楊紀楠

許立忠燕山大學(xué)機械工程學(xué)院,秦皇島,066004

0 引言

活齒傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高、傳動范圍廣和承載能力大等優(yōu)點，可用于機器人關(guān)節(jié)、航空航天、精密儀器、油井勘探等技術(shù)領(lǐng)域。20世紀八十年代以來，美國學(xué)者相繼提出了無齒輪減速器、消減和添加差動齒輪減速系統(tǒng)[1-2]；日本學(xué)者研究了單擺線活齒傳動的運動原理，強度設(shè)計，曲率、壓力角的計算和傳動效率[3-6]。21世紀以來，學(xué)者們對活齒傳動的研究更加深入。LI等[7]進行了正弦活齒傳動的失效分析。TERADA等[8-9]提出了兩段式擺線鋼球減速器，完成了驅(qū)動輪廓的計算，并將其成功應(yīng)用到機器人關(guān)節(jié)中。LIANG等[10]對擺線活齒傳動的齒廓特性和強度計算進行了研究。SAPSALEV等[11]開發(fā)出了循環(huán)無齒電機驅(qū)動減速器，并對其進行了優(yōu)化和改進。NAM等[12]設(shè)計了活齒薄板式減速器，并將其應(yīng)用于機器人領(lǐng)域。NISHIBE等[13]研究了偏心活齒驅(qū)動系統(tǒng)，并將其用于驅(qū)動機器人手臂。XU等[14-15]設(shè)計了電磁諧波活齒傳動系統(tǒng)，該系統(tǒng)大大減小了機電驅(qū)動系統(tǒng)的整體尺寸，隨后XU等[16]又提出了雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)。

在上述提到的活齒傳動中，雙級正弦活齒傳動在傳動比相同的情況下具有最小的徑向尺寸，特別適用于石油鉆機和機器人手臂等技術(shù)領(lǐng)域。然而，隨著傳動尺寸的減小，軸承等處的摩擦損耗占比提高，顯著影響了傳動系統(tǒng)的工作效率。因此，本文對該種傳動系統(tǒng)的工作效率進行研究，分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳動效率的影響規(guī)律。

1 工作原理

雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)主要由5個基本元件組成 (圖1)：①帶有外正弦滾道的輸入軸，其滾道周期數(shù)用Z1表示(圖中Z1=1) ；②帶有活齒槽和外正弦滾道的一級導(dǎo)架，其滾道周期數(shù)用Z2表示(圖中Z2=1) ；③帶有兩排內(nèi)正弦滾道的殼體，其滾道周期數(shù)分別用Z3和Z4表示(圖中Z3=5，Z4=5 )；④二級導(dǎo)架(輸出端)；⑤活齒(12個滾珠，每級導(dǎo)架6個)。

圖1 雙級正弦活齒傳動模型Fig.1 Two-step sine movable tooth drive

當中心輸入軸轉(zhuǎn)動時，第一排活齒在外正弦滾道的推動作用下運動，同時受到殼體內(nèi)正弦滾道的約束而繞中心輸入軸與殼體的公共軸線做等速圓周運動。同時活齒推動一級導(dǎo)架輸出運動與動力；第二排活齒在一級導(dǎo)架外正弦滾道的推動作用下運動，受到殼體內(nèi)正弦滾道的約束而繞一級導(dǎo)架與殼體的公共軸線做等速圓周運動，將輸出的動力輸入到第二級傳動上，最終通過二級導(dǎo)架輸出整個傳動機構(gòu)的運動與動力。應(yīng)用UG10.0運動仿真模塊對設(shè)計的雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)進行運動仿真，該傳動系統(tǒng)能夠按要求正常運轉(zhuǎn)，驗證了該種傳動原理的正確性。圖1所示雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。

表1 雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)參數(shù)

2 效率公式

在不計活齒嚙合副之間的摩擦力與活齒重力情況下，建立空間活齒的局部坐標系σ(Oxyz)，活齒球心為坐標原點，x軸、y軸和z軸分別代表活齒嚙合傳動的徑向、周向和軸向，則各構(gòu)件對活齒的接觸力都通過活齒的球心并沿活齒齒面的法線方向。圖2所示為作用在活齒上的各接觸力的位置關(guān)系。

(a)活齒受力(b)輸入軸對活齒的接觸力

(c)導(dǎo)架對活齒的接觸力(d)殼體對活齒的接觸力圖2 活齒受力關(guān)系圖Fig.2 Forces on movable tooth

根據(jù)圖2中各接觸力的空間位置關(guān)系，對活齒列力平衡方程如下：

(1)

