晏 周 鄭東健 張海龍 劉永濤

(1. 河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210098； 2. 河海大學(xué) 水利水電學(xué)院， 南京 210098； 3. 河海大學(xué) 水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心， 南京 210098； 4. 中國長江三峽集團(tuán)有限公司， 湖北 宜昌 443000)

滲流量的大小反應(yīng)面板堆石壩防滲系統(tǒng)的防滲效果，是分析和評(píng)價(jià)面板堆石壩安全的重要依據(jù)，也是大壩監(jiān)測的必測項(xiàng)目[1]．面板堆石壩的滲流監(jiān)測分析有助于判斷大壩是否存在滲漏破壞，掌握面板堆石壩的運(yùn)行狀況，為大壩的安全運(yùn)行提供依據(jù)．為了準(zhǔn)確、及時(shí)地監(jiān)測和分析面板堆石壩的滲流狀況，應(yīng)建立滲流量監(jiān)控模型．滲流量監(jiān)控模型能夠反映大壩效應(yīng)量監(jiān)測值的定量變化規(guī)律，確定滲流量與影響因素之間的確定性關(guān)系．目前對(duì)面板堆石壩的滲流監(jiān)控模型的研究還不多，常用的主要還是統(tǒng)計(jì)回歸模型，如多元線性回歸、逐步回歸等．傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)回歸模型在處理復(fù)雜非線性的監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)效果不理想，泛化能力弱[2]．近年來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也有所應(yīng)用，但人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于啟發(fā)式模式的，其理論基礎(chǔ)還不十分完整，它的泛化效果差，有時(shí)只會(huì)記住訓(xùn)練數(shù)據(jù)，很難歸納樣本外數(shù)據(jù)．基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的支持向量機(jī)(SVM)具有很好的泛化能力，能較好地解決小樣本、非線性、高維等問題[3]．SVM建模時(shí)，懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ的選取會(huì)直接影響模型非線性能力，進(jìn)而影響模型精度．粒子群算法(PSO)在非線性函數(shù)優(yōu)化方面表現(xiàn)出良好的性能，經(jīng)常用于C和σ的尋優(yōu)，但PSO在運(yùn)算初期收斂速度快，在運(yùn)算后期會(huì)出現(xiàn)粒子多樣性降低，搜索精度低，容易發(fā)散等問題[4]．本文提出一種新的自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化算法(AMPSO)，根據(jù)平均粒子間距的變化對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性調(diào)整，在算法后期引入具有突變擾動(dòng)的速度更新公式增大種群多樣性．采用該改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法和支持向量機(jī)，建立了AMPSO-SVM面板堆石壩監(jiān)控模型．通過實(shí)例的分析與比較，表明該模型具有簡便、高效、擬合與預(yù)測精度高等優(yōu)勢．

1 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)被廣泛用作線性和非線性分類以及回歸問題簡單而有效的工具，它是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)算法．SVM是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則來訓(xùn)練非線性關(guān)系的，它提供了更好的泛化能力，并且通過最小化泛化誤差的上界來估計(jì)函數(shù)[5]．SVM回歸的基本思想是通過非線性映射將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，并在此特征空間中進(jìn)行線性回歸[6]．SVM不僅有很好的理論基礎(chǔ)，在實(shí)際應(yīng)用中也很有優(yōu)勢．

假設(shè)有一組樣本集G={(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)}，其中x∈Rd(i=1，2，3，…，n)為輸入向量以及對(duì)應(yīng)的輸出值yi∈{-1，+1}(i=1，2，3，…，n)，n為樣本數(shù)．

(1)

為了方便求解該優(yōu)化問題，引入拉格朗日函數(shù)

(2)

其中，αi為拉格朗日乘數(shù)．若要求w、b的最小值，可分別對(duì)拉格朗日函數(shù)關(guān)于w、b求偏導(dǎo)，而且要滿足KKT條件

(3)

問題被轉(zhuǎn)化成了對(duì)偶問題，可以在約束條件下求αi的最大值

(4)

f(x)=sgn{(w*·x+b*)}=

(5)

式中，sgn是符號(hào)函數(shù)，b*為分類閾值．

對(duì)于線性不可分情況，需要引入松弛變量ξi>0(i=1，2，…，n)，松弛的分離約束條件如下：

(6)

