王洪飛 解碧野 詹鵬2)3) 盧明輝3)4)? 陳延峰3)

1) (南京大學材料科學與工程系,固體微結構物理國家重點實驗室,南京 210093)

2) (南京大學物理學院,南京 210093)

3) (南京大學,人工微結構協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210093)

4) (江蘇省人工功能材料重點實驗室,南京 210093)

受凝聚態(tài)中拓撲相和拓撲相變概念的啟發(fā),一種基于拓撲能帶論的新的研究領域——拓撲光子學正在興起,它突破了傳統(tǒng)基于實空間光場疊加原理和倒空間固體能帶色散理論的光場調控思想,提供了一種新穎的光場調控機制和豐富的輸運和光操控性質.例如,背散射抑制且缺陷免疫的邊界輸運特性、自旋軌道依賴的選擇傳輸特性、高維度的光場調控等.本文將從拓撲光子體系的維度出發(fā),簡要介紹不同維度中的拓撲模型、新奇物理現象以及相應的物理圖像,如SSH模型、光量子霍爾效應、光量子自旋霍爾效應、Floquet拓撲絕緣體、三維拓撲絕緣體等;結合當前的研究熱點,對光子學領域的其他先進拓撲平臺也進行了簡要的討論,如高階拓撲系統(tǒng)、非厄米拓撲系統(tǒng)、非線性拓撲系統(tǒng)等;本文的最后,對相關領域的發(fā)展現狀、優(yōu)勢與挑戰(zhàn)進行了相應的總結與展望.

1 引 言

近幾十年來,拓撲光子學研究領域迎來了極為快速的發(fā)展,究其根源就在于凝聚態(tài)物質的拓撲相的概念與光學體系的有機結合催生了一系列新穎的光物理現象與潛在的光學應用前景.這些物理現象,例如光整數量子霍爾效應[1-4]、光量子自旋霍爾效應[5-9]、光 Floquet拓撲絕緣體[10-19]等,由于存在受拓撲保護且背散射抑制的邊界態(tài),在光傳輸[2,5,20,21]和光量子計算[18,22-24]等領域有著廣闊的應用前景并由此成為目前光子學領域研究的熱點.

拓撲光子學最初思想來源于固態(tài)物理中的物質拓撲相,而這一領域的巨大發(fā)展則是始于1980年,德國物理學家Klitzing等[25]發(fā)現的整數量子霍爾效應.也就是二維電子氣的霍爾電導在垂直的強磁場下會出現與磁場強度相關的平臺,其數值為 e2/h 的整數倍,并且這種量子化的霍爾電導對載流子濃度以及遷移率等均不敏感,具有一定魯棒性.Thouless等[26]和 Kohmoto[27]很快意識到這項發(fā)現的重要性,他們將霍爾電導出現的整數與系統(tǒng)的拓撲不變量—陳數(Chern number)相關聯(lián),這是一個數值為整數的拓撲不變量,它描述了波函數在動量空間中的全局構型.隨后,這種把體系拓撲不變量與量子霍爾效應的電導相結合的方法被總結為Thouless-Kohmoto-Nightingalw-Nijs(TKNN)關系.拓撲不變量的物理意義體現在材料的體邊對應關系上: 在具有帶隙的電子系統(tǒng)中,整數拓撲不變量不會因為微擾或連續(xù)形變而改變,除非帶隙在某處發(fā)生了閉合.這意味著當兩種具有不同拓撲不變量的材料拼接時,在界面處電子會在位于特定能量處出現空間場局域,且此時電子能量處于體塊材料的帶隙中.如果拓撲非平庸材料為有限尺寸,這種拼接界面可以理解為拓撲非平庸區(qū)域與拓撲平庸區(qū)域(例如,真空或普通拓撲不變量為零的拓撲平庸材料)之間的界面,從而保證系統(tǒng)界面具有局域的邊界態(tài).隨后 2005年和 2006年,Bernevig等[28,29]和Kane等[30]分別發(fā)現了量子自旋霍爾效應(或Z2拓撲絕緣體).在此體系中,雖然傳統(tǒng)陳數為零,但波函數遵循新的二元(Z2)拓撲不變量.在時間反演對稱的情況下,這種Z2不變量可以是非零的,并且存在受其保護的邊界態(tài).至此之后,凝聚態(tài)物理領域開始對各種對稱性下的不同拓撲相以及由此產生的物理效應進行了更加全面和深入的研究,這些研究不僅有電子系統(tǒng)還有其他量子多體系統(tǒng),如低溫液氦[31]和超冷原子氣體[32]等.

