)中展示的是材料CuTeO3中的節(jié)線[69],這個(gè)節(jié)線是圍繞著布里淵區(qū)的中心Γ點(diǎn)的一個(gè)圈.從圖中可以直觀地感覺到這兩個(gè)節(jié)線是不一樣的: 一個(gè)穿越了布里淵區(qū),而另一個(gè)則局域在布里淵區(qū)中的某個(gè)點(diǎn)附近.那么怎樣刻畫這種不同呢? 2017年,Li等[61]指出這里的區(qū)別反映的是一條節(jié)線纏繞布里淵區(qū)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同.我們知道,因?yàn)椴祭餃Y區(qū)有周期性的結(jié)構(gòu),它等價(jià)于一個(gè)三維的環(huán)面(3D torus).一條在布里淵區(qū)里的節(jié)線的拓?fù)淇梢杂伤幕就瑐惾?(fundamental homotopy group)來刻畫,對(duì)應(yīng)著三個(gè)整數(shù),分別代表節(jié)線在三個(gè)方向上穿越布里淵區(qū)的次數(shù).比如圖10(b)中的節(jié)線沒有穿越布里淵區(qū),所以它對(duì)應(yīng)的類就是 (0,0,0),而圖10(a)中的節(jié)線在一個(gè)方向(定義為x方向)上穿越了一次,所以它對(duì)應(yīng)著 (1,0,0).這個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)在物理上的一個(gè)直接影響是: 在不破壞系統(tǒng)對(duì)稱性的前提下,圖10(b)中的節(jié)線可以(通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),如施加應(yīng)變等)連續(xù)的變成一個(gè)點(diǎn)然后消失;而圖10(a)中的節(jié)線不可以.圖10(a)中的節(jié)線必須要和另一條相配對(duì),才可以一起湮滅掉.

以上的討論是對(duì)于三維系統(tǒng)進(jìn)行的,對(duì)二維系統(tǒng)也可以做類似討論.此時(shí)一條單獨(dú)的節(jié)線可以由它沿著兩個(gè)方向穿越布里淵區(qū)的次數(shù)來刻畫.這方面的討論可以參考近期關(guān)于氧化硼烯(B2O)[84]和單層MnN中的節(jié)線的工作[85].

以上的分類都是對(duì)單個(gè)節(jié)線進(jìn)行的.在一些材料中會(huì)存在多個(gè)節(jié)線,并且它們還會(huì)互相連接形成復(fù)雜的結(jié)構(gòu).對(duì)這些情況很難有一個(gè)系統(tǒng)的分類.下面我們主要討論一些典型的例子.

1)環(huán)繞布里淵區(qū)中同一個(gè)高對(duì)稱點(diǎn)的幾個(gè)節(jié)環(huán)可以互相交叉,形成一個(gè)籠子狀的結(jié)構(gòu),或者稱為 crossed nodal rings.比如圖11(a)中所示,在LiOsO3的鐵電相中,環(huán)繞布里淵區(qū)中T點(diǎn)的三個(gè)節(jié)環(huán)在高對(duì)稱軸上相交,每一個(gè)環(huán)都處在一個(gè)鏡面里[38].類似的其他例子還包括 Cu3PdN[54,55],LaN系列材料[86],YH3[87],以及一類層狀的BN和SiC結(jié)構(gòu)[88].這里需要指出的是,在LiOsO3中討論的節(jié)線結(jié)構(gòu)是在考慮SOC下穩(wěn)定存在的[38].而在后面的幾個(gè)例子中的節(jié)線是在沒有考慮SOC時(shí)才會(huì)有;當(dāng)加入SOC后,這些節(jié)線會(huì)被完全打開能隙或只留下某些節(jié)點(diǎn).

2)由幾個(gè)能帶互相交叉所產(chǎn)生的節(jié)線也可能形成一個(gè)骨架狀的結(jié)構(gòu).比如在 CuAgSe中,Sheng等[89]發(fā)現(xiàn)四個(gè)低能能帶間的相交會(huì)在一個(gè)鏡面上形成蝴蝶形狀的節(jié)線.體系存在多個(gè)互相聯(lián)系的鏡面,因此這些節(jié)線會(huì)組成圖11(b)中所顯示的結(jié)構(gòu),被作者們稱為一個(gè) nodal box.

圖10 具有不同形態(tài)的節(jié)線 (a)穿越布里淵區(qū)的一對(duì)節(jié)線[56];(b)局域在布里淵區(qū)某個(gè)點(diǎn)周圍的節(jié)線[69]Fig.10.Nodal lines with different kinds of distribution in Brillouin zone: (a) Nodal lines in a carbon allotrope,which traverse the Brillouin zone[56];(b) nodal line in CuTeO3,which is located around a point in Brillouin zone[69].

3)兩個(gè)節(jié)環(huán)還可以扣在一起,形成一個(gè)結(jié).例如圖11(c)所示在三維的五邊形碳(pentagon carbon)材料中由三條能帶交叉形成的節(jié)線結(jié)構(gòu)[90].圖11(d)展示的是在Co2MnGa中存在的Hopf鏈環(huán)(Hopf link)類型的節(jié)線結(jié)構(gòu)[91].

