季 昀，孟亞運

(1. 國家能源局大壩安全監(jiān)察中心，杭州 310000；2. 中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，杭州 310000； 3. 中國電建集團中南勘測設計研究院有限公司，長沙 410000)

0 引 言

結構可靠度理論是研究定量描述系統(tǒng)不確定性因素的一種理論。一般認為，1946年A.M. Freudenthal 發(fā)表的《The safety of structures》標志著可靠度理論在結構設計領域研究的開始。之后，出現(xiàn)了考慮基本變量概率分布類型的一次二階矩法(FORM)、二階可靠度方法(SORM)、Monte-Carlo法等實用化方法。然而，盡管以FORM、SORM等方法為代表的結構可靠度算法得到了廣泛的應用，但它們都僅適用于功能函數(shù)簡單且為顯式形式的情形[1]。事實上，現(xiàn)實中的大量結構系統(tǒng)屬于復雜非線性系統(tǒng)[2]，其功能函數(shù)通常是隱式的，此時FORM、SORM等方法將不再適用。Monte-Carlo方法雖然同時適用于求解功能函數(shù)為隱式與顯式時的結構可靠指標與失效概率，但由于它在分析小失效概率的可靠度問題時要求的抽樣次數(shù)太多、計算效率太低而難以適用。

正是由于使用上述計算方法進行復雜結構系統(tǒng)可靠指標與失效概率求解有諸多不便，F(xiàn)aravelli[3]、Bucher與Bourgund[4]、Gavin與Yau[5]和Nguyen[6]等人將Box與Wilson[7]提出的響應面法(Response Surface Method, RSM)應用于結構可靠度分析領域，并取得了良好的效果。經(jīng)典的響應面法是將原有結構系統(tǒng)的功能函數(shù)用序列二次多項式進行替代，隨后以中心復合抽樣或者拉丁超立方抽樣等抽樣方法獲得樣本點，應用回歸方法確定該序列多項式的待定系數(shù)，最后針對獲得的顯式替代功能函數(shù)求解結構可靠指標與失效概率。從本質上來說，經(jīng)典響應面方法的基本思路為采用序列多項式替代原有結構系統(tǒng)模型并擬合系統(tǒng)輸入輸出，這與近年來發(fā)展起來的Metamodel(或稱surrogate model，model of model，代理模型)方法在基本思路上是一致的，只是相對而言，Metamodel的概念內(nèi)涵更加寬泛一些[8]。除了經(jīng)典響應面法外，Metamodel還包括神經(jīng)網(wǎng)絡模型[9,10]、Kriging模型[11]、支持向量機[12,13]以及隨機響應面等多種近似模型。

隨機響應面法憑借其明確的物理意義和數(shù)學意義上的收斂特性(在功能函數(shù)平方可積的條件下)，近年來在結構可靠度分析領域得到了一定的推廣和應用[14,15]，但目前在水工結構工程中應用尚不多見。將隨機響應面法與工程結構分析的有限元法采用“非侵入式”方法相結合，可得非侵入式隨機有限元法，這有別于20世紀末提出的隨機有限元法[16]。此外，目前結構可靠度分析中，結構的物理力學參數(shù)大多直接選取設計值進行分析，然而，結構在運行期的物理力學參數(shù)往往較設計值有一定差別。鑒于此，本文提出了一種基于實測資料反演力學參數(shù)與隨機響應面法相結合的結構可靠度計算模式，并將其應用于重力壩結構可靠度分析。

1 結構可靠度隨機響應面法簡介

隨機響應面法與經(jīng)典響應面法最大的區(qū)別在于其響應面函數(shù)形式為服從標準正態(tài)分布的隨機變量構成的Hermite正交多項式，而非直接由輸入隨機變量構成的序列多項式。1938年，Wiener首次采用隨機多項式(Wiener's polynomial chaos)來研究系統(tǒng)隨機過程的基本理論，這可以看作是有關隨機響應面研究的最早案例。Cameron和Martin[17]從數(shù)學理論上證明，任意一個隨機過程的二階矩可以分解為服從標準高斯分布的隨機變量組成的有限項多項式，并且該多項式是收斂的。Hermite正交多項式正是最早被證明具有該特性的多項式，因此，一般情況下，Hermite多項式又直接被稱作隨機多項式。