在凝聚態(tài)領域的拓撲相研究不斷發(fā)展過程中,Haldane和Raghu開始意識到這種拓撲能帶結構事實上是波在非均勻介質中普遍存在的屬性,2008年,他們開創(chuàng)性地提出在具有Dirac點能帶結構的光子晶體體系中,通過引入磁光材料來打破時間反演對稱性,從而使得系統(tǒng)具有非零拓撲不變量[1].這一思想很快由Wang等[2,3]利用二維磁性光子晶體在微波頻段得到了證實,并且實驗觀測到了具有魯棒性的單向傳輸的邊界態(tài).然而,光學領域整數量子霍爾效應模型的實現在普遍意義上仍然具有較大困難,這主要是因為在光學領域中,磁光響應的材料幾乎不存在.為此,人們提出了諸多新的方案,這些方案也極大地促進了拓撲光子學的發(fā)展.2011年Hafezi等[33]提出將耦合環(huán)形諧振腔中的贗自旋作為光子的內稟自由度,類比電子體系量子自旋霍爾系統(tǒng),實現了光學量子自旋霍爾效應.有趣的是在這種體系中,整體的時間反演對稱性并沒有被打破,但每個贗自旋都感受到了相應的人工磁場.借鑒構造贗自旋的思想,2013年,Khanikaev等[9]利用電磁波超材料,在TE/TM構成的左旋(LCP)、右旋(RCP)圓偏振為贗自旋的體系中,發(fā)現了自旋依賴的拓撲邊界態(tài).2012年,Fang等[16]受凝聚態(tài)中Floquet拓撲絕緣體的啟發(fā),在光學諧振腔耦合陣列中加入了動態(tài)調制,從而產生了時間依賴的哈密頓量,實現了打破時間反演對稱性的效果.同年,Kraus等[34]利用一維波導陣列在傳輸方向上等價時間相關調制的特性,在準晶排列的體系中實現了絕熱泵浦,并實驗觀測到了拓撲保護的邊界態(tài).同樣利用這種特性,Rechtsman等[15]于2013年,在由螺旋形波導陣列組成的蜂窩狀光子晶體中,觀測到了拓撲保護的邊界態(tài)演化.直至目前,拓撲光子學領域仍朝著在多種光學耦合體系內實現更豐富的拓撲特性而努力.

最近幾年,光學領域與拓撲相的結合更加密切,由此催生了一些新穎的研究方向.其中最引人矚目的有以下三點: 其一,由于光學體系材料增益損耗的引入并不十分困難,事實上在很多情形下(例如在光傳輸與耦合等系統(tǒng)中)增益損耗的考慮是必須的,由此觸發(fā)了人們對非厄米拓撲光子體系的研究[35-50];其二,非線性過程是光學領域長久以來的課題,隨著拓撲相概念為越來越多人熟知,具有非線性光學效應的拓撲構型也隨之產生并向著更加豐富的內容發(fā)展[13,17,51-61];其三,高階拓撲相概念雖然起源于電子體系的緊束縛模型,但在光子領域由于其有可能實現具有拓撲保護的局域場操控,因此也越來越為人所關注[62-76].

本文從拓撲光子體系的維度調控出發(fā),闡述不同維度的光子拓撲現象以及相對應的拓撲相描述手段,并針對當前拓撲光子領域研究的新熱點問題進行探討.首先從 Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型出發(fā),介紹具有手性對稱性的一維光子體系的拓撲特性及相關的物理效應;然后分別結合光子能帶結構,介紹二維、三維光子體系中拓撲現象,特別是拓撲相描述手段與物理耦合平臺;最后,本文將對當前拓撲光子學領域的新物理、新效應以及新的發(fā)展方向作一個簡要的總結與展望.

2 一維拓撲光子體系

一維有序結構的拓撲相調控離不開對稱性的調控,其中最重要或廣為討論的就是手性對稱性.最具代表性的模型就是1979年Su等[77]提出的SSH模型.SSH模型描述的是無自旋的費米子在一維周期晶格的交錯耦合,由于光子是玻色子,因此這個模型在一定程度上同樣適用于光學耦合體系.如圖1的耦合鏈所示,SSH模型的哈密頓量可寫作

圖1 SSH 模型示意圖,每個元胞包含兩個格點Fig.1.Schematic of the SSH model,there are two sites in each unit cell.

這里 σx,y,z為泡利矩陣,a代表實空間晶格周期,由此得到的兩條能帶可以表達為E(k)=很容易發(fā)現這個體系具有手性對稱性 σzHkσz=-Hk以及時間反演對稱性表示復共軛操作算符.值得注意的是,這里的手性對稱性是亞晶格對稱性(sublattice symmetry),其要求躍遷只存在于兩個格點之間.同時,這種手性對稱性也導致了粒子-空穴(電荷共軛)對稱性產生,即對于任意一個能量E及其本征態(tài) | φE〉 都有一個能量-E及其本征態(tài) | φ-E〉=σz|φE〉 與之對應.可以看出這個體系的拓撲相轉變點在α=β位置,此系統(tǒng)的拓撲相特性可以利用Zak相位刻畫[78]:

當 α＞β 時,γzak=0,系統(tǒng)為平庸的絕緣體相;而當 α＜β 時,γzak=± π,為非平庸的拓撲相,且對應于一對局域在系統(tǒng)邊界的零能邊界態(tài).

圖2 (a) 微納加工 (SSH 模型) 的 SEM 圖;(b) 單個柱子的模式;(c) 不同能帶中的態(tài)及存在的邊界態(tài);(d) 利用波導環(huán)形陣列實現SSH模型Fig.2.(a) SEM image of the coupled micropillars;(b) Modes of single micropillars;(c) Different modes of the micropillar array and edge states;(d) SSH microring array.