4)幾個(gè)節(jié)環(huán)可以接在一起,形成在動(dòng)量空間延展的一條鏈.Bzdusek等[75]的工作中提出了在空間反演對(duì)稱性破缺的系統(tǒng)中存在的外爾鏈(Weyl chain).如圖11(e)中所示,這個(gè)鏈由兩個(gè)在不同的滑移鏡面上的外爾節(jié)環(huán)相接而成,并且沿著一個(gè)方向延展(注意到布里淵區(qū)的周期性).這里每一個(gè)節(jié)環(huán)的形成對(duì)應(yīng)著圖5中所討論的機(jī)制.之后,Wang 等[73]提出了狄拉克鏈 (Dirac chain)的概念,指出當(dāng)空間反演保持并且與滑移鏡面滿足某種特定的代數(shù)關(guān)系時(shí),四重簡(jiǎn)并的節(jié)環(huán)所組成的鏈(見圖11(f))就有可能在某些空間群實(shí)現(xiàn).該研究還預(yù)言了一個(gè)真實(shí)材料ReO2是含有這種狄拉克鏈的材料.

圖11 節(jié)環(huán)可以形成的一些復(fù)雜結(jié)構(gòu) (a)籠子狀的結(jié)構(gòu)[38];(b)骨架狀的結(jié)構(gòu)[89];(c)三能帶形成的結(jié)狀節(jié)線[90];(d) Hopf鏈環(huán)[91];(e)外爾鏈;(f)狄拉克鏈[73]Fig.11.Different structures formed by nodal lines: (a) Crossed nodal rings[38];(b) nodal box[89];(c) inter-connected nodal loops[90];(d) nodal Hopf link[91];(e) weyl chain;(f) dirac chain[73].

2.4 二維材料中的節(jié)線

上面的討論都是關(guān)于三維非磁性材料的.近期對(duì)節(jié)線的研究開始拓展到兩個(gè)新的方向: 一是二維材料中的節(jié)線,二是磁性材料中的節(jié)線.在這一節(jié)中,我們先討論二維材料中的節(jié)線.

二維材料指的是由有一層或幾層原子組成的可單獨(dú)穩(wěn)定存在的材料.二維材料是伴隨著2004年石墨烯的實(shí)現(xiàn)而發(fā)展起來的[7],如今已成為一個(gè)跨學(xué)科的龐大研究領(lǐng)域.相比于傳統(tǒng)的三維材料,二維材料具有以下優(yōu)勢(shì): 首先由于其厚度很薄,它們的性質(zhì)可以很容易地在大范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)控,比如二維材料中的載流子濃度可以有效地用柵極控制;第二,二維材料大多具有優(yōu)異的力學(xué)性質(zhì),比如石墨烯可以承受超過10%的應(yīng)變,而施加的應(yīng)變也可以有效的調(diào)控材料的性質(zhì)[92,93];第三,二維材料具有極大的表體比(surface-to-volume ratio),這對(duì)于催化和儲(chǔ)能等應(yīng)用都非常有利;第四,二維材料本身提供了具有原子級(jí)別平整的界面,由二維材料構(gòu)建出的異質(zhì)結(jié)可以有效地解決傳統(tǒng)三維材料異質(zhì)結(jié)中界面上無序所帶來的問題.因此,假如可以在二維材料中實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋺B(tài),我們可以預(yù)期這將帶來很多基礎(chǔ)研究和應(yīng)用上的突破.

在實(shí)際的二維材料中實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋺B(tài)也面臨著幾方面的挑戰(zhàn).首先,由于維度的降低,在三維體系中穩(wěn)定的能帶拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往到了二維變得不再穩(wěn)定.比如一個(gè)單獨(dú)的外爾點(diǎn)在三維具有陳數(shù)保護(hù)的拓?fù)浞€(wěn)定性,而到了二維則失去了這種拓?fù)浔Ｗo(hù),因此實(shí)現(xiàn)二維材料中的外爾點(diǎn)需要找到額外的對(duì)稱性保護(hù)(關(guān)于二維材料中外爾點(diǎn)的實(shí)現(xiàn),可以參考近期對(duì)單層GaTeI[94]和PtCl3[95]的兩個(gè)工作).第二,維度的降低也帶來了對(duì)稱性的減少.一個(gè)直觀的反映就是對(duì)應(yīng)于三維非磁性材料的空間群有230個(gè),而對(duì)應(yīng)于二維非磁性材料的空間群(也稱為 layer group)則減少到了 80 個(gè).因此,要在二維材料中實(shí)現(xiàn)受對(duì)稱性保護(hù)的能帶簡(jiǎn)并就變得更為困難,特別是當(dāng)材料中的SOC不可忽略的時(shí)候.例如三維系統(tǒng)中的狄拉克點(diǎn)可以由多種對(duì)稱性來保護(hù)(例如BiO2[27]和Na3Bi中的狄拉克點(diǎn)[44]),但是在二維系統(tǒng)中要得到(SOC作用下)穩(wěn)定的狄拉克點(diǎn)變得非常困難(注意石墨烯和很多二維材料中所討論的狄拉克點(diǎn)在有SOC時(shí)都是不穩(wěn)定的).Young和Kane[72]指出二維中的狄拉克點(diǎn)需要有特殊的非簡(jiǎn)單對(duì)稱操作,如二度螺旋軸或滑移鏡面,才可以被保護(hù).Guan 等[96]在單層的 HfGeTe族材料中找到了這種在SOC作用下仍然穩(wěn)定的狄拉克點(diǎn).第三,在近年來的研究中,雖然新的二維材料不斷被發(fā)現(xiàn),但相比于三維材料,二維材料的數(shù)目特別是其晶格的種類還是有限的.這也加大了在真實(shí)材料中找到合適的能帶拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的難度.在這個(gè)方面,我們不僅要利用實(shí)驗(yàn)的進(jìn)展,也可以利用結(jié)構(gòu)搜索和高通量計(jì)算等理論方法構(gòu)建滿足對(duì)稱性要求的新二維材料來實(shí)現(xiàn)想要的拓?fù)湎?

