曾 文,李志剛,高 闖，陳雪波

(遼寧科技大學 電子與信息工程學院， 遼寧 鞍山 114051)

智能控制領域的自適應控制已成為研究熱點，取得了不少科研成果[1-6].通常采用神經網絡或模糊控制設計控制器，文獻[4]采用模糊控制逼近系統(tǒng)的未知非線性項，文獻[5]采用神經網絡及backstepping方法設計控制器.

死區(qū)廣泛存在于實際控制系統(tǒng)，嚴重干擾了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，限制了系統(tǒng)的性能.文獻[7]通過中值定理將死區(qū)分解為線性和非線性兩個區(qū)域.文獻[8]基于徑向基函數神經網絡(radial basis function，簡稱RBF)和中值定理，對帶有死區(qū)的純反饋系統(tǒng)提出控制策略.文獻[9]利用模糊邏輯控制替代RBF神經網絡，對一類非線性系統(tǒng)設計自適應控制器.文獻[10]對一類非線性切換系統(tǒng)的跟蹤控制進行了研究.

以上研究均沒有對系統(tǒng)輸出進行約束，不加約束的工業(yè)系統(tǒng)的產能不高，因此設計控制器時就要考慮約束條件的限制[11-14].文獻[12]基于障礙李雅普諾夫函數(barrier Lyapunov function，簡稱BLF)設計狀態(tài)控制約束器.文獻[12]采用對稱與非對稱BLF，對一類帶有不確定參數的非線性系統(tǒng)設計自適應控制器. 文獻[13]采用時變BLF，對一類具有未知函數的非線性系統(tǒng)設計自適應控制器.文獻[14]為限制永磁同步電機系統(tǒng)的電流設計控制器. 筆者擬對帶有輸入死區(qū)和輸出受限的嚴格反饋系統(tǒng)，利用RBF神經網絡設計控制器，且通過仿真示例驗證控制器的有效性.

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮如下帶有輸入死區(qū)的非線性嚴格反饋系統(tǒng)

(1)

該文的控制目標是設計一個自適應神經網絡控制器使系統(tǒng)的輸出y跟蹤給定的參考信號yd,同時保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均有界.為了實現控制目標，特提出如下假設：

假設1參考信號yd及其第i階時間導數連續(xù)且有界,i=1,2,…,n.

1.2 障礙李雅普諾夫函數

對正定且連續(xù)可微的函數V(x),若x逼近含原點的鄰域D的邊界時，V(x)的值趨于無窮，則稱V(x)為障礙型李雅普諾夫函數[11]，其函數形式如下

(2)

引理1?kb∈R為正常數,z1∈R在區(qū)間|z1|<|kb|,存在不等式[2]

(3)

其中： |y|≤kc,kb=kc-yd.

1.3 徑向基函數神經網絡

徑向基函數(RBF)神經網絡已被證明在有界閉集ΩZ?Rq上可以任意精度逼近連續(xù)函數，故筆者使用RBF神經網絡去逼近未知的非線性函數.RBF神經網絡方程如下

f(Z)=W*S(Z)+δ(Z),?Z∈ΩZ,

(4)

其中：f(z)為待逼近的未知非線性函數；δ(Z)為逼近誤差，|δ(Z)|<ε；W*為最優(yōu)權重向量.高斯型徑向基函數表達式為

(5)

其中：υi(i=1,2,…,l)為最優(yōu)中心點；l為神經元節(jié)點數，且l>1;r為高斯函數的寬度.

1.4 輸入死區(qū)特性

為研究方便，定義

(6)

其中：v(t)∈R為理想控制律；gl，gr為死區(qū)特性的左、右斜率；bl，br為左、右截距，且bl<0,br>0.

假設2[14]若函數gr(v)和gl(v)充分光滑，且存在未知正常數kl0,kl1,kr0,kr1,則有

0

(7)

0

(8)

將輸入死區(qū)特性進行如下變換

u=D(v)=KT(t)Φ(t)v+d(v),

(9)

其中

K(t)=[Kr(v(t)),Kl(v(t))]T,

(10)

Φ(t)=[φr(t),φl(t)]T,

(11)

(12)

其中：ξl(v)∈(v,bl),v

2 控制器設計

選取如下坐標變換

zi=xi-αi-1,i=1,2,…,n,

(13)

其中：αi-1為自適應神經網絡虛擬控制律，α0=yd.

自適應神經網絡虛擬控制律、自適應律及理想控制律分別為

(14)

(15)

(16)

定理1在假設1、假設2及引理1的條件下,對于一類帶有輸入死區(qū)的嚴格反饋非線性系統(tǒng)(1)，給定的初值滿足|z1|<|kb|,設計一個自適應神經網絡虛擬控制律如式(14)、自適應律如式(15)的控制器，則該控制器具有如下特性：(1)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均半全局一致有界；(2)系統(tǒng)的輸出滿足約束條件；(3)系統(tǒng)的輸出能跟蹤期望信號.

證明步驟1 對z1求導得

(17)

選取李雅普諾夫函數為

(18)

對V1求導得

(19)

(20)

將式(15)代入式(19)得

(21)

根據自適應律式(15)，可得

(22)

步驟i對zi求導得

(23)

選取如下李雅普諾夫函數

(24)

對Vi求導得

(25)

同理，有如下不等式成立

(26)

根據式(14),(15),(26)整理式(25)，可得

(27)

步驟n對zn求導得

(28)

選取如下李雅普諾夫函數

(29)

其中:β0≤min{kl0,kr0}為未知正定常數.

對Vn求導得

(30)

同理，有如下不等式成立

(31)

根據式(9),(31)整理式(30)，可得

(32)

將式(16)代入式(32)，整理可得

(33)

由引理1可知

(34)

令

則有

(35)

將式(35)兩邊乘ect,可得

(36)

對式(36)兩邊求積分，可得

(37)

令

則有

(38)

經推導，可得

(39)

類似可得

(40)

3 仿真分析

該文使用如下嚴格反饋非線性系統(tǒng)進行仿真分析

(41)

其中：u為系統(tǒng)的控制輸入；ξ1(t)和ξ2(t)為有界擾動，ξ1(t)=sint,ξ2(t)=0.5sint.

控制目標為：系統(tǒng)輸出y能夠跟蹤給定的參考信號yd=0.5(sint+sin0.5t).

選取控制信號u的輸入死區(qū)特性為

(42)

選取自適應神經網絡虛擬控制律、理想控制率及自適應律分別為

(43)

(44)

(45)

圖1～4分別為系統(tǒng)輸出、跟蹤誤差、控制信號及自適應律的仿真結果.

圖1 系統(tǒng)輸出

圖2 跟蹤誤差

圖3 控制信號

圖4 自適應律

4 結束語

筆者針對帶有輸入死區(qū)和輸出受限的嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)，設計了一種自適應神經網絡控制器.利用RBF神經網絡逼近系統(tǒng)的未知函數，使用障礙李雅普諾夫函數降低約束條件的影響.仿真結果表明該控制器具有有效性.