光子體系SSH模型的實驗觀測始于2009年的Malkova等[79].從此以后,大量的研究主要集中在兩個方面: 一方面是不同的電磁波系統(tǒng)的SSH模型,例如微波光子晶體[80]、耦合波導陣列[81-83]、等離子[84]或純介質腔[85]、波導環(huán)形諧振腔[86,87]等;另一方面是基于SSH模型的推廣與應用.關于后者的研究,我們舉兩類例子加以說明.一類是利用SSH模型的局域邊界態(tài)實現光學激射,例如2017年St-Jean等[88]利用微納加工工藝在一維拓撲邊界上觀測到了激光的產生.如圖2(a)所示,通過微納加工工藝將量子阱(QWs)放置在分布式布拉格反射(DBR)微腔中,利用單個柱子的Px,Py兩種偶極子模式之間的耦合,如圖2(b)所示,在P態(tài)兩條能帶之間的帶隙中觀測到了局域的邊界態(tài)并實現激光的激發(fā),如圖2(c)所示.2018年,Parto 等[86]設計并實驗制備了基于SSH模型的波導環(huán)形諧振腔陣列,并實現了邊界態(tài)的激發(fā),如圖2(d)所示,通過上下耦合波導通道,可以在邊界的耦合波導中得到相應的局域邊界態(tài).另一類是將SSH模型與量子光學相結合.典型的是2012年,Kitagawa等[89]提出的把單光子進行一系列的極化旋轉,實現拓撲非平庸的離散時間量子行走,在不同Zak相位結構的界面處觀測到了局域的拓撲邊界態(tài).隨后一維量子行走系統(tǒng)的拓撲不變量測量與魯棒性測試也相繼提出[90,91].2017年,Cardano 等[92]在軌道角動量空間實現量子行走的拓撲相轉變,使得這個方向更加的引人注目.

3 二維拓撲光子體系

3.1 基于二維拓撲光學系統(tǒng)的整數量子霍爾效應

如前文所述,光的整數量子霍爾效應的提出充分借鑒了凝聚態(tài)電子氣體系的經驗.Haldane和Raghu在提出光學體系量子霍爾效應時便是基于凝聚態(tài)物理中無質量的Dirac方程[1].以類石墨烯體系為例,它的能帶在倒易空間的K與K′處形成具有線性色散關系的Dirac點,這種高對稱點附近的準粒子特性可以通過哈密頓量HD來描述:

這里的 vx,y為光的有效群速度,k=(kΔ,ky)為二維系統(tǒng)的倒易空間矢量,Δm為系統(tǒng)的有效質量.當 Δm=0 時,描述為無質量的 Dirac準粒子,對應的貝利相位 (Berry Phase)為 ± π.而當 Δm≠0時,描述為有質量的Dirac準粒子,產生相應的帶隙.物理上,可以通過對無質量體系引入旋磁材料來打破時間反演對稱性,原有的Dirac點所在的兩個能帶之間會形成一個與外加磁場相關的帶隙,從而產生光的量子霍爾效應.它的拓撲不變量可以通過陳數來描述.值得注意的是,我們把一個2n維度系統(tǒng)所具有的陳數叫做第n陳數,通常情況下所說的陳數為第一陳數,描述的是二維動量空間的情況,它的形式可以寫為[26]

其中Ωn(k)=?k×An(k)為貝利曲率(Berry curvature),而An(k)=i〈φn,k|?k|φn,k〉為貝利聯(lián)絡(Berry connection),根據斯托克斯公式不難發(fā)現陳數的值可以為0或其他整數值.

2008年,Wang等[2]意識到構造線性色散Dirac點并非產生量子霍爾效應的必然條件,他們利用憶鐵石榴石鐵氧體(YIG)的旋磁特性(即磁張量的非對角項μij在外加磁場下不為零),在具有四方點陣結構的光子晶體中構造出了陳數不為零的拓撲絕緣體,并于2009年在實驗上觀測到背散射抑制的拓撲邊界態(tài)[3],如圖3(a)和圖3(b).隨后,Skirlo等[4]利用鐵磁光子晶體在高能帶上設計并觀測到了大陳數的拓撲絕緣體,其相鄰兩條能帶的陳數差大于 1,即: Cgap＞1,對應于更多條數的邊界態(tài),如圖3(c)和圖3(d)所示.這種效應在諸如光學耦合腔[93,94]、光子晶體板[95]、動態(tài)調制諧振器[96]等不同的耦合平臺上也被先后實現.

3.2 二維光量子自旋霍爾效應

拓撲光子學中的另一大類就是保持時間反演(或贗時間反演)對稱性的量子自旋霍爾效應系統(tǒng).對電子系統(tǒng)來說,由于電子本身具有 ± 自旋,因此對于每一個自旋s都可以利用(5)式單獨地指定一個陳數 C↑,↓,來表示有相應自旋的能帶.因此拓撲不變量可以用兩種量表征,一種是傳統(tǒng)的陳數C,另一種則是自旋陳數Cs.

由于廣泛意義上系統(tǒng)仍然具有時間反演對稱性,所以陳數 C=0,而自旋陳數 Cs為整數值,這種自旋陳數可以用來刻畫量子自旋霍爾效應.值得注意的是,在僅有時間反演對稱性的情況下,自旋陳數不再存在明確的定義,這時可以用 Z2拓撲不變量代替.