其中輸入軸的外正弦滾道對活齒的接觸力為F1i，接觸角為αn1i；導(dǎo)架的活齒槽對活齒的接觸力為F2i；殼體內(nèi)正弦滾道對活齒的接觸力為F3i，接觸角為αn3i；各嚙合副間瞬時接觸線的方向角為uji(j=1，3)。

將活齒與輸入軸之間的接觸力F1i分解為徑向力F1ix和徑向法截面方向的力F1iyz，假定輸入軸瞬時不發(fā)生運動，給活齒施加一個順時針方向的力矩T1(輸入力矩)。在該輸入力矩作用下，各個活齒與輸入軸滾道接觸處都會受到力的作用，從而產(chǎn)生彈性變形，使活齒中心轉(zhuǎn)過一個微角度Δφ，則各活齒中心相應(yīng)地發(fā)生一個相同的微周向位移Δs。由變形協(xié)調(diào)條件知，Δs在F1iyz方向上的分量與F1iyz成正比，即F1iyz∝Δscosu1i，故有下式成立[16]：

(2)

F1iyz=F1isinαn1u1max=arctan(R1/(AZ1))

式中，R1為輸入軸外正弦滾道空間徑向半徑；A為空間正弦滾道的幅值。

對輸入軸列力矩平衡方程如下：

(3)

式中，T1為輸入力矩，即電機輸出力矩Tem；n1為第一級傳動系統(tǒng)的活齒個數(shù)。

聯(lián)立式(2)和式(3)得

(4)

利用平均法求和式得到

(5)

則由式(4)和式(5)可得

(6)

(7)

根據(jù)正弦活齒傳動中的空間幾何關(guān)系，有

(r′-r)(cosαn1i-cosαn3i)=R1-R3

(8)

式中，r、r′分別為活齒半徑和正弦滾道半徑；R3為殼體內(nèi)正弦滾道空間徑向半徑。

聯(lián)立式(1)、式(7)、式(8)得

(9)

化簡整理得到

(10)

由正弦活齒傳動原理可知，動力由主動軸輸入，活齒在固定的殼體內(nèi)正弦滾道和轉(zhuǎn)動的外正弦滾道的共同約束下與導(dǎo)架嚙合，將運動和動力從導(dǎo)架輸出。通過對活齒的受力分析可知，導(dǎo)架對單個活齒的作用力為F2i。由牛頓第三定律可知，單個活齒對導(dǎo)架的作用力大小也為F2i。設(shè)有n1個活齒參與嚙合的傳動，對導(dǎo)架列力矩平衡方程，得到系統(tǒng)的輸出力矩為

(11)

對于第二級傳動而言，活齒受力方程組與式(9)相同，僅僅是輸入力矩發(fā)生了變化。將第一級傳動系統(tǒng)的輸出力矩Tn1作為第二級傳動系統(tǒng)的輸入力矩，就能得到第二級傳動系統(tǒng)的受力方程。設(shè)第二級傳動的活齒數(shù)為n2，一級導(dǎo)架和殼體對活齒的接觸角分別為αn2i和αn4i，各作用力含義與前文類似，僅加上標“(2)”作為區(qū)分，因此得到第二級傳動的活齒受力方程為

(12)

ujmax=arctan(Rj/(AZj))j=2,4

式中，R2為一級導(dǎo)架外正弦滾道空間徑向半徑；R4為殼體內(nèi)正弦滾道空間徑向半徑。

對式(12)整理化簡，可得二級導(dǎo)架對活齒作用力的解析式：

(13)

則雙級正弦活齒傳動的總輸出力矩

(14)

傳動效率的表達式為

(15)

式中，T1為輸入轉(zhuǎn)矩；T2為輸出轉(zhuǎn)矩；i為傳動比。

將式(11)中的Tn1作為第一級傳動的輸出力矩，Tem為輸入力矩，代入式(15)得到第一級活齒傳動效率公式

(16)

對于第二級傳動來講，將式(14)中的Tn2作為第二級傳動的輸出力矩，Tn1為輸入力矩，代入式(15)得到二級活齒傳動效率公式：

(17)

3 效率計算與實驗

應(yīng)用以上方程，將表1中參數(shù)代入式(16)、式(17)中，得到雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)的傳動效率如圖3所示。由圖3可知：

(1)在雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)中，傳動效率呈周期性變化，這是因為系統(tǒng)輸出力矩隨著輸入軸轉(zhuǎn)角周期性變化，變化周期為活齒受力周期。對于第一級活齒傳動，其變化周期為6π/5，由于第一級傳動比為6，故第二級變化周期相對于第一級擴大了6倍，其周期為36π/5。