具體到節(jié)線的情況,在早期的研究工作中零星報(bào)道過一些在忽略SOC時(shí)具有節(jié)線的二維材料.例如Jin等[97]預(yù)言的PdS一族有褶皺的二維節(jié)線材料,Li等[74]在 X3SiTe6(X=Ta,Nb)的單層中發(fā)現(xiàn)的處于布里淵區(qū)邊界的節(jié)線,以及Zhou等[98]和Zhong等[84]分別在單層B2C和B2O中預(yù)言的節(jié)線.在實(shí)驗(yàn)上,單層 Cu2Si和 CuSe中存在的節(jié)線也為ARPES方法所觀測(cè)到[99,100].

在上面這些例子中,節(jié)線只有在忽略SOC時(shí)可以穩(wěn)定存在.加上SOC后,這些節(jié)線或者完全打開能隙,或者部分打開能隙,只留下幾個(gè)孤立的節(jié)點(diǎn).那么在二維是否可以存在SOC作用下仍然穩(wěn)定存在的節(jié)線呢? 近期文獻(xiàn)[85,94]給出了肯定的答案.首先是Wu等[94]分析了一類在二維系統(tǒng)由滑移鏡面所保護(hù)的節(jié)線,給出了所需要的對(duì)稱性條件.這種節(jié)線的形成機(jī)制類似于文獻(xiàn)[75]在三維中所討論的情況(見圖5(a)).滑移鏡面和時(shí)間反演對(duì)稱導(dǎo)致了在連接兩個(gè)TRIM點(diǎn)的路徑上能帶會(huì)出現(xiàn)沙漏型的色散.這個(gè)沙漏脖子處的二度簡(jiǎn)并點(diǎn)在布里淵區(qū)里形成了一條節(jié)線,見圖12(a)—(c).由于這個(gè)分析的出發(fā)點(diǎn)就包含了SOC,因此得到的節(jié)線本征的具有在SOC下的穩(wěn)定性.該工作進(jìn)一步在GaTeI一族的單層材料中找到了這種節(jié)線[94].與此同時(shí),Wang等[85]在單層MnN中發(fā)現(xiàn)了由鏡面對(duì)稱性保護(hù)的節(jié)線,見圖12(d)—(f).尤其值得注意的是這里的系統(tǒng)基態(tài)具有鐵磁序,形成一個(gè)半金屬態(tài)(half metal),即費(fèi)米面附近只存在屬于一個(gè)自旋的能帶.因?yàn)榛鶓B(tài)的磁化方向垂直于材料所在的平面,因此水平鏡面在形成鐵磁序之后仍然得以保持,進(jìn)而保護(hù)了能帶在費(fèi)米面附近形成的兩個(gè)節(jié)環(huán)(見圖12(f)).在這里,SOC的作用并不影響相交能帶具有相反的鏡面本征值,因此兩個(gè)節(jié)環(huán)在考慮SOC時(shí)仍然是穩(wěn)定的.

圖12 二維材料中在 SOC 作用下仍然穩(wěn)定的節(jié)線 (a)-(c)二維 GaTeI中的節(jié)線[94];(d)-(f)單層 MnN 中的節(jié)線,單層MnN是一個(gè)鐵磁材料,在費(fèi)米面處只存在一個(gè)自旋通道,因此這里的節(jié)線是完全自旋極化的[85]Fig.12.Stable nodal lines under SOC in 2D: (a)-(c) GaTeI family materials[94];(d)-(f) MnN monolayer,here MnN is a half metal,so the nodal loops are fully spin[85].

2.5 磁性材料中的節(jié)線

拓?fù)洳牧系牧硪粋€(gè)發(fā)展方向是將拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)和其他的長(zhǎng)程序(如鐵電序,鐵磁序等)相結(jié)合.這樣一方面可以通過調(diào)節(jié)長(zhǎng)程序來達(dá)到控制能帶拓?fù)涞哪康?另一方面低能的電子(作為拓?fù)溲萆M(fèi)米子,如外爾費(fèi)米子)也可以具有如自旋極化等特殊性質(zhì).將拓?fù)浣饘賾B(tài)與鐵電序結(jié)合不是很容易,因?yàn)殍F電序通常是在絕緣體中實(shí)現(xiàn).但是也存在特例.比如Li等[101]預(yù)言了HgPbO3是一種鐵電金屬,并且在鐵電相具有外爾點(diǎn).這種鐵電金屬相是伴隨著晶格從非極化結(jié)構(gòu)到極化結(jié)構(gòu)的一個(gè)相變而產(chǎn)生,最先在LiOsO3中為實(shí)驗(yàn)證實(shí)[102].之后,Yu等[38]通過理論分析和計(jì)算發(fā)現(xiàn)其實(shí)LiOsO3的鐵電相和非鐵電相都具有拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu): 它的非鐵電相(即高溫相)具有三次狄拉克點(diǎn)(即在面內(nèi)的色散是三次的四重簡(jiǎn)并點(diǎn));而在鐵電相(即低溫相),這個(gè)三次狄拉克點(diǎn)則變化為三個(gè)相交的節(jié)環(huán).