圖3 (a) 旋磁光子晶體的示意圖;(b) 向前向后的傳輸譜以及具有手性邊界態(tài)的投影能帶;(c) 大陳數光子晶體結構圖;(d) 能帶的帶隙及其陳數Fig.3.(a) Schematic of the gyromagnetic photonic crystal;(b) forward and backward spectra,and projected band structures with chiral edge states;(c) the diagram of large Chern number photonic crystals;(d) the band gap map and their Chern number.

光子系統(tǒng)的自旋與電子的內稟自旋還是有很大不同的,目前主要有三種方案來實現光子的自旋霍爾效應.第一種方案是利用光子的偏振自由度.2013年,德克薩斯大學奧斯汀分校的Khanikaev等[9]利用光的TE與TM偏振自由度,構造了兩種贗自旋態(tài)TE+TM與TE-TM.通過控制偏振的耦合,系統(tǒng)實現了自旋軌道的耦合并產生量子自旋霍爾效應.然而這一工作沒有說明時間反演對稱性與此現象的關系.2016年,南京大學He等[97]提出了一種基于壓電(PE)—壓磁(PM)超晶格的光子晶體模型,并以左旋(LCP)和右旋(RCP)光為贗自旋態(tài),如圖4(a)所示.模型采用了四方晶格構型,并保證了時間反演破缺,而僅保存了電磁耦合與時間反演聯(lián)合的對稱性(贗時間反演對稱性),從而證實時間反演對稱性本身也只是針對于固有的電場磁場系統(tǒng),即使時間反演對稱性破缺,光量子自旋霍爾效應仍然可以發(fā)生,如圖4(b)所示.(贗)自旋態(tài)的選取發(fā)生改變,相應的(贗)時間反演對稱性算符也可能發(fā)生改變,這對理解時間反演對稱性在光量子自旋霍爾效應中的角色起到了很大作用.2014年,Chen 等[20]利用微波超構材料在實驗上觀測到了以TE+TM和TE-TM為贗自旋態(tài)的量子自旋霍爾效應.

第二種產生光量子自旋霍爾效應的方案是通過晶格對稱性來實現,這種方案最早由Wu和Hu[6]在 2015年提出.如圖5 所示,對于同一類偏振態(tài)而言,利用蜂窩結構的位于K和K′的狄拉克點以及能帶折疊概念,當柱子距中心距離為高對稱的石墨烯參數時,系統(tǒng)在Γ點實現四重簡并的Dirac點.而當結構距離參數發(fā)生改變時,Γ點雙Dirac點發(fā)生去簡并,出現兩兩簡并的 px,py和dxy,dx2-y2對稱性模式.利用對稱和反對稱模式,他們構造了兩種贗自旋態(tài)p±和d±,并以此為基礎構造出電磁波的拓撲絕緣體[8].然而需要指出的是,由于構成邊界態(tài)波導的兩側布洛赫態(tài)并不完全一致,因此本質上邊界態(tài)的投影能帶并不是嚴格無帶隙的.這一簡單的設計構想先后在微波平臺、光子晶體板以及超構表面等實驗體系上得到了大量推廣,同時,全介質的系統(tǒng)在應用上也具有很大的潛力.

圖4 (a) Poincaré球上的 LCP 和 RCP,以及由 PE 和 PM 材料構成的光子晶體;(b) 沒有贗自旋耦合以及具有贗自旋耦合的能帶以及后者的投影能帶;(c) 通過調節(jié)金屬柱子實現贗自旋的耦合Fig.4.(a) The polarization of LCP and RCP on the Poincaré sphere,and the photonic crystal consisting of PE and PM superlattices;(b) band structures without coupling between dseudospin states and with their coupling,and the projected band structures for the latter case;(c) photonic crystals consisting of metallic rods and collars at different positions,and their band strucutres.

第三種方案是利用光在環(huán)形諧振腔體系的耦合來實現的.通過控制光沿著諧振腔順時針和逆時針傳播的路徑,使得系統(tǒng)具有類比于電子自旋的自由度,由于這樣的系統(tǒng)天然保持了時間反演對稱性,因此可以類比于量子自旋霍爾效應.如圖6所示,Hafezi等[22,33,98]利用耦合環(huán)將兩個環(huán)形諧振腔相連并以此為單元構成周期耦合陣列,提出并在實驗上實現了具有自旋量子霍爾效應的光學腔傳輸邊界態(tài),在單一自旋下具有單向傳輸且缺陷免疫的特性.