最優(yōu)分類超平面可通過下列公式得到：

(7)

式中，C是一個(gè)正則化參數(shù)，用于在訓(xùn)練誤差和分類間隔之間進(jìn)行權(quán)衡．

SVM將輸入向量x從輸入空間Rd通過核函數(shù)非線性映射到更高維的希爾伯特空間，然后在高緯空間中進(jìn)行線性回歸，找出最優(yōu)分類超平面．對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)據(jù)集，正則化參數(shù)C和核函數(shù)都被確定后，才可以指定一個(gè)支持向量機(jī)．本文核函數(shù)選擇計(jì)算效果較好的徑向基核函數(shù)(RBF)

(8)

2 改進(jìn)粒子群算法

最初的粒子群算法(PSO)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出，它是基于集群現(xiàn)象的一種隨機(jī)全局優(yōu)化算法，來源于對(duì)鳥群捕食等社會(huì)行為的研究[7]，它具有控制參數(shù)少、收斂性好、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，自誕生以來在進(jìn)化計(jì)算領(lǐng)域引起了世界各國的廣泛關(guān)注．粒子群算法有兩個(gè)群體：一個(gè)群體是粒子S的個(gè)體最優(yōu)解(即Pbest)，另一個(gè)群體是粒子S的群體最優(yōu)解(即Gbest)．前者作為搜索空間中的候選解，后者用于指導(dǎo)前者的更新．在粒子群算法中，每個(gè)粒子根據(jù)自身的飛行經(jīng)驗(yàn)和搜索空間中其他粒子的飛行經(jīng)驗(yàn)，通過動(dòng)態(tài)改變每個(gè)粒子的速度來調(diào)整搜索空間中每個(gè)個(gè)體的軌跡[8]．

在D維空間中，第i個(gè)粒子的位置可用D維向量表示為Xi=(Xi1，Xi2，…，Xid)T，速度可表示為Vi=(Vi1，Vi2，…，Vid)T．根據(jù)用戶定義的適應(yīng)度函數(shù)，假設(shè)時(shí)間t時(shí)每個(gè)粒子的最佳位置為Pi=(Pi1，Pi2，…，Pid)T，目前發(fā)現(xiàn)的最佳粒子為Pg=(Pg1，Pg2，…，Pgd)T．那么，下一次適應(yīng)度計(jì)算時(shí)粒子的新速度和位置可按以下兩個(gè)數(shù)學(xué)公式表示：

(9)

(10)

式中，c1、c2為加速度系數(shù)，用它們對(duì)每個(gè)粒子飛向Pbest和Gbest位置的隨機(jī)加速項(xiàng)權(quán)重進(jìn)行修正；r1和r2表示在范圍[0,1]內(nèi)的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)；w是用于平衡全局和局部搜索的慣性權(quán)重，一般來說慣性權(quán)重較大時(shí)有利于全局搜索，較小時(shí)有利于局部搜索．

粒子群算法作為一種隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)，不能避免陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢的問題．在上述分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于動(dòng)態(tài)非線性變慣性權(quán)重的自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化算法(AMPSO)．采用平均粒子間距作為粒子群多樣性的評(píng)估依據(jù)，根據(jù)平均粒子間距的變化對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性調(diào)整，在算法后期引入具有突變擾動(dòng)的速度更新公式，使粒子群在后期依然能保持良好的種群多樣性．改進(jìn)后的粒子群算法能夠快速收斂，也可有效避免陷入局部最優(yōu)和過早收斂問題．

2.1 基于APS的慣性權(quán)重動(dòng)態(tài)改變

采用平均粒子間距(APS)來評(píng)估PSO的早熟收斂現(xiàn)象．APS能識(shí)別單個(gè)粒子之間距離的大小，可以描述單個(gè)粒子之間的分散程度，APS定義如下[9]：

(11)