(2)對于第一級活齒傳動，當φ=0和φ=6π/5時，瞬時效率取得最小值，最小值為66.87%，當φ=3π/5時，瞬時效率取得最大值，最大值為92.41%，其平均值為79.59%。因輸出力矩是在6個活齒共同作用下產(chǎn)生的，故第一級傳動效率呈現(xiàn)正弦性周期波動。

圖3 雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)傳動效率Fig.3 Efficiency of the two-step sine movabledrive system

(3)對于第二級活齒傳動，當φ=18π/5時，瞬時效率取得最小值，最小值為46.29%，當φ=33π/5時，瞬時效率取得最大值，最大值為82.05%，其平均值為62.65%，波動比為30.9%。第一級傳動的輸出力矩Tn1作為第二級傳動的輸入力矩，相對于初始力矩Tem增大的同時，呈現(xiàn)正弦周期性變化，因此第二級活齒傳動效率不再是標準的正弦曲線。

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，雙級正弦活齒傳動的主要設(shè)計參數(shù)有正弦滾道幅值A(chǔ)，活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑R和傳動比i，其中傳動比與內(nèi)外正弦滾道周期數(shù)有關(guān)。本文通過改變A、R和i在兩級間的分配研究參數(shù)變化對傳動效率的影響。傳動效率η隨A、R和i分配的變化曲線如圖4～圖6所示。由圖4～圖6可知：

圖4 η隨A的變化曲線Fig.4 Changes of efficiency along with A

圖5 η隨R的變化曲線Fig.5 Changes of efficiency along with R

圖6 η隨i1×i2的變化曲線Fig.6 Changes of efficiency along with i1×i2

(1)隨著正弦滾道幅值A(chǔ)的增大，傳動效率的最大值和平均值增大，但增加幅度不大，產(chǎn)生瞬時效率最值的位置不變。當A為0.5，1.5和2.5 mm時，其傳動效率的平均值分別為60.56%，62.65%和64.74%，但其波動比不變，仍為30.9%。

(2)隨著活齒中心旋轉(zhuǎn)半徑R的增大，傳動效率的最大值和平均值增大，且增大幅度明顯，產(chǎn)生瞬時效率極值的位置不變。當R為8.5，10.5和12.5 mm時，其傳動效率的平均值分別為57.07%，62.65%和69.19%，波動比略有增大。當R=12.5 mm時，其傳動效率最大值和平均值分別為91.39%和69.19%，波動比為32%，變化幅度不大。

(3)當總傳動比一定時，傳動效率可以隨著兩級傳動比的不同分配得到提高。當?shù)谝患墏鲃颖却笥诘诙墏鲃颖葧r，傳動效率得到提高且波動比減小，輸出更平穩(wěn)。當傳動比分配分別為9×4和4×9時，其傳動效率的平均值分別為72.27%和35.7%，波動比分別為30.9%和55.1%，可以看出，傳動比分配為9×4時的傳動效率近似為傳動比分配為4×9時的兩倍，且波動比減小了近一半。

通過以上分析可知，為了得到效率更高的傳動系統(tǒng)，在滿足設(shè)計要求的情況下，應(yīng)適當提高正弦滾道幅值A(chǔ)、活齒中心旋轉(zhuǎn)半徑R和合理的傳動比分配，在總傳動比一定的情況下，第一級傳動比越大，傳動效率越高，波動越小，輸出更穩(wěn)定。

為了驗證以上分析，設(shè)計了雙級正弦活齒傳動實驗樣機(參數(shù)見表1)。樣機采用德國DMU 60 monoBLOCK五軸立式加工中心對內(nèi)外正弦滾道進行加工制造。因輸入軸和一級導(dǎo)架外正弦滾道周期數(shù)僅為1，故在加工時難度較低，在保證對刀精度的情況下，按照設(shè)計好的滾道加工程序進行加工。圖7所示為主動軸外正弦滾道加工實況，為保證樣機在運轉(zhuǎn)過程中更加連續(xù)，對加工完之后的滾道邊緣進行0.3 mm的圓角處理，以保證活齒在滾道面運轉(zhuǎn)過程中更加光滑連續(xù)。一級導(dǎo)架外正弦滾道的設(shè)計參數(shù)與主動軸外正弦滾道設(shè)計參數(shù)相同，故外正弦滾道加工過程與主動軸相同。圖8所示為雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)的主要零件。圖9為雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)裝配完成圖。