3.3 光Floquet拓撲絕緣體

通過在哈密頓量中引入時間調制或等效于時間的調制,也可以使得材料產生新奇的拓撲特性,通常這一類拓撲絕緣體被稱為Floquet拓撲絕緣體.2012年,Fang 等[16]將這一思想引入光子晶體體系,從而實現了光學的Floquet拓撲絕緣體.如圖7(a)所示,通過在光學諧振腔耦合陣列中引入耦合相關的動態(tài)調制 V (t)=V0cos(Ωt+φij),其中Ω為調制頻率,φij為兩個格點間的調制相位,原有的哈密頓量中周期調制的耦合系數則等效為一個有效磁場Beff

這里a為晶格常數,Aeff為由于時間調制而引入的有效規(guī)范勢,且滿足等的設計依賴于電路的控制,事實上,在除了微波以外的系統(tǒng)中,這種動態(tài)調控過程的實現還是有一定難度的.2013年,Rechtsman 等[15]提出,通過激光直寫技術在耦合波導陣列中同樣能夠實現等效磁場,從而構造出了光Floquet拓撲絕緣體.如圖7(b)所示,傍軸傳輸的光波導系統(tǒng)在傳輸方向具有豐富的調控維度.通過引入螺旋傳輸調節(jié),傍軸傳輸方程可以寫為

圖5 (a) 全介質光子晶體結構;(b) 收縮、高對稱以及擴張晶格所對應的能帶;(c) 贗自旋依賴的邊界態(tài)的實驗觀測Fig.5.(a) Schematic of all-dielectric photonic crystals;(b) band structures of shrinking and expanding lattices;(c) visualization of pseudospin-dependent edge states.

圖6 (a) 諧振腔耦合單元;(b) 周期排布形成的耦合陣列Fig.6.(a) Two coupled resonators in one unit cell;(b) a periodic array arranged by unit cells.

圖7 (a) 光學諧振腔陣列的動態(tài)調制;(b) 激光直寫波導系統(tǒng)的拓撲絕緣體構型;(c) 四種耦合組成的周期構型Fig.7.(a) The resonator lattice with dynamic modulation;(b) floquet topological insulators using the femtosecond laser writing method;(c) four different bonds with different coupling.

4 三維拓撲光子體系

4.1 外爾(Weyl)點和節(jié)線(nodal-line)

類比于二維體系的Dirac點,在三維系統(tǒng)中可以找到與之對應的點,即外爾(Weyl)點,它對應于在三維動量空間都具有線性色散的簡并點.Weyl點附近的色散關系可以通過哈密頓量HW表示

這里vx,y,z為三個方向的群速度,k=(kx,ky,kz)為三維的動量空間位置.通過對包含Weyl點的二維平面進行貝利曲率的積分,會發(fā)現在時間反演對稱性和空間反演對稱性都存在時,Weyl點對應的陳數為 ± 1.如果空間反演對稱性被破壞,能帶系統(tǒng)將至少存在4個Weyl點;而當時間反演對稱性被破壞,系統(tǒng)則至少存在 2個 Weyl點.當Weyl點附近的線性色散斜率足夠大,兩個交叉的能帶具有相同符號的群速度,此時對應于第二類Weyl點.2013年,Lu 等[100]通過打破時間反演對稱性或空間反演對稱性最先在雙螺旋光子晶體體系中提出了Weyl點的設計,如圖8(a)所示,然后2015年首次在微波波段觀察到了這種現象[101],Yang等[102]于2018年利用微波超材料實現了更豐富的 Weyl平臺,如圖8(b)所示.另外,在光學晶格體系[103,104]、磁化等離子體[105]以及手性超構材料[106]等體系中,Weyl點也不斷地被構造出來研究三維光子晶體的體拓撲性質以及表面態(tài)(對應于Fermi弧等)輸運性質.

圖8 (a) 能夠產生 Weyl點以及節(jié)線的雙螺旋光子晶體;(b) 具有 Weyl點的金屬夾雜的光子晶體Fig.8.(a) Photonic crystals with two gyroid structures in one unit cell,and their band structures with Weyl points or nodal-line;(b) schematic of photonic crystals with the saddle-shaped metallic inclusion,and their Weyl points.

在三維體系中,還存在一類奇特的簡并點,其能帶沿著三維布里淵區(qū)的一條線簡并形成所謂的節(jié)線(nodal-line).這種節(jié)線在一定對稱性保護下可以具備拓撲穩(wěn)定性,并且每個節(jié)線具有π的貝利相位.例如,一個簡化的雙能級的節(jié)線模型的哈密頓量可以表示為

此系統(tǒng)同時具有空間反演對稱性(對應于操作算符σz)以及時間反演對稱性(對應于復共軛算符),(11) 式刻畫了 kz=0 時,在 kx-ky平面存在閉合節(jié)線的系統(tǒng),這種系統(tǒng)的哈密頓量對應的貝利相位±π與二維Dirac點對應性質一致.光子體系節(jié)線的設想同樣是Lu等[100]于2013年提出的,之后Lin等[107]研究發(fā)現節(jié)線同樣可以存在于二維光子晶體系統(tǒng)中.節(jié)線系統(tǒng)的表面態(tài)受螺旋旋轉和時間反演對稱性的保護,并且具有非零的陳數.除此之外,節(jié)點鏈[108,109]、節(jié)點連接[110]、節(jié)點結[111]概念等也在不斷的探索與研究之中.