慣性權(quán)重w對(duì)粒子群算法的性能有很大的影響，慣性權(quán)重w較大時(shí)有利于提高算法的收斂速度，慣性權(quán)重w較小時(shí)有利于提高算法的收斂精度．針對(duì)慣性權(quán)重w的特點(diǎn)，一般改進(jìn)w時(shí)采用逐漸遞減的方法，保證在迭代初期由較大的w值，從而加速收斂，w值逐漸減小，避免陷入局部最優(yōu)．在這些遞減策略中，w值只是逐漸的試探性下降，沒有任何因子做指導(dǎo)[10]．本文采用一種基于APS新的非線性遞減策略，根據(jù)種群多樣性S(t)的變化來非線性調(diào)整慣性權(quán)重

(12)

式中，S(t)表示平均粒子間距．改進(jìn)后的慣性權(quán)重w與平均粒子間距S(t)的關(guān)系曲線如圖1所示．

圖1 慣性權(quán)重曲線

2.2 算法后期增加粒子種群多樣性

粒子多樣性的降低，會(huì)使粒子群算法在應(yīng)用中存在過早收斂問題．為了保持種群的多樣性，本文引入了慢變函數(shù)，可以形成突變擾動(dòng)，有效地避免陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象，使所有粒子都能在較大范圍內(nèi)搜索解空間．

在粒子群優(yōu)化的早期階段，粒子按照公式(9)相互靠近．粒子向彼此移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致種群多樣性逐漸減少，當(dāng)S(t)小于某個(gè)特定值dmin時(shí)，可采用加入擾動(dòng)的速度更新公式

(13)

在算法后期，粒子不再相互吸引，而是相互遠(yuǎn)離．采用加入擾動(dòng)的速度更新公式，能夠增加種群多樣性[11]．種群粒子將一直處于這個(gè)階段，直到多樣性達(dá)到一個(gè)更高的值dhigh．一旦達(dá)到所需的更高值dhigh，群粒子又回到相互吸引階段，相同的過程不斷重復(fù)，直到獲得全局最優(yōu)．通過試驗(yàn)得到多樣性參數(shù)dmin和dhigh的值分別為5×10-6和0.25．

3 AMPSO-SVM模型的建立與實(shí)例應(yīng)用

3.1 AMPSO-SVM模型的建立

1)對(duì)監(jiān)測樣本進(jìn)行歸一化處理，確定出訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)和預(yù)測樣本數(shù)據(jù)．

3)適應(yīng)度值計(jì)算．使用適應(yīng)度函數(shù)對(duì)每個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，更新個(gè)體最優(yōu)解Pbest和群體最優(yōu)解Gbest，本文采用的適應(yīng)度函數(shù)為

(14)

4)使用公式(11)計(jì)算平均粒子間距S(t)．

5)根據(jù)步驟4計(jì)算出的平均粒子間距，如果S(t)大于dmin，則轉(zhuǎn)到步驟6；如果S(t)小于dmin，則轉(zhuǎn)到步驟7，然后轉(zhuǎn)到步驟8．

8)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)F(x)，更新個(gè)體最優(yōu)解Pbest和群體最優(yōu)解Gbest．

9)判斷是否滿足迭代終止條件，如果滿足則停止迭代，否則轉(zhuǎn)到步驟4繼續(xù)循環(huán)．

3.2 實(shí)例應(yīng)用

某鋼筋混凝土面板堆石壩，最大壩體高度為120 m，壩頂所處高程為760 m，壩頂?shù)淖笥野堕L度為259.8 m．該壩在下游河床中部壩下0+180的壩后截水墻上，在集水池的左、右兩邊各布置1個(gè)90°角的三角堰量水堰，共2個(gè)．大壩總滲漏量通過左、右兩邊量水堰觀測值計(jì)算得到．選取2015年8月23日～2018年5月7日共120組數(shù)據(jù)用來擬合，取2018年5月15日～2018年10月29日20組數(shù)據(jù)用來預(yù)測．

采用下列公式對(duì)樣本進(jìn)行歸一化處理，將樣本數(shù)據(jù)歸一化到[0，1]區(qū)間內(nèi)

(15)