一維Hermite正交多項式的具體表達式為：

(1)

其遞推公式為Hi(x)=xHi-1(x)-(i-1)Hi-2(x),i≥3，即H0(x)=1，H1(x)=x，H3(x)=x3-3x，H4(x)=x4-6x2+3。

根據(jù)Cameron-Martin定理[17]，對于平方可積空間L2(R,μ)內(nèi)的任意函數(shù)f(x)，都存在一個Fourier-Hermite展開，滿足：

(2)

式中：fi為對應Hermite多項式Hi(x)的系數(shù)。

當式(2)中的變量x用標準正態(tài)隨機變量ξ替代時，可將其改寫為：

(3)

式中：fi為對應Hermite多項式Hi(ξ)的系數(shù)，可以通過適當?shù)某闃臃椒ǐ@得一定的樣本點，然后由回歸方法求得。

由此可見，任意平方可積空間內(nèi)的函數(shù)都可以用Hermite多項式進行近似表達，且選取的Hermite多項式階數(shù)越高，則逼近誤差越小，因為Hermite多項式構成了平方可積空間的正交基，這一性質是經(jīng)典響應面采用的序列多項式所不具備的。此外，由于一般工程中所遇到的問題中的函數(shù)基本都是滿足平方可積這一特性，這也使得將其用于結構系統(tǒng)響應或者是功能函數(shù)的擬合成為可能。

總體說來，隨機響應面法就是通過采用隨機多項式展開來近似擬合結構的隨機輸入與隨機響應之間關系的方法。采用隨機多項式擬合功能函數(shù)后，可采用FORM、SORM、幾何法等傳統(tǒng)的結構可靠度計算方法求解相應的失效概率和可靠指標。具體計算流程如下。

(1)收集有關信息和數(shù)據(jù)，分析結構可靠度問題類型，確定輸入隨機變量向量x。將輸入隨機變量轉換為獨立的標準正態(tài)變量隨機向量ξ。

(2)選用合適形式的Hermite展開多項式構成隨機響應面中的響應面函數(shù)，以此近似擬合原結構系統(tǒng)的復雜的功能函數(shù)。

(3)選用合適的配點方法獲得隨機響應面函數(shù)的概率配點。將各配點作為原模型的輸入，計算原模型相應的輸出值。

(4)用回歸方法計算隨機響應面函數(shù)中的待定系數(shù)，獲得隨機響應面函數(shù)的最終表達式。

(5)針對上一步確定的隨機響應面函數(shù)表達式，采用幾何法或Monte-Carlo模擬法等方法求解結構可靠指標與失效概率。

(6)計算結束。

2 基于實測資料和非侵入式隨機有限元法的結構可靠度分析模式

本文提出基于實測資料和非侵入式隨機有限元法的結構可靠度分析方法，主要分為力學參數(shù)反演、構建功能函數(shù)、結構可靠度求解3個方面。一般地，重力壩結構可靠度分析包括抗滑穩(wěn)定可靠度、壩踵抗拉可靠度以及壩趾抗壓可靠度等，以下以重力壩的壩踵抗拉可靠度(以下簡稱重力壩抗拉可靠度)為例進行分析。具體操作流程如下：

(1)建立位移監(jiān)測點實測值的統(tǒng)計模型，分離出其中的水壓分量。大壩位移統(tǒng)計模型一般如下：

δ(δx、δy或δz)=δH+δT+δθ=

(4)

(2)根據(jù)現(xiàn)場試驗得到的壩體與地基彈性模量取值范圍，確定若干對壩體與地基彈性模量的組合。

(3)建立壩體與地基結構分析的有限元模型，分別計算第(2)步中對應的不同壩體與地基彈性模量組合情況下的大壩在監(jiān)測點的位移值。

(4)將第(3)步得到的位移值作為輸入，對應的壩體及地基彈性模量作為輸出，應用非線性模型(如徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡[10]，RBFNN)建立3者的映射關系。