4.2 三維光學拓撲絕緣體

在三維光子晶體體系中,拓撲絕緣體產生的關鍵在于利用拓撲簡并點(例如Weyl點和Dirac點)得到三維k空間中的非平庸能帶帶隙,從而支持各種拓撲界面態(tài).截至目前,已提出的三維光學拓撲絕緣體機制主要有三維光整數量子霍爾效應、三維光量子自旋霍爾效應等.三維光整數量子霍爾效應可以通過三個第一陳數刻畫,即其對應于單向傳輸且缺陷免疫的無能隙界面態(tài).2018年,Lu 等[112]提出在Weyl雙螺旋光子晶體中,通過引入超元胞的能帶折疊機制將一對Weyl點折疊成一個三維Dirac點,再利用外加磁場作用于構成光子晶體的磁性材料,從而產生了由于Dirac點退簡并導致的拓撲帶隙,形成三維Chern拓撲絕緣體,相應的陳數可表示為 (0,0,1).值得注意的是,由于要保證第一陳數的存在,這種系統(tǒng)中時間反演對稱性的破缺是必要的.

圖9 (a) 三維全介質與雙各向異性光子晶體;(b) 兩種構型的光子晶體對應的能帶;(c) 通過引入磁場破缺Dirac點的光子晶體構型Fig.9.(a) 3 D all-dielectric and bianisotropic metacrystals;(b) band structures corresponding to two structures in (a);(c) photonic crystals with opened Dirac points when magnetization is applied on rods.

三維光量子自旋霍爾效應則是通過直接構造Dirac點來實現,這種方案最早由Slobozhanyuk等[113,114]于2016年提出,他們將雙各向異性超構材料組合成新的光子晶體,利用電場和磁場之間的交錯耦合,構造出了新的贗自旋自由度,如圖9(a)所示.通過控制三維結構的空間分布,高對稱點處的Dirac點被打開,實現了拓撲保護的界面態(tài),如圖9(b)所示.2019年,Yang 等[115]在三維光子超材料中,利用金屬劈裂環(huán)諧振腔 (SRRS)操縱Dirac點的打開,也實現了微波頻段的三維拓撲絕緣體.在三維光量子自旋霍爾效應的設計中,還存在一種由旋磁材料光子晶體構造Dirac點的情況,其拓撲帶隙的打開需要引入外加磁場,如圖9(c)所示.然而由于光頻段材料對磁場的響應十分有限,因此這種設計在實驗上存在一定難度并且在應用上也存在很大限制[116].

事實上,通過操縱三維晶格對稱性,光子晶體有可能實現Z2拓撲絕緣體所具有的特點,這種拓撲晶體絕緣體最早由Fu[117]于2011年提出.2017年,Ochiai[118]利用三維立方光子晶體,提出了偶然簡并導致的無能隙的界面態(tài).至此,產生三維拓撲絕緣體的各種機制的探索、相應拓撲保護的界面態(tài)傳輸特性的研究變得越來越清晰.

5 光子學領域的新拓撲效應

5.1 非厄米拓撲光子效應

在光子系統(tǒng)中引入增益與損耗相比在電子體系中具有更大優(yōu)勢,例如增益材料在光能量補償及光場放大中發(fā)揮著重要作用,而所有光學器件都不可避免地具有光子的損耗.通過在光學系統(tǒng)中引入增益和損耗,傳統(tǒng)光學系統(tǒng)可以從非厄米性的視角進行分析與設計,將會為系統(tǒng)帶來更為豐富的物理性質.目前,非厄米體系的研究主要基于兩點,其一是拓撲相以及體邊對應關系的探索,另一方面是非厄米體系對稱性的研究,主要為宇稱時間反演對稱性 (PT symmetry).為了便于討論,這里從簡單的階梯模型出發(fā)[35,119].如圖10(a) 所示,當考慮非厄米的引入時,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫作

這里的γ為實參數,控制著哈密頓量非厄米的自由度,hx(k)=v+rcos(k),hz(k)=rsin(k),其中v和r也都為實數,不難發(fā)現在(hx,hz)=(±γ/2,0)處出現了奇異點(Exceptional Point,也稱為EP點),即能帶實部虛部完全簡并的點.這種構型可以通過在緊束縛模型的單個元胞中引入增益和損耗實現,如圖10(a)所示.

圖10 (a) 動量空間中的奇異點以及具有增益損耗的緊束縛模型;(b) 具有增益損耗的波導陣列;(c) 具有奇異環(huán)的光子晶體板結構Fig.10.(a) Exceptional points in momentum space,and the tight-binding model with gain and loss for αi and βi;(b) the waveguide array with gain and loss;(c) photonic crystal slabs with the ring of exceptional points.

(12)式中的哈密頓量與PT算符對易.如果所有哈密頓量的本征值也是PT算符的本征值,此時的本征值將為實數.值得注意的是,此模型具有一個只存在于系統(tǒng)一端的零能邊界態(tài),這與厄米系統(tǒng)中的體邊對應關系(分數繞數)有所不同,是非厄米矩陣出現缺陷的結果.2015年,Zhen 等[120]將光子晶體板的輻射損耗視為材料損耗,在此體系中觀察到了由奇異點構成的環(huán).此工作展示了非厄米的引入在能帶和群速度調控中的重要作用,如圖10(c)所示.2017年,Weimann 等[121]利用一維激光直寫波導陣列實現了非厄米體系的拓撲保護的邊界態(tài),如圖10(b)所示,展示了非厄米性在具有增益(或損耗)的邊界態(tài)傳輸上的應用前景.直至最近,賓夕法尼亞大學Zhao等[122]提出,利用耦合環(huán)形諧振腔陣列,在同一種拓撲相結構的內部,當邊界兩側引入的增益損耗之差超過奇異點時,邊界上可以實現可重構的單向手性拓撲邊界態(tài),這展示了非厄米的引入對拓撲邊界態(tài)調控的巨大影響.

