李慶華 陳莘莘

摘 要：為了更有效地求解二維耦合熱彈性動力學(xué)問題，對無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法在此類問題中的應(yīng)用進行了研究，并發(fā)展了相應(yīng)的計算方法。該方法建立試函數(shù)時可以只依賴于一組離散的節(jié)點，有效地避免了復(fù)雜的網(wǎng)格劃分和網(wǎng)格畸變的影響。相對于常用的移動最小二乘而言，自然鄰接點插值不涉及復(fù)雜的矩陣求逆運算，更不需要任何人為參數(shù)。由于運動方程和瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程相互影響，這些方程必須聯(lián)立求解。采用Newmark法求解空間離散后得到的二階常微分方程組，進而可直接獲得溫度場和位移場的數(shù)值結(jié)果。

關(guān)鍵詞： 無網(wǎng)格法;自然鄰接點插值;耦合熱彈性動力學(xué);Petrov-Galerkin法

中圖分類號：TP301.6 ? 文獻標志碼：A ? 文章編號：2096-6717（2019）05-0109-06

Abstract：In order to solve the two-dimensional dynamic coupled thermoelasticity problem more effectively， a novel numerical method based on the meshless natural neighbour Petrov-Galerkin method is proposed in this study. Only a group of scattered nodes are required in this method， to construct approximation function and therefore complex meshing and disadvantage of mesh distortion are effectively eliminated. In comparison with the moving least-squares （MLS） approximation used widely in meshless methods， the natural neighbour interpolation requires no complex matrix inversions and no artificial intermediate parameters. The equations of motion and transient heat conduction equations of the coupled thermoelasticity interaction on each other and therefore these equations must be solved simultaneously. After spatially discretization， a series of second-order ordinary differential algebraic equations is obtained， which is solved by the Newmark method to obtain the numerical temperature and displacement field directly.

Keywords：meshless method; natural neighbour interpolation; dynamic coupled thermoelasticity; Petrov-Galerkin method

當(dāng)結(jié)構(gòu)受到溫變，一般會產(chǎn)生熱應(yīng)力，并且熱應(yīng)力是物體破壞的一個重要因素[1-2]。對受熱結(jié)構(gòu)進行分析時，解耦方法可先由熱傳導(dǎo)方程求出溫度分布，再由熱彈性方程求解位移和應(yīng)力。但是，解耦方法沒有考慮結(jié)構(gòu)變形對溫度場的影響[3]。事實上，熱彈性力學(xué)中最基本的問題就是耦合熱彈性問題。在耦合熱彈性問題中，溫度和變形會相互影響，溫度場和應(yīng)變場的耦合項必須體現(xiàn)在熱傳導(dǎo)方程中。為了求解溫度、位移和應(yīng)力，必須聯(lián)立求解熱傳導(dǎo)方程和熱彈性運動方程。相對于非耦合熱彈性問題，耦合熱彈性問題求解更困難。

熱應(yīng)力問題的數(shù)值方法主要基于發(fā)展較為成熟的有限元法[4-5]和邊界元法[6-8]。近年來，部分學(xué)者嘗試采用無網(wǎng)格法[9-12]求解熱應(yīng)力問題。無網(wǎng)格法不僅能夠避免網(wǎng)格生成的復(fù)雜過程，而且在節(jié)點分布不規(guī)則時，損失的計算精度較小，從而日益得到重視[13-14]。近十多年來發(fā)展起來的無網(wǎng)格法―無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法[15-16]不僅允許加權(quán)函數(shù)和試函數(shù)取自不同的函數(shù)空間[17]，而且克服了本質(zhì)邊界條件不易施加的困難。此方法中，所有的積分都在中心為所考慮點的多邊形子域上進行，而且多邊形子域的構(gòu)造十分方便。目前，無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用[18-20]。本文采用自然鄰接點插值對溫度和位移分別插值，與局部加權(quán)余量法結(jié)合，提出了適用于耦合熱彈性動力學(xué)問題的無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法。最后，通過數(shù)值算例驗證了本文方法應(yīng)用于耦合熱彈性動力學(xué)問題分析的有效性和合理性。

1 自然鄰接點插值

3 數(shù)值算例

為了驗證所提方法的有效性，考慮如圖3所示的單位面積方板，該問題為平面應(yīng)變狀態(tài)下的一個經(jīng)典算例。初始時刻板的溫度和位移均為0，板上邊受到突加的熱載荷，另外3邊均絕熱，且無法向位移。彈性模量E=1，泊松比v=0.3，導(dǎo)熱系數(shù)k=1，密度ρ=1，比熱容c=1，熱膨脹系數(shù)α=0.02。計算中，采用15×15個節(jié)點將方板離散，時間步長取為2.0×10-3。

當(dāng)不考慮慣性項和耦合項時，此問題屬于準靜態(tài)熱彈性力學(xué)問題。圖4和圖5分別給出了方板y軸上不同坐標處的溫度和豎向位移變化情況。從圖4和圖5可以看出，本文數(shù)值解與解析解[22]吻合得很好。

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（編輯 王秀玲）