其中，Xmax、Xmin分別為每組樣本數(shù)據(jù)的最大值和最小值．

初始化粒子種群：種群迭代次數(shù)設(shè)為500，種群數(shù)目設(shè)為20，加速度系數(shù)c1和c2的取值均為2，dmin=5×10-6，懲罰因子C和核函數(shù)參數(shù)σ的取值范圍分別設(shè)為[0.1，100]和[0.01，10]．圖2為兩種模型適應(yīng)度的變化情況，從圖可以看出AMPSO-SVM的最佳適應(yīng)度要好于PSO-SVM模型，在迭代過程中AMPSO-SVM模型的適應(yīng)度值也基本一直優(yōu)于PSO-SVM模型．

圖2 兩種模型的適應(yīng)度比較

為了更方便比較兩個(gè)模型的精確度，將兩個(gè)模型的擬合結(jié)果與預(yù)測結(jié)果放在一起進(jìn)行比較，兩個(gè)模型的擬合結(jié)果如圖3所示，并利用復(fù)相關(guān)系數(shù)R、均方根誤差(RMSE)比較改進(jìn)前后兩模型的擬合精度，結(jié)果見表1．為了驗(yàn)證改進(jìn)模型的預(yù)測效果，利用改進(jìn)前后模型對(duì)20組監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測，比較結(jié)果如圖4所示，其中10組監(jiān)測數(shù)據(jù)的實(shí)測值與預(yù)測值的比較見表2．采用均方根誤差、平均相對(duì)誤差(MRE)以及復(fù)相關(guān)系數(shù)R比較兩種模型的預(yù)測精度，兩種預(yù)測模型的主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表3．

圖3 兩種模型的擬合曲線

模型RRMSE(L/S)AMPSO-SVM0.95360.2136PSO-SVM0.89760.2601

圖4 兩種模型的預(yù)測曲線

序號(hào)實(shí)測值A(chǔ)MPSO-SVM預(yù)測值 相對(duì)誤差/%PSO-SVM預(yù)測值 相對(duì)誤差/%14.324.494.173.55-17.6923.413.595.123.698.0833.393.31-2.543.482.4343.333.03-9.043.566.8453.283.21-2.233.434.7562.743.0812.223.3421.7073.503.685.413.767.5983.193.16-1.083.241.5994.233.96-6.334.12-2.60104.133.94-4.763.82-7.62

表3 預(yù)測段精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

由圖3可以看出，兩種模型的擬合效果都不錯(cuò)，但是AMPSO-SVM模型擬合曲線總體上更接近實(shí)測曲線，擬合效果要好于標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型．由表1可知，AMPSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.213 6 L/S，PSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.260 1 L/S，AMPSO-SVM模型復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.953 6，標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.897 6，可以看出改進(jìn)的模型無論在擬合精度還是在擬合穩(wěn)定性上都要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型．

從圖4和表2、表3可以看出，運(yùn)用AMPSO-SVM模型求出的預(yù)測值更優(yōu)，相對(duì)誤差最大值為12.22%，相對(duì)誤差平均值為5.28%，均方根誤差RMSE為0.296 L/S，復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.905，運(yùn)用PSO-SVM模型求出的預(yù)測值，相對(duì)誤差最大值為21.70%，相對(duì)誤差平均值為8.09%，均方根誤差RMSE為0.427 L/S，復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.791．通過對(duì)比可以看出，AMPSO-SVM模型的預(yù)測精度更高，對(duì)非線性的面板堆石壩滲漏量的預(yù)測更穩(wěn)定，泛化能力也更強(qiáng)．

4 結(jié) 論

提出基于動(dòng)態(tài)非線性變慣量權(quán)重的自適應(yīng)粒子群算法(AMPSO)，加入突變擾動(dòng)的速度更新公式，使粒子群在算法后期依然保持良好的種群多樣性，該算法有效避免易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢和過早收斂等問題．采用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法對(duì)影響支持向量機(jī)(SVM)性能的懲罰參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)σ進(jìn)行優(yōu)化，建立了一個(gè)用于面板堆石壩滲流量監(jiān)控的AMPSO-SVM模型．該模型與標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型的比較結(jié)果表明，該模型對(duì)非線性的面板堆石壩滲漏量的擬合和預(yù)測能力明顯好于標(biāo)準(zhǔn)PSO-SVM模型．改進(jìn)后的模型可作為一種有效的面板堆石壩滲漏量監(jiān)控模型，具有很好的實(shí)用價(jià)值．