相比較而言,將拓?fù)浣饘賾B(tài)與磁性結(jié)合會(huì)容易一些.在之前的工作中,已經(jīng)找到了幾種具有節(jié)線的磁性材料.例如鐵磁材料 Co2TiX (X=Si,Ge,or Sn)[103],MnF3[104],具有立方晶格的氧化物磁性材料 (如 Fe3O4和 CrO2)[105],和 Li3(FeO3)2[106].值得注意的是Wang等[105]指出在Fe3O4和CrO2中的節(jié)線受到鏡面對(duì)稱性保護(hù),是可以在SOC作用下仍然穩(wěn)定存在的.另外,節(jié)線也可以在反鐵磁材料中存在.Wang[107]從理論上對(duì)(考慮SOC的)反鐵磁節(jié)線的形成機(jī)制進(jìn)行了探討,提出了兩類不同的節(jié)線: 一類是由于能帶反轉(zhuǎn)所導(dǎo)致,可以被稱為accidental nodal line;另一類是由某些磁性空間群所完全決定的,因此被稱為 essential nodal line.在實(shí)驗(yàn)上,最近的報(bào)道了在反鐵磁材料GdSbTe中利用ARPES觀測(cè)到的節(jié)線的證據(jù)[108].

以上的討論都是關(guān)于三維的磁性材料.關(guān)于二維,2.4節(jié)提到了在單層鐵磁半金屬M(fèi)nN中存在完全自旋極化的在SOC下也穩(wěn)定的節(jié)環(huán)(見圖12(d)—(f))[85].Zhou 等[109]在單層的 CsS 一族材料中也找到了類似的節(jié)環(huán),但是這個(gè)節(jié)環(huán)不是出現(xiàn)在基態(tài),而是需要將磁化方向轉(zhuǎn)到垂直于易磁化平面的方向.Feng等[110]在鐵磁單原子層GdAg2中觀察到了自旋極化的外爾節(jié)線,該節(jié)線受鏡面對(duì)稱性保護(hù),不同的磁化方向可以調(diào)節(jié)節(jié)線.

2.6 節(jié)線對(duì)應(yīng)的拓?fù)浔砻鎽B(tài)

體態(tài)的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)往往對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)邊界上存在的拓?fù)浔砻鎽B(tài).例如在三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體(strong topological insulator)的表面上存在外爾錐形式的無能隙表面能帶[111].又如在三維外爾半金屬的表面上存在費(fèi)米弧(Fermi arc)形式的拓?fù)浔砻鎽B(tài)[22].這里,表面態(tài)的“拓?fù)洹敝傅氖侨魏尉钟虻臐M足體系對(duì)稱性要求的微擾都不能破壞無能隙表面態(tài)的存在.

節(jié)線也對(duì)應(yīng)著其特有的表面態(tài),即所謂鼓膜狀表面態(tài).我們?cè)?014年的工作中指出了這種表面態(tài)的存在(圖13(a))[51].在二維的表面布里淵區(qū)內(nèi),這些表面態(tài)分布于(體里的)外爾節(jié)線在該表面的投影區(qū)域內(nèi)(也可能在外部,取決于邊界條件).對(duì)于超導(dǎo)的準(zhǔn)粒子譜,由于粒子空穴對(duì)稱性的存在,這些態(tài)的能量嚴(yán)格為零,形成一個(gè)沒有色散、完全平的表面能帶.對(duì)于金屬材料來說則沒有這個(gè)對(duì)稱性的限制,表面能帶一般會(huì)具有色散,導(dǎo)致這個(gè)鼓膜在能量上不是平的.這種節(jié)線金屬中的鼓膜狀表面態(tài)已經(jīng)在很多例子中被證實(shí)(如圖13(b)[52]).

當(dāng)節(jié)線是四度簡(jiǎn)并的狄拉克型節(jié)線時(shí),對(duì)應(yīng)的鼓膜狀表面態(tài)往往也會(huì)翻倍,被稱為雙鼓膜表面態(tài) (double drumhead surface state)[73].圖13(c)和圖13(d)展示了兩個(gè)這樣的例子.ReO2[73]和Ta3SiTe6[74]是含有狄拉克型節(jié)線的材料,在它們的表面能譜中都可以發(fā)現(xiàn)存在著兩個(gè)鼓膜狀表面能帶.