在這些新奇的物理效應不斷被發(fā)現之際,相應的拓撲分類與體邊對應關系也變成研究者非常關心的問題.目前提出的非厄米體系拓撲分類方式主要有以下兩種.一種方式是2018年由Shen等[48]提出的,將能帶分為可分離的(即對于所有m≠n和k,本征值都滿足En(k)=Em(k))、孤立的(即對于所有m≠n和k(k′),本征值都滿足En(k)=Em(k′))和不可分離的(即在某些動量空間上兩條能帶的復數本征值發(fā)生簡并)幾種構型分別對應于可以產生帶隙,全帶隙以及無帶隙能帶的哈密頓量系統(tǒng).在此情況下,Shen等提出了推廣的二維系統(tǒng)中的陳數概念,并對一維情況進行了新的分類.有趣的是關于后者,系統(tǒng)的拓撲不變量取決于哈密頓量的本征值而不是本征態(tài).另一種拓撲分類方式是對所有非厄米系統(tǒng)做一個統(tǒng)一的分類,這種分類是基于兩個重要的假設[123],第一是非厄米體系的拓撲相可以理解為與本征值的虛部相關的動力學相位;第二是非厄米體系帶隙概念的推廣,即廣義的帶隙可以理解為能帶的實部與虛部都無簡并.然而由其得到的一個主要結論就是二維系統(tǒng)中不存在非厄米拓撲相,這與其他的工作結論較為不同[48].由此可見,目前提出的這些分類方式仍然具有諸多挑戰(zhàn),可以總結為三點:其一是如何定義一個復數能帶的全帶隙,雖然以上給出一些方案,但由于復數沒有大小之分,目前仍然缺乏統(tǒng)一的標準;其二是邊界條件對邊界態(tài)的影響極為敏感,單純從能帶出發(fā)定義整個體系仍然具有較大挑戰(zhàn);其三是在一個有序的非厄米體系中,或許存在所有的態(tài)都異常的局域在邊界上的狀況[119,124],諸多類似的異?，F象缺乏深層次的統(tǒng)一的物理圖像.即使遇到以上問題,但由于非厄米光子體系更高自由度的調控特性與潛在的應用前景,目前在非厄米光學結構的設計與實驗[41,42,45-47,49,125,126]以及相關理論上的探索[40,43,127]方面仍然不斷有新的工作出現.

5.2 非線性拓撲光子效應

非線性光學是近代光學的重要分支,對光譜技術、成像技術以及光學信息處理技術的發(fā)展具有重要的意義.半經典的非線性過程可以通過在麥克斯韋方程中引入非線性項實現,是電極化矢量對電場的非線性響應的結果,可以表示為[128,129]

其中χ(1)為傳統(tǒng)的線性響應,表現為折射率特性.χ(2)為二階磁化率,是諸多二階非線性的源頭,例如二次諧波、參量下轉換等.χ(3)為三階磁化率,產生的效應有四波混頻、三次諧波、非線性折射率等.目前大部分光子晶體非線性效應的引入都是基于χ(2)與χ(3)項.最近將光學非線性和拓撲物理相結合,從而實現更豐富的光學效應越來越引起人們的研究興趣[13,17,51,54,57-60,130].以引入類克爾非線性的SSH模型為例[60],如圖11(a)所示,這種非線性薛定諤方程可以描述為

圖11 (a) 非線性 SSH 模型;(b) 與光強度相關的環(huán)繞數 (貝利相位);(c) 將量子比特與它們的耦合器鋪成二維格子的示意圖;(d) 包含三個超導量子比特的超導回路Fig.11.(a) The nonlinear SSH model;(b) the winding number (Berry phase) changed by intensity;(c) schematic diagram of qubits and their couplers in 2 D lattice;(d) the superconducting circuit including three qubits.

當非線性效應很強時,系統(tǒng)會展現出光子的離散特征,需要用量子的手段描述.在強非線性光子拓撲效應中,Rydberg-EIT(電磁感應透明)配置的包含一致性原子氣體的非平面腔[131]以及強非線性作用的超導QED回路[132]是兩個的重要平臺.例如,2011年Reinhard等[133]利用片上集成的QED腔,展示了基于量子強非線性效應的光子阻塞效應,即在單模非線性諧振腔中,滿足空腔共振模式的入射光束,當第一個光子自由地進入腔體后,對第二個光子來說有效諧振頻率將會發(fā)生偏移,使得只有第一個光子離開后第二個才能進入.將光子阻塞效應與人工合成勢場相結合,就產生了豐富的強非線性拓撲光子效應.2016年,Roushan 等[132]利用超導量子比特與耦合器(超導QED回路)構造出有效的晶格結構,實現了合成磁場與粒子間的強相互作用.通過正弦調制比特間的耦合來引入人工磁場,可以在三個比特構成的回路中觀測到打破時間反演對稱性的光子定向流動,這種設計為強相互作用的量子相位調控構造了一個有效的平臺.2018年,Jia 等[131]將 Rydberg EIT 與光學諧振腔相結合,前者提供了針對單光子非線性的原子傳感器,而后者則加強了光與物質的相互作用,由此證實了第一個強相互作用的極化子量子點,為拓撲多光子態(tài)的制備提供了思路.由于光子的壽命相對較長,實驗中只需在起始時制備單光子和雙光子的Fork態(tài)[132,134],之后在沒有泵浦的情況下測量光子的演化即可,相關的實驗與理論還在不斷的發(fā)展與完備之中.