(5)將第(1)步中得到的監(jiān)測點位移統(tǒng)計模型中的水壓分量作為第(4)步建立的非線性模型的輸入，即可得到一組壩體與地基彈性模量?？梢哉J為，該組壩體與地基彈性模量即為真實的壩體與地基彈性模量。

(6)確定輸入隨機變量向量x，一般為上游水位、壩體彈模和壩基彈模等，其中，壩體和壩基彈模均值取為第(5)步的反演值。將各輸入隨機變量轉換為獨立的標準正態(tài)變量隨機向量ξ。

(7)確定重力壩的失效模式，在此基礎上建立重力壩的結構功能函數(shù)。

表1示，在合并組和單純CRC組中，Duke分期分布差異有統(tǒng)計學意義，χ2=8.93，P=0.03；經(jīng)兩兩比較，A期與B期差異有統(tǒng)計學意義，P=0.002，校準后的檢驗水準α=0.007。

(8)選用合適形式的Hermite展開多項式構成隨機響應面中的響應面函數(shù)，以此近似擬合重力壩結構系統(tǒng)的隱式功能函數(shù)。

(9)選用合適的配點方法獲得隨機響應面函數(shù)的概率配點。將各配點作為原模型的輸入，調用有限元軟件計算重力壩有限元模型相應的輸出值。

(10)用回歸方法計算隨機響應面函數(shù)中的待定系數(shù)，獲得隨機響應面函數(shù)的最終表達式。

(11)針對上一步確定的隨機響應面函數(shù)表達式，采用幾何法或Monte-Carlo模擬法等方法求解重力壩的結構可靠指標與失效概率。

(12)計算結束。

3 工程應用

3.1 工程概況

某水電站擋水建筑物為混凝土重力壩，大壩為2級水工建筑物等級，正常蓄水位為150.00 m。大壩自左岸向右岸分為10個壩段，最大壩高為112.00 m，位于5號壩段。5號壩段最大壩高為112.00 m，壩頂寬度6.0 m，壩體上游面高程84.00 m以上為豎直面，以下坡度為1∶0.3，下游面折坡點高程為145.00 m，折坡點以下坡度為1∶0.75。地基巖性主要為石英砂巖、粉砂質泥質巖石、細砂巖等，上覆第四系松散堆積物，主要有殘坡積塊及河床沖積漂塊石等。

3.2 力學參數(shù)反演

建立該壩段的二維有限元分析網(wǎng)格模型，壩基在上下游方向各延伸200 m，壩基深度取為200 m，整體有限元網(wǎng)格及壩體有限元網(wǎng)格分別見圖1和圖2。模型中一共包括1 955個節(jié)點，1 840個單元，且均為四節(jié)點四邊形單元。x向為大壩上下游方向；y向為大壩高度方向。在地基的上下游側各節(jié)點施加法向約束，在地基的底部各節(jié)點施加固定約束。分析中僅考慮上游水壓力以及壩體、地基自重荷載的作用。

圖1 壩體及壩基有限元網(wǎng)格模型

圖2 壩體有限元網(wǎng)格模型 圖3 位移測點EX2-4埋設位置

首先，應用式(4)對5號壩段水平位移測點EX2-4的測值進行統(tǒng)計回歸分析，得到統(tǒng)計回歸方程的相關系數(shù)為0.929 3，表明回歸模型正確，同時也表明大壩目前基本處于彈性工作狀態(tài)。當上游水位為141.33 m時，從該統(tǒng)計回歸模型中分離出該測點順河向位移的水壓分量為8.435 mm。

然后，按照壩體混凝土型號及壩基巖體試驗分別得到的壩體與壩基彈性模量取值范圍，將壩體與壩基彈性模量組合為36種工況，通過有限元分析得到各種組合情況下的測點EX2-4處的順河向位移值，見表1。

表1 壩體與地基彈性模量組合方案

將表1中的位移值向量作為輸入，對應的壩體與地基彈模組合作為輸出，然后應用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡進行非線性擬合，得到3者之間的映射關系。將統(tǒng)計回歸模型中分離得到的測點EX2-4順河向位移的水壓分量8.435 mm代入訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡，得到壩體彈性模量為21.88 GPa，壩基彈性模量為4.64 GPa。