圖7 主動軸外正弦滾道加工Fig.7 Manufacture for outer sine ball track

圖8 雙級正弦活齒傳動主要零件Fig.8 Main parts for two-step sine movable tooth drive

圖9 雙級正弦活齒傳動樣機Fig.9 Drive model machine of two-step sin e movable tooth

圖10所示為測量傳動效率的實驗裝置，該實驗裝置主要由雙級正弦活齒傳動樣機、輸入電機、電機控制器、扭矩傳感器、 CHB型測力儀表、 磁粉制動器、磁粉傳感器控制儀表組成。

圖10 測量傳動效率的實驗裝置 Fig.10 Experimental apparatus of testin g transmission efficiency

將雙級正弦活齒傳動樣機在低速下空載跑合后，測量該傳動樣機在輸入轉(zhuǎn)速分別為180，240，300，360和420 r/min時的實驗數(shù)據(jù)。應(yīng)用MATLAB軟件對所測數(shù)據(jù)進行整合，得到該傳動樣機在不同轉(zhuǎn)速下的傳動效率隨負載之間的變化曲線，見圖11。由圖11可知：

圖11 樣機傳動效率Fig.11 Efficiency for the model machine

(1)在相同轉(zhuǎn)速下，樣機的傳動效率η先隨負載轉(zhuǎn)矩T2的增大而增大，當負載轉(zhuǎn)矩達到一定數(shù)值時，傳動效率開始減小，當負載轉(zhuǎn)矩繼續(xù)增大達到一定數(shù)值時，傳動效率基本保持不變。

(2)對于該傳動樣機，當輸入轉(zhuǎn)速分別為180，240，300，360和420 r/min時，傳動效率最大值均出現(xiàn)在負載轉(zhuǎn)矩T2=1.2 N·m處。不同轉(zhuǎn)速下的最大傳動效率如表2所示。最大效率值隨轉(zhuǎn)速變化曲線見圖12。根據(jù)表2和圖12可以看出，當輸入轉(zhuǎn)速n1=360 r/min時，最大傳動效率η′達到67.66%，在轉(zhuǎn)速為360 r/min附近，不管轉(zhuǎn)速是增大還是減小，最大傳動效率均略有減小，可知n1=360 r/min時得到的雙級正弦活齒傳動的效率為最大傳動效率。隨著轉(zhuǎn)速的增大，效率最大值穩(wěn)定在65%左右。

表2 最大傳動效率η′

圖12 最大傳動效率隨輸入轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.12 Changes of the maximum efficiency alon g with speed

(3)隨著負載轉(zhuǎn)矩的增大，傳動效率保持在40%左右不再改變，說明高負載情況下，傳動效率受其負載影響不明顯。

(4)當n=60，120，180，240，300，360和420 r/min時，實驗測得最大傳動效率與理論效率平均值相差分別為2.9%，0.1%，1.3%，2.9%，4.4%，7.9%和6.8%。效率實驗結(jié)果與理論計算值接近，驗證了本文理論分析的正確性。其中當轉(zhuǎn)速較低時，實驗值與理論值偏差很??；當轉(zhuǎn)速較高時，實驗值與理論值偏差相對較大(達到7.9%和6.8%)。其主要原因在于：①速度增大會導(dǎo)致輸入軸及輸出軸力矩波動性增大，影響力矩傳感器讀數(shù)精度，由此而產(chǎn)生一定的測量誤差；②速度增大還會導(dǎo)致傳動系統(tǒng)中附加內(nèi)部動載荷以及附加外部動載荷的增大，影響傳動系統(tǒng)的瞬時效率。本文所推導(dǎo)的效率公式尚未考慮動載荷對傳動系統(tǒng)工作效率的實際影響?？紤]動載荷因素進一步提升雙級正弦活齒傳動效率的計算精度是下一步研究的重點。

4 結(jié)論

本文針對雙級正弦活齒傳動系統(tǒng)，推導(dǎo)出了傳動效率計算公式，計算得到了該傳動系統(tǒng)的平均傳動效率為62.65%。分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳動效率的影響，結(jié)果表明：為了提高傳動效率，應(yīng)該增大正弦滾道幅值、增大活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑以及合理分配傳動比。按照設(shè)計參數(shù)研制出了雙級正弦活齒傳動樣機，進行了傳動效率實驗，結(jié)果表明：計算效率與實驗效率結(jié)果接近。研究結(jié)果對于該種傳動系統(tǒng)的設(shè)計與制造具有參考價值。