在2.3節(jié)第3)部分的討論中,我們提到除了線性色散的節(jié)線,還存在二次和三次色散的節(jié)線.對(duì)應(yīng)這些特別種類節(jié)線的表面態(tài)也是大不相同的.余智明等[83]指出二次節(jié)線一般不對(duì)應(yīng)著受保護(hù)的表面態(tài),而三次節(jié)線則對(duì)應(yīng)著一種非常奇特的表面能帶.如圖13(e)所示,與之前的鼓膜狀表面態(tài)不同,這個(gè)表面能帶覆蓋了整個(gè)的表面布里淵區(qū).由于表面布里淵區(qū)是一個(gè)二維的環(huán)面(或者叫輪胎面),這種表面態(tài)也可以被稱為是環(huán)面表面態(tài)(torus surface state).

在實(shí)驗(yàn)上,這些拓?fù)浔砻鎽B(tài)可以用ARPES或者STS來進(jìn)行探測(cè).Li等[70]的工作指出早先在堿土金屬Be單質(zhì)中ARPES觀測(cè)到的表面能譜對(duì)應(yīng)著體內(nèi)節(jié)線產(chǎn)生的拓?fù)涔哪畋砻鎽B(tài).他們還進(jìn)一步指出之前實(shí)驗(yàn)中觀察到的Be(0001)表面上的巨大的Friedel振蕩也是源自這個(gè)表面能帶.如果這個(gè)表面能帶色散比較小(這也要求體內(nèi)的節(jié)線在能量上比較平)并且接近費(fèi)米面的話,它會(huì)在費(fèi)米能處引起一個(gè)表面態(tài)密度 (surface density of states)的尖峰.在考慮相互作用的影響后,這有可能會(huì)導(dǎo)致一個(gè)相變,產(chǎn)生表面超導(dǎo)或者表面磁性[111,112].

圖13 節(jié)線對(duì)應(yīng)的拓?fù)浔砻鎽B(tài) (a)狄拉克超導(dǎo)體中節(jié)線導(dǎo)致的鼓膜態(tài)[51];(b)碳的同素異形體中的鼓膜態(tài)[52];(c),(d) ReO2[73]和Ta3SiTe6[74]中的雙鼓膜態(tài);(e)對(duì)應(yīng)著三次節(jié)線的遍布布里淵區(qū)的環(huán)面表面態(tài)[83]Fig.13.Surface states of nodal line metals: (a) Drumhead surface states for nodal rings in superconductors[51];(b) drumhead surface states in a 3D carbon allotrope[52];(c),(d) show the double drumhead surface states in ReO2[73]and Ta3SiTe6[74];(e) surface states of cubic nodal line,which spreads over the whole BZ[83].

3 節(jié)面金屬

3.1 節(jié)面的概念

對(duì)于一個(gè)三維的系統(tǒng),它的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)原則上也可以形成一個(gè)二維曲面.2016年,這種節(jié)面的存在首先在兩個(gè)理論工作中被提出.Zhong等[59]預(yù)言了一類穩(wěn)定的三維碳材料,其中每一個(gè)都在費(fèi)米面附近有一對(duì)由兩條能帶線性交叉形成的節(jié)面,如圖14(a)所示.Liang等[60]在六角結(jié)構(gòu)的BaMX3(M=V,Nb,Ta;X=S or Se)材料中發(fā)現(xiàn)存在于布里淵區(qū)邊界kz=π面上的一個(gè)節(jié)面,如圖14(b)所示.值得注意的是,在最早的這兩個(gè)例子中,節(jié)面的穩(wěn)定存在都要求SOC是可忽略的.比如對(duì)于BaTaS3,在考慮SOC后,節(jié)面上的簡(jiǎn)并會(huì)被打開,只留下一些沿著高對(duì)稱線的節(jié)線[60].在2016年后,對(duì)節(jié)面有一些利用理論模型的研究工作.例如Bzdusek和Sigrist[113]討論了在具有中心反演對(duì)稱的體系中實(shí)現(xiàn)節(jié)面的可能性.Xiao和Fan[114]提出了一個(gè)具有拓?fù)潆姾傻墓?jié)面的模型,并設(shè)計(jì)了一種用聲學(xué)超材料來實(shí)現(xiàn)的方案.

2018年,Wu等[63]對(duì)節(jié)面進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,揭示了之前發(fā)現(xiàn)的節(jié)面的拓?fù)湫再|(zhì),并將它們歸入兩種不同的類型.他們還進(jìn)一步將節(jié)面推廣到具有SOC的系統(tǒng)以及具有磁性的系統(tǒng),擴(kuò)展了可能出現(xiàn)節(jié)面的材料體系.基于理論分析得到的對(duì)稱性條件,在這個(gè)工作以及后續(xù)的工作中,又有不少具有節(jié)面的真實(shí)材料被發(fā)現(xiàn),例如K6YO4,Ta3TeI7,CsCrI3,和 Ti3Al等[63,115].

3.2 節(jié)面的分類

圖14(a)和圖14(b)中的節(jié)面是很不相同的:圖14(a)中的節(jié)面出現(xiàn)在布里淵區(qū)的內(nèi)部,而圖14(b)中的節(jié)面則固定在布里淵區(qū)邊界的平面上.文獻(xiàn)[63]提出了兩種類型的節(jié)面,分別對(duì)應(yīng)著圖14中的兩種情況(注意: 這里的兩個(gè)節(jié)面都要求沒有SOC,因此在這一小節(jié)的討論考慮沒有SOC的情況).