5.3 高階拓撲光子效應

通常認為,一個N維的拓撲光子體系其拓撲邊界態(tài)為N-1維,這使得我們在局域場維度上的調控十分有限.最近研究表明,一些拓撲絕緣體具有N-1,N-2,···,N-m-1維的有能隙邊界態(tài),直到最后一個維度N-m的邊界態(tài),我們把這種拓撲絕緣體叫做m階拓撲絕緣體.這種設想在凝聚態(tài)物理中由緊束縛模型構造出[65],2018年Peterson等[74]提出了微波體系中的高階拓撲絕緣體,然而這種設計需要引入負耦合機制,在光學系統(tǒng)中很難廣泛推廣.同年,南京大學Xie等[75]首次提出了能夠在傳統(tǒng)全介質光子晶體結構中實現的二階拓撲絕緣體,這種設計結構簡單,能夠在二維光子晶體中實現一維邊界態(tài)和零維拐角態(tài).如圖12(a)所示,其能帶可以用2D的SSH模型描述

圖12 (a) 介質柱構成的二維 SSH 模型的光子晶體;(b) 收縮、高對稱與擴張晶格構型的能帶結構;(c) 由收縮區(qū)域包圍擴張區(qū)域構成的整體結構,解的序號與本征頻率的關系;(d) 實驗中放于一個角的源激發(fā)的拐角態(tài)Fig.12.(a) Photonic crystals of the 2D SSH model consisting of dielectric pillars;(b) band structures of shrinking,high symmetry and expending structures;(c) shrinking supercells contain expanding supercells,and the relationship between solution numbers and eigenfrequencies;(d) experimentally measured corner states when the source is placed at the corner.

這里h12=h34=t1+t2exp(ikxa),h13=h24=t1+t2exp(-ikya),而 k=(kx,ky).其中 t1,t2為元胞內部和元胞與元胞之間的耦合強度.當晶格格點位于高對稱點處時,其能帶發(fā)生簡并,而當結構發(fā)生收縮或擴張時,能帶發(fā)生打開并分別構成拓撲平庸與拓撲非平庸的能帶結構,如圖12(b)所示.這種二維體系拓撲不變量是通過2D的Zak相位刻畫的:

6 總結與展望

拓撲光子學的發(fā)展與傳統(tǒng)光子學研究與凝聚態(tài)物理中物質拓撲相的研究息息相關.本文簡要地介紹了拓撲光子學領域的若干基本概念以及主要研究進展,從拓撲光子體系的維度出發(fā)介紹了一維體系中SSH模型的拓撲描述方法和應用,二維體系的光整數量子霍爾效應、光量子自旋霍爾效應以及 Floquet拓撲絕緣體,三維無能隙系統(tǒng)的Weyl點和節(jié)線以及三維拓撲絕緣體.另外,針對當前拓撲光子學領域的發(fā)展趨勢,對非厄米拓撲光子學、非線性拓撲光子學以及高階拓撲絕緣體進行了簡要的介紹與探討.

光子體系與凝聚態(tài)物理中的電子等體系相比,無論從結構設計,還是調控方式,均具有更高的自由度,在某些方面能夠構造出與其他自然材料體系相比更為完美的物理模型以及測量到更加豐富的物理量.因此,拓撲光子學已經成為研究拓撲物理機制的重要平臺.并且,從光場操控角度而言,具有拓撲保護的、背向散射抑制的邊界態(tài)以及高階拓撲態(tài),在光學輸運、場維度調控以及量子的光學傳輸等方面都有巨大的基礎研究和應用前景.

當然,目前拓撲光子學領域也面臨一些挑戰(zhàn),其中很重要的一方面是集成化拓撲光子器件的挑戰(zhàn),通信波段的光子器件與現有的硅基半導體工藝相結合將在光通信、光計算方向具有較大前景,然而中紅外甚至更短波長的應用波段使得拓撲光子器件需要做得更小,這受制于微納加工工藝以及拓撲結構設計;另一方面是可調諧性的挑戰(zhàn),可調諧拓撲光子體系的構建受制于光學材料的特性,通常光學材料可以通過熱光、電光、聲光以及磁光等方式調控,然而它們在調制速率、調制幅度等方面都具有各種局限性;此外是理論與設計上的挑戰(zhàn),例如在非厄米系統(tǒng)體邊對應關系、三維(或更高維度)光子拓撲絕緣體和高階拓撲絕緣體等方面仍有許多亟待研究的問題.