劉桂榮,韓立欽

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

近年來(lái),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動(dòng)力學(xué)研究已越來(lái)越多,對(duì)疾病的預(yù)防和控制做出了很大的貢獻(xiàn),見(jiàn)文獻(xiàn)[1-15]。然而，這些成果大部分是基于單層網(wǎng)絡(luò)。事實(shí)上，兩種疾病在同一群體內(nèi)傳播,一種疾病的傳播會(huì)影響另外一種疾病的傳播，如HIV能提高肺結(jié)核的發(fā)病率，這時(shí)用重疊網(wǎng)絡(luò)來(lái)刻畫(huà)更加符合實(shí)際。

文[16]在重疊網(wǎng)絡(luò)上考慮了兩種傳染病的傳播動(dòng)力學(xué)，并假設(shè)一種疾病會(huì)影響所有個(gè)體對(duì)另一種疾病的感染率，進(jìn)而建立了兩個(gè)基于節(jié)點(diǎn)的不耦合的馬爾可夫方程。利用矩陣特征值理論獲得了兩種疾病的傳播閾值。理論結(jié)果表明，一種疾病的傳播會(huì)影響另外一種疾病的傳播閾值。顯然，文[16]的建模機(jī)理是不合理的。事實(shí)上，只有當(dāng)一個(gè)個(gè)體感染上一種疾病時(shí)，才會(huì)影響該個(gè)體對(duì)另外一種疾病的感染率。反之，如果一個(gè)個(gè)體沒(méi)有感染上一種疾病，就不會(huì)影響該個(gè)體對(duì)另外一種疾病的傳染率。

基于這個(gè)背景，本文將建立一個(gè)基于重疊網(wǎng)絡(luò)和節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)耦合的馬爾可夫方程，并研究其傳播閾值。

1 模型建立

考慮兩種傳染病在一個(gè)群體中的傳播。如圖1所示,根據(jù)第一種疾病的傳播方式，將這個(gè)群體中的每一個(gè)個(gè)體看作一個(gè)節(jié)點(diǎn),個(gè)體之間的接觸看作連邊，形成網(wǎng)絡(luò)H1;同樣地,根據(jù)第二種疾病的傳播方式，形成網(wǎng)絡(luò)H2。也就是，第一種疾病在網(wǎng)絡(luò)H1中傳播;第二種疾病在網(wǎng)絡(luò)H2中傳播。

Fig.1 Overlapping network H1 and H2圖1 重疊網(wǎng)絡(luò)H1與H2

設(shè)重疊網(wǎng)絡(luò)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)。記網(wǎng)絡(luò)H1,H2的鄰接矩陣分別為A=(aij)N×N,B=(bij)N×N當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中只有第一種疾病傳播時(shí),β1表示網(wǎng)絡(luò)H1中染病節(jié)點(diǎn)傳染易感節(jié)點(diǎn)的傳染率,μ1表示H1中染病節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)率。相似地，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中只有第二種疾病傳播時(shí)，β2表示H2中染病節(jié)點(diǎn)傳染易感節(jié)點(diǎn)的傳染率;μ2表示H2中染病節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)率。在重疊網(wǎng)絡(luò)中，一層中一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)的感染率會(huì)受到另一層中該節(jié)點(diǎn)染病狀態(tài)的影響，k1>0為H1中一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)的感染率受H2中該節(jié)點(diǎn)染病狀態(tài)的影響系數(shù);k2>0表示H2中一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)的感染率受H1中該節(jié)點(diǎn)染病狀態(tài)的影響系數(shù)。例如，如果在H1中的一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)沒(méi)有感染第二種疾病(或感染第二種疾病),那么當(dāng)該節(jié)點(diǎn)在H1中與染病節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)，傳染率為k1β1，其中k1=1(或k1≠1);如果在H2中的一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)沒(méi)有感染第一種疾病(或感染第一種疾病)，那么當(dāng)該節(jié)點(diǎn)在H2中與染病節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)，傳染率為k2β2,其中k2=1(或k2≠1)。此外，01表示第二種疾病促進(jìn)第一種疾病的傳播。關(guān)于k2的不同取值情形，有類(lèi)似的解釋?zhuān)琾k,i(t)(k=1,2)表示第k層網(wǎng)絡(luò)中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻是染病者的概率。

根據(jù)上述傳播機(jī)理,可建立基于節(jié)點(diǎn)的馬爾可夫方程組:

(1)

(2)

與

(3)

在(1)中,第一個(gè)式子右端的第一項(xiàng)表示t時(shí)刻，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)H1和H2中都是易感者時(shí)，該節(jié)點(diǎn)被H1中鄰居感染的概率;第二項(xiàng)表示t時(shí)刻，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)H1中是易感者，在H2中是染病者時(shí)，該節(jié)點(diǎn)被H1中鄰居感染的概率，第三項(xiàng)表示H1中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻為染病者且沒(méi)有恢復(fù)的概率。(1)中第二個(gè)式子，有類(lèi)似的解釋。

由于系統(tǒng)最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),則網(wǎng)絡(luò)H1中疾病與H2中疾病的最終感染率ρ1，ρ2分別為:

(4)

2 主要結(jié)果

為了研究(1)的平衡點(diǎn), 考慮下列代數(shù)方程組

(5)

其中

(6)

(7)

將(7)式代入(5)式, 忽略二次項(xiàng)可得:

(8)

令P1=[p1,1,p1,2,…,p1,N]T,P2=[p2,1,p2,2,…,p2,N]T從而(8)式可以寫(xiě)成:

(9)

(10)

其中Λmax(A)代表鄰接矩陣A的最大特征值,Λmax(B)代表鄰接矩陣B的最大特征值。

3 數(shù)值模擬

在數(shù)值模擬中,每層網(wǎng)絡(luò)將分別由800個(gè)節(jié)點(diǎn)組成,且服從冪律分布,分布指數(shù)為2.5。我們將感染率初始值設(shè)為0.05,恢復(fù)率μ1=0.6,μ2=0.4.

令k1=4,k1=2.重疊網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)H1在不同k1的取值下,最終感染率ρ1隨傳染率β1變化對(duì)比圖,見(jiàn)圖2。

Fig.2 Diagram of ρ1 with β1 in H1圖2 網(wǎng)絡(luò)H1中,ρ1隨β1變化的對(duì)比圖

令k2=0.6,k2=0.4.重疊網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)H2在不同k2的取值下,最終感染率ρ2隨傳染率β2變化對(duì)比圖,見(jiàn)圖3。

Fig.3 Diagram of ρ2 with β2 in H2圖3 網(wǎng)絡(luò)H2中,ρ2隨β2變化的對(duì)比圖

從圖2和圖3的數(shù)值模擬結(jié)果可以看出,雖然ki(i=1,2)的取值不同，但兩種疾病的傳播閾值是相同的。此外，隨著ki(i=1,2)的增大,網(wǎng)絡(luò)的最終感染率ρi(i=1,2)也隨之增大。進(jìn)而,一種疾病的傳播會(huì)影響另外一種疾病的染病規(guī)模。