3.2.1 第一類 (class-I)節(jié)面和Z2拓?fù)潆姾?/p>

第一類節(jié)面對(duì)應(yīng)著三維碳材料(圖14(a))中的節(jié)面.這個(gè)體系具有時(shí)間反演和中心反演對(duì)稱性,因此也就有 PT 對(duì)稱性.同時(shí),這里還有一個(gè)非常重要的對(duì)稱性,即2.2節(jié)中提到過的子晶格對(duì)稱性.對(duì)圖14(a)中的具體例子來說,這表示可以把晶格分成兩組,每一組中的原子都只和另一組中的有耦合.在能譜上,這個(gè)對(duì)稱性表現(xiàn)為能帶結(jié)構(gòu)是上下對(duì)稱的.當(dāng)然,在真實(shí)體系中,這個(gè)子晶格對(duì)稱性不可能是嚴(yán)格的: 總是多少存在次近鄰原子軌道之間的躍遷,材料的能譜也不可能是嚴(yán)格上下對(duì)稱的.但是在不少材料中,這個(gè)對(duì)稱性在低能(即費(fèi)米能附近)是一個(gè)很好的近似.特別在很多單質(zhì)輕元素材料中,例如圖14(a)對(duì)應(yīng)的碳材料中,子晶格對(duì)稱性可以保持得非常好.

圖14 兩種不同的節(jié)面 (a)三維碳材料中的節(jié)面[63];(b) BaMX3 中的節(jié)面[60]Fig.14.Two kinds of nodal surfaces: (a) Nodal surfaces in a 3D carbon allotrope[63];(b) nodal surface in BaMX3[60].

當(dāng)存在子晶格對(duì)稱性時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量總可以化為如下的塊矩陣形式:

因?yàn)橛执嬖赑T對(duì)稱性(并且無SOC),Q總可以通過幺正變換化為一個(gè)實(shí)矩陣.在拓?fù)渖?對(duì)應(yīng)著一個(gè)k點(diǎn)的哈密頓量可以分為兩類,由Q的行列式的符號(hào) sg n[DetQ(k)]所決定(這里考慮的是存在能隙,即不在節(jié)面上的 k點(diǎn);在節(jié)面上時(shí),Q 的行列式為零).因此,布里淵區(qū)內(nèi)存在能隙的k點(diǎn)可以分為兩類,對(duì)應(yīng)著兩種區(qū)域,而這兩種區(qū)域之間的邊界(疇壁)則對(duì)應(yīng)著節(jié)面.基于這一理解,我們可以對(duì)第一類節(jié)面定義一個(gè)Z2的拓?fù)潆姾?

這里k1和k2是節(jié)面兩邊的兩個(gè)點(diǎn).對(duì)圖14(a)中碳材料的模型計(jì)算驗(yàn)證了圖14(a)中節(jié)面具有的非平庸拓?fù)潆姾?

3.2.2 第二類(class-II)節(jié)面

第二類節(jié)面是由體系非簡(jiǎn)單對(duì)稱性所要求的一種必要的(essential)能帶結(jié)構(gòu).圖14(b)對(duì)應(yīng)的材料具有一個(gè)二度的螺旋軸(screw axis)S2z:(x,y,z)→(-x,-y,z+1/2),同時(shí)還有時(shí)間反演對(duì)稱性.這兩者的聯(lián)合對(duì)稱操作滿足

在布里淵區(qū)的邊界kz=π平面的每一個(gè)k點(diǎn)上,都有(TS2z)2=-1,因而就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)Kramers二度簡(jiǎn)并.所有這些簡(jiǎn)并點(diǎn)就組成了一個(gè)節(jié)面.Zhao等[116]指出這種非簡(jiǎn)單對(duì)稱性導(dǎo)致的簡(jiǎn)并對(duì)應(yīng)著一種莫比烏斯帶形式的能帶拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以與用對(duì)稱性算符相聯(lián)系的一個(gè)繞數(shù)來刻畫.

這里對(duì)兩類節(jié)面做一個(gè)比較.由于子晶格對(duì)稱性,第一類節(jié)面在能量上是平的,并且固定在費(fèi)米面處.而它們?cè)诓祭餃Y區(qū)中的位置則不固定.圖14(a)中的情況有一對(duì)由時(shí)間反演(或空間反演)操作聯(lián)系的節(jié)面.通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),這兩個(gè)節(jié)面的位置和形狀都可以變化,也可能合并成一個(gè)單獨(dú)的球狀節(jié)面.對(duì)于第二類節(jié)面,它們的能量不固定,節(jié)面上的點(diǎn)一般都會(huì)有能量的起伏(而且也不一定在費(fèi)米面附近),然而它們?cè)诓祭餃Y區(qū)中的位置是固定的,總是出現(xiàn)在邊界的平面上.前面提到第二類節(jié)面是一種必要的能帶簡(jiǎn)并,是完全由對(duì)稱性所決定的.在這個(gè)意義上,第一類節(jié)面就是一種偶然的能帶簡(jiǎn)并,它的產(chǎn)生需要在布里淵區(qū)的某些區(qū)域中出現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn).由于這個(gè)原因,也由于子晶格對(duì)稱性在真實(shí)材料中比較難得,第一類節(jié)面比較少見,而第二類節(jié)面的材料則比較容易尋找(如文獻(xiàn)[63]中討論的K6YO4和TlMo3Te3,見圖15).