利用上述反演得到的壩體與壩基彈性模量進行有限元正分析，得到測點EX2-4位置的順河向位移值為8.367 mm，與統(tǒng)計回歸模型中的水壓分量的相對誤差為0.8%。

綜上所述，通過對該水電站5號壩段擋水段的力學參數(shù)反演分析，得到該壩段的壩體彈性模量(綜合彈模)均值為21.88 GPa，壩基彈性模量為4.64 GPa。

3.3 構建功能函數(shù)

在構建功能函數(shù)前，首先需確定基本隨機變量。結合該水電站重力壩的受力特性，取大壩上游水位Hu、壩體彈性模量Ec以及壩基彈性模量Er3個變量作為結構可靠度分析的基本輸入隨機變量。大壩上游水位的均值取為正常蓄水位150.00 m，壩體與地基彈性模量的均值取為3.2節(jié)中根據(jù)監(jiān)測資料反演分析的結果。各輸入隨機變量的統(tǒng)計特性見表2。

表2 各輸入隨機變量的統(tǒng)計特性

以重力壩抗拉可靠度分析為例，重力壩抗拉可靠度的真實功能函數(shù)為：

Z=g(x)=min {0.07wb,wc}-wt

(5)

式中：x為重力壩結構可靠度分析的輸入隨機變量向量；wt為踵的拉應力區(qū)寬度；wb為壩底寬度；wc為壩踵至帷幕中心線的距離。

根據(jù)式(5)，建立本實例的重力壩結構抗拉可靠度功能函數(shù)為：

Z=g(x)=g(Hu,Ec,Er)=6.79-wt

(6)

式中：x為輸入隨機變量向量；wt為重力壩壩踵的拉應力區(qū)寬度，m。

與式(6)意義類似，如果壩踵的拉應力區(qū)是連續(xù)的，還可以以壩基面上距離壩踵6.79 m處的豎向應力σy的正負來構建重力壩的抗拉功能函數(shù)：

Z=g(x)=σy

(7)

式中：σy為壩基面上距離壩踵0.07倍壩底寬度處的豎向應力，應力符號以拉為正，以壓為負。

在應用隨機響應面法計算結構可靠度之前，首先須將輸入的非標準正態(tài)分布隨機變量向量x=[x1,x2,x3](x1代表大壩上游水位Hu，x2代表壩體彈性模量Ec，x3代表壩基彈性模量Er)轉換為標準正態(tài)隨機向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]。

采用自編結構可靠度隨機響應面法程序，得到二階隨機響應面函數(shù)如下：

(8)

3.4 結構可靠度求解

以式(8)作為重力壩結構抗拉可靠度的功能函數(shù)，應用幾何法求得重力壩抗拉可靠指標為1.629，對應的失效概率為5.17%。根據(jù)文獻[14]的研究，對于失效概率大于等于10-3的情況，二階隨機響應面法可滿足結構可靠度分析的要求，因此，本文采用二階隨機響應面函數(shù)作為功能函數(shù)是合適的。

標準正態(tài)空間的設計驗算點為[-0.765, -0.387, -1.385]，將其轉換至原始變量空間為[143.115 m, 20.609 GPa, 3.355 GPa]。采用Monte-Carlo抽樣并結合MATLAB內(nèi)置的概率密度擬合函數(shù)求得重力壩結構功能函數(shù)響應概率密度曲線，見圖4。

圖4 某重力壩結構抗拉可靠度概率密度曲線

4 結 語

本文提出將實測監(jiān)測資料反演和非侵入式隨機有限元法相結合的結構可靠度分析模式，并給出了具體的算法流程。將該方法應用于工程實例，得到了良好的結果。研究表明：采用實測資料反演力學參數(shù)，可以使得輸入隨機變量的取值更為接近結構真實運行狀態(tài)；本文提出的算法適用于重力壩等復雜結構的結構可靠度分析。

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