圖15 具有第二類節(jié)面的材料 (a) K6YO4;(b) TlMo3Te3[63]Fig.15.Materials with Class-II nodal surfaces: (a) K6YO4;(b) TlMo3Te3[63].

3.3 自旋軌道耦合作用下穩(wěn)定的節(jié)面

上面討論的那些例子都是在沒有SOC的系統(tǒng)中才可以穩(wěn)定存在的.當(dāng)加入SOC后,這些節(jié)面會(huì)全部或者部分地打開能隙.比如對(duì)圖15中的TlMo3Te3,加上SOC后,節(jié)面上的大部分點(diǎn)都會(huì)解除簡(jiǎn)并.對(duì)第一類節(jié)面,如圖14(a)中那個(gè)碳材料的節(jié)面,也有類似的結(jié)果.只是由于碳本身的SOC非常小,在節(jié)面處打開的能隙通?？梢院雎圆挥?jì).

那么在SOC作用下是否仍然存在穩(wěn)定的節(jié)面呢? Wu等[63]給出肯定的答案,指出當(dāng)體系具有第二類節(jié)面的TS2z對(duì)稱性,同時(shí)PT對(duì)稱性破缺的時(shí)候,就可以存在SOC下穩(wěn)定存在的節(jié)面.這里,PT對(duì)稱性破缺是一個(gè)必要條件,因?yàn)槿绻哂蠵T對(duì)稱性,那么每個(gè)能帶都至少是二重簡(jiǎn)并的,于是節(jié)面就必須是四重簡(jiǎn)并,但是沒有對(duì)稱性可以保證在一個(gè)面上的每一點(diǎn)都有四重簡(jiǎn)并,所以節(jié)面的穩(wěn)定存在就必須要求PT被破壞.圖16(a)和圖16(b)中展示了在半導(dǎo)體材料Ta3TeI7中的這種節(jié)面.

3.4 磁性材料中的節(jié)面

注意到對(duì)第二類節(jié)面(3.2節(jié))的討論中,真正重要的是TS2z這個(gè)聯(lián)合對(duì)稱性,而并不要求單獨(dú)的T或S2z被保持.而且TS2z本身就屬于一種磁性空間群的對(duì)稱操作.因此第二類節(jié)面的概念可以很自然地推廣到磁性材料中.

圖16 SOC作用下穩(wěn)定的節(jié)面 (a)展示了Ta3TeI7晶體結(jié)構(gòu);(b)是Ta3TeI7在考慮SOC時(shí)的能帶結(jié)構(gòu);能帶在考慮SOC時(shí)沒有打開能隙[63]Fig.16.Nodal surface robust against SOC: (a) Crystal structure of Ta3TeI7;(b) is the band structure of Ta3TeI7 in the presence of SOC with no gap opening[63].

文獻(xiàn)[63]中分別討論了體系沒有SOC和有SOC的情況下存在節(jié)面的一組充分條件.當(dāng)體系沒有SOC(或SOC可以忽略)時(shí),那么S2z螺旋軸的存在就可以保證在kz=π平面上出現(xiàn)的節(jié)面.當(dāng)體系具有SOC時(shí),這個(gè)條件變?yōu)? TS2z對(duì)稱性被保持,同時(shí)PT對(duì)稱性必須破缺.圖17給出了一個(gè)鐵磁節(jié)面金屬CsCrI3的例子.它的晶格具有S2z對(duì)稱性.在不考慮 SOC 時(shí),它的能帶在 kz=π平面上出現(xiàn)節(jié)面.考慮SOC后,依賴于磁化方向,當(dāng)TS2z對(duì)稱性被保持時(shí),節(jié)面就被保持(圖17(c));當(dāng)TS2z被破壞時(shí),節(jié)面也就被破壞(圖17(d)).在以上這些情況中,PT對(duì)稱性總是破缺的.

圖17 磁性材料中的節(jié)面 (a) CsCrI3 晶體結(jié)構(gòu);(b)不考慮 SOC 時(shí)的能帶結(jié)構(gòu);(c),(d)考慮 SOC 時(shí),磁矩分別沿面內(nèi)和面外時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)[63]Fig.17.Nodal surface in magnetic materials: (a) The crystal structure of CsCrI3;(b) the band structure of CsCrI3 without SOC;(c) and (d) band structures with magnetic moment along x and z directions respectively[63].

3.5 多節(jié)面金屬和不可行定理

在上面的討論中看到,在很多情況下,TS2z對(duì)稱性都保證了在kz=π平面上的節(jié)面.那么假如同時(shí)具有兩個(gè)或三個(gè)TS2i對(duì)稱性 (i=x,y,z),系統(tǒng)就會(huì)在布里淵區(qū)的多個(gè)邊界上存在節(jié)面.圖18顯示了這樣的具有多個(gè)節(jié)面的例子.

圖18 存在多個(gè)節(jié)面的材料 (a) Cu3Se2;(b) Rb2Se5;布里淵區(qū)中的節(jié)面分布用橙色標(biāo)記[63]Fig.18.Materials with multiple nodal surfaces: (a) Cu3Se2;(b) Rb2Se5.The location of the nodal surfaces is indicated by the orange color[63].

這種多節(jié)面金屬會(huì)帶來什么樣的特殊性質(zhì)呢?在近期工作中[117],Yu等[118,119]給出了一個(gè)有趣的結(jié)果: 它可以用來繞過Nielson-Ninomiya不可行定理 (no-go theorem).對(duì)于這個(gè)定理,大多數(shù)文獻(xiàn)中的表述是: 無相互作用的格子模型 (lattice model)的能帶中的外爾點(diǎn)必須要成對(duì)出現(xiàn),也就是說不可能存在單獨(dú)的外爾點(diǎn).這個(gè)定理的一個(gè)直接后果就是在系統(tǒng)表面上會(huì)存在連接外爾點(diǎn)的投影的費(fèi)米弧.這些要求在迄今為止所有具有外爾點(diǎn)的材料中都得到了驗(yàn)證.而余智明等發(fā)現(xiàn),在一個(gè)所有布里淵區(qū)的邊界都是節(jié)面的多節(jié)面金屬中,布里淵區(qū)內(nèi)部允許存在單獨(dú)的外爾點(diǎn)(如圖19所示).并且在表面上,也可以不存在任何從這個(gè)外爾點(diǎn)發(fā)出的費(fèi)米弧(圖19(c)和圖19(d)).文獻(xiàn)[117]中給出了具體的格子模型,分別在有SOC和沒有SOC的情況下驗(yàn)證了這兩點(diǎn)結(jié)論.

圖19 繞過Nielson-Ninomiya不可行定理的方法 (a)一個(gè)單獨(dú)外爾點(diǎn)的示意圖;(b)貝利曲率分布;(c),(d)顯示了在表面上不存在連接單外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧表面,白色點(diǎn)標(biāo)記了體內(nèi)外爾點(diǎn)在表面的投影[117]Fig.19.A method to circumvent the Nielson-Ninomiya no-go theorem: (a) Schematic figure showing the single Weyl point;(b) Berry curvature distribution;(c),(d) show that there is no surface Fermi arc emitted from the Weyl point,the white dot labels the surface projection of the Weyl point[117].

需要指出的是,上面的結(jié)果并不代表Nielson-Ninomiya不可行定理被違反了.這個(gè)定理其實(shí)有一個(gè)隱含的前提條件,即體系無能隙激發(fā)必須只包含外爾點(diǎn).在文獻(xiàn)[117]的例子中,由于節(jié)面的存在,費(fèi)米面處除了外爾點(diǎn),必定要包含其他穿過費(fèi)米面的能帶,因此不滿足這個(gè)隱含的前提.在大部分文獻(xiàn)的討論中,這個(gè)前提條件都沒有得到重視,可能是因?yàn)楝F(xiàn)有的外爾半金屬材料中能帶本身就很復(fù)雜(因而不滿足這個(gè)前提).這里的多節(jié)面金屬的例子無疑加深了我們對(duì)這個(gè)基本定理的理解.

4 總 結(jié)

本綜述介紹了節(jié)線和節(jié)面的基本概念、它們的特征和分類、以及相應(yīng)的材料實(shí)現(xiàn).對(duì)于節(jié)線,近幾年還有不少工作從理論上預(yù)言了其可能具有的物理性質(zhì).例如外加磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致特殊的朗道能級(jí)結(jié)構(gòu),進(jìn)一步在磁光電導(dǎo)上或者在磁振蕩上出現(xiàn)反映節(jié)線(以及費(fèi)米面)形狀的特征[61,64,120].在光學(xué)響應(yīng)上,節(jié)線的能帶結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致光吸收對(duì)頻率的特殊標(biāo)度關(guān)系,即介電函數(shù)的虛部 Im ε(ω)～ 1/ω[121].限于篇幅,本文未做詳細(xì)介紹.而對(duì)于節(jié)面的研究則剛剛起步,仍然有很多問題值得探索.

應(yīng)當(dāng)指出的是,到目前為止,大部分對(duì)節(jié)線金屬的理論預(yù)言還沒有得到確切的實(shí)驗(yàn)證實(shí).其主要原因可能還是在于材料.現(xiàn)有的拓?fù)浣饘俨牧?包括節(jié)點(diǎn),節(jié)線和節(jié)面金屬)都不夠理想.在理論模型計(jì)算中,研究者們大多假設(shè)所有能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)都處在同一個(gè)能量并且靠近費(fèi)米面.但是在實(shí)際材料中,它們往往在能量上有較大的起伏,有的離費(fèi)米面距離較遠(yuǎn),有的在費(fèi)米面附近還存在其他能帶的干擾,這些都會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果不能完全體現(xiàn)簡(jiǎn)并點(diǎn)的性質(zhì).這也指明了今后研究的兩個(gè)重要方向: 一是在理論模型的工作中,需要考慮到真實(shí)材料能帶不夠理想的因素對(duì)計(jì)算結(jié)果所產(chǎn)生的影響;二是在材料搜索和實(shí)驗(yàn)中,需要尋找和設(shè)計(jì)更加合適的真實(shí)材料.

感謝北京航天航空大學(xué)物理學(xué)院的勝獻(xiàn)雷、新加坡科技與設(shè)計(jì)大學(xué)的劉影在文章寫作過程中給予的建議和幫助.